Ligji i logjikës së ngjitjes. Bazat e Algjebrës së Logjikës

Mësimi për informatikë është krijuar për nxënësit e klasës së 10-të të një shkolle të arsimit të përgjithshëm, kurrikulumi i së cilës përfshin rubrikën "Algjebra e logjikës". Kjo temë është shumë e vështirë për studentët, kështu që unë si mësues doja t'i interesoja ata për të studiuar ligjet e logjikës, për të thjeshtuar shprehjet logjike dhe për t'iu qasur me interes zgjidhjes së problemeve logjike. Në formën e zakonshme, dhënia e mësimeve për këtë temë është e lodhshme dhe e mundimshme dhe disa përkufizime nuk janë gjithmonë të qarta për fëmijët. Në lidhje me sigurimin e hapësirës së informacionit, pata mundësinë t'i postoja mësimet e mia në guaskën "të mësuarit". Studentët, pasi janë regjistruar në të, mund të ndjekin këtë kurs në kohën e tyre të lirë dhe të rilexojnë atë që nuk ishte e qartë në mësim. Disa nxënës, pasi kanë munguar mësimet për shkak të sëmundjes, plotësojnë temën e humbur në shtëpi ose në shkollë dhe janë gjithmonë gati për mësimin e radhës. Kjo formë e mësimdhënies u shkonte shumë fëmijëve, dhe ato ligje që ishin të pakuptueshme për ta tani mësohen në formë kompjuteri shumë më lehtë dhe më shpejt. Unë ofroj një nga këto mësime informatike, i cili zhvillohet në mënyrë integruese me TIK-un.

Plani i mësimit

1. Shpjegimi i materialit të ri, me përfshirjen e kompjuterit - 25 minuta.
2. Konceptet dhe përkufizimet bazë të paraqitura në "të mësuarit" - 10 minuta.
3. Materiali për kureshtarët - 5 minuta.
4. Detyrë shtëpie - 5 minuta.

1. Shpjegimi i materialit të ri

Ligjet e logjikës formale

Lidhjet e vërteta më të thjeshta dhe më të nevojshme ndërmjet mendimeve shprehen në ligjet bazë të logjikës formale. Këto janë ligjet e identitetit, moskontradikta, arsyeja e mesme e përjashtuar, e mjaftueshme.

Këto ligje janë themelore sepse në logjikë luajnë një rol veçanërisht të rëndësishëm, janë më të përgjithshmet. Ato ju lejojnë të thjeshtoni shprehjet logjike dhe të ndërtoni konkluzione dhe prova. Tre ligjet e para të mësipërme u identifikuan dhe formuluan nga Aristoteli, dhe ligji i arsyes së mjaftueshme - nga G. Leibniz.

Ligji i identitetit: në procesin e një arsyetimi të caktuar, çdo koncept dhe gjykim duhet të jetë identik me vetveten.

Ligji i moskontradiktës: është e pamundur që i njëjti sy në të njëjtën kohë të jetë dhe të mos jetë i natyrshëm në të njëjtën gjë në të njëjtin aspekt. Kjo do të thotë, është e pamundur të pohosh dhe të mohosh diçka në të njëjtën kohë.

Ligji i mesit të përjashtuar: nga dy propozime kontradiktore, njëri është i vërtetë, tjetri është i rremë dhe i treti nuk jepet.

Ligji i arsyes së mjaftueshme: Çdo mendim i vërtetë duhet të justifikohet mjaftueshëm.

Ligji i fundit thotë se vërtetimi i diçkaje presupozon justifikimin saktësisht dhe vetëm të mendimeve të vërteta. Mendimet e rreme nuk mund të vërtetohen. Ekziston një proverb i mirë latin: "Të gabosh është e zakonshme për çdo person, por vetëm një budalla është të këmbëngul në një gabim". Nuk ka formulë për këtë ligj, pasi ka vetëm karakter përmbajtësor. Gjykimet e vërteta, materiali faktik, të dhënat statistikore, ligjet e shkencës, aksiomat, teoremat e vërtetuara mund të përdoren si argumente për të konfirmuar një mendim të vërtetë.

Ligjet e algjebrës propozicionale

Algjebra e propozimeve (algjebra e logjikës) është një seksion i logjikës matematikore që studion veprimet logjike mbi propozimet dhe rregullat për transformimin e propozimeve komplekse.

Kur zgjidhen shumë probleme logjike, shpesh është e nevojshme të thjeshtohen formulat e marra duke formalizuar kushtet e tyre. Thjeshtimi i formulave në algjebrën e propozimeve kryhet në bazë të transformimeve ekuivalente bazuar në ligjet bazë logjike.

Ligjet e algjebrës së propozimeve (algjebra e logjikës) janë tautologji.

Ndonjëherë këto ligje quhen teorema.

Në algjebër propozicionale, ligjet logjike shprehen si barazi e formulave ekuivalente. Ndër ligjet dallohen veçanërisht ato që përmbajnë një ndryshore.

Katër të parat nga ligjet e mëposhtme janë ligjet bazë të algjebrës propozicionale.

Ligji i identitetit:

Çdo koncept dhe gjykim është identik me vetveten.

Ligji i identitetit do të thotë që në procesin e arsyetimit nuk mund të zëvendësohet një mendim me një tjetër, një koncept me një tjetër. Nëse shkelet ky ligj, janë të mundshme gabime logjike.

Për shembull, diskutimi Ata thonë saktë që gjuha do t'ju sjellë në Kiev, por unë bleva gjuhën e tymosur dje, që do të thotë se tani mund të shkoj me siguri në Kiev e pasaktë, pasi fjalët e para dhe të dyta "gjuhë" tregojnë koncepte të ndryshme.

Në diskutim: Lëvizja është e përjetshme. Të shkosh në shkollë është lëvizje. Prandaj, të shkosh në shkollë është përgjithmonë fjala "lëvizje" përdoret në dy kuptime të ndryshme (e para - në kuptimin filozofik - si një atribut i materies, e dyta - në kuptimin e zakonshëm - si një veprim për të lëvizur në hapësirë), gjë që çon në një përfundim të rremë.

Ligji i moskontradiktës:

Një propozim dhe mohimi i tij nuk mund të jenë të vërteta në të njëjtën kohë. Kjo është, nëse deklarata PORështë e vërtetë, atëherë mohimi i saj jo A duhet të jetë false (dhe anasjelltas). Atëherë produkti i tyre do të jetë gjithmonë fals.

Është kjo barazi që përdoret shpesh kur thjeshtohen shprehjet logjike komplekse.

Ndonjëherë ky ligj formulohet si vijon: dy pohime që kundërshtojnë njëra-tjetrën nuk mund të jenë të vërteta në të njëjtën kohë. Shembuj të mospërputhjes me ligjin e moskontradiktës:

1. Ka jetë në Mars dhe nuk ka jetë në Mars.

2. Olya mbaroi shkollën e mesme dhe është në klasën e 10-të.

Ligji i mesit të përjashtuar:

Në të njëjtin moment në kohë, deklarata mund të jetë ose e vërtetë ose e rreme, nuk ka asnjë të tretë. E vërtetë ose POR, ose jo A. Shembuj të zbatimit të ligjit të mesit të përjashtuar:

1. Numri 12345 është çift ose tek, nuk ka asnjë të tretë.

2. Kompania është duke operuar me humbje ose në rënie.

3. Ky lëng mund të jetë ose jo një acid.

Ligji i mesit të përjashtuar nuk është një ligj i njohur nga të gjithë logjikuesit si një ligj universal i logjikës. Ky ligj zbatohet kur dija merret me një situatë të ngurtë: "ose - ose", "e vërtetë-e gabuar". Aty ku ka pasiguri (për shembull, në arsyetimin për të ardhmen), ligji i mesit të përjashtuar shpesh nuk mund të zbatohet.

Merrni parasysh deklaratën e mëposhtme: Ky sugjerim është i rremë. Nuk mund të jetë e vërtetë sepse pretendon të jetë e rreme. Por nuk mund të jetë as e rreme, sepse atëherë do të ishte e vërtetë. Ky pohim nuk është as i vërtetë dhe as i rremë, prandaj shkelet ligji i mesit të përjashtuar.

Paradoks(Greqisht paradokse - e papritur, e çuditshme) në këtë shembull lind nga fakti se fjalia i referohet vetvetes. Një tjetër paradoks i famshëm është problemi i parukierit: Në një qytet, një parukier i shkurton flokët të gjithë banorëve, përveç atyre që i presin vetë. Kush i pret flokët berberit? Në logjikë, për shkak të formalitetit të saj, nuk është e mundur të merret forma e një deklarate të tillë vetëreferencuese. Kjo konfirmon edhe një herë idenë se me ndihmën e algjebrës së logjikës është e pamundur të shprehen të gjitha mendimet dhe argumentet e mundshme. Le të tregojmë se si, bazuar në përkufizimin e ekuivalencës propozicionale, mund të përftohen ligjet e tjera të algjebrës propozicionale.

Për shembull, le të përcaktojmë se çfarë është ekuivalente me (ekuivalente me) POR(dy herë jo POR, pra mohim i mohimit POR). Për ta bërë këtë, ne do të ndërtojmë një tabelë të së vërtetës:

Sipas përcaktimit të ekuivalencës, ne duhet të gjejmë kolonën, vlerat e së cilës përputhen me vlerat e kolonës POR. Kjo do të jetë kolona POR.

Kështu, ne mund të formulojmë ligji i dyfishtëmohimet:

Nëse mohojmë disa pohime dy herë, atëherë rezultati është pohimi origjinal. Për shembull, deklarata POR= Matroskin- Maceështë e barabartë me të thënë A = Nuk është e vërtetë që Matroskin nuk është mace.

Në mënyrë të ngjashme, ligjet e mëposhtme mund të nxirren dhe verifikohen:

Karakteristikat e vazhdueshme:

Ligjet e idempotencës:

Pavarësisht sa herë e përsërisim: TV ndezur ose TV i ndezur ose TV i ndezur... kuptimi i fjalisë nuk do të ndryshojë. Po kështu nga përsëritja Jashtë është ngrohtë, jashtë është ngrohtë... jo një shkallë më e ngrohtë.

Ligjet e komutativitetit:

A v B = B v A

A & B = B & A

operandët POR dhe AT në veprimet e disjunksionit dhe lidhëzës mund të ndërrohen.

Ligjet e asociacionit:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Nëse shprehja përdor vetëm operacionin e ndarjes ose vetëm operacionin lidhor, atëherë mund t'i lini pas dore kllapat ose t'i rregulloni ato në mënyrë arbitrare.

Ligjet e shpërndarjes:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(disjunksioni shpërndarës
në lidhje me lidhjen)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(shpërndarja e lidhëzës
në lidhje me ndarjen)

Ligji shpërndarës i lidhëzës në lidhje me disjunksionin është i ngjashëm me ligjin shpërndarës në algjebër, por ligji i disjunksionit shpërndarës në lidhje me lidhëzën nuk ka analog, ai është i vlefshëm vetëm në logjikë. Prandaj, duhet të vërtetohet. Prova bëhet më së miri duke përdorur një tabelë të së vërtetës:

Ligjet e përthithjes:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Kryeni vetë vërtetimin e ligjeve të përthithjes.

Ligjet e De Morganit:

Formulimet verbale të ligjeve të de Morganit:

Rregulli mnemonik: në anën e majtë të identitetit, operacioni i mohimit qëndron mbi të gjithë deklaratën. Në anën e djathtë, duket se është thyer dhe mohimi qëndron mbi secilin prej pohimeve të thjeshta, por në të njëjtën kohë operacioni ndryshon: shkëputja në lidhëz dhe anasjelltas.

Shembuj të zbatimit të ligjit të de Morganit:

1) Deklaratë Nuk është e vërtetë që di arabisht apo kinezishtështë identike me deklaratën Unë nuk di arabisht dhe nuk di kinezisht.

2) Deklaratë Nuk është e vërtetë që kam mësuar mësimin tim dhe kam marrë një D në tëështë identike me deklaratën Ose nuk e mësova mësimin, ose nuk mora një A në të.

Zëvendësimi i operacioneve të implikimit dhe ekuivalencës

Operacionet e nënkuptimit dhe ekuivalencës ndonjëherë nuk janë ndër operacionet logjike të një kompjuteri ose kompajleri të caktuar nga një gjuhë programimi. Megjithatë, këto operacione janë të nevojshme për zgjidhjen e shumë problemeve. Ekzistojnë rregulla për zëvendësimin e këtyre operacioneve me sekuenca të operacioneve të mohimit, ndarjes dhe lidhjes.

Pra, zëvendësoni funksionimin implikimet e mundur sipas rregullit të mëposhtëm:

Për të zëvendësuar operacionin ekuivalencë ka dy rregulla:

Është e lehtë të verifikohet vlefshmëria e këtyre formulave duke ndërtuar tabela të së vërtetës për anën e djathtë dhe të majtë të të dy identiteteve.

Njohja e rregullave për zëvendësimin e operacioneve të nënkuptimit dhe ekuivalencës ndihmon, për shembull, në ndërtimin e saktë të mohimit të një nënkuptimi.

Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.

Le të jepet deklarata:

E = Nuk është e vërtetë që nëse fitoj konkursin, do të marr një çmim.

Le POR= Unë do ta fitoj konkursin

B = Unë do të marr një çmim.

Prandaj, E = do të fitoj konkursin, por nuk do të marr çmim.

Rregullat e mëposhtme janë gjithashtu me interes:

Ju gjithashtu mund të provoni vlefshmërinë e tyre duke përdorur tabelat e së vërtetës.

Shprehja e tyre në gjuhën natyrore është interesante.

Për shembull, fraza

Nëse Winnie Pooh hëngri mjaltë, atëherë ai është i ngopur

është identike me frazën

Nëse Winnie Pooh nuk është i ngopur, atëherë ai nuk ka ngrënë mjaltë.

Ushtrimi: mendoni për fraza-shembuj mbi këto rregulla.

2. Konceptet dhe përkufizimet bazë në Shtojcën 1

3. Material për kureshtarët në shtojcën 2

4. Detyrë shtëpie

1) Mësoni ligjet e logjikës duke përdorur kursin Algjebra e Logjikës që ndodhet në hapësirën e informacionit (www.learning.9151394.ru).

2) Kontrolloni provën e ligjeve të De Morgan në një PC duke ndërtuar një tabelë të së vërtetës.

Aplikacionet

1. Konceptet dhe përkufizimet bazë (

Për të transformuar funksionet, për të thjeshtuar formulat e marra duke formalizuar kushtet e problemeve logjike, bëhen shndërrime ekuivalente në algjebrën e logjikës, bazuar në ligjet bazë logjike. Disa nga këto ligje janë formuluar dhe shkruar në të njëjtën mënyrë si ligjet e ngjashme në aritmetikë dhe algjebër, të tjera duken të pazakonta.

Ligjet e algjebrës së logjikës quhen ndonjëherë teorema.

Në algjebër propozicionale, ligjet logjike shprehen si barazi e formulave ekuivalente.

Vlefshmëria e të gjitha ligjeve mund të verifikohet duke ndërtuar tabela të vërtetësisë për pjesën e majtë dhe të djathtë të ligjit të shkruar. Pas thjeshtimit të shprehjes duke përdorur ligjet e algjebrës së logjikës, tabelat e së vërtetës janë të njëjta.

Vlefshmëria e disa ligjeve mund të vërtetohet duke përdorur mjetet e tabelave të së vërtetës.

Foto 1.

Shembuj

Figura 3

Le të thjeshtojmë shprehjen origjinale duke përdorur ligjet bazë të algjebrës së logjikës:

Figura 4

(Ligji i De Morganit, ligji shpërndarës për DHE, ligji i idempotencës, funksionimi i një ndryshoreje me përmbysjen e tij).

Tabela tregon se për të gjitha grupet e vlerave të variablave $x$ dhe $y$, formula në Fig. 2 merr vlerën $1$, domethënë është identike e vërtetë.

Figura 6

Nga tabela mund të shihet se shprehja Burimi merr të njëjtat vlera si shprehja e thjeshtuar në vlerat përkatëse të variablave $x$ dhe $y$.

Le të thjeshtojmë shprehjen në figurën 5 duke zbatuar ligjet bazë të algjebrës së logjikës.

Figura 7

(Ligji i De Morganit, ligji i absorbimit, ligji shpërndarës për I).

Figura 9

Tabela tregon se për të gjitha grupet e vlerave të variablave $x$ dhe $y$, formula në Fig. 8 merr vlerën $0$, domethënë është identike false.

Le të thjeshtojmë shprehjen duke zbatuar ligjet e algjebrës së logjikës:

Figura 10.

Figura 12.

(Ligji i De Mogrganit, shpërndarës).

Le të bëjmë një tabelë të së vërtetës për shprehjen në Fig. 11:

Figura 13.

Nga tabela shihet se shprehja në figurën 11 në disa raste merr vlerën $1$, dhe në disa - $0$, pra është e realizueshme.

(rregulli i de Morganit, nxjerrim faktorin e përbashkët, rregullin e veprimeve të një ndryshoreje me përmbysjen e tij).

(përsëritet faktori i dytë, i cili është i mundur duke përdorur ligjin e idempotentit; më pas kombinohen dy faktorët e parë dhe dy faktorët e fundit dhe përdoret ligji i ngjitjes).

(ne prezantojmë një faktor logjik ndihmës

Ekzistojnë pesë ligje të algjebrës së logjikës:

1. Ligji i elementeve të vetme

1*X=X
0*X=0
1+X=1
0 + X = X

Ky ligj i algjebrës së logjikës rrjedh drejtpërdrejt nga shprehjet e mësipërme të aksiomave të algjebrës së logjikës.

Dy shprehjet e sipërme mund të jenë të dobishme kur ndërtoni çelësa, sepse duke aplikuar një zero logjike ose një në një nga hyrjet e elementit "2I", ju ose mund të kaloni sinjalin në dalje, ose të formoni një potencial zero në dalje.

Varianti i dytë i përdorimit të këtyre shprehjeve është mundësia e zerosjes selektive të disa shifrave të një numri shumëshifror. Me aplikimin në bit të operacionit "AND", ju ose mund të lini vlerën e mëparshme të shifrës, ose ta rivendosni atë duke aplikuar një njësi ose zero potencial në shifrat përkatëse. Për shembull, kërkohet të rivendosni shifrat 6, 3 dhe 1. Pastaj:

Në shembullin e mësipërm të përdorimit të ligjeve të algjebrës së logjikës, shihet qartë se për të zeruar shifrat e nevojshme në maskë (numri më i ulët), zero shkruhen në vendin e shifrave përkatëse, dhe njësh shkruhen në pjesën e mbetur. shifra. Në numrin origjinal (numri i sipërm), ka njësi në vend të 6 dhe 1 shifrave. Pas kryerjes së operacionit "AND", në këto vende shfaqen zero. Në vend të shifrës së tretë në numrin origjinal është zero. Në numrin që rezulton, zero është gjithashtu i pranishëm në këtë vend. Shifrat e mbetura, siç kërkohet nga gjendja e problemit, nuk ndryshohen.

Në të njëjtën mënyrë, me ndihmën e ligjit të elementeve të vetme, një nga ligjet bazë të algjebrës së logjikës, mund të shkruajmë njësi në shifrat që na duhen. Në këtë rast, është e nevojshme të përdoren dy shprehjet më të ulëta të ligjit të elementeve të vetme. Me aplikimin në bit të operacionit "OR", ju ose mund të lini vlerën e mëparshme të shifrës, ose ta rivendosni atë duke aplikuar zero ose potencial uniteti në shifrat përkatëse. Le të kërkohet të shkruhen njësi në 7 dhe 6 bit të një numri. Pastaj:

Këtu në maskë (numri më i ulët) kemi shkruar ato në bitin e shtatë dhe të gjashtë. Bitet e mbetura përmbajnë zero dhe, për rrjedhojë, nuk mund të ndryshojnë gjendjen fillestare të numrit origjinal, të cilin e shohim në numrin që rezulton nën rresht.

Shprehjet e para dhe të fundit të ligjit të elementeve të vetme lejojnë përdorimin me më shumë hyrje si elemente logjike me më pak hyrje. Për ta bërë këtë, hyrjet e papërdorura në qarkun "AND" duhet të lidhen me një burim energjie, siç tregohet në Figurën 1:

Figura 1. Skema "2I-NOT" e implementuar në elementin logjik "3I-NOT"

Në të njëjtën kohë, hyrjet e papërdorura në qarkun "OR", në përputhje me ligjin e elementeve të vetme, duhet të lidhen me telin e përbashkët të qarkut, siç tregohet në figurën 2.

Figura 2. Qarku "NOT" i implementuar në elementin "2I-NOT".

Ligjet e mëposhtme të algjebrës së logjikës, që rrjedhin nga aksiomat e algjebrës së logjikës, janë ligjet e mohimit.

2. Ligjet e mohimit

a. Ligji i elementeve plotësues

Shprehjet e këtij ligji të algjebrës së logjikës përdoren gjerësisht për të minimizuar qarqet logjike. Nëse është e mundur të izolohen nënshprehje të tilla nga shprehja e përgjithshme e një funksioni logjik, atëherë është e mundur të zvogëlohet numri i kërkuar i hyrjeve të elementeve të qarkut dixhital, dhe ndonjëherë edhe të reduktohet e gjithë shprehja në një konstante logjike.

Një ligj tjetër i përdorur gjerësisht i algjebrës së logjikës është ligji i mohimit të dyfishtë.

b. Dy herë jo

Ligji i mohimit të dyfishtë përdoret si për të thjeshtuar shprehjet logjike (dhe si rezultat i thjeshtimit dhe zvogëlimit të kostos së qarqeve kombinuese dixhitale), ashtu edhe për të eliminuar përmbysjen e sinjaleve pas elementëve të tillë logjikë si "2I-NOT" dhe "2OR- JO". Në këtë rast, ligjet e algjebrës së logjikës bëjnë të mundur zbatimin e qarqeve të dhëna dixhitale duke përdorur një grup të kufizuar elementësh logjikë.

c. Ligji i logjikës negative

Ligji i logjikës negative është i vlefshëm për çdo numër variablash. Ky ligj i algjebrës së logjikës ju lejon të zbatoni duke përdorur elementët logjik "OR" dhe anasjelltas: të zbatoni funksionin logjik "OR" duke përdorur elementët logjik "AND". Kjo është veçanërisht e dobishme në qarkun TTL, pasi është e lehtë të zbatohen portat AND, por është mjaft e vështirë të zbatohen portat OR. Falë ligjit të logjikës negative, është e mundur të zbatohen elementet "OR" në elementet logjike "AND". Figura 3 tregon zbatimin e elementit logjik "2OR" në elementin " " dhe dy inverterë.

Figura 3. Elementi logjik "2OR" i implementuar në elementin "2I-NOT" dhe dy inverterë

E njëjta gjë mund të thuhet për skemën e montimit "OR". Nëse është e nevojshme, mund të shndërrohet në një "AND" montimi duke përdorur inverterë në hyrje dhe dalje të këtij qarku.

3. Ligjet e kombinuara

Ligjet kombinuese të algjebrës së logjikës në masë të madhe korrespondojnë me ligjet kombinuese të algjebrës së zakonshme, por ka edhe dallime.

a. ligji tautologjik (përsëritje e shumëfishtë)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Ky ligj i algjebrës së logjikës lejon që portat logjike me më shumë hyrje të përdoren si porta me më pak hyrje. Për shembull, mund të zbatoni një qark "2I" me dy hyrje në një element logjik "3I", siç tregohet në figurën 4:

Figura 4. Skema "2I-NOT" e implementuar në elementin logjik "3I-NOT"

ose përdorni qarkun "2NAND-NOT" si një inverter normal, siç tregohet në Figurën 5:

Figura 5. Qarku "NOT" i implementuar në elementin logjik "2I-NOT"

Sidoqoftë, duhet paralajmëruar se kombinimi i disa hyrjeve rrit rrymat hyrëse të elementit logjik dhe kapacitetin e tij, gjë që rrit konsumin aktual të elementeve të mëparshme dhe ndikon negativisht në shpejtësinë e qarkut dixhital në tërësi.

Për të zvogëluar numrin e hyrjeve në një element logjik, është më mirë të përdorni një ligj tjetër të algjebrës së logjikës - ligjin e elementeve të vetme, siç tregohet më lart.

Ne vazhdojmë shqyrtimin tonë të ligjeve të algjebrës së logjikës:

b. ligji i lëvizshmërisë

A + B + C + D = A + C + B + D

c. ligji i kombinimit

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

d. ligji i shpërndarjes

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /le ta vërtetojmë duke zgjeruar kllapat/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1 (1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Rregulli i përthithjes (një variabël thith të tjerët)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

5. Rregulli i ngjitjes (kryhet vetëm nga një ndryshore)

Ashtu si në matematikën e zakonshme, në algjebrën e logjikës ka një përparësi veprimesh. Kjo bëhet së pari:

1. Veprimi në kllapa
2. Operacioni me një operand (operacion i vetëm) - "NUK"
3. Lidhëza - "dhe"
4. Disjunction - "OR"
5. Shuma e modulit dy.

Veprimet e së njëjtës rang kryhen nga e majta në të djathtë sipas radhës në të cilën është shkruar shprehja logjike. Algjebra e logjikës është lineare dhe për të vlen parimi i mbivendosjes.

Literatura:

Së bashku me artikullin "Ligjet e algjebrës së logjikës" lexojnë:

Çdo qark logjik pa memorie përshkruhet plotësisht nga një tabelë e vërtetësisë... Për të zbatuar një tabelë të vërtetësisë, mjafton të merren parasysh vetëm ato rreshta...
http://website/digital/SintSxem.php

Dekoduesit (dekoduesit) ju lejojnë të konvertoni një lloj kodi binar në një tjetër. Për shembull...
http://website/digital/DC.php

Shumë shpesh, zhvilluesit e pajisjeve dixhitale përballen me problemin e kundërt. Ju dëshironi të konvertoni një kod oktal ose dhjetor në...
http://website/digital/coder.php

Multiplekserët janë pajisje që ju lejojnë të lidhni disa hyrje në një dalje ...
http://website/digital/MS.php

Pajisjet quhen demultipleksorë ... Një ndryshim domethënës nga një multiplekser është ...
http://website/digital/DMS.php

Nëse marrim parasysh aplikimin e llogaritjes propozicionale për analizën dhe optimizimin e qarqeve kontakt-rele, qarqeve të automatizimit dhe aplikacioneve të tjera, dhe njohja. që një rënie në numrin e elementeve dhe/ose lidhjeve çon në një rritje të besueshmërisë së pajisjeve që përdorin këto qarqe, atëherë bëhet e qartë se është e rëndësishme të studiohen formula të tilla në matematikë diskrete, të cilat lejojnë optimizimin e vetë formulës.

Ligjet që bëjnë të mundur reduktimin e elementeve dhe operacioneve të propozimeve logjike përfshijnë ligjet e përthithjes dhe ngjitjes.

Ligji i përthithjes:

për shtimin logjik: A  (A dhe B) = A ;

për shumëzim logjik: A & (A  B) = A .

Njohja e ligjeve të logjikës ju lejon të kontrolloni korrektësinë e arsyetimit dhe provave. Bazuar në ligjet, ju mund të thjeshtoni shprehje komplekse logjike. Ky proces i zëvendësimit të një funksioni logjik kompleks me një funksion më të thjeshtë por të barasvlershëm quhet minimizimi i funksionit.

Disa transformime të formulave logjike janë të ngjashme me transformimet e formulave në algjebër e zakonshme (duke vendosur në kllapa faktorin e përbashkët, duke përdorur ligje komutative dhe shoqëruese, etj.), të tjerat bazohen në vetitë që operacionet e zakonshme të algjebrës nuk i kanë (duke përdorur ligjin e shpërndarjes për lidhjen, ligjet e përthithjes, lidhjes, de Morgan, etj.).

Shkeljet e ligjeve të logjikës çojnë në gabime logjike dhe kontradikta që rezultojnë.

8. Rregulli i ngjitjes

; (2.11)
. (2.12) Vërtetimi i (2.11): . Prova (2.12):

9. Ligji i të përgjithësuarit ngjitje . (2.13) . (2.14) Provat (2.13): Prova (2.14). Hapim kllapat fillimisht në anën e majtë të barazisë (2.14) dhe më pas në anën e djathtë të saj. ; .

9. Rregulli i De Morganit

Ligjet e De Morganit (rregullat de Morgan) - rregulla logjike që lidhin çifte operatorësh logjikë të dyfishtë duke përdorur mohimin logjik.

Historia dhe përkufizimi

Augustus de Morgan fillimisht vërejti se marrëdhëniet e mëposhtme janë të vërteta në logjikën klasike propozicionale:

jo (P dhe Q) = (jo P) ose (jo Q)

jo (P ose Q) = (jo P) dhe (jo Q)

Shënimi i zakonshëm i këtyre ligjeve në logjikën formale është:

në teorinë e grupeve:

Formulat e De Morgan janë të zbatueshme për çdo numër argumentesh. Ato ilustrojnë simetrinë e thellë reciproke të operacioneve AND dhe OR: nëse operacioni AND reagon në mënyrë selektive ndaj rastësisë së sinjaleve direkte, atëherë operacioni OR gjithashtu reagon në mënyrë selektive ndaj rastësisë së përmbysjeve të tyre. Elementi OR është transparent për çdo sinjal, elementi AND - për çdo përmbysje. Duke përdorur formulat e de Morgan, mund të përkthehen lehtësisht qarqet logjike nga baza NOT, DHE, OSE, në të cilat një person është më i mësuar të mendojë dhe të kompozojë shprehje logjike fillestare, në baza invertuese, të cilat zbatohen në mënyrë më efektive nga teknologjia e integruar.

10. Arrow Pierce

Shigjeta Pierce (logjike "OR-JO") deklaratat a dhe bështë një propozim i ri që do të jetë i vërtetë nëse dhe vetëm nëse të dy propozimet janë të rreme.

Shenja e shigjetës së Pierce është ↓

Vlerat e funksionit shpoj shigjeta paraqitur në tabelë:

Elementi logjik i operacionit shpoj shigjetaështë:

Arrow Pierce- operacion logjik binar, funksion boolean mbi dy ndryshore. Prezantuar nga Charles Peirce në 1880-1881.

Shigjeta Pierce, që zakonisht shënohet ↓, është ekuivalente me operacionin NOR dhe jepet nga tabela e mëposhtme e së vërtetës:

Kështu, pohimi "X ↓ Y" do të thotë "as X as Y". Ndryshimi i vendeve të operandëve nuk ndryshon rezultatin e operacionit.

		X ↓ Y

11. Goditja e Schaeffer-it- operacion logjik binar, funksion Boolean mbi dy variabla. Prezantuar nga Henry Schaeffer në 1913 (i referuar në disa burime si Vija me pika e Chulkov-it) goditja e Schaeffer, zakonisht shënohet |, është ekuivalente me operacionin NAND dhe jepet nga tabela e mëposhtme e së vërtetës:

Kështu, deklarata X | Y do të thotë që X dhe Y janë të papajtueshëm, d.m.th. nuk janë të vërteta në të njëjtën kohë. Ndryshimi i vendeve të operandëve nuk ndryshon rezultatin e operacionit. Shefi i parë i Schaeffer, si shigjeta Pierce, formon një bazë për hapësirën e funksioneve Boolean të dy ndryshoreve. Kjo do të thotë, duke përdorur vetëm goditjen Schaeffer, ju mund të ndërtoni pjesën tjetër të operacioneve. Për shembull,

- mohim

Disjunksion

Lidhëza

Konstante 1

Në elektronikë, kjo do të thotë që një element tipik është i mjaftueshëm për të zbatuar të gjithë shumëllojshmërinë e skemave të konvertimit të sinjalit që përfaqësojnë vlera logjike. Nga ana tjetër, kjo qasje rrit kompleksitetin e qarqeve që zbatojnë shprehje logjike dhe në këtë mënyrë redukton besueshmërinë e tyre. Një shembull është seria industriale 155.

Elementi 2I-NOT (2-në NAND) që zbaton goditjen Schaeffer përcaktohet si më poshtë (sipas standardeve ANSI):

Në standardet evropiane, miratohet një përcaktim i ndryshëm:

12. Çelësat e diodës. Informacion i pergjithshem. Një çelës elektronik është një pajisje që mund të jetë në një nga dy gjendjet e qëndrueshme: të mbyllur ose të hapur. Baza e çelësit elektronik është një element aktiv jo-linear (diodë gjysmëpërçuese, transistor, tiristor, etj.) që vepron në modalitetin e çelësit. Sipas llojit të elementit jolinear të përdorur, çelësat elektronikë ndahen në diodë, tranzistor, tiristor, etj.

çelësat e diodës. Lloji më i thjeshtë i ndërprerësve elektronikë janë çelësat me diodë. Si elemente aktive në to përdoren dioda gjysmëpërçuese ose elektrovakum.

Me një tension pozitiv të hyrjes, dioda është e hapur dhe rryma përmes saj

, ku është rezistenca përpara e diodës.

Tensioni i daljes

.

Zakonisht atëherë. Me një tension negativ të hyrjes, rryma rrjedh nëpër diodë

,

ku është rezistenca e kundërt e diodës.

Në të njëjtën kohë, tensioni i daljes

. Si rregull, dhe . Kur ndryshohet polariteti i diodës, grafiku i funksionit do të rrotullohet me një kënd rreth origjinës.

Çelësat e diodës nuk lejojnë ndarjen elektrike të qarqeve të kontrollit dhe të kontrolluar, gjë që shpesh kërkohet në praktikë. Për ndërprerjen (ndërprerjen) e tensioneve dhe rrymave, të ashtuquajturat. çelësat e diodës. Këto qarqe lejojnë, kur aplikohet një tension i caktuar kontrolli, të mbyllet / hapet një qark elektrik përmes të cilit transmetohet një sinjal i dobishëm (rrymë, tension). Në qarqet më të thjeshta të çelësave, vetë sinjali i hyrjes mund të përdoret si kontroll.

Duke folur për çelsat e diodës, nuk mund të mos përmendet një klasë e veçantë e diodave gjysmëpërçuese - diodat p-i-n. Ato përdoren vetëm për ndërrimin e sinjaleve RF dhe mikrovalëve. Kjo është e mundur për shkak të vetive të tyre unike - përçueshmërisë së rregullueshme në frekuencën e sinjalit. Një rregullim i tillë zakonisht kryhet ose kur një tension i jashtëm konstant i paragjykimit aplikohet në diodë, ose drejtpërdrejt nga niveli i sinjalit (për kufizimin e diodave p-i-n).