Legea logicii lipirii. Fundamentele algebrei logicii

Lecția de informatică este destinată elevilor din clasa a X-a a unei școli de învățământ general, a cărei curriculum include secțiunea „Algebra logicii”. Această temă este foarte dificilă pentru elevi, așa că eu, ca profesor, am vrut să-i interesez în studiul legilor logicii, simplificarea expresiilor logice și abordarea cu interes a soluționării problemelor logice. În forma obișnuită, a da lecții pe această temă este plictisitoare și supărătoare, iar unele definiții nu sunt întotdeauna clare pentru copii. În legătură cu asigurarea spațiului de informare, am avut ocazia să-mi postez lecțiile în shell-ul „învățare”. Studenții, înscriși la acesta, pot urma acest curs în timpul liber și pot reciti ceea ce nu a fost clar în lecție. Unii elevi, care au ratat lecțiile din cauza unei boli, compensează subiectul ratat acasă sau la școală și sunt întotdeauna pregătiți pentru următoarea lecție. Această formă de predare se potrivea foarte mult multor copii, iar acele legi care erau de neînțeles pentru ei sunt acum învățate pe calculator mult mai ușor și mai rapid. Ofer una dintre aceste lecții de informatică, care se desfășoară în mod integrativ cu TIC.

Planul lecției

1. Explicarea materialului nou, cu implicarea unui calculator - 25 de minute.
2. Concepte și definiții de bază prezentate în „învățare” - 10 minute.
3. Material pentru curioși - 5 minute.
4. Tema pentru acasă - 5 minute.

1. Explicarea materialului nou

Legile logicii formale

Cele mai simple și mai necesare conexiuni adevărate între gânduri sunt exprimate în legile de bază ale logicii formale. Acestea sunt legile identităţii, necontradicţiei, mijloc exclus, motiv suficient.

Aceste legi sunt fundamentale pentru că în logică joacă un rol deosebit de important, sunt cele mai generale. Ele vă permit să simplificați expresiile logice și să construiți inferențe și dovezi. Primele trei dintre legile de mai sus au fost identificate și formulate de Aristotel, iar legea rațiunii suficiente - de G. Leibniz.

Legea identității: în procesul unui anumit raționament, fiecare concept și judecată trebuie să fie identice cu sine.

Legea necontradicției: este imposibil ca unul și același ochi în același timp să fie și să nu fie inerent aceluiași lucru în același sens. Adică este imposibil să afirmi și să negi ceva în același timp.

Legea mijlocului exclus: dintre două propoziții contradictorii, una este adevărată, cealaltă este falsă și a treia nu este dată.

Legea Rațiunii Suficiente: Fiecare gând adevărat trebuie să fie suficient de justificat.

Ultima lege spune că dovada a ceva presupune justificarea unor gânduri precise și numai adevărate. Gândurile false nu pot fi dovedite. Există un proverb latin bun: „A greși este comun oricărei persoane, dar numai un prost trebuie să insiste asupra unei greșeli”. Nu există o formulă pentru această lege, întrucât are doar un caracter material. Judecățile adevărate, materialul faptic, datele statistice, legile științei, axiomele, teoremele dovedite pot fi folosite ca argumente pentru a confirma un gând adevărat.

Legile algebrei propoziționale

Algebra propozițiilor (algebra logicii) este o secțiune a logicii matematice care studiază operațiile logice asupra propozițiilor și regulile de transformare a propozițiilor complexe.

La rezolvarea multor probleme logice, este adesea necesară simplificarea formulelor obținute prin formalizarea condițiilor acestora. Simplificarea formulelor în algebra propozițiilor se realizează pe baza transformărilor echivalente bazate pe legile logice de bază.

Legile algebrei propozițiilor (algebra logicii) sunt tautologii.

Uneori, aceste legi sunt numite teoreme.

În algebra propozițională, legile logice sunt exprimate ca egalitate de formule echivalente. Dintre legi se disting în special cele care conțin o variabilă.

Primele patru dintre următoarele legi sunt legile de bază ale algebrei propoziționale.

Legea identității:

Fiecare concept și judecată este identică cu sine.

Legea identității înseamnă că în procesul de raționament nu se poate înlocui un gând cu altul, un concept cu altul. Dacă această lege este încălcată, sunt posibile erori logice.

De exemplu, discuție Ei spun corect că limba te va aduce la Kiev, dar am cumpărat limbă afumată ieri, ceea ce înseamnă că acum pot merge în siguranță la Kiev incorect, deoarece primul și al doilea cuvânt „limbă” denotă concepte diferite.

In discutie: Mișcarea este eternă. A merge la școală este mișcare. Prin urmare, mersul la școală este pentru totdeauna cuvântul „mișcare” este folosit în două sensuri diferite (primul - în sens filozofic - ca atribut al materiei, al doilea - în sens obișnuit - ca acțiune de deplasare în spațiu), ceea ce duce la o concluzie falsă.

Legea necontradicției:

O propoziție și negația ei nu pot fi adevărate în același timp. Adică dacă declarația A este adevărat, apoi negația sa nu A trebuie să fie fals (și invers). Atunci produsul lor va fi întotdeauna fals.

Această egalitate este adesea folosită la simplificarea expresiilor logice complexe.

Uneori această lege este formulată astfel: două afirmații care se contrazic nu pot fi adevărate în același timp. Exemple de nerespectare a legii necontradicției:

1. Există viață pe Marte și nu există viață pe Marte.

2. Olya a absolvit liceul și este în clasa a X-a.

Legea mijlocului exclus:

În același moment, afirmația poate fi fie adevărată, fie falsă, nu există o a treia. Adevărat fie A, sau nu A. Exemple de implementare a legii mijlocului exclus:

1. Numărul 12345 este fie par, fie impar, nu există o treime.

2. Compania operează cu pierderi sau prag de rentabilitate.

3. Acest lichid poate fi sau nu un acid.

Legea mijlocului exclus nu este o lege recunoscută de toți logicienii ca o lege universală a logicii. Această lege se aplică acolo unde cunoștințele se ocupă de o situație rigidă: „ori – sau”, „adevărat-fals”. Acolo unde există incertitudine (de exemplu, în raționamentul despre viitor), legea mijlocului exclus adesea nu poate fi aplicată.

Luați în considerare următoarea afirmație: Această sugestie este falsă. Nu poate fi adevărat pentru că se pretinde a fi fals. Dar nici nu poate fi fals, pentru că atunci ar fi adevărat. Această afirmație nu este nici adevărată, nici falsă și, prin urmare, legea mijlocului exclus este încălcată.

Paradox(Paradoxos grecesc - neașteptat, ciudat) în acest exemplu rezultă din faptul că propoziția se referă la ea însăși. Un alt paradox celebru este problema coaforului: Într-un oraș, un coafor tunde părul tuturor locuitorilor, cu excepția celor care își tund singuri părul. Cine tunde parul frizerului?În logică, din cauza formalității sale, nu este posibil să se obțină forma unei astfel de enunțuri autoreferențiale. Acest lucru confirmă încă o dată ideea că, cu ajutorul algebrei logicii, este imposibil să se exprime toate gândurile și argumentele posibile. Să arătăm cum, pe baza definiției echivalenței propoziționale, pot fi obținute restul legilor algebrei propoziționale.

De exemplu, să definim ceea ce este echivalent cu (echivalent cu) A(de două ori nr A, adică negația negației A). Pentru a face acest lucru, vom construi un tabel de adevăr:

Prin definiția echivalenței, trebuie să găsim coloana ale cărei valori se potrivesc cu valorile coloanei A. Aceasta va fi coloana A.

Astfel, putem formula dubla legenegatii:

Dacă negăm o afirmație de două ori, atunci rezultatul este afirmația originală. De exemplu, afirmația A= Matroskin- pisică este echivalent cu a spune A = Nu este adevărat că Matroskin nu este o pisică.

În mod similar, următoarele legi pot fi derivate și verificate:

Proprietăți constante:

Legile impotentei:

Indiferent de câte ori repetăm: TV pe sau televizor pe sau televizor pe... sensul propoziției nu se va schimba. La fel din repetare E cald afara, e cald afara... nici un grad mai cald.

Legile comutativității:

A v B = B v A

A & B = B & A

operanzi AȘi ÎNîn operaţiile de disjuncţie şi conjuncţie pot fi interschimbate.

Legile asociativității:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A și (B și C) = (A și B) și C.

Dacă expresia folosește doar operația de disjuncție sau numai operația de conjuncție, atunci puteți neglija parantezele sau le puteți aranja în mod arbitrar.

Legile distributivității:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(disjuncție distributivă
referitor la conjuncție)

A și (B v C) = (A și B) v (A și C)

(distributivitatea conjuncției
referitor la disjuncție)

Legea distributivă a conjuncției cu privire la disjuncție este asemănătoare cu legea distributivă din algebră, dar legea disjuncției distributive față de conjuncție nu are analog, este valabilă doar în logică. Prin urmare, trebuie dovedit. Dovada se face cel mai bine folosind un tabel de adevăr:

Legile de absorbție:

A v (A și B) = A

A și (A v B) = A

Efectuați singur dovada legilor de absorbție.

Legile lui De Morgan:

Formulări verbale ale legilor lui de Morgan:

Regula mnemonică:în partea stângă a identității, operația de negație stă deasupra întregului enunț. În partea dreaptă, pare a fi rupt și negația stă deasupra fiecăreia dintre afirmațiile simple, dar în același timp operația se schimbă: disjuncție în conjuncție și invers.

Exemple de implementare a legii lui de Morgan:

1) Declarație Nu este adevărat că știu arabă sau chineză este identic cu afirmația Nu știu arabă și nu știu chineză.

2) Declarație Nu este adevărat că mi-am învățat lecția și am primit un D la ea este identic cu afirmația Ori nu am învățat lecția, ori nu am primit A la ea.

Înlocuirea operațiunilor de implicare și echivalență

Operațiile de implicare și echivalență nu se numără uneori printre operațiunile logice ale unui anumit computer sau compilator dintr-un limbaj de programare. Cu toate acestea, aceste operații sunt necesare pentru rezolvarea multor probleme. Există reguli pentru înlocuirea acestor operații cu secvențe de operații de negație, disjuncție și conjuncție.

Deci, înlocuiți operațiunea implicatii posibil conform următoarei reguli:

Pentru a înlocui operația echivalenţă sunt doua reguli:

Este ușor de verificat validitatea acestor formule prin construirea tabelelor de adevăr pentru părțile din dreapta și din stânga ambelor identități.

Cunoașterea regulilor de înlocuire a operațiilor de implicare și echivalență ajută, de exemplu, la construirea corectă a negației unei implicații.

Luați în considerare următorul exemplu.

Să fie dat enunțul:

E = Nu este adevărat că dacă voi câștiga concursul, voi primi un premiu.

Lăsa A= Voi câștiga concursul

B = Voi primi un premiu.

Prin urmare, E = voi câștiga competiția, dar nu voi primi un premiu.

Următoarele reguli sunt de asemenea de interes:

De asemenea, le puteți demonstra validitatea folosind tabele de adevăr.

Exprimarea lor în limbaj natural este interesantă.

De exemplu, fraza

Dacă Winnie the Pooh a mâncat miere, atunci este sătul

este identic cu fraza

Dacă Winnie the Pooh nu este sătul, atunci nu a mâncat miere.

Exercițiu: gândiți-vă la expresii-exemple pe aceste reguli.

2. Concepte de bază și definițiiîn anexa 1

3. Material pentru curioșiîn Anexa 2

4. Tema pentru acasă

1) Învață legile logicii folosind cursul Algebra logicii situat în spațiul informațional (www.learning.9151394.ru).

2) Verificați dovada legilor lui De Morgan pe un computer prin construirea unui tabel de adevăr.

Aplicații

1. Concepte și definiții de bază (

Pentru transformarea funcțiilor, simplificarea formulelor obținute prin formalizarea condițiilor problemelor logice, se realizează transformări echivalente în algebra logicii, pe baza legilor logice de bază. Unele dintre aceste legi sunt formulate și scrise în același mod ca și legi similare în aritmetică și algebră, altele par neobișnuite.

Legile algebrei logicii sunt uneori numite teoreme.

În algebra propozițională, legile logice sunt exprimate ca egalitate de formule echivalente.

Valabilitatea tuturor legilor poate fi verificată prin construirea tabelelor de adevăr pentru părțile din stânga și din dreapta ale legii scrise. După simplificarea expresiei folosind legile algebrei logicii, tabelele de adevăr sunt aceleași.

Valabilitatea unor legi poate fi dovedită cu ajutorul instrumentelor tabelelor de adevăr.

Poza 1.

Exemple

Figura 3

Să simplificăm expresia originală folosind legile de bază ale algebrei logicii:

Figura 4

(Legea lui De Morgan, legea distributivă pentru AND, legea idempotei, operarea unei variabile cu inversarea acesteia).

Tabelul arată că pentru toate seturile de valori ale variabilelor $x$ și $y$, formula din Fig. 2 ia valoarea $1$, adică este identic adevărată.

Figura 6

Din tabel se poate observa că expresia Sursă ia aceleași valori ca și expresia simplificată pe valorile corespunzătoare ale variabilelor $x$ și $y$.

Să simplificăm expresia din Fig. 5 aplicând legile de bază ale algebrei logicii.

Figura 7

(Legea lui De Morgan, legea absorbției, legea distributivă pentru I).

Figura 9

Tabelul arată că pentru toate seturile de valori ale variabilelor $x$ și $y$, formula din Fig. 8 ia valoarea $0$, adică este identic falsă.

Să simplificăm expresia aplicând legile algebrei logicii:

Figura 10.

Figura 12.

(Legea lui De Mogrgan, distributivă).

Să facem un tabel de adevăr pentru expresia din Fig. 11:

Figura 13.

Din tabel se poate observa că expresia din Fig. 11 ia în unele cazuri valoarea $1$, iar în unele - $0$, adică este fezabilă.

(regula lui de Morgan, scoatem factorul comun, regula operațiilor unei variabile cu inversarea acesteia).

(se repetă al doilea factor, ceea ce este posibil folosind legea idempotentului; apoi se combină primii doi și ultimii doi factori și se folosește legea lipirii).

(introducem un factor logic auxiliar

Există cinci legi ale algebrei logicii:

1. Legea elementelor singulare

1*X=X
0*X=0
1+X=1
0 + X = X

Această lege a algebrei logicii decurge direct din expresiile de mai sus ale axiomelor algebrei logicii.

Cele două expresii de sus pot fi utile la construirea comutatoarelor, deoarece prin aplicarea unui zero logic sau unul la una dintre intrările elementului „2I”, puteți fie să transmiteți semnalul la ieșire, fie să formați un potențial zero la ieșire.

A doua variantă de utilizare a acestor expresii este posibilitatea punerii la zero selectivă a anumitor cifre ale unui număr cu mai multe cifre. Prin aplicarea pe bit a operațiunii „ȘI”, puteți fie să părăsiți valoarea anterioară a cifrei, fie să o resetați aplicând o unitate sau un potențial zero cifrelor corespunzătoare. De exemplu, este necesar să resetați cifrele 6, 3 și 1. Apoi:

În exemplul de mai sus de utilizare a legilor algebrei logicii, se vede clar că pentru a pune la zero cifrele necesare din mască (numărul mai mic), zerouri sunt scrise în locul cifrelor corespunzătoare, iar cele rămase sunt scrise. cifre. În numărul original (numărul superior), există unități în loc de 6 și 1 cifre. După efectuarea operației „ȘI”, în aceste locuri apar zerouri. În locul celei de-a treia cifre din numărul original este zero. În numărul rezultat, zero este prezent și în acest loc. Cifrele rămase, așa cum este cerut de starea problemei, nu sunt modificate.

În același mod, cu ajutorul legii elementelor individuale, una dintre legile de bază ale algebrei logicii, putem scrie unități în cifrele de care avem nevoie. În acest caz, este necesar să se utilizeze cele două expresii inferioare ale legii elementelor individuale. Cu aplicarea pe biți a operațiunii „SAU”, puteți fie să părăsiți valoarea anterioară a cifrei, fie să o resetați prin aplicarea potențialului zero sau unitar cifrelor corespunzătoare. Să fie necesar să scrie unități în 7 și 6 biți ai unui număr. Apoi:

Aici, în mască (numărul mai mic) le-am scris pe al șaptelea și al șaselea biți. Biții rămași conțin zerouri și, prin urmare, nu pot schimba starea inițială a numărului original, pe care o vedem în numărul rezultat sub linie.

Prima și ultima expresie a legii elementelor individuale permit utilizarea cu mai multe intrări ca elemente logice cu mai puține intrări. Pentru a face acest lucru, intrările neutilizate din circuitul „ȘI” trebuie conectate la o sursă de alimentare, așa cum se arată în Figura 1:

Figura 1. Schema „2I-NOT” implementată pe elementul logic „3I-NOT”

În același timp, intrările neutilizate din circuitul „SAU”, în conformitate cu legea elementelor individuale, trebuie conectate la firul comun al circuitului, așa cum se arată în Figura 2.

Figura 2. Circuitul „NU” implementat pe elementul „2I-NU”.

Următoarele legi ale algebrei logicii, care urmează din axiomele algebrei logicii, sunt legile negației.

2. Legile negaţiei

A. Legea elementelor complementare

Expresiile acestei legi a algebrei logicii sunt utilizate pe scară largă pentru a minimiza circuitele logice. Dacă este posibil să izolați astfel de subexpresii de expresia generală a unei funcții logice, atunci este posibil să reduceți numărul necesar de intrări ale elementelor de circuit digital și, uneori, chiar să reduceți întreaga expresie la o constantă logică.

O altă lege larg utilizată a algebrei logicii este legea dublei negații.

b. De două ori nu

Legea dublei negații este utilizată atât pentru simplificarea expresiilor logice (și ca rezultat al simplificării și reducerii costului circuitelor combinatorii digitale), cât și pentru a elimina inversarea semnalelor după elemente logice precum „2I-NOT” și „2OR- NU". În acest caz, legile algebrei logicii fac posibilă implementarea unor circuite digitale date folosind un set limitat de elemente logice.

c. Legea logicii negative

Legea logicii negative este valabilă pentru orice număr de variabile. Această lege a algebrei logicii vă permite să implementați folosind elementele logice „SAU” și invers: să implementați funcția logică „SAU” folosind elementele logice „ȘI”. Acest lucru este util în special în circuitele TTL, deoarece este ușor de implementat porți AND, dar este destul de dificil de implementat porți SAU. Datorită legii logicii negative, este posibilă implementarea elementelor „SAU” pe elementele logice „ȘI”. Figura 3 prezintă implementarea elementului logic „2OR” pe elementul „ ” și două invertoare.

Figura 3. Element logic „2OR” implementat pe elementul „2I-NOT” și două invertoare

Același lucru se poate spune despre schema de montare „SAU”. Dacă este necesar, acesta poate fi transformat într-un "ȘI" de montaj folosind invertoare la intrarea și ieșirea acestui circuit.

3. Legile combinațiilor

Legile combinaționale ale algebrei logicii corespund în mare măsură legilor combinaționale ale algebrei obișnuite, dar există și diferențe.

A. legea tautologiei (repetări multiple)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Această lege a algebrei logicii permite ca porți logice cu mai multe intrări să fie folosite ca porți cu mai puține intrări. De exemplu, puteți implementa un circuit „2I” cu două intrări pe un element logic „3I”, așa cum se arată în Figura 4:

Figura 4. Schema „2I-NOT” implementată pe elementul logic „3I-NOT”

sau utilizați circuitul „2NAND-NOT” ca un invertor normal, așa cum se arată în Figura 5:

Figura 5. Circuitul „NU” implementat pe elementul logic „2I-NU”

Cu toate acestea, trebuie avertizat că combinarea mai multor intrări crește curenții de intrare ai elementului logic și capacitatea acestuia, ceea ce crește consumul de curent al elementelor anterioare și afectează negativ viteza circuitului digital în ansamblu.

Pentru a reduce numărul de intrări într-un element logic, este mai bine să folosiți o altă lege a algebrei logicii - legea elementelor individuale, așa cum se arată mai sus.

Continuăm să ne luăm în considerare legile algebrei logicii:

b. legea mobilității

A + B + C + D = A + C + B + D

c. legea combinației

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

d. legea distributiei

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /să demonstrăm prin extinderea parantezelor/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Regula de absorbție (o variabilă le absoarbe pe altele)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

5. Regula de lipire (realizată doar de o variabilă)

La fel ca în matematica obișnuită, în algebra logicii există o prioritate a operațiilor. Acest lucru se face mai întâi:

1. Acțiunea între paranteze
2. Operare cu un singur operand (o singură operație) - „NU”
3. Conjuncție - „și”
4. Disjuncție - „SAU”
5. Suma modulo doi.

Operațiile de același rang se efectuează de la stânga la dreapta în ordinea în care este scrisă expresia logică. Algebra logicii este liniară și principiul suprapunerii este valabil pentru ea.

Literatură:

Împreună cu articolul „Legile algebrei logicii” au citit:

Orice circuit logic fără memorie este complet descris de un tabel de adevăr... Pentru a implementa un tabel de adevăr, este suficient să luăm în considerare doar acele rânduri...
http://website/digital/SintSxem.php

Decodoarele (decodificatoarele) vă permit să convertiți un tip de cod binar în altul. De exemplu...
http://website/digital/DC.php

Destul de des, dezvoltatorii de echipamente digitale se confruntă cu problema opusă. Doriți să convertiți un cod de linie octal sau zecimal în...
http://website/digital/coder.php

Multiplexoarele sunt dispozitive care vă permit să conectați mai multe intrări la o singură ieșire...
http://website/digital/MS.php

Dispozitivele se numesc demultiplexoare... O diferență semnificativă față de un multiplexor este...
http://website/digital/DMS.php

Dacă luăm în considerare aplicarea calculului propozițional pentru analiza și optimizarea circuitelor de contact-rele, circuite de automatizare și alte aplicații, și cunoașterea. că o scădere a numărului de elemente și/sau conexiuni duce la o creștere a fiabilității dispozitivelor care folosesc aceste circuite, atunci devine evident că este important să se studieze astfel de formule în matematică discretă, care să permită optimizarea formulei în sine.

Legile care fac posibilă reducerea elementelor și operațiilor propozițiilor logice includ legile absorbției și lipirii.

Legea absorbției:

pentru adunare logica: A  (A & B) = A ;

pentru înmulțirea logică: A și (A  B) = A .

Cunoașterea legilor logicii vă permite să verificați corectitudinea raționamentului și a dovezilor. Pe baza legilor, puteți simplifica expresii logice complexe. Acest proces de înlocuire a unei funcții logice complexe cu o funcție mai simplă, dar echivalentă, se numește minimizarea funcției.

Unele transformări ale formulelor logice sunt asemănătoare cu transformările formulelor din algebra obișnuită (incluzând paranteze factorul comun, folosind legi comutative și asociative etc.), altele se bazează pe proprietăți pe care operațiile de algebră obișnuită nu le au (folosind legea distribuției pentru conjuncție, absorbția legilor, lipirea, de Morgan etc.).

Încălcarea legilor logicii duc la erori logice și la contradicții rezultate.

8. Regula de lipire

; (2.11)
. (2.12) Dovada (2.11): . Dovada (2.12):

9. Legea generalizatului lipirea . (2.13) . (2.14) Dovezi (2.13): Dovada (2.14). Deschidem parantezele mai întâi pe partea stângă a egalității (2.14) și apoi pe partea dreaptă a acesteia. ; .

9. Regula lui De Morgan

legile lui De Morgan (regulile de morgan) - reguli logice care conectează perechi de operatori logici duali folosind negația logică.

Istorie și definiție

Augustus de Morgan a observat inițial că următoarele relații sunt valabile în logica propozițională clasică:

nu (P și Q) = (nu P) sau (nu Q)

nu (P sau Q) = (nu P) și (nu Q)

Notarea obișnuită a acestor legi în logica formală este:

in teoria multimilor:

Formulele lui De Morgan sunt aplicabile pentru orice număr de argumente. Ele ilustrează simetria reciprocă profundă a operațiilor AND și OR: dacă operația AND reacționează selectiv la coincidența semnalelor directe, atunci operația OR reacționează și selectiv la coincidența inversiilor lor. Elementul SAU este transparent pentru orice semnal, elementul AND - pentru orice inversare. Folosind formulele de Morgan, se pot traduce cu ușurință circuite logice din baza NOT, AND, OR, în care o persoană este cel mai obișnuită să gândească și să compună expresii logice inițiale, în baze inversante, care sunt cel mai eficient implementate de tehnologia integrată.

10. Pierce săgeată

Pierce săgeata (logic „SAU-NU”) declarații AȘi b este o nouă propoziție care va fi adevărată dacă și numai dacă ambele propoziții sunt false.

Semnul săgeată al lui Pierce este ↓

Valorile funcției străpunge săgețile prezentate în tabel:

Elementul logic al operației străpunge săgețile este:

Arrow Pierce- operatie logica binara, functie booleana peste doua variabile. Introdus de Charles Peirce în 1880-1881.

Săgeata Pierce, de obicei notată ↓, este echivalentă cu operația NOR și este dată de următorul tabel de adevăr:

Astfel, afirmația „X ↓ Y” înseamnă „nici X și nici Y”. Schimbarea locurilor operanzilor nu modifică rezultatul operației.

		X ↓ Y

11. AVC lui Schaeffer- operatie logica binara, functie booleana peste doua variabile. Introdusă de Henry Schaeffer în 1913 (denumită în unele surse Linia punctată a lui Chulkov) cursa lui Schaeffer, de obicei notată |, este echivalentă cu operația NAND și este dată de următorul tabel de adevăr:

Astfel, afirmația X | Y înseamnă că X și Y sunt incompatibile, adică. nu sunt adevărate în același timp. Schimbarea locurilor operanzilor nu modifică rezultatul operației. Primul Schaeffer, ca și săgeata Pierce, formează o bază pentru spațiul funcțiilor booleene a două variabile. Adică folosind doar cursa Schaeffer, puteți construi restul operațiunilor. De exemplu,

-negare

Disjuncție

Conjuncție

Constanta 1

În electronică, aceasta înseamnă că un element tipic este suficient pentru a implementa întreaga varietate de scheme de conversie a semnalului reprezentând valori logice. Pe de altă parte, această abordare crește complexitatea circuitelor care implementează expresii logice și, prin urmare, reduce fiabilitatea acestora. Un exemplu este seria industrial 155.

Elementul 2I-NOT (2-in NAND) care implementează cursa Schaeffer este desemnat după cum urmează (conform standardelor ANSI):

În standardele europene, se adoptă o denumire diferită:

12. Chei de diode. Informații generale. O cheie electronică este un dispozitiv care poate fi într-una din cele două stări stabile: închisă sau deschisă. Baza cheii electronice este un element activ neliniar (diodă semiconductoare, tranzistor, tiristor etc.) care funcționează în modul cheie. În funcție de tipul de element neliniar utilizat, cheile electronice sunt împărțite în diodă, tranzistor, tiristor etc.

chei cu diode. Cel mai simplu tip de comutatoare electronice sunt comutatoarele cu diode. Diodele semiconductoare sau electrovacuum sunt folosite ca elemente active în ele.

Cu o tensiune de intrare pozitivă, dioda este deschisă și curentul prin ea

, unde este rezistența directă a diodei.

Tensiune de ieșire

.

De obicei atunci. Cu o tensiune de intrare negativă, curentul trece prin diodă

,

unde este rezistența inversă a diodei.

În același timp, tensiunea de ieșire

. De regulă, și . Când polaritatea diodei este schimbată, graficul funcției se va roti cu un unghi în jurul originii.

Cheile cu diode nu permit separarea electrică a circuitelor de control și controlate, ceea ce este adesea necesar în practică. Pentru comutarea (comutarea) tensiunilor și curenților, așa-numitele. chei cu diode. Aceste circuite permit, atunci când se aplică o anumită tensiune de control, închiderea/deschiderea unui circuit electric prin care se transmite un semnal util (curent, tensiune). În cele mai simple circuite cheie, semnalul de intrare în sine poate fi folosit ca control.

Vorbind de comutatoare cu diode, nu se poate să nu menționăm o clasă specială de diode semiconductoare - p-i-n-diodes. Sunt folosite numai pentru comutarea semnalelor RF și cu microunde. Acest lucru este posibil datorită proprietății lor unice - conductivitatea reglabilă la frecvența semnalului. O astfel de reglare este de obicei efectuată fie atunci când diodei este aplicată o tensiune de polarizare constantă externă, fie direct de nivelul semnalului (pentru limitarea diodelor p-i-n-).