كيفية العثور على ارتفاع المثلث باستخدام مثلث. ارتفاع المثلث

حساب ارتفاع المثلث يعتمد على الشكل نفسه (متساوي الساقين، متساوي الأضلاع، مختلف الأضلاع، مستطيل). في الهندسة العملية، لا يتم العثور على الصيغ المعقدة، كقاعدة عامة. ويكفي معرفة المبدأ العام للحسابات حتى يمكن تطبيقه عالميًا على جميع المثلثات. سنقدم لك اليوم المبادئ الأساسية لحساب ارتفاع الشكل، وصيغ الحساب بناءً على خصائص ارتفاعات المثلثات.

ما هو الارتفاع؟

الارتفاع له العديد من الخصائص المميزة

1. النقطة التي تتصل فيها جميع الارتفاعات تسمى مركز تقويم العظام. إذا كان المثلث مدببًا، فإن مركز تقويم العظام يقع داخل الشكل؛ وإذا كانت إحدى الزوايا منفرجة، فإن مركز تقويم العظام يقع عادةً في الخارج.
2. في المثلث الذي تكون فيه زاوية واحدة 90 درجة، يتطابق مركز التعامد مع قمة الرأس.
3. اعتمادًا على نوع المثلث، هناك عدة صيغ للعثور على ارتفاع المثلث.

الحوسبة التقليدية

1. إذا كانت p نصف المحيط، فإن a، b، c هي تعيينات جوانب الشكل المطلوب، h هو الارتفاع، فستبدو الصيغة الأولى والأبسط كما يلي: h = 2/a √p(p-a) (ع-ب) (ع-ج) .
2. في الكتب المدرسية، يمكنك غالبًا العثور على مشاكل تعرف فيها قيمة أحد أضلاع المثلث وحجم الزاوية بين هذا الجانب والقاعدة. ثم ستبدو صيغة حساب الارتفاع كما يلي: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. عندما يتم إعطاء مساحة المثلث - S، وكذلك طول القاعدة - أ، فإن الحسابات ستكون بسيطة قدر الإمكان. تم العثور على الارتفاع باستخدام الصيغة: h = 2S/a.
4. عندما نعطي نصف قطر الدائرة الموصوفة حول الشكل، نحسب أولاً طولي ضلعيها، ثم ننتقل إلى حساب الارتفاع المعطى للمثلث. للقيام بذلك، نستخدم الصيغة: h = b ∙ c/2R، حيث b وc هما ضلعا المثلث اللذان ليسا القاعدة، وR هو نصف القطر.

جميع جوانب هذا الشكل متساوية، وأطوالها متساوية، وبالتالي فإن زوايا القاعدة ستكون متساوية أيضًا. ويترتب على ذلك أن الارتفاعات التي نرسمها على القاعدتين ستكون متساوية أيضاً، فهي أيضاً متوسطات ومنصفات في نفس الوقت. بعبارات بسيطة، الارتفاع في مثلث متساوي الساقين يقسم القاعدة إلى قسمين. سيتم النظر في المثلث ذو الزاوية القائمة، والذي يتم الحصول عليه بعد رسم الارتفاع، باستخدام نظرية فيثاغورس. دعونا نشير إلى الجانب بـ a والقاعدة بـ b، ثم الارتفاع h = ½ √4 a2 − b2.

كيفية العثور على ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع؟

يمكن العثور على صيغة المثلث متساوي الأضلاع (الشكل الذي تكون فيه جميع الجوانب متساوية في الحجم) بناءً على الحسابات السابقة. من الضروري فقط قياس طول أحد جوانب المثلث وتعيينه على أنه. ثم يتم اشتقاق الارتفاع بالصيغة: h = √3/2 a.

كيفية العثور على ارتفاع المثلث الأيمن؟

كما تعلمون، الزاوية في المثلث القائم هي 90 درجة. الارتفاع الذي تم تخفيضه من جانب واحد هو أيضًا الجانب الثاني. سوف تقع عليها ارتفاعات المثلث ذو الزاوية القائمة. للحصول على بيانات حول الارتفاع، تحتاج إلى تحويل صيغة فيثاغورس الحالية قليلاً، وتعيين الساقين - أ و ب، وكذلك قياس طول الوتر - ج.

لنجد طول الساق (الجانب الذي سيكون الارتفاع عموديًا عليه): a = √ (c2 − b2). تم إيجاد طول الضلع الثاني باستخدام نفس الصيغة تمامًا: b =√ (c2 − b2). وبعد ذلك يمكنك البدء في حساب ارتفاع المثلث بزاوية قائمة، بعد حساب مساحة الشكل - s. قيمة الارتفاع h = 2s/a.

الحسابات مع مثلث مختلف الأضلاع

عندما يكون للمثلث المختلف الزوايا زوايا حادة، يكون الارتفاع المنخفض إلى القاعدة مرئيًا. إذا كان للمثلث زاوية منفرجة، فقد يكون الارتفاع خارج الشكل، وتحتاج إلى مواصلة ذلك عقليًا للحصول على نقطة الاتصال للارتفاع وقاعدة المثلث. أسهل طريقة لقياس الارتفاع هي حسابه من خلال أحد الجوانب وحجم الزوايا. الصيغة هي كما يلي: h = b sin y + c sin ß.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

لحل العديد من المسائل الهندسية، عليك إيجاد ارتفاع شكل معين. هذه المهام لها أهمية عملية. عند تنفيذ أعمال البناء، فإن تحديد الارتفاع يساعد على حساب الكمية المطلوبة من المواد، وكذلك تحديد مدى دقة عمل المنحدرات والفتحات. في كثير من الأحيان، لإنشاء أنماط، تحتاج إلى الحصول على فكرة عن الخصائص

كثير من الناس، على الرغم من الدرجات الجيدة في المدرسة، عند بناء الأشكال الهندسية العادية، لديهم سؤال حول كيفية العثور على ارتفاع المثلث أو متوازي الأضلاع. وهذا هو الأصعب. وذلك لأن المثلث يمكن أن يكون حادًا أو منفرجًا أو متساوي الساقين أو قائمًا. كل واحد منهم لديه قواعد البناء والحساب الخاصة به.

كيفية العثور على ارتفاع المثلث الذي تكون جميع زواياه حادة بيانياً

إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة (كل زاوية في المثلث أقل من 90 درجة)، فلمعرفة الارتفاع عليك القيام بما يلي.

1. باستخدام المعلمات المعطاة، نقوم ببناء مثلث.
2. دعونا نقدم بعض الرموز. ستكون A وB وC هي رؤوس الشكل. الزوايا المقابلة لكل قمة هي α، β، γ. والأضلاع المقابلة لهذه الزوايا هي أ، ب، ج.
3. الارتفاع هو العمود العمودي المرسوم من رأس الزاوية على الضلع المقابل للمثلث. للعثور على ارتفاعات المثلث، نقوم ببناء خطوط عمودية: من رأس الزاوية α إلى الجانب أ، ومن قمة الزاوية β إلى الجانب ب، وهكذا.
4. لنشير إلى نقطة تقاطع الارتفاع والجانب a بالرمز H1، والارتفاع نفسه بالرمز h1. ستكون نقطة تقاطع الارتفاع والجانب b هي H2، والارتفاع، على التوالي، h2. بالنسبة للجانب c، سيكون الارتفاع h3 وستكون نقطة التقاطع H3.

الارتفاع في مثلث ذو زاوية منفرجة

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية العثور على ارتفاع المثلث إذا كان هناك واحد (أكثر من 90 درجة). وفي هذه الحالة يكون الارتفاع المرسوم من الزاوية المنفرجة داخل المثلث. الارتفاعان المتبقيان سيكونان خارج المثلث.

لنفترض أن الزاويتين α و β في مثلثنا تكونان حادتين، والزاوية γ منفرجة. ثم، لبناء الارتفاعات القادمة من الزوايا α و β، من الضروري مواصلة جوانب المثلث المقابل لها من أجل رسم الخطوط المتعامدة.

كيفية العثور على ارتفاع مثلث متساوي الساقين

مثل هذا الشكل له ضلعان متساويان وقاعدة، في حين أن زوايا القاعدة متساوية أيضًا مع بعضها البعض. هذه المساواة في الجوانب والزوايا تجعل من السهل إنشاء الارتفاعات وحسابها.

أولا، دعونا نرسم المثلث نفسه. اجعل الجانبين b وc، وكذلك الزوايا β، γ، متساوية على التوالي.

الآن لنرسم الارتفاع من رأس الزاوية α، ونشير إليه بـ h1. لهذا الارتفاع سيكون منصفًا ووسيطًا.

يمكن إجراء بناء واحد فقط للمؤسسة. على سبيل المثال، ارسم متوسطًا - وهو الجزء الذي يربط قمة مثلث متساوي الساقين والجانب المقابل، القاعدة، للعثور على الارتفاع والمنصف. ولحساب طول الارتفاع للجانبين الآخرين، يمكنك بناء ارتفاع واحد فقط. وبالتالي، لتحديد كيفية حساب ارتفاع مثلث متساوي الساقين بيانيًا، يكفي العثور على ارتفاعين من الارتفاعات الثلاثة.

كيفية العثور على ارتفاع المثلث الأيمن

بالنسبة للمثلث القائم الزاوية، يكون تحديد الارتفاعات أسهل بكثير من المثلثات الأخرى. يحدث هذا لأن الأرجل نفسها تشكل زاوية قائمة، وبالتالي فهي ارتفاعات.

لبناء الارتفاع الثالث، كالعادة، يتم رسم عمودي يربط قمة الزاوية القائمة والجانب المقابل. ونتيجة لذلك، من أجل إنشاء مثلث في هذه الحالة، مطلوب بناء واحد فقط.

كيفية العثور على أكبر أو أصغر ارتفاع للمثلث؟ كلما كان ارتفاع المثلث أصغر، كلما زاد الارتفاع المرسوم عليه. أي أن أعظم ارتفاعات المثلث هو الذي يرسم على أقصر ضلعه. - الضلع المرسوم على الضلع الأكبر للمثلث.

للعثور على أكبر ارتفاع للمثلث ، يمكن تقسيم مساحة المثلث على طول الضلع الذي يرسم عليه هذا الارتفاع (أي على طول أصغر ضلع في المثلث).

وبناء على ذلك د للعثور على أصغر ارتفاع للمثلث يمكنك تقسيم مساحة المثلث على طول أطول ضلع فيه.

مهمة 1.

أوجد أصغر ارتفاع لمثلث أضلاعه 7 سم، 8 سم، 9 سم.

منح:

AC=7 سم، AB=8 سم، BC=9 سم.

أوجد: أصغر ارتفاع للمثلث.

حل:

أصغر ارتفاع للمثلث هو الارتفاع المرسوم على أطول ضلعه. هذا يعني أننا بحاجة إلى إيجاد الارتفاع AF المرسوم على الجانب BC.

لتسهيل التدوين، نقدم التدوين

BC=a، AC=b، AB=c، AF=ha.

ارتفاع المثلث يساوي حاصل ضرب ضعف مساحة المثلث مقسومًا على الضلع الذي يرسم عليه هذا الارتفاع. يمكن العثور عليها باستخدام صيغة هيرون. لهذا

نحسب:

إجابة:

المهمة 2.

أوجد أطول ضلع في مثلث أطوال أضلاعه ١ سم، ٢٥ سم، ٣٠ سم.

منح:

AC=25 سم، AB=11 سم، BC=30 سم.

يجد:

أعظم ارتفاع للمثلث ABC

حل:

يتم رسم أكبر ارتفاع للمثلث إلى أقصر جوانبه.

هذا يعني أننا بحاجة إلى إيجاد الارتفاع المرسوم على الجانب AB.

للراحة، دعونا نشير

عند حل أنواع مختلفة من المشكلات، سواء كانت ذات طبيعة رياضية أو تطبيقية بحتة (خاصة في البناء)، غالبًا ما يكون من الضروري تحديد قيمة ارتفاع شكل هندسي معين. كيف تحسب هذه القيمة (الارتفاع) في المثلث؟

إذا قمنا بدمج 3 نقاط في أزواج غير موجودة على خط واحد، فسيكون الشكل الناتج مثلثًا. الارتفاع هو جزء الخط المستقيم من أي قمة في الشكل، والذي عند تقاطعه مع الجانب المقابل يشكل زاوية قياسها 90 درجة.

أوجد ارتفاع مثلث مختلف الأضلاع

دعونا نحدد قيمة ارتفاع المثلث في الحالة التي يكون فيها الشكل ذو زوايا وجوانب عشوائية.

صيغة هيرون

ح(أ)=(2√(ص(ص-أ)*(ص-ب)*(ص-ج)))/أ، حيث

p - نصف محيط الشكل، h(a) - قطعة من الجانب a، مرسومة بزوايا قائمة عليها،

p=(a+b+c)/2 – حساب نصف المحيط.

إذا كانت هناك مساحة من الشكل، يمكنك استخدام العلاقة h(a)=2S/a لتحديد ارتفاعه.

الدوال المثلثية

لتحديد طول القطعة التي تشكل زاوية قائمة عند التقاطع مع الجانب a، يمكنك استخدام العلاقات التالية: إذا كان الضلع b والزاوية γ أو الضلع c والزاوية β معروفين، فإن h(a)=b*sinγ أو ح(أ)=ج *الخطيئةβ.
أين:
γ – الزاوية بين الجانب ب و أ،
β هي الزاوية بين الضلع c وa.

العلاقة مع نصف القطر

إذا كان المثلث الأصلي مدرجًا في دائرة، فيمكنك استخدام نصف قطر هذه الدائرة لتحديد الارتفاع. يقع مركزها عند النقطة التي تتقاطع فيها الارتفاعات الثلاثة (من كل قمة) - مركز تقويم العظام، والمسافة منه إلى القمة (أي) هي نصف القطر.

ثم h(a)=bc/2R، حيث:
ب، ج – 2 الجانبين الآخرين للمثلث،
R هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.

أوجد الارتفاع في المثلث الأيمن

في هذا النوع من الأشكال الهندسية، يشكل الجانبان، عند التقاطع، زاوية قائمة - 90 درجة. لذلك، إذا كنت ترغب في تحديد قيمة الارتفاع فيه، فأنت بحاجة إلى حساب حجم إحدى الأرجل، أو حجم الجزء الذي يشكل 90 درجة مع الوتر. عند التعيين:
أ، ب – الساقين،
ج - الوتر،
ح(ج) – عمودي على الوتر.
يمكنك إجراء الحسابات اللازمة باستخدام العلاقات التالية:

• نظرية فيثاغورس:

أ=√(ج2 -ب2),
ب=√(ج 2 -أ 2),
ح(ج)=2S/ج، لأن S=ab/2، ثم h(c)=ab/c.

• الدوال المثلثية:

أ=ج*الخطيئةβ،
ب=ج*كوسβ،
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

أوجد ارتفاع المثلث متساوي الساقين

يتميز هذا الشكل الهندسي بوجود ضلعين متساويين في الحجم وثالث هو القاعدة. لتحديد الارتفاع المرسوم إلى الجانب الثالث المتميز، تأتي نظرية فيثاغورس للإنقاذ. مع التدوين
أ - الجانب،
ج – القاعدة،
h(c) هو جزء من c بزاوية 90°، ثم h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).