چگونه با استفاده از مثلث ارتفاع مثلث را پیدا کنیم؟ ارتفاع مثلث

محاسبه ارتفاع مثلث به خود شکل بستگی دارد (متساوی الاضلاع، متساوی الاضلاع، مقیاس، مستطیل). در هندسه عملی، فرمول های پیچیده، به عنوان یک قاعده، یافت نمی شوند. کافی است اصل کلی محاسبات را بدانیم تا بتوان آن را به طور جهانی برای همه مثلث ها قابل اجرا کرد. امروز شما را با اصول اولیه محاسبه ارتفاع یک شکل، فرمول های محاسبه بر اساس ویژگی های ارتفاع مثلث ها آشنا می کنیم.

قد چیست؟

ارتفاع دارای چندین ویژگی متمایز است

1. نقطه ای که تمام ارتفاعات به هم متصل می شوند، مرکز قائم نامیده می شود. اگر مثلث اشاره داشته باشد، آنگاه مرکز عمود در داخل شکل قرار دارد، اگر یکی از زوایا مبهم باشد، به طور معمول مرکز قائم در خارج قرار دارد.
2. در مثلثی که یک زاویه آن 90 درجه است، مرکز و راس بر هم منطبق هستند.
3. بسته به نوع مثلث، چندین فرمول برای یافتن ارتفاع مثلث وجود دارد.

محاسبات سنتی

1. اگر p نصف محیط باشد، a، b، c تعیین اضلاع شکل مورد نیاز است، h ارتفاع است، اولین و ساده ترین فرمول به این صورت خواهد بود: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
2. در کتاب های درسی مدرسه اغلب می توانید مسائلی را بیابید که در آنها مقدار یکی از ضلع های مثلث و اندازه زاویه بین این ضلع و پایه مشخص است. سپس فرمول محاسبه ارتفاع به این صورت خواهد بود: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. هنگامی که مساحت مثلث - S و همچنین طول پایه - a داده می شود، محاسبات تا حد امکان ساده خواهد بود. ارتفاع با استفاده از فرمول پیدا می شود: h = 2S/a.
4. هنگامی که شعاع دایره توصیف شده در اطراف شکل داده شد، ابتدا طول دو ضلع آن را محاسبه می کنیم و سپس ارتفاع داده شده مثلث را محاسبه می کنیم. برای این کار از فرمول h = b ∙ c/2R استفاده می کنیم که b و c دو ضلع مثلث هستند که قاعده نیستند و R شعاع است.

تمام اضلاع این شکل معادل هستند، طول آنها برابر است، بنابراین زوایای پایه نیز برابر خواهند بود. از این نتیجه می شود که ارتفاعاتی که روی پایه ها ترسیم می کنیم نیز برابر خواهند بود ، آنها در عین حال میانه و نیمساز هستند. به زبان ساده، ارتفاع در مثلث متساوی الساقین، قاعده را به دو قسمت تقسیم می کند. مثلث قائم الزاویه که پس از رسم ارتفاع به دست می آید با استفاده از قضیه فیثاغورث در نظر گرفته می شود. اجازه دهید ضلع را با a و قاعده را b نشان دهیم، سپس ارتفاع h = ½ √4 a2 − b2 را نشان دهیم.

چگونه ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنیم؟

فرمول یک مثلث متساوی الاضلاع (شکلی که همه اضلاع از نظر اندازه برابر هستند) را می توان بر اساس محاسبات قبلی پیدا کرد. فقط کافی است طول یکی از اضلاع مثلث را اندازه گیری و آن را به عنوان a تعیین کنیم. سپس ارتفاع با فرمول بدست می آید: h = √3/2 a.

چگونه ارتفاع مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟

همانطور که می دانید زاویه یک مثلث قائم الزاویه 90 درجه است. ارتفاعی که از یک طرف پایین می آید نیز ضلع دوم است. ارتفاعات یک مثلث با زاویه قائمه روی آنها قرار می گیرد. برای به دست آوردن اطلاعات در مورد ارتفاع، شما باید فرمول فیثاغورث موجود را کمی تغییر دهید، پاها - a و b را تعیین کنید، و همچنین طول هیپوتانوس - c را اندازه گیری کنید.

بیایید طول ساق را پیدا کنیم (ضلعی که ارتفاع به آن عمود خواهد بود): a = √ (c2 - b2). طول پایه دوم دقیقاً با استفاده از همان فرمول بدست می آید: b =√ (c2 - b2). پس از آن می توانید شروع به محاسبه ارتفاع یک مثلث با زاویه قائم کنید و ابتدا مساحت شکل - s را محاسبه کنید. مقدار ارتفاع h = 2s/a است.

محاسبات با مثلث scalene

هنگامی که یک مثلث اسکلن دارای زوایای تند باشد، ارتفاع پایین‌آمده تا پایه قابل مشاهده است. اگر مثلث دارای زاویه منفرد است، ممکن است ارتفاع آن خارج از شکل باشد و باید آن را به صورت ذهنی ادامه دهید تا نقطه اتصال ارتفاع و پایه مثلث را بدست آورید. ساده ترین راه برای اندازه گیری ارتفاع، محاسبه آن از طریق یکی از اضلاع و اندازه زوایا است. فرمول به شرح زیر است: h = b sin y + c sin ß.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

برای حل بسیاری از مسائل هندسی، باید ارتفاع یک شکل معین را پیدا کنید. این وظایف اهمیت عملی دارند. هنگام انجام کارهای ساختمانی، تعیین ارتفاع به محاسبه مقدار مورد نیاز مواد و همچنین تعیین دقیق نحوه ساخت شیب ها و دهانه ها کمک می کند. اغلب، برای ایجاد الگوها، باید ایده ای از خواص داشته باشید

بسیاری از مردم، با وجود نمرات خوب در مدرسه، هنگام ساختن اشکال هندسی معمولی، در مورد چگونگی پیدا کردن ارتفاع مثلث یا متوازی الاضلاع سوال دارند. و سخت ترین است. این به این دلیل است که یک مثلث می تواند حاد، منفرد، متساوی الساقین یا راست باشد. هر یک از آنها قوانین ساخت و محاسبه خاص خود را دارند.

چگونه ارتفاع مثلثی را که تمام زوایای آن تند هستند، به صورت گرافیکی پیدا کنیم

اگر تمام زوایای یک مثلث تند هستند (هر زاویه در مثلث کمتر از 90 درجه است)، برای یافتن ارتفاع باید موارد زیر را انجام دهید.

1. با استفاده از پارامترهای داده شده، یک مثلث می سازیم.
2. اجازه بدید ما بعضی نشانه ها را معرفی کنیم. A، B و C رئوس شکل خواهند بود. زوایای مربوط به هر رأس عبارتند از α، β، γ. اضلاع مقابل این زوایا a، b، c هستند.
3. ارتفاع، عمودی است که از راس زاویه به طرف مقابل مثلث کشیده شده است. برای یافتن ارتفاع مثلث، عمود می سازیم: از راس زاویه α به ضلع a، از راس زاویه β به ضلع b و غیره.
4. اجازه دهید نقطه تقاطع ارتفاع و ضلع a را H1 و خود ارتفاع را h1 نشان دهیم. نقطه تقاطع ارتفاع و ضلع b به ترتیب H2، ارتفاع، h2 خواهد بود. برای ضلع c ارتفاع h3 و نقطه تقاطع H3 خواهد بود.

ارتفاع در مثلث با زاویه کج

حال بیایید ببینیم که چگونه ارتفاع یک مثلث را در صورت وجود (بیش از 90 درجه) پیدا کنیم. در این حالت ارتفاع ترسیم شده از زاویه کج در داخل مثلث خواهد بود. دو ارتفاع باقیمانده خارج از مثلث خواهند بود.

بگذارید زوایای α و β در مثلث ما تند و زاویه γ مات باشد. سپس برای ساختن ارتفاعات حاصل از زوایای α و β، باید اضلاع مثلث مقابل آنها را ادامه داد تا عمود بر هم رسم شوند.

چگونه ارتفاع مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم؟

چنین شکلی دارای دو ضلع مساوی و یک پایه است، در حالی که زوایای پایه نیز با یکدیگر برابر هستند. این برابری اضلاع و زوایا ساخت ارتفاع و محاسبه آنها را آسان می کند.

ابتدا خود مثلث را رسم می کنیم. بگذارید اضلاع b و c و همچنین زوایای β و γ به ترتیب برابر باشند.

اکنون ارتفاع را از راس زاویه α رسم می کنیم و آن را h1 نشان می دهیم. برای این ارتفاع هم نیمساز و هم میانه خواهد بود.

فقط یک ساخت و ساز برای فونداسیون می توان انجام داد. به عنوان مثال، یک وسط بکشید - پاره ای که راس مثلث متساوی الساقین و ضلع مقابل، پایه را به هم متصل می کند تا ارتفاع و نیمساز را پیدا کنید. و برای محاسبه طول ارتفاع برای دو ضلع دیگر، فقط می توانید یک ارتفاع بسازید. بنابراین، برای تعیین نموداری نحوه محاسبه ارتفاع مثلث متساوی الساقین، کافی است دو تا از سه ارتفاع را پیدا کنید.

نحوه پیدا کردن ارتفاع مثلث قائم الزاویه

برای مثلث قائم الزاویه، تعیین ارتفاع بسیار ساده تر از بقیه است. این به این دلیل اتفاق می‌افتد که خود پاها زاویه قائمه ایجاد می‌کنند و در نتیجه ارتفاع هستند.

برای ساخت ارتفاع سوم طبق معمول عمودی رسم می شود که راس زاویه قائمه و طرف مقابل را به هم وصل می کند. در نتیجه برای ایجاد مثلث در این حالت فقط یک ساخت لازم است.

چگونه بزرگترین یا کوچکترین ارتفاع یک مثلث را پیدا کنیم؟ هر چه ارتفاع مثلث کوچکتر باشد، ارتفاعی که به سمت آن کشیده می شود، بیشتر می شود. یعنی بزرگترین ارتفاع یک مثلث همان ارتفاعی است که به کوتاه ترین ضلع آن کشیده شده است. - یکی که به بزرگترین ضلع مثلث کشیده شده است.

برای پیدا کردن بزرگترین ارتفاع یک مثلث ، می توانیم مساحت مثلث را بر طول ضلعی که این ارتفاع به آن کشیده شده است (یعنی بر طول کوچکترین ضلع مثلث) تقسیم کنیم.

بر این اساس، د برای پیدا کردن کوچکترین ارتفاع یک مثلث می توانید مساحت یک مثلث را بر طول طولانی ترین ضلع آن تقسیم کنید.

وظیفه 1.

کوچکترین ارتفاع مثلثی را که اضلاع آن 7 سانتی متر، 8 سانتی متر و 9 سانتی متر است، پیدا کنید.

داده شده:

AC=7 سانتی متر، AB=8 سانتی متر، BC=9 سانتی متر.

پیدا کنید: کوچکترین ارتفاع مثلث.

راه حل:

کوچکترین ارتفاع یک مثلث، ارتفاعی است که به بلندترین ضلع آن کشیده شده است. این بدان معنی است که ما باید ارتفاع AF کشیده شده به سمت BC را پیدا کنیم.

برای سهولت در نمادگذاری، نماد را معرفی می کنیم

BC=a، AC=b، AB=c، AF=ha.

ارتفاع یک مثلث برابر است با ضریب دو برابر مساحت مثلث تقسیم بر ضلعی که این ارتفاع به آن کشیده شده است. را می توان با استفاده از فرمول هرون پیدا کرد. از همین رو

محاسبه می کنیم:

پاسخ:

وظیفه 2.

بلندترین ضلع مثلث با اضلاع 1 سانتی متر، 25 سانتی متر و 30 سانتی متر را پیدا کنید.

داده شده:

AC=25cm، AB=11cm، BC=30cm.

پیدا کردن:

بزرگترین ارتفاع مثلث ABC

راه حل:

بیشترین ارتفاع مثلث به کوتاه ترین ضلع آن کشیده می شود.

این به این معنی است که باید CD ارتفاع کشیده شده به سمت AB را پیدا کنیم.

برای راحتی، اجازه دهید نشان دهیم

هنگام حل انواع مختلف مسائل، هر دو ماهیت صرفا ریاضی و کاربردی (به ویژه در ساخت و ساز)، اغلب لازم است که مقدار ارتفاع یک شکل هندسی خاص تعیین شود. چگونه این مقدار (ارتفاع) را در مثلث محاسبه کنیم؟

اگر 3 نقطه را به صورت جفتی که روی یک خط قرار ندارند ترکیب کنیم، شکل به دست آمده یک مثلث خواهد بود. ارتفاع بخشی از یک خط مستقیم از هر رأس یک شکل است که هنگام تقاطع با طرف مقابل، زاویه 90 درجه را تشکیل می دهد.

ارتفاع مثلث اسکلن را پیدا کنید

اجازه دهید مقدار ارتفاع یک مثلث را در موردی که شکل دارای زوایای و اضلاع دلخواه است تعیین کنیم.

فرمول هرون

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a، جایی که

p – نیمی از محیط شکل، h(a) – پاره ای به ضلع a که در زاویه قائمه با آن کشیده شده است.

p=(a+b+c)/2 – محاسبه نیم محیط.

اگر مساحتی از شکل وجود دارد، می توانید از رابطه h(a)=2S/a برای تعیین ارتفاع آن استفاده کنید.

توابع مثلثاتی

برای تعیین طول پاره ای که هنگام تقاطع با ضلع a زاویه قائمه ایجاد می کند، می توانید از روابط زیر استفاده کنید: اگر ضلع b و زاویه γ یا ضلع c و زاویه β مشخص باشند، h(a)=b*sinγ یا h(a)=c *sinβ.
جایی که:
γ – زاویه بین ضلع b و a،
β زاویه بین ضلع c و a است.

رابطه با شعاع

اگر مثلث اصلی به صورت دایره ای حک شده باشد، می توانید از شعاع چنین دایره ای برای تعیین ارتفاع استفاده کنید. مرکز آن در نقطه ای قرار دارد که هر 3 ارتفاع (از هر رأس) را قطع می کنند - مرکز قائم و فاصله از آن تا راس (هر) شعاع است.

سپس h(a)=bc/2R، که در آن:
b، c - 2 ضلع دیگر مثلث،
R شعاع دایره ای است که مثلث را دور می زند.

ارتفاع را در مثلث قائم الزاویه پیدا کنید

در این نوع شکل هندسی، 2 ضلع هنگام قطع، زاویه قائمه 90 درجه را تشکیل می دهند. بنابراین، اگر می خواهید مقدار ارتفاع را در آن تعیین کنید، باید اندازه یکی از پاها یا اندازه قطعه 90 درجه را با هیپوتانوس محاسبه کنید. هنگام تعیین:
الف، ب - پاها،
ج - هیپوتانوز،
h(c) - عمود بر هیپوتنوز.
با استفاده از روابط زیر می توانید محاسبات لازم را انجام دهید:

• قضیه فیثاغورس:

a=√(c 2 -b 2)،
b=√(c 2 -a 2)،
h(c)=2S/c، زیرا S=ab/2، سپس h(c)=ab/c.

• توابع مثلثاتی:

a=c*sinβ،
b=c*cosβ،
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

ارتفاع مثلث متساوی الساقین را پیدا کنید

این شکل هندسی با وجود دو ضلع با اندازه مساوی و یک سوم - پایه - متمایز می شود. برای تعیین ارتفاع کشیده شده به ضلع سوم و متمایز، قضیه فیثاغورث به کمک می آید. با علامت گذاری
گذشته از،
ج – پایه،
h(c) قطعه ای به c در زاویه 90 درجه است، سپس h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).