Kako pronaći visinu trougla koristeći trokut. Visina trougla

Izračunavanje visine trokuta ovisi o samoj figuri (jednakokračna, jednakostranična, razmjerna, pravokutna). U praktičnoj geometriji složene formule se po pravilu ne nalaze. Dovoljno je poznavati opći princip proračuna kako bi mogao biti univerzalno primjenjiv na sve trouglove. Danas ćemo vas upoznati sa osnovnim principima izračunavanja visine figure, formulama za izračunavanje na osnovu svojstava visina trokuta.

Šta je visina?

Visina ima nekoliko karakterističnih svojstava

1. Tačka u kojoj se spajaju sve visine naziva se ortocentar. Ako je trokut šiljast, ortocentar se nalazi unutar figure, ako je jedan od uglova tup, tada se ortocentar, u pravilu, nalazi izvana.
2. U trouglu gdje je jedan ugao 90°, ortocentar i vrh se poklapaju.
3. Ovisno o vrsti trokuta, postoji nekoliko formula za određivanje visine trokuta.

Tradicionalno računarstvo

1. Ako je p polovina perimetra, tada su a, b, c oznake stranica tražene figure, h je visina, tada će prva i najjednostavnija formula izgledati ovako: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
2. U školskim udžbenicima često možete pronaći zadatke u kojima je poznata vrijednost jedne od stranica trougla i veličina ugla između ove stranice i osnovice. Tada će formula za izračunavanje visine izgledati ovako: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Kada se zada površina trokuta - S, kao i dužina baze - a, tada će proračuni biti što jednostavniji. Visina se nalazi pomoću formule: h = 2S/a.
4. Kada je zadan poluprečnik kružnice opisane oko figure, prvo izračunamo dužine njene dve strane, a zatim prelazimo na izračunavanje date visine trougla. Da bismo to učinili, koristimo formulu: h = b ∙ c/2R, gdje su b i c dvije strane trougla koje nisu osnova, a R je polumjer.

Sve strane ove figure su jednake, njihove dužine su jednake, stoga će i uglovi u osnovi biti jednaki. Iz ovoga slijedi da će i visine koje crtamo na osnovicama biti jednake, one su istovremeno i medijane i simetrale. Jednostavno rečeno, visina u jednakokračnom trouglu dijeli bazu na dva dijela. Trougao sa pravim uglom, koji se dobije nakon iscrtavanja visine, razmatraćemo pomoću Pitagorine teoreme. Označimo stranu kao a, a osnovu kao b, tada je visina h = ½ √4 a2 − b2.

Kako pronaći visinu jednakostraničnog trougla?

Formula za jednakostranični trokut (figura gdje su sve strane jednake veličine) može se pronaći na osnovu prethodnih proračuna. Potrebno je samo izmjeriti dužinu jedne od stranica trokuta i označiti je kao a. Tada se visina izvodi po formuli: h = √3/2 a.

Kako pronaći visinu pravouglog trougla?

Kao što znate, ugao u pravokutnom trokutu je 90°. Visina spuštena za jednu stranu ujedno je i druga strana. Na njima će ležati visine trougla sa pravim uglom. Da biste dobili podatke o visini, morate malo transformirati postojeću Pitagorinu formulu, označavajući noge - a i b, a također i mjerenje dužine hipotenuze - c.

Nađimo dužinu kraka (stranu na koju će visina biti okomita): a = √ (c2 − b2). Dužina drugog kraka se nalazi koristeći potpuno istu formulu: b =√ (c2 − b2). Nakon toga možete početi izračunavati visinu trokuta s pravim kutom, nakon što ste prvo izračunali površinu figure - s. Vrijednost visine h = 2s/a.

Proračuni sa skaliranim trouglom

Kada skalirani trokut ima oštre uglove, vidljiva je visina spuštena na osnovu. Ako trokut ima tup ugao, tada visina može biti izvan figure i morate je mentalno nastaviti da biste dobili tačku spajanja visine i osnove trokuta. Najlakši način za mjerenje visine je da je izračunate kroz jednu od stranica i veličinu uglova. Formula je sljedeća: h = b sin y + c sin ß.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Da biste riješili mnoge geometrijske probleme, morate pronaći visinu date figure. Ovi zadaci imaju praktičan značaj. Prilikom izvođenja građevinskih radova, određivanje visine pomaže u izračunavanju potrebne količine materijala, kao i utvrđivanju koliko su precizno napravljene kosine i otvori. Često, da biste kreirali uzorke, morate imati ideju o svojstvima

Mnogi ljudi, uprkos dobrim ocjenama u školi, prilikom konstruiranja običnih geometrijskih figura, imaju pitanje kako pronaći visinu trokuta ili paralelograma. I to je najteže. To je zato što trokut može biti oštar, tup, jednakokračan ili pravi. Svaki od njih ima svoja pravila konstrukcije i proračuna.

Kako grafički pronaći visinu trougla u kojem su svi uglovi oštri

Ako su svi uglovi trokuta oštri (svaki ugao u trokutu je manji od 90 stepeni), onda da biste pronašli visinu morate da uradite sledeće.

1. Koristeći date parametre, konstruišemo trokut.
2. Hajde da uvedemo neke oznake. A, B i C će biti vrhovi figure. Uglovi koji odgovaraju svakom vrhu su α, β, γ. Stranice nasuprot ovim uglovima su a, b, c.
3. Visina je okomita povučena iz vrha ugla na suprotnu stranu trougla. Da bismo pronašli visine trougla, konstruišemo okomite: od vrha ugla α na stranu a, od vrha ugla β na stranicu b, itd.
4. Označimo točku preseka visine i stranice a kao H1, a samu visinu kao h1. Točka presjeka visine i stranice b bit će H2, odnosno visina h2. Za stranu c, visina će biti h3, a tačka presjeka će biti H3.

Visina u trouglu sa tupim uglom

Pogledajmo sada kako pronaći visinu trougla ako postoji (više od 90 stepeni). U ovom slučaju, visina povučena iz tupog ugla biće unutar trougla. Preostale dvije visine će biti izvan trougla.

Neka su uglovi α i β u našem trouglu oštri, a ugao γ tup. Zatim, za konstruisanje visina koje dolaze iz uglova α i β, potrebno je nastaviti stranice trokuta nasuprot njima kako bi se povukle okomite.

Kako pronaći visinu jednakokračnog trougla

Takva figura ima dvije jednake stranice i osnovu, dok su uglovi u osnovi također jednaki. Ova jednakost stranica i uglova olakšava konstruisanje visina i njihovo izračunavanje.

Prvo, nacrtajmo sam trougao. Neka su stranice b i c, kao i uglovi β, γ jednaki.

Sada nacrtajmo visinu iz vrha ugla α, označavajući ga h1. Za ovu visinu bit će i simetrala i medijana.

Za temelj se može napraviti samo jedna konstrukcija. Na primjer, nacrtajte medijan - segment koji povezuje vrh jednakokračnog trokuta i suprotnu stranu, bazu, da biste pronašli visinu i simetralu. A da biste izračunali dužinu visine za druge dvije strane, možete konstruirati samo jednu visinu. Dakle, da bismo grafički odredili kako izračunati visinu jednakokračnog trougla, dovoljno je pronaći dvije od tri visine.

Kako pronaći visinu pravouglog trougla

Za pravokutni trokut određivanje visina je mnogo lakše nego za druge. To se događa zato što same noge čine pravi ugao i stoga su visine.

Za konstruiranje treće visine, kao i obično, povlači se okomica koja povezuje vrh pravog ugla i suprotnu stranu. Kao rezultat toga, da bi se u ovom slučaju stvorio trokut, potrebna je samo jedna konstrukcija.

Kako pronaći najveću ili najmanju visinu trougla? Što je manja visina trougla, veća je visina povučena do njega. Odnosno, najveća visina trougla je ona povučena prema njegovoj najmanjoj strani. - onaj povučen na najveću stranicu trougla.

Da pronađemo najveću visinu trougla , površina trokuta se može podijeliti dužinom stranice na koju je povučena ova visina (odnosno, dužinom najmanje stranice trokuta).

Shodno tome, d Da pronađemo najmanju visinu trougla Površinu trokuta možete podijeliti dužinom njegove najduže stranice.

Zadatak 1.

Pronađite najmanju visinu trougla čije su stranice 7 cm, 8 cm i 9 cm.

Dato:

AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.

Pronađite: najmanju visinu trougla.

Rješenje:

Najmanja visina trougla je ona povučena do njegove najduže stranice. To znači da trebamo pronaći visinu AF povučenu na stranu BC.

Radi lakšeg označavanja, uvodimo notaciju

BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.

Visina trokuta jednaka je količniku dvostruke površine trokuta podijeljenom stranom na koju je povučena ta visina. može se pronaći pomoću Heronove formule. Zato

Računamo:

odgovor:

Zadatak 2.

Pronađite najdužu stranicu trougla sa stranicama 1 cm, 25 cm i 30 cm.

Dato:

AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.

Pronađite:

najveća visina trougla ABC.

Rješenje:

Najveća visina trougla povučena je do njegove najkraće stranice.

To znači da trebamo pronaći visinu CD povučenu na stranu AB.

Radi praktičnosti, označimo

Prilikom rješavanja raznih vrsta zadataka, kako čisto matematičke tako i primijenjene prirode (posebno u građevinarstvu), često je potrebno odrediti vrijednost visine određene geometrijske figure. Kako izračunati ovu vrijednost (visinu) u trokutu?

Ako kombiniramo 3 točke u paru koje se ne nalaze na jednoj liniji, onda će rezultirajuća figura biti trokut. Visina je dio prave linije iz bilo kojeg vrha figure koji, kada se siječe sa suprotnom stranom, formira ugao od 90°.

Odredite visinu razmjernog trougla

Odredimo vrijednost visine trokuta u slučaju kada figura ima proizvoljne uglove i stranice.

Heronova formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, gdje je

p – polovina perimetra figure, h(a) – segment na strani a, nacrtan pod pravim uglom na nju,

p=(a+b+c)/2 – proračun poluperimetra.

Ako postoji površina figure, možete koristiti odnos h(a)=2S/a da odredite njegovu visinu.

Trigonometrijske funkcije

Da biste odredili dužinu segmenta koji formira pravi ugao kada se siječe sa stranicom a, možete koristiti sljedeće relacije: ako su poznati stranica b i ugao γ ili stranica c i ugao β, tada je h(a)=b*sinγ ili h(a)=c *sinβ.
gdje:
γ – ugao između stranica b i a,
β je ugao između stranica c i a.

Odnos sa radijusom

Ako je originalni trokut upisan u krug, možete koristiti radijus takvog kruga da odredite visinu. Njegov centar se nalazi u tački gdje se sijeku sve 3 visine (iz svakog vrha) - ortocentar, a udaljenost od njega do vrha (bilo kojeg) je polumjer.

Tada je h(a)=bc/2R, gdje je:
b, c – 2 druge strane trougla,
R je polumjer kružnice koja opisuje trokut.

Pronađite visinu u pravokutnom trokutu

U ovoj vrsti geometrijske figure, 2 strane, kada se ukrštaju, formiraju pravi ugao - 90°. Stoga, ako želite odrediti vrijednost visine u njemu, tada morate izračunati ili veličinu jedne od nogu, ili veličinu segmenta koji formira 90° s hipotenuzom. Prilikom određivanja:
a, b – noge,
c – hipotenuza,
h(c) – okomito na hipotenuzu.
Možete napraviti potrebne proračune koristeći sljedeće odnose:

• Pitagorina teorema:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, jer S=ab/2, tada je h(c)=ab/c.

• Trigonometrijske funkcije:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=s* sinβ* cosβ.

Pronađite visinu jednakokračnog trougla

Ova geometrijska figura odlikuje se prisustvom dvije strane jednake veličine i treće - baze. Za određivanje visine povučene do treće, različite strane, u pomoć dolazi Pitagorina teorema. Sa notacijom
a – strana,
c – baza,
h(c) je segment na c pod uglom od 90°, tada je h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).