Kalkulator przykładów działań w kolumnie. Podział liczb naturalnych przez kolumnę, przykłady, rozwiązania

Jednym z ważnych etapów nauczania dziecka operacji matematycznych jest nauka działania dzielenia liczb pierwszych. Jak wytłumaczyć podział dziecku, kiedy można zacząć opanowywać ten temat?

Aby nauczyć dziecko dzielenia, konieczne jest, aby do czasu nauki opanował już takie operacje matematyczne, jak dodawanie, odejmowanie, a także miał jasne zrozumienie samej istoty operacji mnożenia i dzielenia. Oznacza to, że musi zrozumieć, że podział to podział czegoś na równe części. Niezbędne jest również nauczenie operacji mnożenia i nauka tabliczki mnożenia.

Pisałem już o tym, jak ten artykuł może Ci się przydać.

W zabawny sposób opanowujemy działanie dzielenia (podziału) na części

Na tym etapie konieczne jest ukształtowanie w dziecku zrozumienia, że ​​podział jest podziałem czegoś na równe części. Najłatwiejszym sposobem nauczenia tego dziecka jest zaproszenie go do podzielenia się określoną liczbą rzeczy z przyjaciółmi lub członkami rodziny.

Na przykład weź 8 identycznych kostek i poproś dziecko, aby podzieliło się na dwie równe części - dla niego i innej osoby. Zmieniaj i komplikuj zadanie, poproś dziecko, aby podzieliło 8 kostek nie na dwie, ale na cztery osoby. Przeanalizuj z nim wynik. Zmień komponenty, spróbuj z inną liczbą obiektów i osób, na które te obiekty mają być podzielone.

Ważny: Upewnij się, że na początku dziecko operuje parzystą liczbą obiektów, tak aby wynik dzielenia był taką samą liczbą części. Będzie to przydatne w następnym kroku, kiedy dziecko musi zrozumieć, że dzielenie jest odwrotnością mnożenia.

Mnożenie i dzielenie za pomocą tabliczki mnożenia

Wyjaśnij dziecku, że w matematyce przeciwieństwem mnożenia jest dzielenie. Za pomocą tabliczki mnożenia zademonstruj uczniowi na dowolnym przykładzie związek między mnożeniem a dzieleniem.

Przykład: 4x2=8. Przypomnij dziecku, że wynik mnożenia jest iloczynem dwóch liczb. Następnie wyjaśnij, że dzielenie jest odwrotnością mnożenia i zilustruj to jasno.

Podziel wynikowy iloczyn "8" z przykładu - przez dowolny z czynników - "2" lub "4", a wynikiem będzie zawsze inny czynnik, który nie został użyty w operacji.

Trzeba też nauczyć młodego ucznia, jak nazywa się kategorie opisujące działanie dzielenia – „podzielny”, „dzielnik” i „iloraz”. Użyj przykładu, aby pokazać, które liczby są podzielne, dzielnik i iloraz. Utrwal tę wiedzę, są one niezbędne do dalszej nauki!

Tak naprawdę musisz nauczyć swoje dziecko tabliczki mnożenia „odwrotnie” i musisz ją zapamiętać, podobnie jak samą tabliczkę mnożenia, ponieważ będzie to konieczne, gdy zaczniesz uczyć długiego dzielenia.

Podziel według kolumny - podaj przykład

Przed rozpoczęciem lekcji pamiętaj z dzieckiem, jak wywoływane są numery podczas operacji dzielenia. Co to jest „dzielnik”, „podzielny”, „iloraz”? Naucz się dokładnie i szybko identyfikować te kategorie. Będzie to bardzo przydatne podczas nauki dzielenia liczb pierwszych.

Wyjaśniamy jasno

Podzielmy 938 przez 7. W tym przykładzie 938 to dzielna, 7 to dzielnik. Wynik będzie ilorazem, a następnie trzeba go obliczyć.

Krok 1. Zapisujemy liczby, dzieląc je „narożnikiem”.

Krok 2 Pokaż uczniowi liczbę podzielną i poproś go, aby wybrał z nich najmniejszą liczbę, która jest większa od dzielnika. Z trzech liczb 9, 3 i 8 ta liczba będzie wynosić 9. Poproś dziecko, aby przeanalizowało, ile razy liczba 7 może zawierać się w liczbie 9? Zgadza się, tylko raz. Dlatego pierwszym wynikiem, który zapisujemy, będzie 1.

Krok 3 Przejdźmy do projektowania podziału według kolumny:

Mnożymy dzielnik 7x1 i otrzymujemy 7. Otrzymany wynik zapisujemy pod pierwszą liczbą naszej dywidendy 938 i jak zwykle odejmujemy w kolumnie. Oznacza to, że odejmujemy 7 od 9 i otrzymujemy 2.

Zapisujemy wynik.

Krok 4 Liczba, którą widzimy, jest mniejsza niż dzielnik, więc musimy ją zwiększyć. W tym celu łączymy ją z kolejną niewykorzystaną liczbą naszej dywidendy - będzie to 3. Otrzymanej liczbie 2 przypisujemy 3.

Krok 5 Następnie działamy według znanego już algorytmu. Przeanalizujmy, ile razy nasz dzielnik 7 jest zawarty w wynikowej liczbie 23? Zgadza się, trzy razy. Ustalamy liczbę 3 w ilorazie. A wynik produktu - 21 (7 * 3) jest zapisany poniżej pod numerem 23 w kolumnie.

Krok.6 Teraz pozostaje znaleźć ostatnią liczbę naszego ilorazu. Korzystając ze znanego już algorytmu, kontynuujemy obliczenia w kolumnie. Odejmując w kolumnie (23-21) otrzymujemy różnicę. To równa się 2.

Z dywidendy pozostaje jedna niewykorzystana liczba - 8. Łączymy ją z liczbą 2 uzyskaną w wyniku odejmowania, otrzymujemy - 28.

Krok 7 Przeanalizujmy, ile razy nasz dzielnik 7 jest zawarty w wynikowej liczbie? Zgadza się, 4 razy. Wynikową liczbę zapisujemy w wyniku. Mamy więc iloraz uzyskany w wyniku dzielenia przez kolumnę = 134.

Jak nauczyć dziecko dzielić – utrwalamy umiejętność

Głównym powodem, dla którego wielu uczniów ma problem z matematyką, jest niemożność szybkiego wykonania prostych obliczeń arytmetycznych. I na tej podstawie budowana jest cała matematyka w szkole podstawowej. Szczególnie często problemem jest mnożenie i dzielenie.
Aby dziecko nauczyło się szybko i sprawnie wykonywać w umyśle obliczenia podziałowe, niezbędna jest właściwa metodyka nauczania i utrwalenie umiejętności. W tym celu radzimy skorzystać z popularnych obecnie pomocy w opanowaniu umiejętności dywizji. Niektóre są przeznaczone dla dzieci do pracy z rodzicami, inne do samodzielnej pracy.

1. "Podział. Poziom 3. Zeszyt ćwiczeń „z największego międzynarodowego centrum edukacji dodatkowej Kumon
2. "Podział. Podręcznik poziomu 4 autorstwa Kumon
3. — Nie arytmetyka mentalna. System do nauki szybkiego mnożenia i dzielenia dziecka. Przez 21 dni. Symulator notatnika.» od Sh. Akhmadulin - autora bestsellerowych książek edukacyjnych

Najważniejszą rzeczą, gdy uczysz dziecko dzielenia w kolumnie, jest opanowanie algorytmu, który na ogół jest dość prosty.

Jeśli dziecko dobrze radzi sobie z tabliczką mnożenia i dzieleniem „odwrotnym”, nie będzie miało trudności. Niemniej jednak bardzo ważne jest ciągłe trenowanie nabytych umiejętności. Nie poprzestawaj na tym, gdy tylko zdasz sobie sprawę, że dziecko zrozumiało istotę metody.

Aby łatwo nauczyć dziecko obsługi dzielenia, potrzebujesz:

• Aby w wieku dwóch, trzech lat opanował związek „całość – część”. Powinien rozwijać rozumienie całości jako nieodłącznej kategorii oraz postrzeganie wyodrębnionej części całości jako samodzielnego przedmiotu. Na przykład zabawkowa ciężarówka to całość, a jej nadwozie, koła, drzwi są częścią tej całości.
• Aby w wieku szkolnym dziecko swobodnie operowało czynnościami dodawania i odejmowania liczb, rozumiało istotę procesów mnożenia i dzielenia.

Aby dziecko czerpało radość z matematyki, konieczne jest wzbudzanie w nim zainteresowania matematyką i działaniami matematycznymi nie tylko podczas treningu, ale także w codziennych sytuacjach.

Dlatego zachęcaj i rozwijaj u dziecka obserwację, rysuj analogie z działaniami matematycznymi (operacje liczenia i dzielenia, analiza relacji część-całość itp.) podczas konstrukcji, zabaw i obserwacji przyrody.

Wykładowca, specjalista ds. centrów rozwoju dziecka
Drużynina Elena
strona specjalnie dla projektu

Fabuła wideo dla rodziców, jak poprawnie wyjaśnić dziecku podział na kolumnę:

Kalkulator kolumnowy na urządzenia z Androidem będzie świetnym pomocnikiem dla nowoczesnych uczniów. Program nie tylko daje poprawną odpowiedź na działanie matematyczne, ale także jasno pokazuje jego rozwiązanie krok po kroku. Jeśli potrzebujesz bardziej złożonych kalkulatorów, możesz skorzystać z zaawansowanego kalkulatora inżynierskiego.

Osobliwości

Główną cechą programu jest unikalność obliczeń operacji matematycznych. Wyświetlenie procesu obliczeniowego w kolumnie pozwala studentom poznać go bardziej szczegółowo, zrozumieć algorytm rozwiązania, a nie tylko uzyskać gotowy wynik i przepisać go w notatniku. Ta funkcja ma ogromną przewagę nad innymi kalkulatorami. dość często w szkole nauczyciele wymagają spisania obliczeń pośrednich, aby upewnić się, że uczeń wykonuje je w myślach i naprawdę rozumie algorytm rozwiązywania problemów. Nawiasem mówiąc, mamy inny program o podobnym charakterze - .

Aby rozpocząć korzystanie z programu, musisz pobrać kalkulator w kolumnie na Androida. Możesz to zrobić na naszej stronie całkowicie bezpłatnie, bez dodatkowych rejestracji i SMS-ów. Po instalacji otworzy się strona główna w postaci arkusza zeszytu w klatce, na którym będą wyświetlane wyniki obliczeń i ich szczegółowe rozwiązanie. Na dole znajduje się panel z przyciskami:

1. Liczby.
2. Znaki działań arytmetycznych.
3. Usuń wcześniej wprowadzone znaki.

Wejście odbywa się zgodnie z tą samą zasadą, co wł. Cała różnica tkwi tylko w interfejsie aplikacji - wszystkie obliczenia matematyczne i ich wyniki są wyświetlane w wirtualnym notatniku ucznia.

Aplikacja pozwala na szybkie i poprawne wykonanie standardowych obliczeń matematycznych dla ucznia w kolumnie:

• mnożenie;
• podział;
• dodatek;
• odejmowanie.

Miłym dodatkiem do aplikacji jest funkcja przypominania o codziennych zadaniach domowych z matematyki. Jeśli chcesz, odrób swoją pracę domową. Aby ją włączyć, przejdź do ustawień (naciśnij przycisk w postaci koła zębatego) i zaznacz pole przypomnienia.

Zalety i wady

1. Pomaga uczniowi nie tylko szybko uzyskać poprawny wynik obliczeń matematycznych, ale także zrozumieć samą zasadę obliczeń.
2. Bardzo prosty, intuicyjny interfejs dla każdego użytkownika.
3. Aplikację możesz zainstalować nawet na najbardziej budżetowym urządzeniu z systemem Android w wersji 2.2 lub nowszej.
4. Kalkulator zapisuje historię obliczeń matematycznych, którą można w każdej chwili skasować.

Kalkulator jest ograniczony w operacjach matematycznych, więc nie będzie działał w przypadku złożonych obliczeń, które mógłby obsłużyć kalkulator inżynierski. Jednak biorąc pod uwagę cel samego wniosku - aby wyraźnie zademonstrować zasadę liczenia w kolumnie uczniom szkół podstawowych, nie należy tego uważać za wadę.

Aplikacja będzie również doskonałym pomocnikiem nie tylko dla uczniów, ale także dla rodziców, którzy chcą zainteresować swoje dziecko matematyką i nauczyć je poprawnie i konsekwentnie wykonywać obliczenia. Jeśli korzystałeś już z aplikacji Stacked Calculator, zostaw swoje wrażenia poniżej w komentarzach.

Wygodnie jest przeprowadzić specjalną metodę, która nazywa się odejmowanie kolumn lub odejmowanie kolumn. Ta metoda odejmowania uzasadnia swoją nazwę, ponieważ odjemna, odjemna i różnica są zapisane w kolumnie. Obliczenia pośrednie są również przeprowadzane w kolumnach odpowiadających cyfrom liczb.

Wygoda odejmowania liczb naturalnych w kolumnie polega na prostocie obliczeń. Obliczenia sprowadzają się do korzystania z tabeli dodawania i zastosowania właściwości odejmowania.

Zobaczmy, jak odbywa się odejmowanie kolumn. Rozważymy proces odejmowania wraz z rozwiązaniem przykładów. Więc będzie jaśniej.

Nawigacja po stronach.

Co musisz wiedzieć, aby odjąć przez kolumnę?

Aby odjąć liczby naturalne w kolumnie, musisz najpierw wiedzieć, jak odbywa się odejmowanie za pomocą tabeli dodawania.

Wreszcie nie zaszkodzi powtórzyć definicję wyładowania liczb naturalnych.

Odejmowanie przez kolumnę na przykładach.

Zacznijmy od nagrania. Minuenda jest zapisywana jako pierwsza. Poniżej odjemnika znajduje się odjemnik. Co więcej, odbywa się to w taki sposób, że liczby znajdują się jedna pod drugą, zaczynając od prawej. Po lewej stronie zarejestrowanych liczb znajduje się znak minus, a poniżej narysowana jest pozioma linia, pod którą wynik zostanie zapisany po podjęciu niezbędnych działań.

Oto kilka przykładów poprawnych wpisów przy odejmowaniu według kolumny. Zapisz różnicę w kolumnie 56−9 , różnica 3 004−1 670 , jak również 203 604 500−56 777 .

Tak więc, po uporządkowaniu zapisów.

Przechodzimy do opisu procesu odejmowania przez kolumnę. Jego istota polega na sekwencyjnym odejmowaniu wartości odpowiednich cyfr. Najpierw odejmuje się wartości cyfr jednostek, następnie wartości cyfr dziesiątek, następnie wartości cyfr setek i tak dalej. Wyniki są zapisywane pod poziomą linią w odpowiednich miejscach. Liczba utworzona pod linią po zakończeniu procesu jest pożądanym wynikiem odjęcia dwóch pierwotnych liczb naturalnych.

Wyobraź sobie diagram ilustrujący proces odejmowania przez kolumnę liczb naturalnych.

Powyższy schemat daje ogólny obraz odejmowania liczb naturalnych przez kolumnę, ale nie odzwierciedla wszystkich subtelności. Zajmiemy się tymi subtelnościami przy rozwiązywaniu przykładów. Zacznijmy od najprostszych przypadków, a następnie stopniowo przejdziemy do bardziej złożonych przypadków, aż odkryjemy wszystkie niuanse, które mogą wystąpić podczas odejmowania przez kolumnę.

Przykład.

Najpierw odejmij kolumnę od liczby 74 805 numer 24 003 .

Rozwiązanie.

Zapiszmy te liczby zgodnie z wymaganiami metody odejmowania kolumn:

Zaczynamy od odjęcia wartości cyfr jednostek, czyli odejmujemy od liczby 5 numer 3 . Z tabeli dodawania mamy 5−3=2 . Otrzymane wyniki zapisujemy pod poziomą linią w tej samej kolumnie, w której znajdują się liczby 5 oraz 3 :

Teraz odejmij wartości cyfry dziesiątek (w naszym przykładzie są one równe zero). Mamy 0−0=0 (wspomnieliśmy o tej własności odejmowania w poprzednim akapicie). Wynikowe zero piszemy pod linią w tej samej kolumnie:

Pójść dalej. Odejmij wartości setek miejsc: 8−0=8 (zgodnie z właściwością odejmowania, wyrażoną w poprzednim akapicie). Teraz nasz wpis będzie wyglądał tak:

Przejdźmy do odejmowania wartości tysięcy miejsc: 4−4=0 (są to własności odejmowania równych liczb naturalnych). Mamy:

Pozostaje odjąć wartości dziesiątek tysięcy miejsc: 7−2=5 . Wynikową liczbę piszemy pod linią we właściwym miejscu:

To kończy odejmowanie kolumny. Numer 50 802 , który okazał się poniżej, jest wynikiem odjęcia pierwotnych liczb naturalnych 74 805 oraz 24 003 .

Rozważmy następujący przykład.

Przykład.

Odejmij kolumnę od liczby 5 777 numer 5 751 .

Rozwiązanie.

Wszystko robimy tak samo jak w poprzednim przykładzie - odejmujemy wartości odpowiednich cyfr. Po wykonaniu wszystkich kroków wpis będzie wyglądał tak:

Pod linią mamy liczbę, w zapisie której są liczby po lewej stronie 0 . Jeśli te liczby 0 odrzuć, to otrzymujemy wynik odejmowania pierwotnych liczb naturalnych. W naszym przypadku odrzucamy dwie cyfry 0 uzyskane po lewej stronie. Mamy: różnicę 5 777−5 751 jest równe 26 .

Do tego momentu odejmowaliśmy liczby naturalne, których rekordy składają się z tej samej liczby znaków. Teraz na przykładzie zastanówmy się, jak odejmowane są liczby naturalne w kolumnie, gdy w rekordzie odjęta jest więcej znaków niż w rekordzie odjemnika.

Przykład.

Odejmij od liczby 502 864 numer 2 330 .

Rozwiązanie.

Odjemnik i odjemnik zapisujemy w kolumnie:

Odejmij kolejno wartości cyfry jednostki: 4−0=4 ; a następnie dziesiątki: 6−3=3 ; dalej - setki: 8−3=5 ; dalej - tysiąc: 2−2=0 . Otrzymujemy:

Teraz, aby zakończyć odejmowanie kolumn, musimy jeszcze odjąć wartości dziesiątek tysięcy miejsc, a następnie wartości setek tysięcy miejsc. Ale z wartości tych cyfr (w naszym przykładzie z liczb 0 oraz 5 ) nie mamy nic do odjęcia (ponieważ odejmowana liczba 2 330 nie ma cyfr w tych cyfrach). Jak być? Bardzo proste - wartości tych bitów są po prostu przepisywane pod poziomą linią:

Na tym odejmowaniu przez kolumnę liczb naturalnych 502 864 oraz 2 330 zakończony. Różnica polega na 500 534 .

Pozostaje do rozważenia przypadki, w których na pewnym etapie odejmowania kolumny wartość cyfry liczby zredukowanej jest mniejsza niż wartość odpowiadającej cyfry liczby odejmowanej. W takich przypadkach musisz „pożyczyć” z wyższych rang. Zrozummy to na przykładach.

Przykład.

Odejmij kolumnę od liczby 534 numer 71 .

Rozwiązanie.

W pierwszym kroku odejmij od 4 numer 1 , dostajemy 3 . Mamy:

W kolejnym kroku musimy odjąć wartości cyfry dziesiątek, czyli od liczby 3 odejmij liczbę 7 . Dlatego 3<7 , to nie możemy odjąć tych liczb naturalnych (odejmowanie liczb naturalnych jest zdefiniowane tylko wtedy, gdy odjęcie nie jest większe niż odjemna). Co robić? W tym przypadku bierzemy 1 jednostki z najwyższego rzędu i "wymień" ją. W naszym przykładzie „wymiana” 1 sto per 10 kilkadziesiąt. Aby wizualnie odzwierciedlić nasze działania, umieszczamy grubą kropkę nad liczbą w miejscu setek, a nad liczbą w miejscu dziesiątek wpisujemy liczbę 10 używając innego koloru. Wpis będzie wyglądał tak:

Dodajemy otrzymane po "wymianie" 10 dziesiątki do 3 dostępne dziesiątki: 3+10=13 i odejmij od tej liczby 7 . Mamy 13−7=6 . Ten numer 6 napisz pod poziomą linią w jej miejscu:

Przejdźmy do odejmowania wartości setek miejsc. Tutaj widzimy kropkę nad liczbą 5, co oznacza, że ​​z tej liczby wzięliśmy jedną „na wymianę”. To znaczy, teraz mamy 5 , a 5−1=4 . Od numeru 4 nic więcej nie musi być odejmowane (ponieważ oryginalna odjęta liczba 71 nie zawiera cyfr w miejscu setek). Tak więc pod poziomą linią piszemy liczbę 4 :

Więc różnica 534−71 jest równe 463 .

Czasami przy odejmowaniu przez kolumnę trzeba kilkakrotnie „zamienić” jednostki z najwyższych cyfr. Na poparcie tych słów przeanalizujemy rozwiązanie poniższego przykładu.

Przykład.

Odejmij od liczby naturalnej 1 632 numer 947 kolumna.

Rozwiązanie.

W pierwszym kroku musimy odjąć od liczby 2 numer 7 . Dlatego 2<7 , to od razu trzeba "wymienić" 1 tuzin na 10 jednostki. Potem od sumy 10+2 odejmij liczbę 7 , otrzymujemy (10+2)−7=12−7=5 :

W następnym kroku musimy odjąć wartości dziesiątek cyfr. Widzimy to nad liczbą 3 warte punktu, czyli nie mamy 3 , a 3−1=2 . I z tego numeru 2 musimy odjąć liczbę 4 . Dlatego 2<4 , to znowu musisz uciekać się do „wymiany”. Ale teraz się wymieniamy 1 sto per 10 kilkadziesiąt. W tym przypadku mamy (10+2)−4=12−4=8 :

Teraz odejmujemy wartości setek miejsc. Z numeru 6 jednostka była zajęta w poprzednim kroku, więc mamy 6−1=5 . Od tej liczby musimy odjąć liczbę 9 . Dlatego 5<9 , to musimy "wymienić" 1 tysiąc per 10 setki. Otrzymujemy (10+5)−9=15−9=6 :

Pozostaje ostatni krok. Z jednego na tysiące miejsc, które pożyczyliśmy w poprzednim kroku, więc mamy 1−1=0 . Nie musimy odejmować niczego więcej od otrzymanej liczby. Ten numer jest zapisany pod poziomą linią:

Za pomocą tego programu matematycznego możesz podzielić wielomiany przez kolumnę.
Program do dzielenia wielomianu przez wielomian nie tylko daje odpowiedź na problem, ale daje szczegółowe rozwiązanie z objaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania w celu sprawdzenia znajomości matematyki i/lub algebry.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w ramach przygotowań do testów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed Zjednoczonym Egzaminem Państwowym, dla rodziców do kontrolowania rozwiązywania wielu problemów z matematyki i algebry. A może za drogo zatrudnisz korepetytora lub kupisz nowe podręczniki? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić pracę domową z matematyki lub algebry? W takim przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci lub sióstr, jednocześnie podnosząc poziom edukacji w zakresie zadań do rozwiązania.

Jeśli potrzebujesz lub uprościć wielomian lub pomnóż wielomiany, to do tego mamy osobny program Uproszczenie (mnożenie) wielomianu

Pierwszy wielomian (dywidenda - co dzielimy):

Drugi wielomian (dzielnik - przez co dzielimy):

Dzielenie wielomianów

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.

Masz wyłączoną obsługę JavaScript w swojej przeglądarce.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musi być włączony JavaScript.
Oto instrukcje, jak włączyć JavaScript w przeglądarce.

Dlatego Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Poczekaj proszę sek...

Jeśli ty zauważyłem błąd w rozwiązaniu, możesz o tym napisać w Formularzu Informacji Zwrotnej .
Nie zapomnij wskazać, które zadanie Ty decydujesz co? wpisz w polach.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Podział wielomianu przez wielomian (dwumian) z kolumną (narożnik)

W algebrze podział wielomianów przez kolumnę (narożnik)- algorytm dzielenia wielomianu f(x) przez wielomian (dwumianowy) g(x), którego stopień jest mniejszy lub równy stopniowi wielomianu f(x).

Algorytm dzielenia wielomianu przez wielomian jest uogólnioną formą dzielenia liczb przez kolumnę, którą można łatwo zaimplementować ręcznie.

Dla dowolnych wielomianów \(f(x) \) i \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) istnieją unikalne wielomiany \(q(x) \) i \(r( x ) \), taki, że
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
gdzie \(r(x) \) ma niższy stopień niż \(g(x) \).

Celem algorytmu dzielenia wielomianów na kolumnę (narożnik) jest znalezienie ilorazu \(q(x) \) i reszty \(r(x) \) dla danej dywidendy \(f(x) \) oraz niezerowy dzielnik \(g(x) \)

Przykład

Dzielimy jeden wielomian przez inny wielomian (dwumianowy) z kolumną (narożnikiem):
\(\duża \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Iloraz i resztę dzielenia tych wielomianów można znaleźć w następujących krokach:
1. Podziel pierwszy element dywidendy przez najwyższy element dzielnika, wynik umieść w wierszu \((x^3/x = x^2) \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2 \)

3. Odejmij wielomian otrzymany po mnożeniu od dzielnicy, wynik zapisz pod wierszem \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2 \)

4. Powtarzamy poprzednie 3 kroki, używając wielomianu zapisanego pod linią jako dzielną.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x\)

5. Powtórz krok 4.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x\) \(-27 \)

6. Koniec algorytmu.
Zatem wielomian \(q(x)=x^2-9x-27 \) jest częściowym dzieleniem wielomianów, a \(r(x)=-123 \) jest pozostałą częścią dzielenia wielomianów.

Wynik dzielenia wielomianów można zapisać jako dwie równości:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
lub
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Podział liczb naturalnych, zwłaszcza wielowartościowych, wygodnie przeprowadza się specjalną metodą, która nazywa się podział według kolumny (w kolumnie). Możesz również zobaczyć nazwę podział narożny. Od razu zauważamy, że w kolumnie można przeprowadzić zarówno dzielenie liczb naturalnych bez reszty, jak i dzielenie liczb naturalnych z resztą.

W tym artykule zrozumiemy, jak odbywa się podział według kolumny. Tutaj porozmawiamy o zasadach pisania oraz o wszystkich obliczeniach pośrednich. Najpierw zajmijmy się dzieleniem wielowartościowej liczby naturalnej przez liczbę jednocyfrową przez kolumnę. Następnie skupimy się na przypadkach, w których zarówno dzielna, jak i dzielnik są wielowartościowymi liczbami naturalnymi. Cała teoria tego artykułu zawiera charakterystyczne przykłady dzielenia przez kolumnę liczb naturalnych ze szczegółowymi objaśnieniami rozwiązania i ilustracjami.

Nawigacja po stronach.

Zasady nagrywania przy podziale według kolumny

Zacznijmy od przestudiowania zasad pisania dzielnej, dzielnika, wszystkich obliczeń pośrednich i wyników przy dzieleniu liczb naturalnych przez kolumnę. Powiedzmy od razu, że najwygodniej jest podzielić w kolumnie na papierze na papierze z linią w szachownicę - więc jest mniejsza szansa na zboczenie z pożądanego wiersza i kolumny.

Najpierw dzielna i dzielnik są zapisywane w jednym wierszu od lewej do prawej, po czym między wpisanymi liczbami wyświetlany jest symbol formy. Na przykład, jeśli dzielna to liczba 6 105, a dzielnik to 5 5, to ich poprawny zapis przy podziale na kolumnę będzie następujący:

Spójrz na poniższy diagram, który ilustruje miejsca do zapisywania obliczeń dzielnej, dzielnika, ilorazu, reszty i pośrednich podczas dzielenia przez kolumnę.

Z powyższego wykresu widać, że pożądany iloraz (lub iloraz niepełny przy dzieleniu z resztą) zostanie zapisany poniżej dzielnika pod linią poziomą. A obliczenia pośrednie zostaną przeprowadzone poniżej dywidendy, a o dostępność miejsca na stronie trzeba wcześniej zadbać. W tym przypadku należy kierować się zasadą: im większa różnica liczby znaków we wpisach dzielnika i dzielnika, tym więcej miejsca zajmuje. Na przykład, dzieląc liczbę naturalną 614 808 przez 51 234 przez kolumnę (614 808 to liczba sześciocyfrowa, 51 234 to liczba pięciocyfrowa, różnica w liczbie znaków w rekordach wynosi 6−5=1), pośrednia obliczenia będą wymagały mniej miejsca niż przy dzieleniu liczb 8 058 i 4 (tu różnica w liczbie znaków wynosi 4−1=3 ). Na potwierdzenie naszych słów przedstawiamy wypełnione zapisy dzielenia przez kolumnę tych liczb naturalnych:

Teraz możesz przejść bezpośrednio do procesu dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę.

Dzielenie przez kolumnę liczby naturalnej przez jednocyfrową liczbę naturalną, algorytm dzielenia przez kolumnę

Oczywiste jest, że dzielenie jednej jednocyfrowej liczby naturalnej przez drugą jest dość proste i nie ma powodu, aby dzielić te liczby na kolumnę. Przyda się jednak przećwiczenie początkowej umiejętności dzielenia przez kolumnę na tych prostych przykładach.

Przykład.

Musimy podzielić przez kolumnę 8 przez 2.

Rozwiązanie.

Oczywiście możemy dokonać dzielenia za pomocą tabliczki mnożenia i od razu zapisać odpowiedź 8:2=4.

Ale interesuje nas, jak podzielić te liczby przez kolumnę.

Najpierw zapisujemy dzielną 8 i dzielnik 2 zgodnie z wymaganiami metody:

Teraz zaczynamy obliczać, ile razy dzielnik jest w dywidendzie. W tym celu kolejno mnożymy dzielnik przez liczby 0, 1, 2, 3, ... aż otrzymamy liczbę równą dzielnej (lub większą od dzielnej, jeśli jest dzielenie z resztą ). Jeśli otrzymamy liczbę równą dzielnej, to od razu wpisujemy ją pod dywidendę, a w miejsce prywatnej wpisujemy liczbę, przez którą pomnożyliśmy dzielnik. Jeśli otrzymamy liczbę większą od podzielnej, to pod dzielnikiem wpisujemy liczbę obliczoną na przedostatnim kroku, a w miejsce niepełnego ilorazu wpisujemy liczbę, przez którą dzielnik został pomnożony na przedostatnim kroku.

Chodźmy: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Otrzymaliśmy liczbę równą dywidendzie, więc wpisujemy ją pod dywidendę, a w miejsce prywatnej wpisujemy liczbę 4. Rekord będzie wtedy wyglądał tak:

Pozostaje ostatni etap dzielenia jednocyfrowych liczb naturalnych przez kolumnę. Pod liczbą zapisaną pod dywidendą należy narysować poziomą linię i odjąć liczby powyżej tej linii w taki sam sposób, jak to się robi przy odejmowaniu liczb naturalnych za pomocą kolumny. Liczba uzyskana po odjęciu będzie pozostałą częścią dzielenia. Jeśli jest równy zero, to pierwotne liczby są dzielone bez reszty.

W naszym przykładzie otrzymujemy

Teraz mamy gotowy zapis dzielenia przez kolumnę liczby 8 przez 2. Widzimy, że iloraz 8:2 wynosi 4 (a reszta to 0 ).

Odpowiadać:

8:2=4 .

Teraz zastanów się, jak odbywa się dzielenie przez kolumnę jednocyfrowych liczb naturalnych z resztą.

Przykład.

Podziel według kolumny 7 przez 3.

Rozwiązanie.

Na początkowym etapie wpis wygląda tak:

Zaczynamy dowiadywać się, ile razy dywidenda zawiera dzielnik. Pomnożymy 3 przez 0, 1, 2, 3 itd. dopóki nie otrzymamy liczby równej lub większej niż dywidenda 7. Otrzymujemy 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (jeśli to konieczne, odnieś się do artykułu porównanie liczb naturalnych). Pod dywidendą wpisujemy liczbę 6 (została uzyskana na przedostatnim kroku), a w miejsce niepełnego ilorazu wpisujemy liczbę 2 (została pomnożona na przedostatnim kroku).

Pozostaje wykonać odejmowanie, a dzielenie przez kolumnę jednocyfrowych liczb naturalnych 7 i 3 zostanie zakończone.

Więc iloraz cząstkowy wynosi 2 , a reszta to 1 .

Odpowiadać:

7:3=2 (odpoczynek 1) .

Teraz możemy przejść do dzielenia wielowartościowych liczb naturalnych przez jednocyfrowe liczby naturalne przez kolumnę.

Teraz przeanalizujemy algorytm dzielenia kolumn. Na każdym etapie przedstawimy wyniki uzyskane przez podzielenie wielowartościowej liczby naturalnej 140 288 przez jednowartościową liczbę naturalną 4 . Ten przykład nie został wybrany przypadkowo, ponieważ rozwiązując go, napotkamy wszystkie możliwe niuanse, będziemy mogli je szczegółowo przeanalizować.

Najpierw patrzymy na pierwszą cyfrę od lewej we wpisie dywidendy. Jeśli liczba określona przez tę liczbę jest większa niż dzielnik, to w następnym akapicie musimy pracować z tą liczbą. Jeśli ta liczba jest mniejsza niż dzielnik, to musimy dodać kolejną cyfrę z lewej strony w rekordzie dywidendy i dalej pracować z liczbą określoną przez te dwie cyfry. Dla wygody wybieramy w naszym rekordzie numer, z którym będziemy pracować.

Pierwsza cyfra od lewej w dywidendzie 140 288 to liczba 1. Liczba 1 jest mniejsza niż dzielnik 4, więc patrzymy również na następną cyfrę po lewej stronie w rekordzie dywidendy. Jednocześnie widzimy liczbę 14, z którą musimy dalej pracować. Wybieramy tę liczbę w notacji dywidendy.

Kolejne punkty od drugiego do czwartego są powtarzane cyklicznie, aż do zakończenia dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę.

Teraz musimy określić, ile razy dzielnik jest zawarty w liczbie, z którą pracujemy (dla wygody oznaczmy tę liczbę jako x ). Aby to zrobić, kolejno mnożymy dzielnik przez 0, 1, 2, 3, ... aż otrzymamy liczbę x lub liczbę większą od x. Po uzyskaniu liczby x zapisujemy ją pod wybraną liczbą zgodnie z zasadami notacji stosowanymi przy odejmowaniu przez kolumnę liczb naturalnych. Liczba, przez którą wykonano mnożenie, jest zapisywana w miejsce ilorazu podczas pierwszego przebiegu algorytmu (podczas kolejnych przebiegów 2-4 punktów algorytmu liczba ta jest zapisywana na prawo od już istniejących liczb). Gdy uzyskamy liczbę większą od liczby x, to pod wybraną liczbą wpisujemy liczbę uzyskaną w przedostatnim kroku, a w miejsce ilorazu (lub po prawej stronie już istniejących liczb) wpisujemy liczbę przez którego mnożenie zostało przeprowadzone na przedostatnim kroku. (Podobne działania przeprowadziliśmy w dwóch omówionych powyżej przykładach).

Mnożymy dzielnik 4 przez liczby 0 , 1 , 2 , ... aż otrzymamy liczbę równą 14 lub większą od 14 . Mamy 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>czternaście. Ponieważ w ostatnim kroku otrzymaliśmy liczbę 16, która jest większa od 14, to pod wybraną liczbą wpisujemy liczbę 12, która okazała się w przedostatnim kroku, a w miejsce ilorazu wpisujemy liczbę 3, ponieważ w w przedostatnim akapicie właśnie na nim dokonano mnożenia.


Na tym etapie od wybranej liczby odejmij w kolumnie liczbę pod nią. Poniżej linii poziomej znajduje się wynik odejmowania. Jeśli jednak wynik odejmowania wynosi zero, to nie trzeba go zapisywać (chyba że odejmowanie w tym momencie jest ostatnią czynnością, która całkowicie uzupełnia dzielenie przez kolumnę). Tutaj, dla twojej kontroli, nie będzie zbyteczne porównywanie wyniku odejmowania z dzielnikiem i upewnianie się, że jest on mniejszy niż dzielnik. W przeciwnym razie gdzieś popełniono błąd.

Musimy odjąć liczbę 12 od liczby 14 w kolumnie (dla poprawnej notacji nie wolno zapomnieć o wstawieniu znaku minus po lewej stronie odejmowanych liczb). Po zakończeniu tej akcji cyfra 2 pojawiła się pod linią poziomą. Teraz sprawdzamy nasze obliczenia, porównując wynikową liczbę z dzielnikiem. Ponieważ liczba 2 jest mniejsza niż dzielnik 4, możesz bezpiecznie przejść do następnego elementu.


Teraz pod poziomą linią na prawo od liczb tam znajdujących się (lub na prawo od miejsca, w którym nie wpisaliśmy zera) wpisujemy liczbę znajdującą się w tej samej kolumnie w ewidencji dywidendy. Jeśli w rekordzie dywidendy w tej kolumnie nie ma liczb, to podział przez kolumnę kończy się tutaj. Następnie wybieramy liczbę utworzoną pod linią poziomą, przyjmujemy ją jako liczbę roboczą i powtarzamy z nią od 2 do 4 punktów algorytmu.

Pod poziomą linią po prawej stronie liczby 2, która już tam jest, piszemy liczbę 0, ponieważ jest to liczba 0, która znajduje się w rekordzie dywidendy 140 288 w tej kolumnie. W ten sposób liczba 20 powstaje pod linią poziomą.


Wybieramy tę liczbę 20, przyjmujemy ją jako liczbę roboczą i powtarzamy z nią działania drugiego, trzeciego i czwartego punktu algorytmu.

Mnożymy dzielnik 4 przez 0 , 1 , 2 , ... aż otrzymamy liczbę 20 lub liczbę większą od 20 . Mamy 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Wykonujemy odejmowanie przez kolumnę. Ponieważ odejmujemy równe liczby naturalne, to ze względu na właściwość odejmowania równych liczb naturalnych w wyniku otrzymujemy zero. Nie zapisujemy zera (ponieważ nie jest to jeszcze ostatni etap dzielenia przez kolumnę), ale pamiętamy miejsce, w którym moglibyśmy to zapisać (dla wygody zaznaczymy to miejsce czarnym prostokątem).


Pod poziomą linią po prawej stronie zapamiętanego miejsca zapisujemy liczbę 2, ponieważ to ona jest w zapisie dywidendy 140 288 w tej kolumnie. Tak więc pod linią poziomą mamy liczbę 2 .


Bierzemy liczbę 2 jako liczbę roboczą, zaznaczamy ją i ponownie będziemy musieli wykonać kroki z 2-4 punktów algorytmu.

Mnożymy dzielnik przez 0 , 1 , 2 i tak dalej i porównujemy otrzymane liczby z zaznaczoną liczbą 2 . Mamy 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Dlatego pod zaznaczoną liczbą piszemy liczbę 0 (uzyskano ją w przedostatnim kroku), a w miejsce ilorazu po prawej stronie liczby już tam, piszemy liczbę 0 (pomnożyliśmy przez 0 na przedostatnim krok).


Wykonujemy odejmowanie przez kolumnę, otrzymujemy liczbę 2 pod linią poziomą. Sprawdzamy się, porównując otrzymaną liczbę z dzielnikiem 4 . Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Pod poziomą linią na prawo od liczby 2 dodajemy liczbę 8 (ponieważ jest w tej kolumnie w zapisie dywidendy 140 288). Tak więc pod poziomą linią znajduje się liczba 28.


Przyjmujemy ten numer jako pracownika, zaznaczamy go i powtarzamy kroki 2-4 akapitów.

Nie powinno być tu żadnych problemów, jeśli do tej pory byłeś ostrożny. Po wykonaniu wszystkich niezbędnych czynności uzyskuje się następujący wynik.

Pozostaje po raz ostatni wykonać czynności z punktów 2, 3, 4 (udostępniamy je Tobie), po czym uzyskasz pełny obraz dzielenia liczb naturalnych 140 288 i 4 na kolumnę:

Zwróć uwagę, że cyfra 0 jest zapisana na samym dole wiersza. Gdyby nie był to ostatni krok dzielenia przez kolumnę (to znaczy, gdyby w kolumnach po prawej stronie w rekordzie dywidendy były liczby), to nie zapisalibyśmy tego zera.

Tak więc patrząc na kompletny zapis dzielenia wielowartościowej liczby naturalnej 140 288 przez jednowartościową liczbę naturalną 4, widzimy, że liczba 35 072 jest prywatna (a reszta z dzielenia wynosi zero, jest na samym dolna linia).

Oczywiście, dzieląc liczby naturalne przez kolumnę, nie opiszesz wszystkich swoich działań tak szczegółowo. Twoje rozwiązania będą wyglądać podobnie do poniższych przykładów.

Przykład.

Wykonaj dzielenie długie, jeśli dzielna wynosi 7136, a dzielnik jest pojedynczą liczbą naturalną 9.

Rozwiązanie.

W pierwszym kroku algorytmu dzielenia liczb naturalnych przez kolumnę otrzymujemy zapis postaci

Po wykonaniu czynności z drugiego, trzeciego i czwartego punktu algorytmu zapis podziału przez kolumnę przyjmie postać

Powtarzając cykl, będziemy mieli

Jeszcze jedno przejście da nam pełny obraz dzielenia przez kolumnę liczb naturalnych 7 136 i 9

Zatem iloraz cząstkowy wynosi 792 , a reszta z podziału wynosi 8 .

Odpowiadać:

7 136:9=792 (odpoczynek 8).

A ten przykład pokazuje, jak powinno wyglądać dzielenie.

Przykład.

Liczbę naturalną 7 042 035 należy podzielić przez jednocyfrową liczbę naturalną 7 .

Rozwiązanie.

Najwygodniej jest przeprowadzić podział według kolumny.

Odpowiadać:

7 042 035:7=1 006 005 .

Dzielenie przez kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych

Spieszymy, aby cię zadowolić: jeśli dobrze opanowałeś algorytm dzielenia przez kolumnę z poprzedniego akapitu tego artykułu, to już prawie wiesz, jak wykonać dzielenie przez kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych. To prawda, ponieważ kroki od 2 do 4 algorytmu pozostają niezmienione, a w pierwszym kroku pojawiają się tylko niewielkie zmiany.

W pierwszym etapie dzielenia na kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych należy patrzeć nie na pierwszą cyfrę z lewej strony w zapisie dywidendy, ale na tyle, ile jest cyfr w zapisie dzielnika. Jeśli liczba określona przez te liczby jest większa niż dzielnik, to w następnym akapicie musimy pracować z tą liczbą. Jeśli ta liczba jest mniejsza niż dzielnik, to musimy dodać do rozpatrzenia kolejną cyfrę z lewej strony w zapisie dywidendy. Następnie czynności wskazane w paragrafach 2, 3 i 4 algorytmu są wykonywane aż do uzyskania końcowego wyniku.

Pozostaje tylko zobaczyć zastosowanie algorytmu dzielenia przez kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych w praktyce przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład.

Wykonajmy dzielenie przez kolumnę wielowartościowych liczb naturalnych 5562 i 206.

Rozwiązanie.

Ponieważ w rekordzie dzielnika 206 zaangażowane są 3 znaki, patrzymy na pierwsze 3 cyfry po lewej stronie w rekordzie dzielnika 5 562. Liczby te odpowiadają numerowi 556. Ponieważ 556 jest większe niż dzielnik 206, przyjmujemy liczbę 556 jako działającą, wybieramy ją i przechodzimy do następnego etapu algorytmu.

Teraz mnożymy dzielnik 206 przez liczby 0 , 1 , 2 , 3 , ... aż otrzymamy liczbę równą 556 lub większą od 556 . Mamy (jeśli mnożenie jest trudne, to lepiej wykonać mnożenie liczb naturalnych w kolumnie): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Skoro otrzymaliśmy liczbę większą od 556, to pod wybraną liczbą wpisujemy liczbę 412 (uzyskano ją w przedostatnim kroku), a w miejsce ilorazu wpisujemy liczbę 2 (ponieważ została pomnożona w przedostatni krok). Wpis podziału kolumny ma następującą postać:

Wykonaj odejmowanie kolumn. Otrzymujemy różnicę 144, ta liczba jest mniejsza niż dzielnik, dzięki czemu można bezpiecznie kontynuować wykonywanie wymaganych czynności.

Pod poziomą linią po prawej stronie dostępnej tam liczby wpisujemy liczbę 2, ponieważ jest ona w zapisie dywidendy 5 562 w tej kolumnie:

Teraz pracujemy z liczbą 1442, wybieramy ją i ponownie przechodzimy przez kroki od drugiego do czwartego.

Mnożymy dzielnik 206 przez 0 , 1 , 2 , 3 , ... aż otrzymamy liczbę 1442 lub liczbę większą od 1442 . Chodźmy: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Odejmujemy przez kolumnę, otrzymujemy zero, ale nie zapisujemy tego od razu, tylko pamiętamy jego pozycję, bo nie wiemy, czy podział się tutaj kończy, czy będziemy musieli powtórzyć kroki algorytmu ponownie:

Teraz widzimy, że pod poziomą linią na prawo od zapamiętanej pozycji nie możemy zapisać żadnej liczby, ponieważ w rekordzie dywidendy w tej kolumnie nie ma żadnych liczb. Dlatego ten podział przez kolumnę się skończył i uzupełniamy wpis:

• Matematyka. Wszelkie podręczniki dla klas 1, 2, 3, 4 instytucji edukacyjnych.
• Matematyka. Wszelkie podręczniki dla 5 klas instytucji edukacyjnych.