Zákon lepiacej logiky. Základy algebry logiky

Vyučovacia hodina informatiky je určená pre žiakov 10. ročníka všeobecnovzdelávacej školy, ktorej učebný plán obsahuje časť „Algebra logiky“. Táto téma je pre žiakov veľmi náročná, preto som ich ako pedagóg chcel zaujať štúdiom logických zákonov, zjednodušovaním logických výrazov a so záujmom pristupovať k riešeniu logických úloh. V bežnej forme je vyučovanie na túto tému únavné a problematické a niektoré definície nie sú deťom vždy jasné. V súvislosti s poskytovaním informačného priestoru som mal možnosť uverejňovať svoje lekcie v „learning“ shell. Študenti, ktorí sa doň zapíšu, môžu tento kurz navštevovať vo svojom voľnom čase a znovu si prečítať to, čo im na hodine nebolo jasné. Niektorí žiaci, ktorí majú vymeškané hodiny pre chorobu, si vymeškanú tému dopĺňajú doma alebo v škole a sú vždy pripravení na ďalšiu hodinu. Táto forma vyučovania mnohým deťom veľmi vyhovovala a tie zákony, ktoré boli pre ne nepochopiteľné, sa dnes učia počítačovou formou oveľa jednoduchšie a rýchlejšie. Ponúkam jednu z týchto hodín informatiky, ktorá prebieha integrovane s IKT.

Plán lekcie

1. Vysvetlenie nového materiálu, so zapojením počítača - 25 minút.
2. Základné pojmy a definície uvedené v "učení" - 10 minút.
3. Materiál pre zvedavcov - 5 minút.
4. Domáca úloha - 5 minút.

1. Vysvetlenie nového materiálu

Zákony formálnej logiky

Najjednoduchšie a najnutnejšie skutočné súvislosti medzi myšlienkami sú vyjadrené v základných zákonoch formálnej logiky. Sú to zákony identity, neprotirečenia, vylúčeného stredného, ​​dostatočného dôvodu.

Tieto zákony sú zásadné, pretože v logike zohrávajú obzvlášť dôležitú úlohu, sú najvšeobecnejšie. Umožňujú vám zjednodušiť logické výrazy a vytvárať závery a dôkazy. Prvé tri z vyššie uvedených zákonov identifikoval a sformuloval Aristoteles a zákon dostatočného rozumu - G. Leibniz.

Zákon identity: v procese určitého uvažovania musí byť každý pojem a úsudok identický sám so sebou.

Zákon neprotirečenia: nie je možné, aby jedno a to isté oko súčasne bolo a nebolo inherentné tej istej veci v rovnakom ohľade. To znamená, že nie je možné súčasne niečo potvrdiť a poprieť.

Zákon vylúčeného stredu: z dvoch protichodných výrokov je jeden pravdivý, druhý nepravdivý a tretí nie je daný.

Zákon dostatočného dôvodu: Každá skutočná myšlienka musí byť dostatočne odôvodnená.

Posledný zákon hovorí, že dôkaz niečoho predpokladá opodstatnenie práve a len pravdivých myšlienok. Falošné myšlienky sa nedajú dokázať. Jedno dobré latinské príslovie hovorí: „Mýliť sa je spoločné pre každého človeka, ale len hlupák môže trvať na omyle.“ Pre tento zákon neexistuje žiadny vzorec, keďže má len vecný charakter. Ako argumenty na potvrdenie pravdivej myšlienky možno použiť pravdivé úsudky, faktický materiál, štatistické údaje, vedecké zákony, axiómy, overené vety.

Zákony výrokovej algebry

Algebra výrokov (algebra logiky) je časť matematickej logiky, ktorá študuje logické operácie s výrokmi a pravidlá pre transformáciu zložitých výrokov.

Pri riešení mnohých logických problémov je často potrebné zjednodušiť vzorce získané formalizáciou ich podmienok. Zjednodušenie vzorcov v algebre výrokov sa uskutočňuje na základe ekvivalentných transformácií založených na základných logických zákonoch.

Zákony algebry výrokov (algebra logiky) sú tautológie.

Niekedy sa tieto zákony nazývajú teorémy.

Vo výrokovej algebre sú logické zákony vyjadrené ako rovnosť ekvivalentných vzorcov. Medzi zákonmi sa rozlišujú najmä tie, ktoré obsahujú jednu premennú.

Prvé štyri z nasledujúcich zákonov sú základnými zákonmi výrokovej algebry.

Zákon o identite:

Každý pojem a úsudok je identický sám so sebou.

Zákon identity znamená, že v procese uvažovania nemožno nahradiť jednu myšlienku druhou, jeden pojem druhým. Ak dôjde k porušeniu tohto zákona, sú možné logické chyby.

Napríklad diskusia Správne hovoria, že jazyk ťa privedie do Kyjeva, ale včera som si kúpil údený jazyk, čo znamená, že teraz môžem bezpečne ísť do Kyjeva nesprávne, pretože prvé a druhé slovo „jazyk“ označujú rôzne pojmy.

V diskusii: Pohyb je večný. Chodiť do školy je pohyb. Chodenie do školy je preto navždy slovo "pohyb" sa používa v dvoch rôznych významoch (prvý - vo filozofickom zmysle - ako atribút hmoty, druhý - v bežnom zmysle - ako pohyb v priestore), čo vedie k nesprávnemu záveru.

Zákon neprotirečenia:

Výrok a jeho negácia nemôžu byť pravdivé súčasne. To znamená, že ak vyhlásenie ALE je pravda, potom jej negácia nie A musí byť nepravdivé (a naopak). Potom bude ich produkt vždy falošný.

Práve táto rovnosť sa často používa pri zjednodušovaní zložitých logických výrazov.

Niekedy je tento zákon formulovaný takto: dve tvrdenia, ktoré si odporujú, nemôžu byť súčasne pravdivé. Príklady nedodržania zákona o neprotirečení:

1. Na Marse je život a na Marse nie je život.

2. Olya vyštudovala strednú školu a je v 10. ročníku.

Zákon vylúčeného stredu:

Zároveň môže byť výrok pravdivý alebo nepravdivý, neexistuje žiadne tretie. Pravda buď ALE, alebo nie A. Príklady implementácie zákona vylúčeného stredu:

1. Číslo 12345 je buď párne alebo nepárne, žiadne tretie neexistuje.

2. Spoločnosť hospodári so stratou alebo ziskom.

3. Táto kvapalina môže alebo nemusí byť kyselina.

Zákon vylúčeného stredu nie je zákonom uznávaným všetkými logikmi ako univerzálny zákon logiky. Tento zákon sa uplatňuje tam, kde sa znalosti zaoberajú rigidnou situáciou: "buď - alebo", "pravda-nepravda". Tam, kde existuje neistota (napríklad v uvažovaní o budúcnosti), sa často nedá uplatniť právo vylúčeného stredu.

Zvážte nasledujúce vyhlásenie: Tento návrh je nepravdivý. Nemôže to byť pravda, pretože tvrdí, že je nepravdivá. Ale ani to nemôže byť nepravdivé, lebo potom by to bola pravda. Toto tvrdenie nie je pravdivé ani nepravdivé, a preto je porušený zákon vylúčeného stredu.

Paradox(grécky paradoxos - neočakávaný, zvláštny) v tomto príklade vyplýva zo skutočnosti, že veta odkazuje na seba. Ďalším známym paradoxom je kadernícky problém: V jednom meste kaderník ostrihá vlasy všetkých obyvateľov, okrem tých, ktorí si strihajú vlasy sami. Kto strihá holičovi vlasy? V logike nie je možné pre svoju formálnosť získať formu takéhoto odkazujúceho vyhlásenia. To opäť potvrdzuje myšlienku, že pomocou algebry logiky nie je možné vyjadriť všetky možné myšlienky a argumenty. Ukážme si, ako možno na základe definície výrokovej ekvivalencie získať zvyšok zákonov výrokovej algebry.

Napríklad definujme, čo je ekvivalentné (ekvivalentné) ALE(dvakrát nie ALE, teda negácia negácie ALE). Aby sme to dosiahli, vytvoríme pravdivú tabuľku:

Podľa definície ekvivalencie musíme nájsť stĺpec, ktorého hodnoty sa zhodujú s hodnotami stĺpca ALE. Toto bude stĺpec ALE.

Môžeme teda formulovať dvojité právonegácie:

Ak niektoré tvrdenie negujeme dvakrát, výsledkom je pôvodný výrok. Napríklad vyhlásenie ALE= Matroskin- kat je ekvivalentné povedať A = Nie je pravda, že Matroskin nie je mačka.

Podobne možno odvodiť a overiť nasledujúce zákony:

Konštantné vlastnosti:

Zákony idempotencie:

Bez ohľadu na to, koľkokrát opakujeme: TV zapnutá alebo TV zapnutá alebo TV zapnutá... význam vety sa nezmení. Rovnako z opakovania Vonku je teplo, vonku je teplo... nie o jeden stupeň teplejšie.

Zákony komutácie:

A v B = B v A

A a B = B a A

operandy ALE a AT v operáciách disjunkcie a konjunkcie možno zameniť.

Zákony asociatívnosti:

Av(BvC) = (AvB) vC;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ak výraz používa iba operáciu disjunkcie alebo iba operáciu spojenia, potom môžete zátvorky zanedbať alebo ich usporiadať ľubovoľne.

Zákony distribúcie:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributívna disjunkcia
ohľadom konjunkcie)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(distributívnosť konjunkcie
ohľadom disjunkcie)

Distributívny zákon konjunkcie vzhľadom na disjunkciu je podobný distributívnemu zákonu v algebre, ale zákon distributívnej disjunkcie vzhľadom na konjunkciu nemá analógiu, platí len v logike. Preto to treba dokázať. Dôkaz sa najlepšie vykoná pomocou pravdivostnej tabuľky:

Absorpčné zákony:

Av (A & B) = A

A & (A v B) = A

Vykonajte dôkaz o absorpčných zákonoch sami.

De Morganove zákony:

Slovné formulácie de Morganových zákonov:

Mnemotechnické pravidlo: na ľavej strane identity stojí nad celým výrokom operácia negácie. Na pravej strane sa zdá, že je rozbitá a nad každým z jednoduchých výrokov stojí negácia, no zároveň sa mení operácia: disjunkcia na konjunkciu a naopak.

Príklady implementácie de Morganovho zákona:

1) Vyhlásenie Nie je pravda, že viem arabsky alebo čínsky je totožné s výrokom Neviem po arabsky a neviem po čínsky.

2) Vyhlásenie Nie je pravda, že som sa poučil a dostal z toho D je totožné s výrokom Buď som sa nenaučil lekciu, alebo som z toho nedostal A.

Nahradenie operácií implikácie a ekvivalencie

Operácie implikácie a ekvivalencie niekedy nepatria medzi logické operácie konkrétneho počítača alebo kompilátora z programovacieho jazyka. Tieto operácie sú však potrebné na riešenie mnohých problémov. Existujú pravidlá na nahradenie týchto operácií postupnosťami operácií negácie, disjunkcie a konjunkcie.

Takže vymeňte prevádzku dôsledky možné podľa nasledujúceho pravidla:

Ak chcete nahradiť operáciu rovnocennosť existujú dve pravidlá:

Je ľahké overiť platnosť týchto vzorcov zostrojením pravdivostných tabuliek pre pravú a ľavú stranu oboch identít.

Znalosť pravidiel nahrádzania operácií implikácie a ekvivalencie pomáha napríklad správne zostrojiť negáciu implikácie.

Zvážte nasledujúci príklad.

Nech je uvedené vyhlásenie:

E = Nie je pravda, že ak vyhrám súťaž, dostanem cenu.

Nechaj ALE= Vyhrám súťaž

B = dostanem cenu.

Preto E = vyhrám súťaž, ale nedostanem cenu.

Nasledujúce pravidlá sú tiež zaujímavé:

Ich platnosť môžete dokázať aj pomocou pravdivostných tabuliek.

Zaujímavý je ich prejav v prirodzenom jazyku.

Napríklad fráza

Ak Macko Pú jedol med, je sýty

je totožné s frázou

Ak Macko Pú nie je sýty, potom nejedol med.

Cvičenie: premýšľajte o frázach-príkladoch o týchto pravidlách.

2. Základné pojmy a definície v prílohe 1

3. Materiál pre zvedavcov v prílohe 2

4. Domáce úlohy

1) Naučte sa zákony logiky pomocou kurzu Algebra logiky, ktorý sa nachádza v informačnom priestore (www.learning.9151394.ru).

2) Skontrolujte dôkaz De Morganových zákonov na PC vytvorením pravdivostnej tabuľky.

Aplikácie

1. Základné pojmy a definície (

Na transformáciu funkcií, zjednodušenie vzorcov získaných formalizáciou podmienok logických problémov, sa v algebre logiky vykonávajú ekvivalentné transformácie na základe základných logických zákonov. Niektoré z týchto zákonov sú formulované a napísané rovnakým spôsobom ako podobné zákony v aritmetike a algebre, iné vyzerajú nezvyčajne.

Zákony algebry logiky sa niekedy nazývajú teorémy.

Vo výrokovej algebre sú logické zákony vyjadrené ako rovnosť ekvivalentných vzorcov.

Platnosť všetkých zákonov možno overiť zostavením pravdivostných tabuliek pre ľavú a pravú časť písaného zákona. Po zjednodušení výrazu pomocou zákonov algebry logiky sú pravdivostné tabuľky rovnaké.

Platnosť niektorých zákonov je možné dokázať pomocou nástrojov pravdivostných tabuliek.

Obrázok 1.

Príklady

Obrázok 3

Zjednodušme pôvodný výraz pomocou základných zákonov algebry logiky:

Obrázok 4

(De Morganov zákon, distributívny zákon pre AND, zákon idempotencie, operácia premennej s jej inverziou).

Tabuľka ukazuje, že pre všetky množiny hodnôt premenných $x$ a $y$ má vzorec na obr. 2 hodnotu $1$, to znamená, že platí identicky.

Obrázok 6

Z tabuľky je vidieť, že zdrojový výraz má rovnaké hodnoty ako zjednodušený výraz na zodpovedajúcich hodnotách premenných $x$ a $y$.

Zjednodušme výraz na obr. 5 použitím základných zákonov algebry logiky.

Obrázok 7

(De Morganov zákon, absorpčný zákon, distributívny zákon pre I).

Obrázok 9

Tabuľka ukazuje, že pre všetky množiny hodnôt premenných $x$ a $y$ má vzorec na obr. 8 hodnotu $0$, to znamená, že je rovnako nepravdivý.

Zjednodušme výraz použitím zákonov algebry logiky:

Obrázok 10.

Obrázok 12.

(De Mogrganov zákon, distributívny).

Urobme pravdivostnú tabuľku pre výraz na obr. 11:

Obrázok 13.

Z tabuľky je zrejmé, že výraz na obr. 11 má v niektorých prípadoch hodnotu $1$ a v niektorých - $0$, to znamená, že je realizovateľný.

(de Morganovo pravidlo, vyberáme spoločný činiteľ, pravidlo operácií premennej s jej inverziou).

(druhý faktor sa opakuje, čo je možné pomocou zákona idempotenta; potom sa prvé dva a posledné dva faktory spoja a použije sa zákon lepenia).

(zavádzame pomocný logický faktor

Existuje päť zákonov algebry logiky:

1. Zákon jednotlivých prvkov

1*X=X
0*X=0
1+X=1
0 + X = X

Tento zákon algebry logiky vyplýva priamo z vyššie uvedených vyjadrení axióm algebry logiky.

Horné dva výrazy môžu byť užitočné pri zostavovaní spínačov, pretože použitím logickej nuly alebo jednotky na jeden zo vstupov prvku „2I“ môžete buď odovzdať signál na výstup, alebo vytvoriť nulový potenciál na výstupe.

Druhým variantom použitia týchto výrazov je možnosť selektívneho nulovania určitých číslic viacmiestneho čísla. Pomocou bitovej aplikácie operácie "AND" môžete buď ponechať predchádzajúcu hodnotu číslice, alebo ju vynulovať použitím jednotky alebo nulového potenciálu na zodpovedajúce číslice. Napríklad je potrebné vynulovať číslice 6, 3 a 1. potom:

Vo vyššie uvedenom príklade použitia zákonov algebry logiky je jasne vidieť, že na vynulovanie potrebných číslic v maske (nižšie číslo) sa na miesto zodpovedajúcich číslic napíšu nuly a do zvyšných číslic sa zapíšu jednotky. číslic. V pôvodnom čísle (hornom čísle) sú namiesto 6 a 1 číslice jednotky. Po vykonaní operácie "AND" sa na týchto miestach objavia nuly. Na mieste tretej číslice v pôvodnom čísle je nula. Vo výslednom čísle je na tomto mieste prítomná aj nula. Zostávajúce číslice, ako to vyžaduje stav problému, sa nezmenia.

Rovnakým spôsobom, pomocou zákona jednotlivých prvkov, jedného zo základných zákonov algebry logiky, môžeme písať jednotky v cifrách, ktoré potrebujeme. V tomto prípade je potrebné použiť dva spodné výrazy zákona jednotlivých prvkov. Pomocou bitovej aplikácie operácie "ALEBO" môžete buď ponechať predchádzajúcu hodnotu číslice, alebo ju vynulovať použitím nulového alebo jednotného potenciálu na zodpovedajúce číslice. Nech je potrebné písať jednotky v 7 a 6 bitoch čísla. potom:

Tu v maske (nižšie číslo) máme napísané jednotky v siedmom a šiestom bite. Zvyšné bity obsahujú nuly, a preto nemôžu zmeniť počiatočný stav pôvodného čísla, ktorý vidíme vo výslednom čísle pod čiarou.

Prvé a posledné vyjadrenie zákona jednotlivých prvkov umožňuje použitie s viacerými vstupmi ako logické prvky s menším počtom vstupov. Aby ste to dosiahli, nepoužité vstupy v obvode „AND“ musia byť pripojené k zdroju napájania, ako je znázornené na obrázku 1:

Obrázok 1. Schéma "2I-NOT" implementovaná na logickom prvku "3I-NOT"

Súčasne musia byť nepoužité vstupy v obvode "OR" v súlade so zákonom jednotlivých prvkov pripojené k spoločnému vodiču obvodu, ako je znázornené na obrázku 2.

Obrázok 2. Obvod „NOT“ implementovaný na prvku „2I-NOT“.

Nasledujúce zákony algebry logiky, vyplývajúce z axióm algebry logiky, sú zákonmi negácie.

2. Zákony negácie

a. Zákon komplementárnych prvkov

Vyjadrenia tohto zákona algebry logiky sa široko používajú na minimalizáciu logických obvodov. Ak je možné takéto podvýrazy izolovať od všeobecného vyjadrenia logickej funkcie, potom je možné zredukovať potrebný počet vstupov prvkov číslicového obvodu a niekedy dokonca zredukovať celý výraz na logickú konštantu.

Ďalším široko používaným zákonom algebry logiky je zákon dvojitej negácie.

b. Dvakrát nie

Zákon dvojitej negácie sa používa tak na zjednodušenie logických výrazov (a v dôsledku zjednodušenia a zlacnenia digitálnych kombinatorických obvodov), ako aj na odstránenie inverzie signálov po takých logických prvkoch ako „2I-NOT“ a „2OR-“. NIE“. Zákony algebry logiky v tomto prípade umožňujú realizovať dané číslicové obvody pomocou obmedzenej množiny logických prvkov.

c. Zákon negatívnej logiky

Zákon negatívnej logiky platí pre ľubovoľný počet premenných. Tento zákon algebry logiky vám umožňuje realizovať pomocou logických prvkov „ALEBO“ a naopak: implementovať logickú funkciu „ALEBO“ pomocou logických prvkov „AND“. Toto je obzvlášť užitočné v obvodoch TTL, pretože je ľahké implementovať brány AND, ale je dosť ťažké implementovať brány OR. Vďaka zákonu negatívnej logiky je možné implementovať prvky „ALEBO“ na logické prvky „AND“. Obrázok 3 znázorňuje implementáciu logického prvku "2OR" na prvku " " a dvoch meničoch.

Obrázok 3. Logický prvok „2OR“ implementovaný na prvku „2I-NOT“ a dvoch meničoch

To isté možno povedať o schéme montáže "OR". Ak je to potrebné, môže sa zmeniť na montážny "AND" pomocou meničov na vstupe a výstupe tohto obvodu.

3. Kombinačné zákony

Kombinačné zákony algebry logiky do značnej miery zodpovedajú kombinačným zákonom bežnej algebry, existujú však aj rozdiely.

a. tautologický zákon (viacnásobné opakovanie)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Tento zákon algebry logiky umožňuje, aby sa logické brány s viacerými vstupmi použili ako brány s menším počtom vstupov. Napríklad môžete implementovať dvojvstupový obvod "2I" na logický prvok "3I", ako je znázornené na obrázku 4:

Obrázok 4. Schéma "2I-NOT" implementovaná na logickom prvku "3I-NOT"

alebo použite obvod "2NAND-NOT" ako normálny invertor, ako je znázornené na obrázku 5:

Obrázok 5. Obvod "NOT" implementovaný na logickom prvku "2I-NOT"

Treba však upozorniť, že spojením viacerých vstupov sa zvyšujú vstupné prúdy logického prvku a jeho kapacita, čo zvyšuje prúdový odber predchádzajúcich prvkov a nepriaznivo ovplyvňuje rýchlosť digitálneho obvodu ako celku.

Na zníženie počtu vstupov v logickom prvku je lepšie použiť iný zákon algebry logiky - zákon jednotlivých prvkov, ako je uvedené vyššie.

Pokračujeme v úvahách o zákonoch algebry logiky:

b. zákon o pohyblivosti

A + B + C + D = A + C + B + D

c. kombinačné právo

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

d. distribučný zákon

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /dokážme to rozbalením zátvoriek/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Absorpčné pravidlo (jedna premenná pohlcuje ostatné)

X1 + X1X2X3 = X1 (1 + X2X3) = X1

5. Pravidlo lepenia (vykonávané iba jednou premennou)

Rovnako ako v bežnej matematike, aj v algebre logiky existuje prednosť operácií. Toto sa robí ako prvé:

1. Akcia v zátvorkách
2. Prevádzka s jedným operandom (jedna operácia) - "NIE"
3. Spojka - "a"
4. Disjunkcia - "ALEBO"
5. Súčet modulo dva.

Operácie rovnakej úrovne sa vykonávajú zľava doprava v poradí, v akom je napísaný logický výraz. Algebra logiky je lineárna a platí pre ňu princíp superpozície.

Literatúra:

Spolu s článkom „Zákony algebry logiky“ čítajú:

Akýkoľvek logický obvod bez pamäte je kompletne opísaný pravdivostnou tabuľkou... Na implementáciu pravdivostnej tabuľky stačí uvažovať len tie riadky...
http://website/digital/SintSxem.php

Dekodéry (dekodéry) umožňujú previesť jeden typ binárneho kódu na iný. Napríklad...
http://website/digital/DC.php

Pomerne často sa vývojári digitálnych zariadení stretávajú s opačným problémom. Chcete previesť osmičkový alebo desiatkový riadkový kód na...
http://website/digital/coder.php

Multiplexery sú zariadenia, ktoré umožňujú pripojiť niekoľko vstupov na jeden výstup ...
http://website/digital/MS.php

Zariadenia sa nazývajú demultiplexory ... Významný rozdiel od multiplexora je ...
http://website/digital/DMS.php

Ak vezmeme do úvahy aplikáciu návrhového počtu na analýzu a optimalizáciu kontaktných reléových obvodov, automatizačných obvodov a iných aplikácií, tak vieme. že zníženie počtu prvkov a/alebo spojení vedie k zvýšeniu spoľahlivosti zariadení využívajúcich tieto obvody, potom je zrejmé, že je dôležité študovať také vzorce v diskrétnej matematike, ktoré umožňujú optimalizáciu samotného vzorca.

Zákony, ktoré umožňujú redukovať prvky a operácie logických výrokov, zahŕňajú zákony absorpcie a lepenia.

Absorpčný zákon:

pre logické doplnenie: A  (A a B) = A ;

pre logické násobenie: A & (A  B) = A .

Znalosť zákonov logiky umožňuje kontrolovať správnosť uvažovania a dôkazov. Na základe zákonov môžete zjednodušiť zložité logické výrazy. Tento proces nahradenia komplexnej logickej funkcie jednoduchšou, ale ekvivalentnou funkciou sa nazýva minimalizácia funkcie.

Niektoré transformácie logických vzorcov sú podobné transformáciám vzorcov v bežnej algebre (zátvorka spoločného činiteľa, použitie komutatívnych a asociatívnych zákonov atď.), iné sú založené na vlastnostiach, ktoré bežné algebrické operácie nemajú (použitie distribučného zákona pre konjunkciu, zákony absorpcie, viazania, de Morgana atď.).

Porušenie zákonov logiky vedie k logickým chybám a z nich vyplývajúcim rozporom.

8. Pravidlo lepenia

; (2.11)
. (2.12) Dôkaz (2.11): . Dôkaz (2.12):

9. Zákon zovšeobecneného lepenie . (2.13) . (2.14) Dôkazy (2.13): Dôkazy (2.14). Zátvorky otvoríme najskôr na ľavej strane rovnosti (2.14) a potom na jej pravej strane. ; .

9. De Morganovo pravidlo

De Morganove zákony (de morgan pravidlá) - logické pravidlá spájajúce dvojice duálnych logických operátorov pomocou logickej negácie.

História a definícia

Augustus de Morgan pôvodne poznamenal, že v klasickej výrokovej logike platia nasledujúce vzťahy:

nie (P a Q) = (nie P) alebo (nie Q)

nie (P alebo Q) = (nie P) a (nie Q)

Obvyklý zápis týchto zákonov vo formálnej logike je:

v teórii množín:

De Morganove vzorce sú použiteľné pre ľubovoľný počet argumentov. Ilustrujú hlbokú vzájomnú symetriu operácií AND a OR: ak operácia AND selektívne reaguje na koincidenciu priamych signálov, potom operácia OR selektívne reaguje aj na zhodu ich inverzií. Prvok OR je transparentný pre akýkoľvek signál, prvok AND - pre akúkoľvek inverziu. Pomocou de Morganových vzorcov možno ľahko preložiť logické obvody zo základu NOT, AND, OR, v ktorom je človek najviac zvyknutý myslieť a skladať počiatočné logické výrazy, na invertujúce základy, ktoré sú najúčinnejšie implementované integrovanou technológiou.

10. Prepichnutie šípom

Prepichnite šípku (logické „ALEBO-NIE“) Vyhlásenia a a b je nový výrok, ktorý bude pravdivý vtedy a len vtedy, ak sú oba výroky nepravdivé.

Pierceova šípka je ↓

Funkčné hodnoty prepichovať šípy uvedené v tabuľke:

Logický prvok operácie prepichovať šípy je:

Arrow Pierce- binárna logická operácia, booleovská funkcia nad dvoma premennými. Zaviedol ho Charles Peirce v rokoch 1880-1881.

Pierceova šípka, zvyčajne označovaná ako ↓, je ekvivalentná operácii NOR a je daná nasledujúcou pravdivostnou tabuľkou:

Výrok „X ↓ Y“ teda znamená „ani X, ani Y“. Zmena miesta operandov nezmení výsledok operácie.

		X ↓ Y

11. Schaefferova mŕtvica- binárna logická operácia, booleovská funkcia nad dvoma premennými. Schaefferov zdvih, ktorý zaviedol Henry Schaeffer v roku 1913 (v niektorých zdrojoch označovaný ako Chulkovova bodkovaná čiara), je ekvivalentný operácii NAND a je daný nasledujúcou pravdivostnou tabuľkou:

Teda výrok X | Y znamená, že X a Y sú nekompatibilné, t.j. zároveň nie sú pravdivé. Zmena miesta operandov nezmení výsledok operácie. Schaefferovo prvočíslo, podobne ako Pierceova šípka, tvorí základ pre priestor booleovských funkcií dvoch premenných. To znamená, že iba pomocou Schaefferovho zdvihu môžete zostaviť zvyšok operácií. Napríklad,

- negácia

Disjunkcia

Konjunkcia

Konštantná 1

V elektronike to znamená, že jeden typický prvok stačí na implementáciu celej škály schém konverzie signálu reprezentujúcich logické hodnoty. Na druhej strane tento prístup zvyšuje zložitosť obvodov, ktoré implementujú logické výrazy, a tým znižuje ich spoľahlivosť. Príkladom je priemyselná séria 155.

Prvok 2I-NOT (2-in NAND), ktorý implementuje Schaefferov zdvih, je označený nasledovne (podľa noriem ANSI):

V európskych normách sa používa iné označenie:

12. Diódové klávesy. Všeobecné informácie. Elektronický kľúč je zariadenie, ktoré môže byť v jednom z dvoch stabilných stavov: zatvorené alebo otvorené. Základom elektronického kľúča je nelineárny aktívny prvok (polovodičová dióda, tranzistor, tyristor a pod.) pracujúci v režime kľúča. Podľa typu použitého nelineárneho prvku sa elektronické kľúče delia na diódové, tranzistorové, tyristorové atď.

diódové klávesy. Najjednoduchším typom elektronických spínačov sú diódové spínače. Ako aktívne prvky sa v nich používajú polovodičové alebo elektrovákuové diódy.

Pri kladnom vstupnom napätí je dióda otvorená a prúd cez ňu

, kde je priepustný odpor diódy.

Výstupné napätie

.

Zvyčajne vtedy. Pri zápornom vstupnom napätí prúdi cez diódu

,

kde je spätný odpor diódy.

Zároveň výstupné napätie

. Spravidla a . Keď sa zmení polarita diódy, graf funkcie sa otočí o uhol okolo začiatku.

Diódové kľúče neumožňujú elektrické oddelenie riadiaceho a ovládaného obvodu, čo je v praxi často požadované. Na spínanie (spínanie) napätí a prúdov, tzv. diódové klávesy. Tieto obvody umožňujú, keď je aplikované určité riadiace napätie, uzavrieť / otvoriť elektrický obvod, cez ktorý sa prenáša užitočný signál (prúd, napätie). V najjednoduchších kľúčových obvodoch môže byť ako ovládanie použitý samotný vstupný signál.

Keď už hovoríme o diódových spínačoch, nemožno nespomenúť špeciálnu triedu polovodičových diód - p-i-n-diódy. Používajú sa len na prepínanie RF a mikrovlnných signálov. Je to možné vďaka ich jedinečnej vlastnosti – nastaviteľnej vodivosti na frekvencii signálu. Takáto regulácia sa zvyčajne vykonáva buď vtedy, keď sa na diódu aplikuje externé konštantné predpätie, alebo priamo úrovňou signálu (pre obmedzenie p-i-n-diód).