У дома › Вдъхновение › Калкулатор на примери за действия в колона. Деление на естествени числа със стълб, примери, решения

Калкулатор на примери за действия в колона. Деление на естествени числа със стълб, примери, решения

Един от важните етапи в обучението на детето на математически операции е изучаването на операцията за деление на прости числа. Как да обясните разделянето на дете, кога можете да започнете да овладявате тази тема?

За да научите дете на разделяне, е необходимо по време на обучението то вече да е усвоило такива математически операции като добавяне, изваждане, а също така да има ясно разбиране за самата същност на операциите умножение и деление. Тоест той трябва да разбере, че делбата е разделянето на нещо на равни части. Също така е необходимо да се преподават операции за умножение и да се научи таблицата за умножение.

Вече писах за това как тази статия може да ви бъде полезна.

Усвояваме операцията деление (разделяне) на части по игрови начин

На този етап е необходимо да се формира у детето разбирането, че разделянето е разделянето на нещо на равни части. Най-лесният начин да научите детето да прави това е да го поканите да сподели определен брой предмети между своите приятели или членове на семейството.

Например вземете 8 еднакви кубчета и поканете детето да раздели на две равни части - за него и за друг човек. Променете и усложнете задачата, поканете детето да раздели 8 кубчета не на двама, а на четирима души. Анализирайте резултата с него. Променете компонентите, опитайте с различен брой обекти и хора, на които тези обекти трябва да бъдат разделени.

Важно:Уверете се, че в началото детето работи с четен брой предмети, така че резултатът от разделянето да е същия брой части. Това ще бъде полезно в следващата стъпка, когато детето трябва да разбере, че делението е обратното на умножението.

Умножете и разделете с помощта на таблицата за умножение

Обяснете на детето си, че в математиката противоположното на умножението се нарича деление. Използвайки таблицата за умножение, покажете на ученика, използвайки произволен пример, връзката между умножение и деление.

Пример: 4x2=8. Напомнете на детето си, че резултатът от умножението е произведението на две числа. След това обяснете, че делението е обратното на умножението и илюстрирайте това ясно.

Разделете получения продукт "8" от примера - на някой от факторите - "2" или "4", и резултатът винаги ще бъде друг фактор, който не е използван в операцията.

Трябва също така да научите младия ученик как се наричат категориите, които описват операцията на разделяне - „делимо“, „делител“ и „частно“. Използвайте пример, за да покажете кои числа са делимо, делител и частно. Затвърдете тези знания, те са необходими за по-нататъшно обучение!

Всъщност трябва да научите детето си на таблицата за умножение „в обратен ред“ и трябва да я запомните, както и самата таблица за умножение, защото това ще е необходимо, когато започнете да преподавате дълго деление.

Разделете по колона - дайте пример

Преди да започнете урока, запомнете с детето си как се наричат числата по време на операцията за разделяне. Какво е "делител", "делимо", "частно"? Научете се точно и бързо да идентифицирате тези категории. Това ще бъде много полезно, докато учите детето да дели прости числа.

Ние обясняваме ясно

Нека разделим 938 на 7. В този пример 938 е дивидентът, 7 е делителят. Резултатът ще бъде коефициент и след това трябва да го изчислите.

Етап 1. Записваме числата, като ги разделяме с "ъгъл".

Стъпка 2Покажете на ученика броя на делимите и го помолете да избере от тях най-малкото число, което е по-голямо от делителя. От трите числа 9, 3 и 8 това число ще бъде 9. Поканете детето да анализира колко пъти числото 7 може да се съдържа в числото 9? Точно така, само веднъж. Следователно първият резултат, който записваме, ще бъде 1.

Стъпка 3Нека да преминем към дизайна на разделението по колона:

Умножаваме делителя 7x1 и получаваме 7. Записваме получения резултат под първото число на нашия дивидент 938 и изваждаме, както обикновено, в колона. Тоест изваждаме 7 от 9 и получаваме 2.

Записваме резултата.

Стъпка 4Числото, което виждаме, е по-малко от делителя, така че трябва да го увеличим. За целта го комбинираме със следващото неизползвано число от нашия дивидент - то ще бъде 3. Приписваме 3 на полученото число 2.

Стъпка 5След това действаме според вече известния алгоритъм. Нека анализираме колко пъти нашият делител 7 се съдържа в полученото число 23? Точно така, три пъти. Фиксираме числото 3 в частното. И резултатът от произведението - 21 (7 * 3) е записан отдолу под числото 23 в колона.

Стъпка 6Сега остава да намерим последното число от нашето частно. Използвайки вече познатия алгоритъм, продължаваме да правим изчисления в колона. Като извадим в колона (23-21) получаваме разликата. Равнява се на 2.

От дивидента имаме едно неизползвано число - 8. Комбинираме го с числото 2, получено в резултат на изваждане, получаваме - 28.

Стъпка 7Нека анализираме колко пъти нашият делител 7 се съдържа в полученото число? Точно така, 4 пъти. Записваме получената цифра в резултата. И така, имаме частното, получено в резултат на разделяне на колона = 134.

Как да научим дете да разделя - ние консолидираме умението

Основната причина, поради която много ученици имат проблем с математиката, е невъзможността бързо да правят прости аритметични изчисления. И на тази основа се изгражда цялата математика в началното училище. Особено често проблемът е в умножението и деленето.
За да може детето да се научи как бързо и ефективно да извършва изчисления с разделяне наум, е необходима правилната методология на преподаване и консолидиране на умението. За да направите това, ви съветваме да използвате популярните в момента помощни средства за овладяване на умението за разделяне. Някои са предназначени за работа на децата с родителите си, други за самостоятелна работа.

„Разделение. Ниво 3. Работна тетрадка "от най-големия международен център за допълнително образование Kumon
„Разделение. Работна тетрадка за ниво 4 от Kumon
„Не ментална аритметика. Система за обучение на дете на бързо умножение и деление. За 21 дни. Симулатор на Notepad.» от Ш. Ахмадулин - автор на най-продаваните образователни книги

Най-важното нещо, когато учите дете да дели в колона, е да овладеете алгоритъма, който като цяло е доста прост.

Ако детето работи добре с таблицата за умножение и "обратно" деление, то няма да има затруднения. Въпреки това е много важно постоянно да тренирате придобитото умение. Не спирайте дотук веднага щом разберете, че детето е схванало същността на метода.

За да научите лесно дете на операцията за деление, трябва:

Така че на две-три години усвои връзката „цяло – част“. Той трябва да развие разбиране за цялото като неделима категория и възприемане на отделна част от цялото като самостоятелен обект. Например камион играчка е едно цяло, а каросерията, колелата, вратите са части от това цяло.
Така че в начална училищна възраст детето свободно оперира с действия за добавяне и изваждане на числа, разбира същността на процесите на умножение и деление.

За да се хареса на детето математиката, е необходимо да се събуди интересът му към математиката и математическите действия не само по време на обучение, но и в ежедневни ситуации.

Затова насърчавайте и развивайте наблюдателността в детето, правете аналогии с математически операции (операции за броене и деление, анализ на отношенията част-цяло и др.) По време на конструиране, игри и наблюдения на природата.

Преподавател, специалист в центъра за детско развитие
Дружинина Елена
сайт специално за проекта

Видео сюжет за родители, как правилно да обяснят разделянето на колона на детето:

Колонен калкулатор за устройства с Android ще бъде чудесен помощник за съвременните ученици. Програмата не само дава правилния отговор на дадено математическо действие, но и ясно демонстрира неговото решение стъпка по стъпка. Ако имате нужда от по-сложни калкулатори, можете да погледнете усъвършенствания инженерен калкулатор.

Особености

Основната характеристика на програмата е уникалността на изчислението на математическите операции. Показването на процеса на изчисление в колона позволява на учениците да го опознаят по-подробно, да разберат алгоритъма на решение, а не просто да получат готовия резултат и да го пренапишат в тетрадка. Тази функция има огромно предимство пред другите калкулатори. доста често в училище учителите изискват да се запишат междинни изчисления, за да са сигурни, че ученикът ги прави наум и наистина разбира алгоритъма за решаване на задачи. Между другото, имаме друга програма от подобен вид - .

За да започнете да използвате програмата, трябва да изтеглите калкулатор в колона на Android. Можете да направите това на нашия уебсайт абсолютно безплатно, без допълнителни регистрации и SMS. След инсталирането главната страница ще се отвори под формата на лист за тетрадка в клетка, на която всъщност ще бъдат показани резултатите от изчислението и тяхното подробно решение. В долната част има панел с бутони:

Числа.
Признаци на аритметични операции.
Изтриване на въведени преди това знаци.

Въвеждането се извършва по същия принцип като на. Цялата разлика е само в интерфейса на приложението - всички математически изчисления и техните резултати се показват във виртуален ученически бележник.

Приложението ви позволява бързо и правилно да извършвате стандартни математически изчисления за ученик в колона:

умножение;
разделяне;
допълнение;
изваждане.

Приятно допълнение към приложението е функцията за ежедневно напомняне за домашна работа по математика. Ако искаш, напиши си домашното. За да го активирате, отидете в настройките (натиснете бутона под формата на зъбно колело) и поставете отметка в квадратчето за напомняне.

Предимства и недостатъци

Той помага на ученика не само бързо да получи правилния резултат от математическите изчисления, но и да разбере самия принцип на изчисление.
Много прост, интуитивен интерфейс за всеки потребител.
Можете да инсталирате приложението дори на най-бюджетното устройство с Android с операционна система 2.2 и по-нова версия.
Калкулаторът запазва история на математическите изчисления, която може да бъде изчистена по всяко време.

Калкулаторът е ограничен в математическите операции, така че няма да работи за сложни изчисления, с които един инженерен калкулатор би могъл да се справи. Въпреки това, като се има предвид целта на самото приложение - ясно да демонстрира принципа на изчисляване в колона на учениците от началното училище, това не трябва да се счита за недостатък.

Приложението също ще бъде отличен помощник не само за ученици, но и за родители, които искат да заинтересуват детето си от математиката и да го научат как правилно и последователно да извършва изчисления. Ако вече сте използвали приложението Stacked Calculator, оставете впечатленията си по-долу в коментарите.

Удобно е да се извърши специален метод, който се нарича колона изважданеили колона изваждане. Този метод на изваждане оправдава името си, тъй като умаляваното, изважданото и разликата са записани в колона. Междинните изчисления също се извършват в колони, съответстващи на цифрите на числата.

Удобството на изваждането на естествени числа в колона се крие в простотата на изчисленията. Изчисленията се свеждат до използване на таблицата за събиране и прилагане на свойствата за изваждане.

Нека да видим как се извършва изваждането на колона. Ще разгледаме процеса на изваждане заедно с решението на примерите. Така ще е по-ясно.

Навигация в страницата.

Какво трябва да знаете, за да извадите с колона?

За да извадите естествени числа в колона, първо трябва да знаете как се извършва изваждането с помощта на таблицата за събиране.

И накрая, няма да навреди да повторим определението за разреждане на естествени числа.

Изваждане по колона върху примери.

Да започнем със записа. Първо се пише умалението. Под умаляваното е изваждаемото. Освен това, това се прави по такъв начин, че числата да са едно под друго, започвайки отдясно. Вляво от записаните числа се поставя знак минус, а отдолу се изчертава хоризонтална линия, под която ще бъде записан резултатът след извършване на необходимите действия.

Ето някои примери за правилни записи при изваждане по колона. Запишете разликата в колона 56−9 , разлика 3 004−1 670 , както и 203 604 500−56 777 .

И така, с подредения запис.

Обръщаме се към описанието на процеса на изваждане по колона. Същността му се състои в последователното изваждане на стойностите на съответните цифри. Първо се изваждат стойностите на цифрата на единиците, след това стойностите на цифрата на десетиците, след това стойностите на цифрата на стотиците и т.н. Резултатите се записват под хоризонталната линия на съответните места. Числото, което се образува под линията след завършване на процеса, е желаният резултат от изваждането на двете оригинални естествени числа.

Представете си диаграма, илюстрираща процеса на изваждане чрез колона от естествени числа.

Горната схема дава обща картина на изваждането на естествени числа по колона, но не отразява всички тънкости. Ще се справим с тези тънкости при решаването на примери. Нека започнем с най-простите случаи и след това постепенно ще преминем към по-сложни случаи, докато разберем всички нюанси, които могат да възникнат при изваждане по колона.

Пример.

Първо извадете колона от числото 74 805 номер 24 003 .

Решение.

Нека запишем тези числа, както се изисква от метода за изваждане на колона:

Започваме с изваждане на стойностите на цифрите на единиците, тоест изваждаме от числото 5 номер 3 . От таблицата за събиране, която имаме 5−3=2 . Записваме получените резултати под хоризонталната линия в същата колона, в която се намират числата 5 и 3 :

Сега извадете стойностите на десетките (в нашия пример те са равни на нула). Ние имаме 0−0=0 (споменахме това свойство на изваждане в предишния параграф). Записваме получената нула под линията в същата колона:

Продължа напред. Извадете стойностите на мястото на стотните: 8−0=8 (според свойството на изваждане, изразено в предходния параграф). Сега нашият запис ще изглежда така:

Нека да преминем към изваждане на хилядните стойности: 4−4=0 (това са свойства на изваждане на равни естествени числа). Ние имаме:

Остава да извадим стойностите на мястото на десетките хиляди: 7−2=5 . Записваме полученото число под реда на правилното място:

Това завършва изваждането на колоната. Номер 50 802 , което се оказа по-долу, е резултат от изваждане на оригиналните естествени числа 74 805 и 24 003 .

Помислете за следния пример.

Пример.

Извадете колона от числото 5 777 номер 5 751 .

Решение.

Правим всичко по същия начин, както в предишния пример - изваждаме стойностите на съответните цифри. След като изпълните всички стъпки, записът ще изглежда така:

Под линията получихме число, в записа на което има числа отляво 0 . Ако тези числа 0 изхвърляме, тогава получаваме резултата от изваждането на оригиналните естествени числа. В нашия случай изхвърляме две цифри 0 получени отляво. Имаме: разлика 5 777−5 751 е равно на 26 .

До този момент сме изваждали естествени числа, чиито записи се състоят от еднакъв брой знаци. Сега, като използваме пример, нека разберем как естествените числа се изваждат в колона, когато има повече знаци в записа на намаленото, отколкото в записа на изважданото.

Пример.

Извадете от числото 502 864 номер 2 330 .

Решение.

Записваме умаляваното и изваждаемото в колона:

Извадете стойностите на единичната цифра една по една: 4−0=4 ; последвано от десетки: 6−3=3 ; по-нататък - стотици: 8−3=5 ; по-нататък - хиляди: 2−2=0 . Получаваме:

Сега, за да завършим изваждането на колоната, все още трябва да извадим стойностите на мястото на десетките хиляди и след това стойностите на мястото на стотиците хиляди. Но от стойностите на тези цифри (в нашия пример от числата 0 и 5 ) няма какво да изваждаме (тъй като изваденото число 2 330 няма цифри в тези цифри). Как да бъдем? Много просто - стойностите на тези битове просто се пренаписват под хоризонталната линия:

При това изваждане с колона от естествени числа 502 864 и 2 330 завършен. Разликата е 500 534 .

Остава да разгледаме случаите, когато на някоя стъпка от изваждането на колоната стойността на цифрата на намаленото число е по-малка от стойността на съответната цифра на изваждането. В тези случаи трябва да "заемате" от висшите чинове. Нека разберем това с примери.

Пример.

Извадете колона от числото 534 номер 71 .

Решение.

На първата стъпка извадете от 4 номер 1 , получаваме 3 . Ние имаме:

В следващата стъпка трябва да извадим стойностите на цифрата на десетките, тоест от числото 3 извадете числото 7 . защото 3<7 , тогава не можем да извадим тези естествени числа (изваждането на естествените числа е дефинирано само когато изважданото не е по-голямо от умаленото). Какво да правя? В този случай ние вземаме 1 единица от най-висок ред и я "разменете". В нашия пример "обмен" 1 сто на 10 десетки. За визуално отразяване на нашите действия поставяме дебела точка над числото на стотните, а над числото на десетиците пишем числото 10 използвайки различен цвят. Записът ще изглежда така:

Добавяме получени след "размяната" 10 десетки към 3 налични десетки: 3+10=13 , и извадете от това число 7 . Ние имаме 13−7=6 . Този номер 6 напишете под хоризонталната линия на негово място:

Нека да преминем към изваждане на стойностите на мястото на стотните. Тук виждаме точка над числото 5, което означава, че от това число сме взели едно „за размяна“. Тоест сега имаме 5 , а 5−1=4 . От номер 4 нищо друго не трябва да се изважда (тъй като първоначалното извадено число 71 не съдържа цифри в стотните). Така под хоризонталната линия записваме числото 4 :

Така че разликата 534−71 е равно на 463 .

Понякога, когато изваждате по колона, трябва да „размените“ единици от най-високите цифри няколко пъти. В подкрепа на тези думи анализираме решението на следния пример.

Пример.

Извадете от естественото число 1 632 номер 947 колона.

Решение.

В първата стъпка трябва да извадим от числото 2 номер 7 . защото 2<7 , тогава веднага трябва да "размените" 1 дузина на 10 единици. След това от сумата 10+2 извадете числото 7 , получаваме (10+2)−7=12−7=5 :

В следващата стъпка трябва да извадим стойностите на десетките. Виждаме това над числото 3 струва точка, тоест нямаме 3 , а 3−1=2 . И от това число 2 трябва да извадим числото 4 . защото 2<4 , тогава отново трябва да прибегнете до "размяна". Но сега си разменяме 1 сто на 10 десетки. В този случай имаме (10+2)−4=12−4=8 :

Сега изваждаме стойностите на мястото на стотните. От броя 6 единица е била заета в предишната стъпка, така че имаме 6−1=5 . От това число трябва да извадим числото 9 . защото 5<9 , тогава трябва да "обменим" 1 хиляда на 10 стотици. Получаваме (10+5)−9=15−9=6 :

Остава последната стъпка. От едното в хилядното място, което заехме в предишната стъпка, така че имаме 1−1=0 . Не е необходимо да изваждаме нищо друго от полученото число. Това число е написано под хоризонталната линия:

С тази математическа програма можете да разделяте полиноми по колона.
Програмата за деление на многочлен на многочлен не просто дава отговор на задачата, тя дава подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на решаване с цел проверка на знанията по математика и/или алгебра.

Тази програма може да бъде полезна за ученици в гимназията при подготовка за тестове и изпити, при проверка на знанията преди Единния държавен изпит, за родители за контрол на решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да си свършите домашното по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Ако имате нужда или опростете полиномаили умножете полиноми, тогава за това имаме отделна програма Опростяване (умножение) на полином

Разделяне на полиноми

Беше установено, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са заредени и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript в браузъра си.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Деление на многочлен на многочлен (бином) с колона (ъгъл)

По алгебра деление на полиноми с колона (ъгъл)- алгоритъм за разделяне на полином f(x) на полином (бином) g(x), чиято степен е по-малка или равна на степента на полинома f(x).

Алгоритъмът за разделяне на полином на полином е обобщена форма на разделяне на числата по колона, която лесно се прилага ръчно.

За всякакви полиноми \(f(x) \) и \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), има уникални полиноми \(q(x) \) и \(r( x ) \), така че
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
където \(r(x) \) има по-ниска степен от \(g(x) \).

Целта на алгоритъма за разделяне на полиноми в колона (ъгъл) е да намери частното \(q(x) \) и остатъка \(r(x) \) за даден дивидент \(f(x) \) и ненулев делител \(g(x) \)

Пример

Разделяме един полином на друг полином (бином) с колона (ъгъл):
\(\голям \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Коефициентът и остатъкът от деленето на тези полиноми могат да бъдат намерени в хода на следните стъпки:
1. Разделете първия елемент на дивидента на най-големия елемент на делителя, поставете резултата под линията \((x^3/x = x^2) \)

\(х\)	\(-3 \)
\(x^2 \)

3. Извадете полинома, получен след умножението, от делителя, запишете резултата под реда \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3 \)	\(-12x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
\(x^3 \)	\(-3x^2 \)
	\(-9x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)

\(х\)	\(-3 \)
\(x^2 \)

4. Повтаряме предишните 3 стъпки, като използваме полинома, записан под чертата, като дивидент.

\(x^3 \)	\(-12x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
\(x^3 \)	\(-3x^2 \)
	\(-9x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
	\(-9x^2 \)	\(+27x\)
		\(-27x\)	\(-42 \)

\(х\)	\(-3 \)
\(x^2 \)	\(-9x\)

5. Повторете стъпка 4.

\(x^3 \)	\(-12x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
\(x^3 \)	\(-3x^2 \)
	\(-9x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
	\(-9x^2 \)	\(+27x\)
		\(-27x\)	\(-42 \)
		\(-27x\)	\(+81 \)
			\(-123 \)

\(х\)	\(-3 \)
\(x^2 \)	\(-9x\)	\(-27 \)

6. Край на алгоритъма.
Така полиномът \(q(x)=x^2-9x-27 \) е частично деление на полиноми, а \(r(x)=-123 \) е остатъкът от деленето на полиноми.

Резултатът от разделянето на полиноми може да се запише като две равенства:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
или
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Разделянето на естествени числа, особено многозначни, удобно се извършва по специален метод, който се нарича деление по колона (в колона). Можете също да видите името ъглово разделение. Веднага отбелязваме, че колоната може да се извърши както деление на естествени числа без остатък, така и деление на естествени числа с остатък.

В тази статия ще разберем как се извършва разделянето по колона. Тук ще говорим за правилата за писане и за всички междинни изчисления. Първо, нека се спрем на разделянето на многозначно естествено число на едноцифрено число чрез колона. След това ще се съсредоточим върху случаите, когато и дивидентът, и делителят са многозначни естествени числа. Цялата теория на тази статия е снабдена с характерни примери за деление на колона от естествени числа с подробни обяснения на решението и илюстрации.

Навигация в страницата.

Правила за записване при деление по стълб

Нека започнем с изучаването на правилата за писане на дивидент, делител, всички междинни изчисления и резултати при деление на естествени числа по колона. Да кажем веднага, че е най-удобно да се раздели в колона писмено на хартия с карирана линия - така че има по-малък шанс да се отклоните от желания ред и колона.

Първо се изписват делителя и делителя на един ред отляво надясно, след което между записаните числа се показва символ на формата. Например, ако дивидентът е числото 6 105, а делителят е 5 5, тогава правилното им записване, когато се раздели в колона, ще бъде:

Вижте следната диаграма, която илюстрира местата за записване на дивидент, делител, частно, остатък и междинни изчисления при деление на колона.

От горната диаграма се вижда, че желаното частно (или непълно частно при деление с остатък) ще бъде записано под делителя под хоризонталната линия. И междинните изчисления ще бъдат извършени под дивидента и трябва предварително да се погрижите за наличието на място на страницата. В този случай трябва да се ръководите от правилото: колкото по-голяма е разликата в броя на знаците в записите на дивидент и делител, толкова повече място е необходимо. Например, при разделяне на естествено число 614 808 на 51 234 с колона (614 808 е шестцифрено число, 51 234 е петцифрено число, разликата в броя на знаците в записите е 6−5=1), междинен изчисленията ще изискват по-малко място, отколкото при разделянето на числата 8 058 и 4 (тук разликата в броя на знаците е 4−1=3 ). За потвърждение на нашите думи представяме попълнените записи за деление на колона от тези естествени числа:

Сега можете да преминете директно към процеса на деление на естествени числа по колона.

Деление по стълб на естествено число с едноцифрено естествено число, алгоритъм за деление по стълб

Ясно е, че разделянето на едно едноцифрено естествено число на друго е доста просто и няма причина тези числа да се разделят в колона. Въпреки това ще бъде полезно да практикувате първоначалните умения за деление по колона върху тези прости примери.

Пример.

Нека трябва да разделим с колона 8 на 2.

Решение.

Разбира се, можем да извършим деление с помощта на таблицата за умножение и веднага да запишем отговора 8:2=4.

Но ние се интересуваме как да разделим тези числа на колона.

Първо записваме дивидент 8 и делител 2, както се изисква от метода:

Сега започваме да намираме колко пъти делителя е в дивидента. За да направите това, последователно умножаваме делителя по числата 0, 1, 2, 3, ... докато резултатът е число, равно на делителя (или число, по-голямо от делителя, ако има деление с остатък ). Ако получим число, равно на делителя, веднага го записваме под дивидент, а на мястото на частното записваме числото, по което сме умножили делителя. Ако получим число, по-голямо от делимото, тогава под делителя записваме числото, изчислено на предпоследната стъпка, а на мястото на непълното частно записваме числото, с което е умножен делителя на предпоследната стъпка.

Да тръгваме: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Получихме число, равно на дивидента, така че го записваме под дивидента, а на мястото на частното пишем числото 4. Тогава записът ще изглежда така:

Остава последният етап от деленето на едноцифрените естествени числа със стълб. Под числото, написано под дивидента, трябва да нарисувате хоризонтална линия и да извадите числа над тази линия по същия начин, както се прави при изваждане на естествени числа с колона. Числото, получено след изваждане, ще бъде остатъкът от делението. Ако е равно на нула, тогава оригиналните числа се делят без остатък.

В нашия пример получаваме

Сега имаме готов запис на деление с колона на числото 8 на 2. Виждаме, че частното 8:2 е 4 (и остатъкът е 0).

Отговор:

8:2=4 .

Сега помислете как се извършва разделянето на колона от едноцифрени естествени числа с остатък.

Пример.

Разделете в колона 7 на 3.

Решение.

В началния етап записът изглежда така:

Започваме да откриваме колко пъти дивидентът съдържа делител. Ще умножим 3 по 0, 1, 2, 3 и т.н. докато получим число равно или по-голямо от дивидента 7. Получаваме 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (ако е необходимо, вижте статията сравнение на естествени числа). Под дивидент записваме числото 6 (получено е на предпоследната стъпка), а на мястото на непълното частно записваме числото 2 (то е умножено на предпоследната стъпка).

Остава да извършим изваждането и делението на колона от едноцифрени естествени числа 7 и 3 ще бъде завършено.

Така че частичният коефициент е 2, а остатъкът е 1.

Отговор:

7:3=2 (почивка 1) .

Сега можем да преминем към деление на многозначни естествени числа на едноцифрени естествени числа чрез колона.

Сега ще анализираме алгоритъм за разделяне на колони. На всеки етап ще представяме резултатите, получени от разделянето на многозначното естествено число 140 288 на еднозначното естествено число 4 . Този пример не е избран случайно, тъй като при решаването му ще се сблъскаме с всички възможни нюанси, ще можем да ги анализираме в детайли.

Първо, разглеждаме първата цифра отляво в записа за дивидента. Ако числото, определено от тази цифра, е по-голямо от делителя, тогава в следващия параграф трябва да работим с това число. Ако това число е по-малко от делителя, тогава трябва да добавим следващата цифра отляво в записа на дивидента и да работим по-нататък с числото, определено от въпросните две цифри. За удобство избираме в нашия запис номера, с който ще работим.

Първата цифра отляво в дивидента 140 288 е числото 1. Числото 1 е по-малко от делителя 4, така че разглеждаме и следващата цифра отляво в записа на дивидента. В същото време виждаме числото 14, с което трябва да работим по-нататък. Избираме това число в нотацията на дивидента.

Следващите точки от втора до четвърта се повтарят циклично, докато завърши разделянето на естествените числа по колона.

Сега трябва да определим колко пъти делителя се съдържа в числото, с което работим (за удобство нека означим това число като x). За целта последователно умножаваме делителя по 0, 1, 2, 3, ... докато получим числото x или число, по-голямо от x. Когато се получи число x, тогава го записваме под избраното число според правилата за запис, използвани при изваждане от колона от естествени числа. Числото, с което е извършено умножението, се записва на мястото на частното по време на първото преминаване на алгоритъма (по време на следващите преминавания на 2-4 точки от алгоритъма това число се записва вдясно от числата, които вече са там). Когато се получи число, което е по-голямо от числото x, тогава под избраното число записваме числото, получено на предпоследната стъпка, а на мястото на частното (или вдясно от числата, които вече са там) записваме числото чрез при което умножението е извършено на предпоследната стъпка. (Извършихме подобни действия в двата примера, обсъдени по-горе).

Умножаваме делителя на 4 по числата 0, 1, 2, ... докато получим число, което е равно на 14 или по-голямо от 14. Имаме 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>четиринадесет . Тъй като на последната стъпка получихме числото 16, което е по-голямо от 14, тогава под избраното число записваме числото 12, което се оказа на предпоследната стъпка, а на мястото на частното записваме числото 3, тъй като в предпоследния абзац умножението е извършено точно върху него.

На този етап от избраното число извадете числото под него в колона. Под хоризонталната линия е резултатът от изваждането. Ако обаче резултатът от изваждането е нула, тогава не е необходимо да се записва (освен ако изваждането в този момент не е последното действие, което напълно завършва делението по колона). Тук, за ваш контрол, няма да е излишно да сравните резултата от изваждането с делителя и да се уверите, че е по-малък от делителя. Иначе някъде е допусната грешка.

Трябва да извадим числото 12 от числото 14 в колона (за правилното записване не трябва да забравяте да поставите знак минус отляво на извадените числа). След завършване на това действие цифрата 2 се появи под хоризонталната линия. Сега проверяваме нашите изчисления, като сравняваме полученото число с делител. Тъй като числото 2 е по-малко от делителя 4, можете спокойно да преминете към следващия елемент.

Сега под хоризонталната линия вдясно от числата, разположени там (или вдясно от мястото, където не сме написали нула), записваме числото, разположено в същата колона в записа на дивидента. Ако няма числа в записа на дивидента в тази колона, тогава разделянето по колона завършва тук. След това избираме числото, образувано под хоризонталната линия, приемаме го като работно число и повтаряме с него от 2 до 4 точки от алгоритъма.

Под хоризонталната линия вдясно от числото 2, което вече е там, записваме числото 0, тъй като това е числото 0, което е в записа на дивидента 140 288 в тази колона. Така под хоризонталната линия се образува числото 20.

Избираме това число 20, приемаме го като работно число и повтаряме с него действията от втора, трета и четвърта точка от алгоритъма.

Умножаваме делителя на 4 по 0, 1, 2, ... докато получим числото 20 или число, което е по-голямо от 20. Имаме 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).

Извършваме изваждане по колона. Тъй като изваждаме равни естествени числа, тогава, поради свойството да изваждаме равни естествени числа, получаваме нула като резултат. Ние не записваме нула (тъй като това все още не е последният етап на разделяне на колона), но си спомняме мястото, където можем да я запишем (за удобство ще маркираме това място с черен правоъгълник).

Под хоризонталната линия вдясно от запомненото място записваме числото 2, тъй като именно тя е в записа на дивидента 140 288 в тази колона. Така под хоризонталната линия имаме числото 2 .

Вземаме числото 2 като работно число, маркираме го и отново ще трябва да изпълним стъпките от 2-4 точки на алгоритъма.

Умножаваме делителя по 0 , 1 , 2 и така нататък и сравняваме получените числа с отбелязаното число 2 . Имаме 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Затова под маркираното число записваме числото 0 (получено е на предпоследната стъпка), а на мястото на частното вдясно от числото, което вече е там, записваме числото 0 (умножихме по 0 на предпоследната стъпка).

Извършваме изваждане по колона, получаваме числото 2 под хоризонталната линия. Проверяваме се, като сравняваме полученото число с делителя 4 . От 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.

Под хоризонталната линия вдясно от числото 2 добавяме числото 8 (тъй като е в тази колона в записа на дивидента 140 288). Така под хоризонталната линия е числото 28.

Приемаме този номер като работник, маркираме го и повтаряме стъпки 2-4 от параграфи.

Тук не би трябвало да има проблеми, ако сте внимавали досега. След извършване на всички необходими действия се получава следният резултат.

Остава за последен път да изпълните действията от точки 2, 3, 4 (ние ви го предоставяме), след което ще получите пълна картина на разделянето на естествените числа 140 288 и 4 в колона:

Моля, обърнете внимание, че числото 0 е написано най-отдолу на реда. Ако това не беше последната стъпка от деленето на колона (т.е. ако имаше числа в колоните отдясно в записа на дивидента), тогава нямаше да пишем тази нула.

Така, разглеждайки завършения запис за деление на многозначното естествено число 140 288 на еднозначното естествено число 4, виждаме, че числото 35 072 е частно (и остатъкът от делението е нула, той е на самия долната линия).

Разбира се, когато разделяте естествените числа на колона, няма да опишете всичките си действия толкова подробно. Вашите решения ще изглеждат като следните примери.

Пример.

Извършете дълго деление, ако дивидентът е 7136 и делителят е едно естествено число 9.

Решение.

На първата стъпка от алгоритъма за деление на естествени числа по колона получаваме запис от формата

След извършване на действията от втора, трета и четвърта точка на алгоритъма, записът на деление по колона ще приеме вида

Повтаряйки цикъла, ще имаме

Още едно преминаване ще ни даде пълна картина на деленето на колона от естествени числа 7 136 и 9

Така частичният коефициент е 792, а остатъкът от делението е 8.

Отговор:

7 136:9=792 (почивка 8) .

И този пример показва как дълго трябва да изглежда деленето.

Пример.

Разделете естественото число 7 042 035 на едноцифреното естествено число 7 .

Решение.

Най-удобно е да се извърши разделяне по колона.

Отговор:

7 042 035:7=1 006 005 .

Деление на колона от многозначни естествени числа

Бързаме да ви зарадваме: ако сте усвоили добре алгоритъма за разделяне на колона от предишния параграф на тази статия, тогава вече почти знаете как да изпълнявате деление на колона от многозначни естествени числа. Това е вярно, тъй като стъпки от 2 до 4 от алгоритъма остават непроменени и само незначителни промени се появяват в първата стъпка.

На първия етап от разделянето на колона от многозначни естествени числа трябва да погледнете не първата цифра отляво в записа на дивидента, а толкова много от тях, колкото има цифри в записа на делителя. Ако числото, определено от тези числа, е по-голямо от делителя, тогава в следващия параграф трябва да работим с това число. Ако това число е по-малко от делителя, тогава трябва да добавим към разглеждането следващата цифра отляво в записа на дивидента. След това се извършват действията, посочени в параграфи 2, 3 и 4 от алгоритъма до получаване на крайния резултат.

Остава само да видим приложението на алгоритъма за деление на колона от многозначни естествени числа на практика при решаване на примери.

Пример.

Нека извършим деление на колона от многозначни естествени числа 5562 и 206.

Решение.

Тъй като в записа на делителя 206 участват 3 знака, ние разглеждаме първите 3 цифри отляво в записа на дивидента 5 562. Тези числа съответстват на числото 556. Тъй като 556 е по-голямо от делителя 206, ние приемаме числото 556 като работно, избираме го и преминаваме към следващия етап от алгоритъма.

Сега умножаваме делителя 206 по числата 0, 1, 2, 3, ... докато получим число, което е равно на 556 или по-голямо от 556. Имаме (ако умножението е трудно, тогава е по-добре да извършите умножението на естествените числа в колона): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Тъй като получихме число, което е по-голямо от числото 556, тогава под избраното число записваме числото 412 (получено е на предпоследната стъпка), а на мястото на частното записваме числото 2 (тъй като е умножено при предпоследната стъпка). Записът за разделяне на колони приема следната форма:

Извършете изваждане на колона. Получаваме разликата 144, това число е по-малко от делителя, така че можете безопасно да продължите да извършвате необходимите действия.

Под хоризонталната линия вдясно от наличното там число записваме числото 2, тъй като то е в записа на дивидента 5 562 в тази колона:

Сега работим с числото 1442, избираме го и отново преминаваме през стъпки две до четири.

Умножаваме делителя 206 по 0, 1, 2, 3, ... докато получим числото 1442 или число, което е по-голямо от 1442. Да тръгваме: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Изваждаме по колона, получаваме нула, но не я записваме веднага, а само запомняме позицията й, защото не знаем дали делението свършва тук, или ще трябва да повторим стъпките от алгоритъма отново:

Сега виждаме, че под хоризонталната линия вдясно от запомнената позиция не можем да запишем никакво число, тъй като в записа на дивидента в тази колона няма числа. Следователно това разделяне по колона приключи и ние допълваме записа: