Calculator de exemple pentru acțiuni dintr-o coloană. Împărțirea numerelor naturale după o coloană, exemple, soluții

Una dintre etapele importante în predarea unui copil a operațiilor matematice este învățarea operației de împărțire a numerelor prime. Cum să explici diviziunea unui copil, când poți începe să stăpânești acest subiect?

Pentru a învăța un copil împărțirea, este necesar ca până în momentul învățării să fi stăpânit deja operații matematice precum adunarea, scăderea și, de asemenea, să aibă o înțelegere clară a însăși esența operațiilor de înmulțire și împărțire. Adică, el trebuie să înțeleagă că împărțirea este împărțirea a ceva în părți egale. De asemenea, este necesar să predați operațiile de înmulțire și să învățați tabla înmulțirii.

Am scris deja despre cum acest articol vă poate fi util.

Stăpânim operația divizării (divizării) în părți într-un mod ludic

În această etapă, este necesar să se formeze în copil înțelegerea că diviziunea este împărțirea a ceva în părți egale. Cel mai simplu mod de a învăța un copil să facă acest lucru este să-l invitați să împărtășească un anumit număr de articole între prietenii sau membrii familiei sale.

De exemplu, luați 8 cuburi identice și invitați copilul să se împartă în două părți egale - pentru el și o altă persoană. Variați și complicați sarcina, invitați copilul să împartă 8 cuburi nu în două, ci în patru persoane. Analizează rezultatul cu el. Schimbați componentele, încercați cu un număr diferit de obiecte și persoane în care aceste obiecte trebuie împărțite.

Important: Asigurați-vă că la început copilul operează cu un număr par de obiecte, astfel încât rezultatul împărțirii să fie același număr de părți. Acest lucru va fi util în următorul pas, când copilul trebuie să înțeleagă că împărțirea este inversul înmulțirii.

Înmulțiți și împărțiți folosind tabelul înmulțirii

Explicați-i copilului că, în matematică, opusul înmulțirii se numește împărțire. Folosind tabla înmulțirii, demonstrați elevului, folosind orice exemplu, relația dintre înmulțire și împărțire.

Exemplu: 4x2=8. Amintiți-i copilului că rezultatul înmulțirii este produsul a două numere. Apoi explicați că împărțirea este inversul înmulțirii și ilustrați acest lucru clar.

Împărțiți produsul rezultat „8” din exemplu – cu oricare dintre factori – „2” sau „4”, iar rezultatul va fi întotdeauna un alt factor care nu a fost utilizat în operație.

De asemenea, trebuie să-l învățați pe tânărul student cum sunt numite categoriile care descriu funcționarea diviziunii - „divizibil”, „divizor” și „cot”. Folosiți un exemplu pentru a arăta ce numere sunt divizibile, divizor și cât. Consolidează aceste cunoștințe, acestea sunt necesare pentru învățarea ulterioară!

De fapt, trebuie să-i învățați pe copilul dumneavoastră tabla înmulțirii „în sens invers”, și trebuie să o memorați la fel ca și masa înmulțirii în sine, deoarece acest lucru va fi necesar atunci când începeți să predați împărțirea lungă.

Împărțiți cu o coloană - dați un exemplu

Înainte de a începe lecția, amintiți-vă împreună cu copilul dumneavoastră cum sunt numite numerele în timpul operațiunii de împărțire. Ce este un „divizor”, „divizibil”, „cot”? Învață să identifici corect și rapid aceste categorii. Acest lucru va fi foarte util în timp ce îl înveți pe copil să împartă numere prime.

Vă explicăm clar

Să împărțim 938 la 7. În acest exemplu, 938 este dividendul, 7 este divizorul. Rezultatul va fi un cot, apoi trebuie să îl calculați.

Pasul 1. Notăm numerele, împărțindu-le cu un „colț”.

Pasul 2 Arătați elevului numărul de divizibil și rugați-l să aleagă dintre ei cel mai mic număr care este mai mare decât divizorul. Dintre cele trei numere 9, 3 și 8, acest număr va fi 9. Invitați copilul să analizeze de câte ori poate fi conținut numărul 7 în numărul 9? Așa e, doar o dată. Prin urmare, primul rezultat pe care îl notăm va fi 1.

Pasul 3 Să trecem la proiectarea împărțirii după o coloană:

Înmulțim divizorul 7x1 și obținem 7. Scriem rezultatul obținut sub primul număr al dividendului nostru 938 și scădem, ca de obicei, într-o coloană. Adică scădem 7 din 9 și obținem 2.

Notăm rezultatul.

Pasul 4 Numărul pe care îl vedem este mai mic decât divizorul, așa că trebuie să îl creștem. Pentru a face acest lucru, îl combinăm cu următorul număr neutilizat al dividendului nostru - va fi 3. Atribuim 3 numărului rezultat 2.

Pasul 5În continuare, acționăm conform algoritmului deja cunoscut. Să analizăm de câte ori divizorul nostru 7 este conținut în numărul rezultat 23? Așa e, de trei ori. Fixăm numărul 3 în coeficient. Și rezultatul produsului - 21 (7 * 3) este scris mai jos sub numărul 23 într-o coloană.

Pasul.6 Acum rămâne să găsim ultimul număr al coeficientului nostru. Folosind algoritmul deja familiar, continuăm să facem calcule într-o coloană. Scăzând în coloana (23-21) obținem diferența. Este egal cu 2.

Din dividend, avem un număr nefolosit - 8. Îl combinăm cu numărul 2 obținut în urma scăderii, obținem - 28.

Pasul 7 Să analizăm de câte ori divizorul nostru 7 este conținut în numărul rezultat? Așa e, de 4 ori. Scriem cifra rezultată în rezultat. Deci, avem câtul obținut ca urmare a împărțirii cu o coloană = 134.

Cum să înveți un copil să împartă - consolidăm abilitățile

Principalul motiv pentru care mulți elevi au o problemă cu matematica este incapacitatea de a face rapid calcule aritmetice simple. Și pe această bază se construiește toată matematica din școala elementară. Mai ales adesea problema este în înmulțire și împărțire.
Pentru ca un copil să învețe cum să efectueze rapid și eficient calculele de divizare în minte, este necesară o metodologie de predare corectă și consolidarea abilității. Pentru a face acest lucru, vă sfătuim să utilizați ajutoarele populare în prezent în stăpânirea abilității de divizare. Unele sunt concepute pentru ca copiii să lucreze cu părinții lor, altele pentru munca independentă.

1. "Divizia. Nivelul 3. Caiet de lucru „de la cel mai mare centru internațional de educație suplimentară Kumon
2. "Divizia. Caiet de lucru pentru nivelul 4 de Kumon
3. „Nu aritmetică mentală. Un sistem pentru predarea unui copil înmulțirea și împărțirea rapidă. Timp de 21 de zile. Simulator Notepad.» de la Sh. Akhmadulin - autorul celor mai bine vândute cărți educaționale

Cel mai important lucru atunci când înveți un copil să împartă într-o coloană este să stăpânești algoritmul, care, în general, este destul de simplu.

Dacă copilul funcționează bine cu tabla înmulțirii și împărțirea „inversă”, nu va avea dificultăți. Cu toate acestea, este foarte important să antrenezi în mod constant abilitățile dobândite. Nu te opri aici de îndată ce realizezi că copilul a înțeles esența metodei.

Pentru a învăța cu ușurință un copil operația de divizare, aveți nevoie de:

• Astfel încât la vârsta de doi sau trei ani a stăpânit relația „întreg – parte”. El ar trebui să dezvolte o înțelegere a întregului ca o categorie inseparabilă și percepția unei părți separate a întregului ca un obiect independent. De exemplu, un camion de jucărie este un întreg, iar corpul său, roțile, ușile sunt părți ale acestui întreg.
• Pentru ca la vârsta de școală primară copilul să opereze liber cu acțiuni de adunare și scădere a numerelor, să înțeleagă esența proceselor de înmulțire și împărțire.

Pentru ca copilul să se bucure de matematică, este necesar să-i trezească interesul pentru matematică și acțiunile matematice, nu numai în timpul antrenamentului, ci și în situațiile cotidiene.

Prin urmare, încurajați și dezvoltați observația la copil, trageți analogii cu operațiile matematice (operații de numărare și împărțire, analiza relațiilor părți-întreg etc.) în timpul construcției, jocurilor și observațiilor naturii.

Lector, specialist centru de dezvoltare a copilului
Druzhinina Elena
site special pentru proiect

Intriga video pentru părinți, cum să explicați corect copilului împărțirea într-o coloană:

Un calculator de coloană pentru dispozitivele Android va fi un ajutor excelent pentru școlarii moderni. Programul nu numai că oferă răspunsul corect la o acțiune matematică, dar și demonstrează clar soluția sa pas cu pas. Dacă aveți nevoie de calculatoare mai complexe, vă puteți uita la calculatorul de inginerie avansată.

Particularități

Caracteristica principală a programului este unicitatea calculului operațiilor matematice. Afișarea procesului de calcul într-o coloană permite elevilor să-l cunoască mai detaliat, să înțeleagă algoritmul de soluție și nu doar să obțină rezultatul final și să-l rescrie într-un caiet. Această caracteristică are un avantaj imens față de alte calculatoare. destul de des la școală, profesorii solicită ca calculele intermediare să fie notate pentru a se asigura că elevul le face în minte și înțelege cu adevărat algoritmul de rezolvare a problemelor. Apropo, avem un alt program de gen - .

Pentru a începe să utilizați programul, trebuie să descărcați un calculator într-o coloană pe Android. Puteți face acest lucru pe site-ul nostru absolut gratuit, fără înregistrări suplimentare și SMS. După instalare, pagina principală se va deschide sub forma unei foi de notebook într-o cușcă, pe care, de fapt, vor fi afișate rezultatele calculului și soluția lor detaliată. În partea de jos există un panou cu butoane:

1. Numerele.
2. Semne ale operațiilor aritmetice.
3. Ștergeți caracterele introduse anterior.

Introducerea se efectuează după același principiu ca și on. Toată diferența este doar în interfața aplicației - toate calculele matematice și rezultatele lor sunt afișate într-un caiet virtual al elevului.

Aplicația vă permite să efectuați rapid și corect calcule matematice standard pentru un student într-o coloană:

• multiplicare;
• Divizia;
• plus;
• scădere.

Un plus bun la aplicație este funcția zilnică de memento a temelor de matematică. Dacă vrei, fă-ți temele. Pentru a-l activa, accesați setările (apăsați butonul sub formă de roată) și bifați caseta de memento.

Avantaje și dezavantaje

1. Ajută elevul nu numai să obțină rapid rezultatul corect al calculelor matematice, ci și să înțeleagă însuși principiul calculului.
2. Interfață foarte simplă, intuitivă pentru fiecare utilizator.
3. Puteți instala aplicația chiar și pe cel mai bugetar dispozitiv Android cu sistem de operare 2.2 și o versiune ulterioară.
4. Calculatorul salvează un istoric al calculelor matematice, care poate fi șters în orice moment.

Calculatorul este limitat în operațiuni matematice, așa că nu va funcționa pentru calcule complexe pe care le-ar putea gestiona un calculator de inginerie. Cu toate acestea, având în vedere scopul aplicației în sine - de a demonstra în mod clar principiul calculării într-o coloană elevilor de școală elementară, acest lucru nu ar trebui considerat un dezavantaj.

Aplicația va fi, de asemenea, un asistent excelent nu numai pentru școlari, ci și pentru părinții care doresc să-și facă copilul interesat de matematică și să-l învețe cum să efectueze calcule corect și consecvent. Dacă ați folosit deja aplicația Stacked Calculator, lăsați-vă impresiile mai jos în comentarii.

Este convenabil să se efectueze o metodă specială, care se numește scăderea coloanei sau scăderea coloanei. Această metodă de scădere își justifică denumirea, deoarece minuendul, scăderea și diferența sunt scrise într-o coloană. Calculele intermediare se efectuează și în coloane corespunzătoare cifrelor numerelor.

Comoditatea scăderii numerelor naturale dintr-o coloană constă în simplitatea calculelor. Calculele se reduc la utilizarea tabelului de adunare și aplicarea proprietăților de scădere.

Să vedem cum se efectuează scăderea coloanelor. Vom lua în considerare procesul de scădere împreună cu rezolvarea exemplelor. Deci va fi mai clar.

Navigare în pagină.

Ce trebuie să știi pentru a scădea după o coloană?

Pentru a scădea numerele naturale dintr-o coloană, trebuie să știți, în primul rând, cum se efectuează scăderea folosind tabelul de adunare.

În cele din urmă, nu strica să repeți definiția descărcării numerelor naturale.

Scăderea cu o coloană pe exemple.

Să începem cu înregistrarea. Minuendul este scris primul. Sub minuend este subtrahendul. Mai mult, acest lucru se face în așa fel încât numerele să fie unul sub celălalt, începând din dreapta. Un semn minus este plasat în stânga numerelor înregistrate, iar mai jos este trasată o linie orizontală, sub care rezultatul va fi înregistrat după ce au fost întreprinse măsurile necesare.

Iată câteva exemple de intrări corecte la scăderea cu o coloană. Notează diferența într-o coloană 56−9 , diferență 3 004−1 670 , și 203 604 500−56 777 .

Deci, cu dosarul rezolvat.

Ne întoarcem la descrierea procesului de scădere printr-o coloană. Esența sa constă în scăderea succesivă a valorilor cifrelor corespunzătoare. În primul rând, se scad valorile cifrei unităților, apoi valorile cifrei zecilor, apoi valorile cifrei sutelor și așa mai departe. Rezultatele sunt înregistrate sub linia orizontală în locurile corespunzătoare. Numărul care se formează sub linie după finalizarea procesului este rezultatul dorit al scăderii celor două numere naturale originale.

Imaginează-ți o diagramă care ilustrează procesul de scădere printr-o coloană de numere naturale.

Schema de mai sus oferă o imagine generală a scăderii numerelor naturale printr-o coloană, dar nu reflectă toate subtilitățile. Ne vom ocupa de aceste subtilități atunci când rezolvăm exemple. Să începem cu cele mai simple cazuri, iar apoi vom trece treptat către cazuri mai complexe, până ne dăm seama de toate nuanțele care pot apărea la scăderea cu o coloană.

Exemplu.

Mai întâi, scădeți o coloană din număr 74 805 număr 24 003 .

Soluţie.

Să scriem aceste numere așa cum este cerut de metoda de scădere a coloanei:

Începem prin a scădea valorile cifrelor unităților, adică scădem din numărul 5 număr 3 . Din tabelul de adunare avem 5−3=2 . Rezultatele obținute le scriem sub linia orizontală în aceeași coloană în care sunt situate numerele 5 Și 3 :

Acum scădeți valorile cifrei zecilor (în exemplul nostru, acestea sunt egale cu zero). Avem 0−0=0 (am menționat această proprietate a scăderii în paragraful anterior). Scriem zeroul rezultat sub linia din aceeași coloană:

Daţi-i drumul. Scădeți valorile locului sutelor: 8−0=8 (după proprietatea de scădere, exprimată în paragraful anterior). Acum intrarea noastră va arăta astfel:

Să trecem la scăderea valorilor locului de mii: 4−4=0 (acestea sunt proprietăți de scădere a numerelor naturale egale). Avem:

Rămâne să scădem valorile locului zecilor de mii: 7−2=5 . Scriem numărul rezultat sub linie în locul potrivit:

Aceasta completează scăderea coloanei. Număr 50 802 , care s-a dovedit mai jos, este rezultatul scăderii numerelor naturale originale 74 805 Și 24 003 .

Luați în considerare următorul exemplu.

Exemplu.

Scădeți o coloană din număr 5 777 număr 5 751 .

Soluţie.

Facem totul în același mod ca în exemplul anterior - scădem valorile cifrelor corespunzătoare. După parcurgerea tuturor pașilor, intrarea va arăta astfel:

Sub linie avem un număr în înregistrarea căruia sunt numere în stânga 0 . Dacă aceste numere 0 aruncați, apoi obținem rezultatul scăderii numerelor naturale originale. În cazul nostru, aruncăm două cifre 0 obtinut in stanga. Avem: diferenta 5 777−5 751 este egal cu 26 .

Până în acest moment, am scăzut numere naturale ale căror înregistrări constau din același număr de caractere. Acum, folosind un exemplu, să ne dăm seama cum se scad numerele naturale într-o coloană când există mai multe semne în înregistrarea reducerii decât în ​​înregistrarea subtraendului.

Exemplu.

Scădeți din număr 502 864 număr 2 330 .

Soluţie.

Scriem minuendul și subtrahendul într-o coloană:

Scădeți valorile cifrei unității una câte una: 4−0=4 ; urmat de zeci: 6−3=3 ; mai departe - sute: 8−3=5 ; mai departe - mii: 2−2=0 . Primim:

Acum, pentru a finaliza scăderea coloanei, mai trebuie să scădem valorile locului zecilor de mii, apoi valorile locului sute de mii. Dar din valorile acestor cifre (în exemplul nostru, din numere 0 Și 5 ) nu avem nimic de scăzut (din moment ce numărul scăzut 2 330 nu are cifre în aceste cifre). Cum să fii? Foarte simplu - valorile acestor biți sunt pur și simplu rescrise sub linia orizontală:

Pe această scădere printr-o coloană de numere naturale 502 864 Și 2 330 efectuat. Diferența este 500 534 .

Rămâne de luat în considerare cazurile în care, la un pas al scăderii coloanei, valoarea cifrei numărului redus este mai mică decât valoarea cifrei corespunzătoare celei subtraend. În aceste cazuri, trebuie să „împrumuți” de la rangurile seniori. Să înțelegem asta cu exemple.

Exemplu.

Scădeți o coloană din număr 534 număr 71 .

Soluţie.

La primul pas, scade din 4 număr 1 , primim 3 . Avem:

În pasul următor, trebuie să scădem valorile cifrei zecilor, adică din număr 3 scădeți numărul 7 . Deoarece 3<7 , atunci nu putem scădea aceste numere naturale (scăderea numerelor naturale este definită numai atunci când subtrahendul nu este mai mare decât minuend). Ce să fac? În acest caz, luăm 1 unitate din cel mai înalt ordin și „schimb-o”. În exemplul nostru, „schimb” 1 o suta pe 10 zeci. Pentru a reflecta vizual acțiunile noastre, punem un punct gros peste numărul din locul sutelor, iar peste numărul din locul zecilor scriem numărul 10 folosind o culoare diferită. Intrarea va arăta astfel:

Adăugăm primit după „schimb” 10 zeci să 3 zeci disponibile: 3+10=13 , și scădeți din acest număr 7 . Avem 13−7=6 . Acest număr 6 scrieți sub linia orizontală în locul ei:

Să trecem la scăderea valorilor locului sutelor. Aici vedem un punct deasupra numărului 5, ceea ce înseamnă că din acest număr am luat unul „pentru schimb”. Adică acum avem 5 , A 5−1=4 . Din număr 4 nimic altceva nu trebuie să fie scăzut (deoarece numărul inițial scăzut 71 nu conține cifre în locul sutelor). Astfel, sub linia orizontală scriem numărul 4 :

Deci diferența 534−71 este egal cu 463 .

Uneori, când scădeți printr-o coloană, trebuie să „schimbați” unități din cifrele cele mai mari de mai multe ori. În sprijinul acestor cuvinte, analizăm soluția exemplului următor.

Exemplu.

Scădeți din numărul natural 1 632 număr 947 coloană.

Soluţie.

În primul pas, trebuie să scădem din număr 2 număr 7 . Deoarece 2<7 , atunci trebuie imediat să „schimb” 1 duzină mai departe 10 unitati. După aceea, din sumă 10+2 scădeți numărul 7 , obținem (10+2)−7=12−7=5 :

În pasul următor, trebuie să scădem valorile cifrelor zecilor. Vedem asta peste număr 3 merită un punct, adică nu avem 3 , A 3−1=2 . Și din acest număr 2 trebuie să scădem numărul 4 . Deoarece 2<4 , apoi din nou trebuie să apelezi la „schimb”. Dar acum facem schimb 1 o suta pe 10 zeci. În acest caz, avem (10+2)−4=12−4=8 :

Acum scadem valorile locului sutelor. Din număr 6 unitatea a fost ocupată în pasul precedent, așa că avem 6−1=5 . Din acest număr trebuie să scădem numărul 9 . Deoarece 5<9 , atunci trebuie să „schimbăm” 1 o mie pe 10 sute. Se obține (10+5)−9=15−9=6 :

Ultimul pas rămâne. Din locul cel din mii pe care l-am împrumutat în pasul anterior, așa că avem 1−1=0 . Nu trebuie să scădem nimic altceva din numărul rezultat. Acest număr este scris sub linia orizontală:

Cu acest program matematic, puteți împărți polinoamele pe o coloană.
Programul de împărțire a unui polinom la un polinom nu oferă doar răspunsul problemei, ci oferă o soluție detaliată cu explicații, adică. afiseaza procesul de rezolvare in vederea verificarii cunostintelor de matematica si/sau algebra.

Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătirea pentru teste și examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul Unificat de Stat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.

Dacă aveți nevoie sau simplifica polinomul sau înmulțirea polinoamelor, atunci pentru aceasta avem un program separat Simplificarea (înmulțirea) unui polinom

Primul polinom (dividend - ce împărțim):

Al doilea polinom (divizor - cu ce împărțim):

Împărțiți polinoamele

S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Aveți JavaScript dezactivat în browser.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.

Deoarece Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Un pic de teorie.

Împărțirea unui polinom cu un polinom (binom) cu o coloană (colț)

În algebră împărțirea polinoamelor cu o coloană (colț)- un algoritm de împărțire a unui polinom f(x) la un polinom (binom) g(x), al cărui grad este mai mic sau egal cu gradul polinomului f(x).

Algoritmul de împărțire a unui polinom la un polinom este o formă generalizată de împărțire a numerelor la o coloană, ușor de implementat manual.

Pentru orice polinoame \(f(x) \) și \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), există polinoame unice \(q(x) \) și \(r( x ) \), astfel încât
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
unde \(r(x) \) are un grad mai mic decât \(g(x) \).

Scopul algoritmului de împărțire a polinoamelor într-o coloană (colț) este de a găsi câtul \(q(x) \) și restul \(r(x) \) pentru dividendul dat \(f(x) \) și divizor diferit de zero \(g(x) \)

Exemplu

Împărțim un polinom la un alt polinom (binom) cu o coloană (colț):
\(\mare \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Coeficientul și restul împărțirii acestor polinoame pot fi găsite în următorii pași:
1. Împărțiți primul element al dividendului cu cel mai înalt element al divizorului, puneți rezultatul sub linia \((x^3/x = x^2) \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2 \)

3. Scădeți polinomul obținut în urma înmulțirii din dividend, scrieți rezultatul sub linia \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2 \)

4. Repetăm ​​cei 3 pași anteriori, folosind polinomul scris sub linie ca dividend.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x\)

5. Repetați pasul 4.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x\) \(-27 \)

6. Sfârșitul algoritmului.
Astfel, polinomul \(q(x)=x^2-9x-27 \) este o împărțire parțială a polinoamelor, iar \(r(x)=-123 \) este restul împărțirii polinoamelor.

Rezultatul împărțirii polinoamelor poate fi scris ca două egalități:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
sau
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Împărțirea numerelor naturale, în special a numerelor cu mai multe valori, se realizează în mod convenabil printr-o metodă specială, care se numește împărțire pe o coloană (într-o coloană). Puteți vedea și numele diviziune de colt. Imediat, observăm că coloana poate fi efectuată atât împărțirea numerelor naturale fără rest, cât și împărțirea numerelor naturale cu rest.

În acest articol, vom înțelege cum se realizează împărțirea pe o coloană. Aici vom vorbi despre regulile de scriere și despre toate calculele intermediare. În primul rând, să ne oprim asupra împărțirii unui număr natural cu mai multe valori la un număr cu o singură cifră de către o coloană. După aceea, ne vom concentra asupra cazurilor în care atât dividendul, cât și divizorul sunt numere naturale cu valori multiple. Întreaga teorie a acestui articol este furnizată cu exemple caracteristice de împărțire printr-o coloană de numere naturale cu explicații detaliate ale soluției și ilustrații.

Navigare în pagină.

Reguli pentru înregistrarea la împărțirea la o coloană

Să începem prin a studia regulile de scriere a dividendului, a divizorului, a tuturor calculelor intermediare și a rezultatelor la împărțirea numerelor naturale la o coloană. Să spunem imediat că este cel mai convenabil să împărțiți într-o coloană în scris pe hârtie cu o linie în carouri - astfel încât există mai puține șanse de a vă abate de la rândul și coloana dorite.

În primul rând, dividendul și divizorul sunt scrise pe un rând de la stânga la dreapta, după care este afișat un simbol al formei între numerele scrise. De exemplu, dacă dividendul este numărul 6 105, iar divizorul este 5 5, atunci notația lor corectă atunci când este împărțită într-o coloană va fi:

Uitați-vă la următoarea diagramă, care ilustrează locurile pentru scrierea dividendelor, divizorului, coeficientului, restului și calculelor intermediare la împărțirea pe o coloană.

Din diagrama de mai sus se poate observa că câtul dorit (sau câtul incomplet când se împarte cu un rest) va fi scris sub divizor sub linia orizontală. Și calculele intermediare vor fi efectuate sub dividend și trebuie să aveți grijă de disponibilitatea spațiului pe pagină în avans. În acest caz, ar trebui să ne ghidăm după regulă: cu cât diferența dintre numărul de caractere este mai mare în intrările dividendului și divizorului, cu atât este necesar mai mult spațiu. De exemplu, la împărțirea unui număr natural 614.808 la 51.234 la o coloană (614.808 este un număr din șase cifre, 51.234 este un număr din cinci cifre, diferența dintre numărul de caractere din înregistrări este 6−5=1), intermediar calculele vor necesita mai puțin spațiu decât la împărțirea numerelor 8 058 și 4 (aici diferența dintre numărul de caractere este 4−1=3 ). Pentru a ne confirma cuvintele, prezentăm înregistrările completate ale împărțirii pe o coloană a acestor numere naturale:

Acum puteți trece direct la procesul de împărțire a numerelor naturale la o coloană.

Împărțirea pe o coloană a unui număr natural cu un număr natural cu o singură cifră, algoritm de împărțire la o coloană

Este clar că împărțirea unui număr natural cu o singură cifră la altul este destul de simplă și nu există niciun motiv pentru a împărți aceste numere într-o coloană. Cu toate acestea, va fi util să exersați abilitățile inițiale de împărțire pe o coloană pe aceste exemple simple.

Exemplu.

Trebuie să împărțim la o coloană 8 la 2.

Soluţie.

Desigur, putem efectua împărțirea folosind tabelul înmulțirii și imediat notăm răspunsul 8:2=4.

Dar ne interesează cum să împărțim aceste numere la o coloană.

Mai întâi, scriem dividendul 8 și divizorul 2 așa cum este cerut de metoda:

Acum începem să ne dăm seama de câte ori este divizorul în dividend. Pentru a face acest lucru, înmulțim succesiv divizorul cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când rezultatul este un număr egal cu dividendul (sau un număr mai mare decât dividendul, dacă există o împărțire cu rest. ). Dacă obținem un număr egal cu dividendul, atunci îl scriem imediat sub dividend, iar în locul privatului scriem numărul cu care am înmulțit divizorul. Dacă obținem un număr mai mare decât divizibilul, atunci sub divizor scriem numărul calculat la penultimul pas, iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul cu care a fost înmulțit divizorul la penultimul pas.

Să mergem: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4; 2 3=6; 2 4=8 . Am primit un număr egal cu dividendul, așa că îl scriem sub dividend, iar în locul privatului scriem numărul 4. Înregistrarea va arăta astfel:

Etapa finală a împărțirii numerelor naturale cu o singură cifră la o coloană rămâne. Sub numărul scris sub dividend, trebuie să desenați o linie orizontală și să scădeți numerele de deasupra acestei linii în același mod în care se face atunci când scădeți numerele naturale cu o coloană. Numărul obținut după scădere va fi restul împărțirii. Dacă este egal cu zero, atunci numerele originale sunt împărțite fără rest.

În exemplul nostru, obținem

Acum avem o înregistrare finală a împărțirii pe o coloană a numărului 8 cu 2. Vedem că câtul 8:2 este 4 (și restul este 0 ).

Răspuns:

8:2=4 .

Acum luați în considerare modul în care se realizează împărțirea pe o coloană de numere naturale cu o singură cifră cu un rest.

Exemplu.

Împărțiți la o coloană 7 la 3.

Soluţie.

În etapa inițială, intrarea arată astfel:

Începem să aflăm de câte ori dividendul conține un divizor. Vom înmulți 3 cu 0, 1, 2, 3 etc. până când obținem un număr egal sau mai mare decât dividendul 7. Obținem 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (dacă este necesar, consultați articolul compararea numerelor naturale). Sub dividend scriem cifra 6 (a fost obținut la penultima treaptă), iar în locul coeficientului incomplet scriem numărul 2 (a fost înmulțit la penultima treaptă).

Rămâne de efectuat scăderea, iar împărțirea pe o coloană de numere naturale cu o singură cifră 7 și 3 va fi finalizată.

Deci, câtul parțial este 2, iar restul este 1.

Răspuns:

7:3=2 (resti 1).

Acum putem trece la împărțirea numerelor naturale cu valori multiple la numere naturale cu o singură cifră la o coloană.

Acum vom analiza algoritmul de împărțire a coloanelor. În fiecare etapă, vom prezenta rezultatele obținute prin împărțirea numărului natural cu mai multe valori 140 288 la numărul natural cu o singură valoare 4 . Acest exemplu nu a fost ales întâmplător, deoarece atunci când îl rezolvăm, vom întâlni toate nuanțele posibile, le vom putea analiza în detaliu.

În primul rând, ne uităm la prima cifră din stânga în înregistrarea dividendului. Dacă numărul definit de această cifră este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm următoarea cifră la stânga în înregistrarea dividendelor și să lucrăm în continuare cu numărul determinat de cele două cifre în cauză. Pentru comoditate, selectăm în înregistrarea noastră numărul cu care vom lucra.

Prima cifră din stânga a dividendului 140.288 este numărul 1. Numărul 1 este mai mic decât divizorul 4, așa că ne uităm și la următoarea cifră din stânga în înregistrarea dividendelor. În același timp, vedem și numărul 14, cu care trebuie să lucrăm în continuare. Selectăm acest număr în notația dividendului.

Următoarele puncte de la al doilea la al patrulea se repetă ciclic până când se completează împărțirea numerelor naturale pe o coloană.

Acum trebuie să determinăm de câte ori este conținut divizorul în numărul cu care lucrăm (pentru comoditate, să notăm acest număr ca x ). Pentru a face acest lucru, înmulțim succesiv divizorul cu 0, 1, 2, 3, ... până când obținem numărul x sau un număr mai mare decât x. Când se obține un număr x, atunci îl scriem sub numărul selectat conform regulilor de notare utilizate la scăderea unei coloane de numere naturale. Numărul cu care a fost efectuată înmulțirea este scris în locul coeficientului în timpul primei treceri a algoritmului (în timpul trecerilor ulterioare de 2-4 puncte ale algoritmului, acest număr este scris în dreapta numerelor deja existente). Când se obține un număr care este mai mare decât numărul x, atunci sub numărul selectat scriem numărul obținut la penultimul pas, iar în locul câtului (sau în dreapta numerelor deja existente) scriem numărul prin pe care înmulţirea s-a efectuat la penultimul pas. (Am efectuat acțiuni similare în cele două exemple discutate mai sus).

Înmulțim divizorul lui 4 cu numerele 0 , 1 , 2 , ... până când obținem un număr care este egal cu 14 sau mai mare decât 14 . Avem 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Deoarece la ultimul pas am obținut numărul 16, care este mai mare decât 14, apoi sub numărul selectat scriem numărul 12, care a rezultat la penultimul pas, iar în locul coeficientului scriem numărul 3, deoarece în penultimul paragraf înmulțirea s-a efectuat tocmai pe el.


În această etapă, din numărul selectat, scădeți numărul de sub acesta într-o coloană. Sub linia orizontală este rezultatul scăderii. Cu toate acestea, dacă rezultatul scăderii este zero, atunci nu trebuie să fie notat (cu excepția cazului în care scăderea în acest moment este ultima acțiune care completează complet împărțirea printr-o coloană). Aici, pentru controlul dvs., nu va fi de prisos să comparați rezultatul scăderii cu divizorul și să vă asigurați că acesta este mai mic decât divizorul. Altfel, undeva s-a făcut o greșeală.

Trebuie să scădem numărul 12 din numărul 14 dintr-o coloană (pentru notarea corectă, nu trebuie să uitați să puneți un semn minus în stânga numerelor scăzute). După finalizarea acestei acțiuni, numărul 2 a apărut sub linia orizontală. Acum ne verificăm calculele comparând numărul rezultat cu un divizor. Deoarece numărul 2 este mai mic decât divizorul 4, puteți trece în siguranță la următorul articol.


Acum, sub linia orizontală din dreapta numerelor aflate acolo (sau în dreapta locului unde nu am scris zero), notăm numărul aflat în aceeași coloană în evidența dividendului. Dacă nu există numere în înregistrarea dividendului din această coloană, atunci împărțirea pe o coloană se termină aici. După aceea, selectăm numărul format sub linia orizontală, îl luăm ca număr de lucru și repetăm ​​cu el de la 2 la 4 puncte ale algoritmului.

Sub linia orizontală din dreapta numărului 2 deja acolo, scriem numărul 0, deoarece este numărul 0 care se află în înregistrarea dividendului 140 288 în această coloană. Astfel, numărul 20 se formează sub linia orizontală.


Selectăm acest număr 20, îl luăm ca număr de lucru și repetăm ​​acțiunile celui de-al doilea, al treilea și al patrulea punct al algoritmului cu el.

Înmulțim divizorul lui 4 cu 0, 1, 2, ... până când obținem numărul 20 sau un număr mai mare decât 20. Avem 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Efectuăm scăderea printr-o coloană. Deoarece scădem numere naturale egale, atunci, datorită proprietății de a scădea numere naturale egale, obținem zero ca rezultat. Nu notăm zero (deoarece aceasta nu este încă etapa finală a împărțirii la o coloană), dar ne amintim locul unde l-am putea nota (pentru comoditate, vom marca acest loc cu un dreptunghi negru).


Sub linia orizontală din dreapta locului memorat, notăm numărul 2, deoarece ea este cea care se află în evidența dividendului 140 288 în această coloană. Astfel, sub linia orizontală avem numărul 2 .


Luăm numărul 2 ca număr de lucru, îl marchem și încă o dată va trebui să facem pașii din 2-4 puncte ale algoritmului.

Înmulțim divizorul cu 0 , 1 , 2 și așa mai departe și comparăm numerele rezultate cu numărul marcat 2 . Avem 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Prin urmare, sub numărul marcat, scriem numărul 0 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul coeficientului din dreapta numărului deja acolo, scriem numărul 0 (am înmulțit cu 0 la penultimul pas). Etapa).


Efectuăm scăderea printr-o coloană, obținem numărul 2 sub linia orizontală. Ne verificăm prin compararea numărului rezultat cu divizorul 4 . Din 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Sub linia orizontală din dreapta numărului 2, adăugăm numărul 8 (deoarece se află în această coloană în evidența dividendului 140 288). Astfel, sub linia orizontală se află numărul 28.


Acceptăm acest număr ca lucrător, îl marchem și repetăm ​​pașii 2-4 din paragrafe.

Nu ar trebui să fie probleme aici dacă ai fost atent până acum. După ce au făcut toate acțiunile necesare, se obține următorul rezultat.

Rămâne pentru ultima dată să efectuați acțiunile de la punctele 2, 3, 4 (ți-l oferim), după care veți obține o imagine completă a împărțirii numerelor naturale 140 288 și 4 într-o coloană:

Vă rugăm să rețineți că numărul 0 este scris chiar în partea de jos a rândului. Dacă acesta nu ar fi ultimul pas al împărțirii la o coloană (adică dacă ar exista numere în coloanele din dreapta în înregistrarea dividendului), atunci nu am scrie acest zero.

Astfel, uitându-ne la înregistrarea completă a împărțirii numărului natural cu mai multe valori 140 288 la numărul natural cu o singură valoare 4, vedem că numărul 35 072 este privat (iar restul diviziunii este zero, este chiar la linia de jos).

Desigur, atunci când împărțiți numerele naturale la o coloană, nu veți descrie toate acțiunile dvs. atât de detaliat. Soluțiile dvs. vor arăta ceva ca următoarele exemple.

Exemplu.

Efectuați împărțirea lungă dacă dividendul este 7136 și divizorul este un singur număr natural 9.

Soluţie.

La primul pas al algoritmului de împărțire a numerelor naturale la o coloană, obținem o înregistrare a formei

După efectuarea acțiunilor din punctul al doilea, al treilea și al patrulea al algoritmului, înregistrarea împărțirii pe o coloană va lua forma

Repetând ciclul, vom avea

Încă o trecere ne va oferi o imagine completă a împărțirii după o coloană de numere naturale 7 136 și 9

Astfel, câtul parțial este 792 , iar restul împărțirii este 8 .

Răspuns:

7 136:9=792 (restul 8).

Și acest exemplu demonstrează cât de lungă ar trebui să arate diviziunea.

Exemplu.

Împărțiți numărul natural 7 042 035 la numărul natural de o singură cifră 7 .

Soluţie.

Cel mai convenabil este să efectuați împărțirea pe o coloană.

Răspuns:

7 042 035:7=1 006 005 .

Împărțirea pe o coloană de numere naturale multivalorice

Ne grăbim să vă mulțumim: dacă ați stăpânit bine algoritmul de împărțire la o coloană din paragraful anterior al acestui articol, atunci aproape că știți deja cum să efectuați împărțirea pe o coloană de numere naturale multivalorice. Acest lucru este adevărat, deoarece pașii de la 2 la 4 ai algoritmului rămân neschimbați și doar modificări minore apar în primul pas.

La prima etapă a împărțirii într-o coloană de numere naturale cu mai multe valori, trebuie să vă uitați nu la prima cifră din stânga în înregistrarea dividendului, ci la atâtea dintre ele câte cifre există în intrarea divizorului. Dacă numărul definit de aceste numere este mai mare decât divizorul, atunci în paragraful următor trebuie să lucrăm cu acest număr. Dacă acest număr este mai mic decât divizorul, atunci trebuie să adăugăm la considerație următoarea cifră din stânga în înregistrarea dividendului. După aceea, acțiunile indicate în paragrafele 2, 3 și 4 ale algoritmului sunt efectuate până la obținerea rezultatului final.

Rămâne doar să vedem aplicarea algoritmului de împărțire la o coloană de numere naturale cu valori multiple în practică atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Să efectuăm împărțirea pe o coloană de numere naturale cu mai multe valori 5562 și 206.

Soluţie.

Deoarece 3 caractere sunt implicate în înregistrarea divizorului 206, ne uităm la primele 3 cifre din stânga în înregistrarea dividendului 5 562. Aceste numere corespund numărului 556. Deoarece 556 este mai mare decât divizorul 206, luăm numărul 556 drept unul de lucru, îl selectăm și trecem la următoarea etapă a algoritmului.

Acum înmulțim divizorul 206 cu numerele 0, 1, 2, 3, ... până când obținem un număr care este fie egal cu 556, fie mai mare decât 556. Avem (dacă înmulțirea este dificilă, atunci este mai bine să facem înmulțirea numerelor naturale într-o coloană): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Deoarece am obținut un număr care este mai mare decât numărul 556, atunci sub numărul selectat scriem numărul 412 (a fost obținut la penultimul pas), iar în locul coeficientului scriem numărul 2 (deoarece a fost înmulțit la penultimul pas). Intrarea de împărțire a coloanei are următoarea formă:

Efectuați scăderea coloanei. Obținem diferența 144, acest număr este mai mic decât divizorul, astfel încât să puteți continua în siguranță să efectuați acțiunile necesare.

Sub linia orizontală din dreapta numărului disponibil acolo, scriem numărul 2, deoarece se află în înregistrarea dividendului 5 562 în această coloană:

Acum lucrăm cu numărul 1442, îl selectăm și trecem din nou prin pașii doi până la patru.

Înmulțim divizorul 206 cu 0 , 1 , 2 , 3 , ... până când obținem numărul 1442 sau un număr mai mare decât 1442 . Să mergem: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Scădem cu o coloană, obținem zero, dar nu îl notăm imediat, ci doar ne amintim poziția, pentru că nu știm dacă împărțirea se termină aici, sau va trebui să repetăm ​​pașii algoritmului din nou:

Acum vedem că sub linia orizontală din dreapta poziției memorate nu putem nota niciun număr, deoarece nu există numere în înregistrarea dividendului din această coloană. Prin urmare, această împărțire pe o coloană s-a încheiat și completăm intrarea:

• Matematică. Orice manuale pentru clasele 1, 2, 3, 4 ale instituțiilor de învățământ.
• Matematică. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.