Zakon logike lijepljenja. Osnove algebre logike

Čas informatike namijenjen je učenicima 10. razreda opšteobrazovne škole, čiji nastavni plan i program uključuje dio „Algebra logike“. Ova tema je veoma teška za učenike, pa sam kao nastavnik želeo da ih zainteresujem da proučavaju zakone logike, pojednostavljuju logičke izraze i sa interesovanjem pristupaju rešavanju logičkih zadataka. U uobičajenom obliku, držanje lekcija na ovu temu je zamorno i problematično, a neke definicije djeci nisu uvijek jasne. U vezi sa obezbjeđivanjem informativnog prostora, imao sam priliku da svoje lekcije postavim u ljusku za učenje. Učenici, nakon što su se registrovali, mogu u slobodno vrijeme pohađati ovaj kurs i ponovo pročitati ono što nije bilo jasno na lekciji. Neki učenici, koji su zbog bolesti propustili nastavu, nadoknađuju propuštenu temu kod kuće ili u školi i uvijek su spremni za sljedeći čas. Ovakav oblik nastave itekako je odgovarao brojnoj djeci, a oni zakoni koji su im bili nerazumljivi sada se mnogo lakše i brže uče u kompjuterskom obliku. Nudim jednu od ovih lekcija iz informatike, koja se izvodi integrativno sa IKT.

Plan lekcije

1. Objašnjenje novog gradiva, uz učešće računara - 25 minuta.
2. Osnovni koncepti i definicije izloženi u "učenju" - 10 minuta.
3. Materijal za radoznale - 5 minuta.
4. Domaća zadaća - 5 minuta.

1. Objašnjenje novog materijala

Zakoni formalne logike

Najjednostavnije i najneophodnije prave veze između misli izražene su u osnovnim zakonima formalne logike. To su zakoni identiteta, nekontradikcije, isključene sredine, dovoljnog razloga.

Ovi zakoni su fundamentalni jer u logici igraju posebno važnu ulogu, oni su najopštiji. Oni vam omogućavaju da pojednostavite logičke izraze i izgradite zaključke i dokaze. Prva tri od navedenih zakona identifikovao je i formulisao Aristotel, a zakon dovoljnog razloga - G. Leibniz.

Zakon identiteta: u procesu određenog rasuđivanja svaki pojam i sud moraju biti identični sami sebi.

Zakon nekontradikcije: nemoguće je da jedno te isto oko u isto vrijeme bude i ne bude svojstveno istoj stvari u istom pogledu. Odnosno, nemoguće je u isto vrijeme nešto potvrditi i poreći.

Zakon isključene sredine: od dvije kontradiktorne tvrdnje, jedna je istinita, druga je lažna, a treća nije data.

Zakon dovoljnog razloga: Svaka istinita misao mora biti dovoljno opravdana.

Posljednji zakon kaže da dokaz nečega pretpostavlja opravdanje tačno i samo istinitih misli. Lažne misli se ne mogu dokazati. Postoji dobra latinska poslovica: "Griješiti je uobičajeno za svakog čovjeka, ali samo budala treba insistirati na grešci." Ne postoji formula za ovaj zakon, jer ima samo materijalni karakter. Kao argumenti za potvrdu istinite misli mogu se koristiti istiniti sudovi, činjenični materijal, statistički podaci, zakoni nauke, aksiomi, dokazane teoreme.

Zakoni propozicione algebre

Algebra propozicija (algebra logike) je dio matematičke logike koji proučava logičke operacije nad propozicijama i pravila za transformaciju složenih propozicija.

Prilikom rješavanja mnogih logičkih problema često je potrebno pojednostaviti formule dobijene formalizacijom njihovih uslova. Pojednostavljenje formula u algebri iskaza vrši se na osnovu ekvivalentnih transformacija zasnovanih na osnovnim logičkim zakonima.

Zakoni algebre propozicija (algebra logike) su tautologije.

Ponekad se ovi zakoni nazivaju teoremama.

U propozicionoj algebri, logički zakoni se izražavaju kao jednakost ekvivalentnih formula. Među zakonima se posebno izdvajaju oni koji sadrže jednu varijablu.

Prva četiri od sljedećih zakona su osnovni zakoni propozicione algebre.

Zakon o identitetu:

Svaki pojam i sud je identičan sebi.

Zakon identiteta znači da se u procesu zaključivanja ne može zamijeniti jedna misao drugom, jedan koncept drugim. Ako se prekrši ovaj zakon, moguće su logičke greške.

Na primjer, diskusija Tačno kažu da će te jezik dovesti u Kijev, ali ja sam juče kupio dimljeni jezik, što znači da sada mogu bezbedno da idem u Kijev netačno, jer prva i druga riječ "jezik" označavaju različite koncepte.

U raspravi: Kretanje je vječno. Polazak u školu je pokret. Dakle, polazak u školu je zauvek riječ "kretanje" koristi se u dva različita značenja (prvi - u filozofskom smislu - kao atribut materije, drugi - u običnom smislu - kao radnja kretanja u prostoru), što dovodi do pogrešnog zaključka.

Zakon neprotivrečnosti:

Propozicija i njena negacija ne mogu biti istiniti u isto vrijeme. Odnosno, ako je izjava A je istinito, onda njegova negacija ne A mora biti netačan (i obrnuto). Tada će njihov proizvod uvijek biti lažan.

Upravo se ta jednakost često koristi kada se pojednostavljuju složeni logički izrazi.

Ponekad se ovaj zakon formuliše na sljedeći način: dvije izjave koje su jedna drugoj u suprotnosti ne mogu biti istinite u isto vrijeme. Primjeri nepoštivanja zakona protivrečnosti:

1. Ima života na Marsu i nema života na Marsu.

2. Olya je završila srednju školu i ide u 10. razred.

Zakon isključene sredine:

U istom trenutku, izjava može biti istinita ili lažna, trećeg nema. Tačno bilo A, ili ne A. Primjeri primjene zakona isključene sredine:

1. Broj 12345 je paran ili neparan, trećeg nema.

2. Kompanija posluje sa gubitkom ili rentabilnošću.

3. Ova tečnost može ili ne mora biti kiselina.

Zakon isključene sredine nije zakon koji svi logičari priznaju kao univerzalni zakon logike. Ovaj zakon se primjenjuje tamo gdje se znanje bavi krutom situacijom: "ili - ili", "tačno-netačno". Tamo gdje postoji neizvjesnost (na primjer, u razmišljanju o budućnosti), zakon isključene sredine često se ne može primijeniti.

Razmotrite sljedeću izjavu: Ova sugestija je lažna. To ne može biti istinito jer tvrdi da je lažno. Ali ni to ne može biti lažno, jer bi onda bilo istinito. Ova tvrdnja nije ni tačna ni lažna, pa je stoga prekršen zakon isključene sredine.

Paradoks(grč. paradoxos - neočekivan, čudan) u ovom primjeru proizlazi iz činjenice da se rečenica odnosi na samu sebe. Još jedan poznati paradoks je problem frizera: U jednom gradu frizer šiša sve stanovnike, osim onih koji sami šišaju kosu. Ko šiša frizera? U logici, zbog svoje formalnosti, nije moguće dobiti oblik takvog samoreferencijalnog iskaza. Ovo još jednom potvrđuje ideju da je uz pomoć algebre logike nemoguće izraziti sve moguće misli i argumente. Hajde da pokažemo kako se, na osnovu definicije iskazne ekvivalencije, mogu dobiti ostali zakoni propozicione algebre.

Na primjer, hajde da definiramo šta je ekvivalentno (ekvivalentno) A(dva puta br A, tj. negacija negacije A). Da bismo to uradili, napravićemo tabelu istine:

Po definiciji ekvivalencije, moramo pronaći kolonu čije vrijednosti odgovaraju vrijednostima kolone A. Ovo će biti kolona A.

Dakle, možemo formulisati dvostruki zakonnegacije:

Ako dvaput negiramo neki iskaz, onda je rezultat originalni iskaz. Na primjer, izjava A= Matroskin- mačka je ekvivalentno reći O = Nije tačno da Matroskin nije mačka.

Slično, sljedeći zakoni se mogu izvesti i provjeriti:

Konstantna svojstva:

Zakoni idempotencije:

Bez obzira koliko puta ponavljamo: TV uključen ili TV uključen ili TV uključen... značenje rečenice se neće promeniti. Isto tako od ponavljanja Napolju je toplo, napolju je toplo... ni stepen toplije.

Zakoni komutativnosti:

A v B = B v A

A & B = B & A

operandi A I IN u operacijama disjunkcije i konjunkcije mogu se zamijeniti.

Zakoni asocijativnosti:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ako izraz koristi samo operaciju disjunkcije ili samo operaciju konjunkcije, tada možete zanemariti zagrade ili ih proizvoljno rasporediti.

Zakoni o distribuciji:

A v (B & C) = (A v B) &(A v C)

(distributivna disjunkcija
u vezi veznika)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(distributivnost veznika
u vezi disjunkcije)

Distributivni zakon konjunkcije u odnosu na disjunkciju sličan je distributivnom zakonu u algebri, ali zakon distributivne disjunkcije u odnosu na konjunkciju nema analoga, on vrijedi samo u logici. Stoga to treba dokazati. Dokaz je najbolje izvesti pomoću tabele istinitosti:

Zakoni apsorpcije:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Provedite sami dokaz zakona o apsorpciji.

De Morganovi zakoni:

Verbalne formulacije de Morganovih zakona:

Mnemoničko pravilo: na lijevoj strani identiteta, operacija negacije stoji iznad cijelog iskaza. Na desnoj strani izgleda da je slomljena i negacija stoji iznad svakog od jednostavnih iskaza, ali se u isto vrijeme operacija mijenja: disjunkcija u konjunkciju i obrnuto.

Primjeri implementacije de Morganovog zakona:

1) Izjava Nije tačno da znam arapski ili kineski je identična izjavi Ne znam arapski i ne znam kineski.

2) Izjava Nije istina da sam naučio lekciju i dobio D je identična izjavi Ili nisam naučio lekciju, ili nisam dobio peticu.

Zamjena operacija implikacije i ekvivalencije

Operacije implikacije i ekvivalencije ponekad nisu među logičkim operacijama određenog računara ili kompajlera iz programskog jezika. Međutim, ove operacije su neophodne za rješavanje mnogih problema. Postoje pravila za zamjenu ovih operacija nizovima operacija negacije, disjunkcije i konjunkcije.

Dakle, zamijenite operaciju implikacije moguće prema sljedećem pravilu:

Za zamjenu operacije ekvivalencija postoje dva pravila:

Lako je provjeriti valjanost ovih formula konstruiranjem tablica istinitosti za desnu i lijevu stranu oba identiteta.

Poznavanje pravila za zamjenu operacija implikacije i ekvivalencije pomaže, na primjer, da se ispravno konstruiše negacija implikacije.

Razmotrite sljedeći primjer.

Neka se da izjava:

E = Nije tačno da ću dobiti nagradu ako pobijedim na takmičenju.

Neka A= Ja ću pobijediti na takmičenju

B = Dobiću nagradu.

Dakle, E = ja ću pobijediti na takmičenju, ali neću dobiti nagradu.

Zanimljiva su i sljedeća pravila:

Njihovu validnost možete dokazati i pomoću tablica istinitosti.

Zanimljivo je njihovo izražavanje na prirodnom jeziku.

Na primjer, fraza

Ako je Winnie the Pooh jeo med, onda je sit

je identična frazi

Ako Winnie the Pooh nije sit, onda nije jeo med.

vježba: razmislite o frazama-primjerima o ovim pravilima.

2. Osnovni pojmovi i definicije u Aneksu 1

3. Materijal za radoznale u Dodatku 2

4. Domaći

1) Naučite zakone logike koristeći kurs Algebra logike koji se nalazi u informacionom prostoru (www.learning.9151394.ru).

2) Provjerite dokaz De Morganovih zakona na PC-u tako što ćete konstruirati tabelu istinitosti.

Prijave

1. Osnovni koncepti i definicije (

Za transformaciju funkcija, pojednostavljenje formula dobijenih formalizacijom uslova logičkih problema, izvode se ekvivalentne transformacije u algebri logike, na osnovu osnovnih logičkih zakona. Neki od ovih zakona su formulisani i napisani na isti način kao slični zakoni u aritmetici i algebri, drugi izgledaju neobično.

Ponekad se nazivaju zakoni algebre logike teoreme.

U propozicionoj algebri, logički zakoni se izražavaju kao jednakost ekvivalentnih formula.

Valjanost svih zakona može se provjeriti konstruiranjem tablica istinitosti za lijevi i desni dio pisanog zakona. Nakon pojednostavljenja izraza korištenjem zakona algebre logike, tablice istinitosti su iste.

Valjanost nekih zakona može se dokazati korištenjem alata tablica istinitosti.

Slika 1.

Primjeri

Slika 3

Pojednostavimo originalni izraz koristeći osnovne zakone algebre logike:

Slika 4

(De Morganov zakon, distributivni zakon za I, zakon idempotencije, operacija varijable sa njenom inverzijom).

Tabela pokazuje da za sve skupove vrijednosti varijabli $x$ i $y$, formula na slici 2 uzima vrijednost $1$, odnosno identično je tačna.

Slika 6

Iz tabele se može vidjeti da izvorni izraz uzima iste vrijednosti kao i pojednostavljeni izraz na odgovarajućim vrijednostima varijabli $x$ i $y$.

Pojednostavimo izraz na slici 5 primjenom osnovnih zakona algebre logike.

Slika 7

(De Morganov zakon, zakon apsorpcije, distributivni zakon za I).

Slika 9

Tabela pokazuje da za sve skupove vrijednosti varijabli $x$ i $y$, formula na slici 8 uzima vrijednost $0$, odnosno identično je netačna.

Pojednostavimo izraz primjenom zakona algebre logike:

Slika 10.

Slika 12.

(De Morganov zakon, distributivni).

Napravimo tabelu istinitosti za izraz na slici 11:

Slika 13.

Iz tabele se može videti da izraz na slici 11 u nekim slučajevima poprima vrednost $1$, au nekim - $0$, odnosno izvodljiv.

(de Morganovo pravilo, izvlačimo zajednički faktor, pravilo operacija varijable sa njenom inverzijom).

(ponavlja se drugi faktor, što je moguće po zakonu idempotenta; zatim se kombinuju prva dva i poslednja dva faktora i koristi se zakon lepljenja).

(uvodimo pomoćni logički faktor

Postoji pet zakona algebre logike:

1. Zakon pojedinačnih elemenata

1*X=X
0*X=0
1+X=1
0 + X = X

Ovaj zakon algebre logike direktno slijedi iz gornjih izraza aksioma algebre logike.

Gornja dva izraza mogu biti korisna pri izgradnji prekidača, jer primjenom logičke nule ili jedan na jedan od ulaza elementa “2I” možete ili prenijeti signal na izlaz, ili formirati nulti potencijal na izlazu.

Druga upotreba ovih izraza je mogućnost selektivnog nuliranja određenih cifara višecifrenog broja. Uz bitnu primjenu operacije "I", možete ostaviti prethodnu vrijednost cifre ili je resetirati primjenom jedinice ili nulte potencijala na odgovarajuće znamenke. Na primjer, potrebno je resetirati cifre 6, 3 i 1. onda:

U gornjem primjeru korištenja zakona algebre logike, jasno se vidi da se za nuliranje potrebnih znamenki u maski (niži broj), nule upisuju na mjesto odgovarajućih cifara, a jedinice u preostale cifre. U originalnom broju (gornji broj) nalaze se jedinice umjesto 6 i 1 cifara. Nakon izvođenja operacije "I", na ovim mjestima se pojavljuju nule. Umjesto treće cifre u originalnom broju je nula. U rezultirajućem broju, nula je također prisutna na ovom mjestu. Preostale cifre, kako to zahtijeva uvjet problema, se ne mijenjaju.

Na isti način, uz pomoć zakona pojedinačnih elemenata, jednog od osnovnih zakona algebre logike, možemo pisati jedinice u ciframa koje su nam potrebne. U ovom slučaju potrebno je koristiti dva donja izraza zakona pojedinačnih elemenata. Uz bitnu primjenu operacije "ILI", možete ostaviti prethodnu vrijednost cifre ili je resetirati primjenom nulte ili jedinice potencijala na odgovarajuće znamenke. Neka je potrebno pisati jedinice u 7 i 6 bitova broja. onda:

Ovdje u masku (donji broj) upisali smo jedinice u sedmom i šestom bitu. Preostali bitovi sadrže nule, pa stoga ne mogu promijeniti početno stanje originalnog broja, što vidimo u rezultirajućem broju ispod linije.

Prvi i posljednji izraz zakona pojedinačnih elemenata omogućavaju korištenje sa više ulaza kao logičkih elemenata sa manje ulaza. Da biste to učinili, neiskorišteni ulazi u krugu "I" moraju biti povezani na izvor napajanja, kao što je prikazano na slici 1:

Slika 1. Šema "2I-NOT" implementirana na logičkom elementu "3I-NOT"

Istovremeno, neiskorišteni ulazi u "ILI" kolu, u skladu sa zakonom pojedinačnih elemenata, moraju biti povezani na zajedničku žicu kola, kao što je prikazano na slici 2.

Slika 2. Kolo "NE" implementirano na elementu "2I-NOT".

Sljedeći zakoni algebre logike, koji slijede iz aksioma algebre logike, su zakoni negacije.

2. Zakoni negacije

a. Zakon komplementarnih elemenata

Izrazi ovog zakona algebre logike se široko koriste za minimiziranje logičkih kola. Ako je moguće izolirati takve podizraze iz općeg izraza logičke funkcije, onda je moguće smanjiti potreban broj ulaza elemenata digitalnog kola, a ponekad čak i svesti cijeli izraz na logičku konstantu.

Drugi široko korišteni zakon algebre logike je zakon dvostruke negacije.

b. Dva puta br

Zakon dvostruke negacije koristi se kako za pojednostavljenje logičkih izraza (i kao rezultat pojednostavljenja i smanjenja cijene digitalnih kombinatornih kola), tako i za eliminaciju inverzije signala nakon takvih logičkih elemenata kao što su "2I-NOT" i "2OR- NE". U ovom slučaju, zakoni algebre logike omogućavaju implementaciju datih digitalnih kola korištenjem ograničenog skupa logičkih elemenata.

c. Zakon negativne logike

Zakon negativne logike vrijedi za bilo koji broj varijabli. Ovaj zakon algebre logike vam omogućava da implementirate pomoću logičkih elemenata "ILI" i obrnuto: da implementirate logičku funkciju "ILI" koristeći logičke elemente "AND". Ovo je posebno korisno u TTL krugovima, jer je lako implementirati AND kapije, ali je prilično teško implementirati ILI kapije. Zahvaljujući zakonu negativne logike, moguće je implementirati elemente "ILI" na logičke elemente "AND". Slika 3 prikazuje implementaciju logičkog elementa "2OR" na elementu " " i dva pretvarača.

Slika 3. Logički element "2ILI" implementiran na elementu "2I-NOT" i dva pretvarača

Isto se može reći i za shemu montaže "ILI". Ako je potrebno, može se pretvoriti u montažni "I" korištenjem pretvarača na ulazu i izlazu ovog kola.

3. Kombinacijski zakoni

Kombinacijski zakoni algebre logike u velikoj mjeri odgovaraju kombinacijskim zakonima obične algebre, ali postoje i razlike.

a. zakon tautologije (višestruko ponavljanje)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Ovaj zakon algebre logike dozvoljava da se logička kapija sa više ulaza koristi kao kapija sa manje ulaza. Na primjer, možete implementirati kolo s dva ulaza "2I" na logičkom elementu "3I", kao što je prikazano na slici 4:

Slika 4. Šema "2I-NOT" implementirana na logičkom elementu "3I-NOT"

ili koristite krug "2NAND-NOT" kao normalan inverter, kao što je prikazano na slici 5:

Slika 5. "NE" kolo implementirano na logičkom elementu "2I-NOT"

Međutim, treba upozoriti da se kombinovanjem više ulaza povećavaju ulazne struje logičkog elementa i njegov kapacitet, što povećava potrošnju struje prethodnih elemenata i negativno utiče na brzinu digitalnog kola u celini.

Da biste smanjili broj ulaza u logičkom elementu, bolje je koristiti drugi zakon algebre logike - zakon pojedinačnih elemenata, kao što je gore prikazano.

Nastavljamo sa razmatranjem zakona algebre logike:

b. zakon pokretljivosti

A + B + C + D = A + C + B + D

c. zakon kombinacije

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

d. zakon o distribuciji

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /dokažimo to širenjem zagrada/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Pravilo apsorpcije (jedna varijabla apsorbira druge)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

5. Pravilo lijepljenja (izvodi samo jedna varijabla)

Kao iu običnoj matematici, u algebri logike postoji prednost operacija. Ovo se prvo radi:

1. Radnja u zagradama
2. Operacija sa jednim operandom (jedna operacija) - "NE"
3. Veznik - "i"
4. Disjunkcija - "ILI"
5. Zbroj po modulu dva.

Operacije istog ranga izvode se s lijeva na desno redoslijedom kojim je napisan logički izraz. Algebra logike je linearna i za nju važi princip superpozicije.

književnost:

Zajedno sa člankom "Zakoni algebre logike" čitaju:

Svako logičko kolo bez memorije je u potpunosti opisano tablicom istinitosti... Za implementaciju tablice istinitosti, dovoljno je uzeti u obzir samo te redove...
http://website/digital/SintSxem.php

Dekoderi (dekoderi) vam omogućavaju da pretvorite jednu vrstu binarnog koda u drugu. Na primjer...
http://website/digital/DC.php

Često se programeri digitalne opreme suočavaju sa suprotnim problemom. Želite konvertovati oktalni ili decimalni linijski kod u...
http://website/digital/coder.php

Multiplekseri su uređaji koji vam omogućavaju da povežete nekoliko ulaza na jedan izlaz...
http://website/digital/MS.php

Uređaji se zovu demultiplekseri ... Značajna razlika od multipleksera je ...
http://website/digital/DMS.php

Ako uzmemo u obzir primjenu propozicionog računa za analizu i optimizaciju kontaktno-relejnih kola, kola automatizacije i drugih aplikacija, i saznanja. da smanjenje broja elemenata i/ili veza dovodi do povećanja pouzdanosti uređaja koji koriste ova kola, onda postaje očigledno da je važno proučavati takve formule u diskretnoj matematici, koje omogućavaju optimizaciju same formule.

Zakoni koji omogućavaju redukciju elemenata i operacija logičkih propozicija uključuju zakone apsorpcije i lijepljenja.

Zakon apsorpcije:

za logicno sabiranje: A  (A & B) = A ;

za logičko množenje: A & (A  B) = A .

Poznavanje zakona logike omogućava vam da provjerite ispravnost zaključivanja i dokaza. Na osnovu zakona, možete pojednostaviti složene logičke izraze. Ovaj proces zamjene složene logičke funkcije jednostavnijom, ali ekvivalentnom funkcijom naziva se minimizacija funkcije.

Neke transformacije logičkih formula su slične transformacijama formula u običnoj algebri (stavljanje zajedničkog faktora u zagrade, korištenje komutativnih i asocijativnih zakona, itd.), druge su zasnovane na svojstvima koja obične algebarske operacije nemaju (koristeći zakon distribucije za konjukciju, zakoni apsorpcije, vezivanja, de Morgan, itd.).

Kršenja zakona logike dovode do logičkih grešaka i kontradikcija koje iz toga proizlaze.

8. Pravilo lijepljenja

; (2.11)
. (2.12) Dokaz (2.11): . Dokaz (2.12):

9. Zakon generalizovanog lepljenje . (2.13) . (2.14) Dokazi (2.13): Dokaz (2.14). Otvaramo zagrade prvo na lijevoj strani jednakosti (2.14), a zatim na njenoj desnoj strani. ; .

9. De Morganovo pravilo

De Morganovi zakoni (de Morgan pravila) - logička pravila koja povezuju parove dualnih logičkih operatora koristeći logičku negaciju.

Istorija i definicija

Augustus de Morgan je prvobitno primijetio da sljedeće relacije vrijede u klasičnoj propozicionalnoj logici:

ne (P i Q) = (ne P) ili (ne Q)

ne (P ili Q) = (ne P) i (ne Q)

Uobičajena notacija ovih zakona u formalnoj logici je:

u teoriji skupova:

De Morganove formule su primjenjive za bilo koji broj argumenata. Oni ilustruju duboku međusobnu simetriju AND i OR operacija: ako AND operacija selektivno reaguje na podudarnost direktnih signala, tada operacija ILI takođe selektivno reaguje na podudarnost njihovih inverzija. Element OR je transparentan za bilo koji signal, element AND - za bilo koju inverziju. Koristeći de Morganove formule, lako se mogu prevesti logička kola iz osnove NE, I, ILI, u kojoj je osoba najnaviknija razmišljati i sastavljati početne logičke izraze, u invertne baze, koje se najefikasnije implementiraju integriranom tehnologijom.

10. Arrow Pierce

Probijte strelicu (logično "ILI-NE") izjave a I b je nova tvrdnja koja će biti istinita ako i samo ako su obje tvrdnje netačne.

Pierceov znak strelice je ↓

Vrijednosti funkcije probijati strelice predstavljeno u tabeli:

Logički element operacije probijati strelice je:

Arrow Pierce- binarna logička operacija, boolean funkcija nad dvije varijable. Uveo Charles Peirce 1880-1881.

Pierceova strelica, koja se obično označava ↓, ekvivalentna je operaciji NOR i data je sljedećom tablicom istinitosti:

Dakle, izjava "X ↓ Y" znači "ni X ni Y". Promjena mjesta operanada ne mijenja rezultat operacije.

		X ↓ Y

11. Schaefferov moždani udar- binarna logička operacija, Boolean funkcija nad dvije varijable. Uveo Henry Schaeffer 1913. (koji se u nekim izvorima pominje kao Chulkovova tačkasta linija) Schaefferov potez, obično označen |, ekvivalentan je NAND operaciji i dat je sljedećom tablicom istinitosti:

Dakle, iskaz X | Y znači da su X i Y nekompatibilni, tj. nisu tačni u isto vreme. Promjena mjesta operanada ne mijenja rezultat operacije. Schaefferov prosti, poput Pierceove strelice, čini osnovu za prostor Booleovih funkcija dvije varijable. To jest, koristeći samo Schaefferov potez, možete izgraditi ostale operacije. Na primjer,

-negacija

Disjunkcija

Konjunkcija

Konstantno 1

U elektronici to znači da je jedan tipičan element dovoljan za implementaciju čitavog niza šema konverzije signala koje predstavljaju logičke vrijednosti. S druge strane, ovaj pristup povećava složenost kola koja implementiraju logičke izraze i time smanjuje njihovu pouzdanost. Primjer je industrijska serija 155.

Element 2I-NOT (2-in NAND) koji implementira Schaefferov hod označen je na sljedeći način (prema ANSI standardima):

U evropskim standardima usvojena je drugačija oznaka:

12. Diodni ključevi. Opće informacije. Elektronski ključ je uređaj koji može biti u jednom od dva stabilna stanja: zatvoreno ili otvoreno. Osnova elektronskog ključa je nelinearni aktivni element (poluvodička dioda, tranzistor, tiristor, itd.) koji radi u načinu rada ključa. Prema vrsti korištenog nelinearnog elementa, elektronski ključevi se dijele na diodne, tranzistorske, tiristorske itd.

diodni ključevi. Najjednostavniji tip elektronskih prekidača su diodni prekidači. Kao aktivni elementi u njima se koriste poluvodičke ili elektrovakuumske diode.

Sa pozitivnim ulaznim naponom, dioda je otvorena i struja kroz nju

, gdje je prednji otpor diode.

Izlazni napon

.

Obično tada. S negativnim ulaznim naponom, struja teče kroz diodu

,

gdje je obrnuti otpor diode.

Istovremeno, izlazni napon

. Po pravilu, i . Kada se promijeni polaritet diode, graf funkcije će se rotirati za ugao oko početka.

Diodni ključevi ne dozvoljavaju električno razdvajanje upravljačkog i kontroliranog kruga, što je često potrebno u praksi. Za komutacione (preklopne) napone i struje, tzv. diodni ključevi. Ova kola omogućavaju, kada se primeni određeni kontrolni napon, da se zatvori / otvori električni krug kroz koji se prenosi korisni signal (struja, napon). U najjednostavnijim krugovima ključeva, sam ulazni signal može se koristiti kao kontrola.

Govoreći o diodnim prekidačima, ne može se ne spomenuti posebna klasa poluvodičkih dioda - p-i-n-diode. Koriste se samo za prebacivanje RF i mikrotalasnih signala. To je moguće zahvaljujući njihovom jedinstvenom svojstvu - podesivoj provodljivosti na frekvenciji signala. Takva regulacija se obično provodi ili kada se na diodu primjenjuje vanjski konstantni napon prednapona, ili direktno nivoom signala (za ograničavanje p-i-n-dioda).