กฎของตรรกะการติดกาว พื้นฐานของพีชคณิตของลอจิก

บทเรียนเกี่ยวกับสารสนเทศได้รับการออกแบบมาสำหรับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 ของโรงเรียนการศึกษาทั่วไปซึ่งมีหลักสูตรในหัวข้อ "พีชคณิตของลอจิก" หัวข้อนี้ยากมากสำหรับนักเรียน ฉันในฐานะครูจึงอยากให้พวกเขาสนใจศึกษากฎของตรรกะ ลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะ และเข้าใกล้วิธีแก้ปัญหาเชิงตรรกะด้วยความสนใจ ในรูปแบบปกติ การให้บทเรียนในหัวข้อนี้เป็นเรื่องที่น่าเบื่อและลำบาก และคำจำกัดความบางอย่างก็ไม่ชัดเจนสำหรับเด็กเสมอไป ในการเชื่อมต่อกับการจัดหาพื้นที่ข้อมูล ฉันมีโอกาสโพสต์บทเรียนของฉันในเชลล์ "การเรียนรู้" นักเรียนที่ลงทะเบียนแล้วสามารถเข้าร่วมหลักสูตรนี้ในเวลาว่างและอ่านซ้ำสิ่งที่ไม่ชัดเจนในบทเรียน นักเรียนบางคนที่พลาดบทเรียนเนื่องจากความเจ็บป่วย ชดเชยหัวข้อที่ขาดไปที่บ้านหรือที่โรงเรียน และพร้อมเสมอสำหรับบทเรียนถัดไป การสอนรูปแบบนี้เหมาะกับเด็กจำนวนมาก และกฎหมายเหล่านั้นที่พวกเขาไม่สามารถเข้าใจได้ก็เรียนรู้ในรูปแบบคอมพิวเตอร์ได้ง่ายและเร็วขึ้นมาก ฉันเสนอหนึ่งในบทเรียนสารสนเทศเหล่านี้ ซึ่งดำเนินการแบบบูรณาการกับ ICT

แผนการเรียน

1. คำอธิบายเนื้อหาใหม่โดยมีส่วนร่วมของคอมพิวเตอร์ - 25 นาที
2. แนวคิดและคำจำกัดความพื้นฐานใน "การเรียนรู้" - 10 นาที
3. วัสดุสำหรับผู้อยากรู้อยากเห็น - 5 นาที
4. การบ้าน - 5 นาที

1. คำอธิบายเนื้อหาใหม่

กฎของตรรกะที่เป็นทางการ

การเชื่อมโยงที่แท้จริงที่เรียบง่ายและจำเป็นที่สุดระหว่างความคิดจะแสดงอยู่ในกฎพื้นฐานของตรรกะทางการ เหล่านี้เป็นกฎแห่งตัวตน ไม่ขัดแย้ง ไม่เว้นกลาง มีเหตุผลเพียงพอ

กฎเหล่านี้เป็นพื้นฐานเพราะในทางตรรกะแล้ว กฎเหล่านี้มีบทบาทสำคัญอย่างยิ่ง กฎเหล่านี้เป็นกฎทั่วไปที่สุด ช่วยให้คุณลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะและสร้างการอนุมานและการพิสูจน์ กฎหมายสามข้อแรกข้างต้นได้รับการระบุและจัดทำขึ้นโดยอริสโตเติล และกฎหมายที่มีเหตุผลเพียงพอ - โดย G. Leibniz

กฎแห่งตัวตน: ในกระบวนการของการให้เหตุผล แนวคิดและวิจารณญาณทุกอย่างจะต้องเหมือนกันในตัวเอง

กฎแห่งการไม่ขัดแย้งกัน: เป็นไปไม่ได้ที่คนตาเดียวกันในเวลาเดียวกันจะมีและไม่ได้อยู่ในสิ่งเดียวกันในแง่เดียวกัน นั่นคือเป็นไปไม่ได้ที่จะยืนยันและปฏิเสธบางสิ่งในเวลาเดียวกัน

กฎของตัวกลางที่ถูกแยกออก: ของประพจน์สองข้อที่ขัดแย้งกัน ข้อหนึ่งเป็นจริง อีกข้อเป็นเท็จ และข้อที่สามไม่ได้กำหนดไว้

กฎแห่งเหตุผลที่เพียงพอ: ทุกความคิดที่แท้จริงต้องมีเหตุผลเพียงพอ

กฎข้อสุดท้ายกล่าวว่าการพิสูจน์บางสิ่งบางอย่างถือเป็นเหตุผลของความคิดที่ถูกต้องและแม่นยำเท่านั้น ความคิดที่ผิดไม่สามารถพิสูจน์ได้ มีสุภาษิตภาษาละตินที่ดี: "การทำผิดเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับทุกคน แต่คนโง่เท่านั้นที่จะยืนหยัดในความผิดพลาด" ไม่มีสูตรสำเร็จสำหรับกฎหมายนี้ เนื่องจากมีลักษณะที่เป็นสาระสำคัญเท่านั้น การตัดสินที่แท้จริง ข้อเท็จจริง ข้อมูลทางสถิติ กฎของวิทยาศาสตร์ สัจพจน์ ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วสามารถใช้เป็นข้อโต้แย้งเพื่อยืนยันความคิดที่แท้จริงได้

กฎของพีชคณิตเชิงประพจน์

พีชคณิตของประพจน์ (พีชคณิตของตรรกศาสตร์) เป็นส่วนหนึ่งของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาการดำเนินการทางตรรกะในประพจน์และกฎสำหรับการแปลงประพจน์ที่ซับซ้อน

เมื่อแก้ปัญหาเชิงตรรกะจำนวนมาก มักจำเป็นต้องลดความซับซ้อนของสูตรที่ได้รับโดยการกำหนดเงื่อนไขให้เป็นทางการ การทำให้สูตรง่ายขึ้นในพีชคณิตของประพจน์นั้นดำเนินการบนพื้นฐานของการแปลงที่เทียบเท่าตามกฎตรรกะพื้นฐาน

กฎของพีชคณิตของประพจน์ (พีชคณิตของตรรกะ) เป็นแบบซ้ำซ้อน

บางครั้งกฎเหล่านี้เรียกว่าทฤษฎีบท

ในพีชคณิตเชิงประพจน์ กฎเชิงตรรกศาสตร์จะแสดงเป็นความเท่าเทียมกันของสูตรที่สมมูลกัน ในบรรดากฎหมาย กฎหมายที่มีตัวแปรเดียวจะมีความโดดเด่นเป็นพิเศษ

กฎสี่ข้อแรกต่อไปนี้เป็นกฎพื้นฐานของพีชคณิตเชิงประพจน์

กฎหมายประจำตัว:

แนวคิดและวิจารณญาณทุกอย่างเหมือนกันหมด

กฎแห่งอัตลักษณ์หมายความว่าในกระบวนการของการใช้เหตุผล เราไม่สามารถแทนที่ความคิดหนึ่งด้วยอีกความคิดหนึ่งได้ แนวคิดหนึ่งกับอีกแนวคิดหนึ่ง หากละเมิดกฎหมายนี้ อาจเกิดข้อผิดพลาดเชิงตรรกะได้

ตัวอย่างเช่นการอภิปราย พวกเขาพูดถูกต้องว่าลิ้นจะนำคุณไปที่ Kyiv แต่ฉันซื้อลิ้นรมควันเมื่อวานนี้ซึ่งหมายความว่าตอนนี้ฉันสามารถไปที่ Kyiv ได้อย่างปลอดภัยไม่ถูกต้อง เนื่องจากคำแรกและคำที่สอง "ภาษา" แสดงถึงแนวคิดที่แตกต่างกัน

ในการสนทนา: การเคลื่อนไหวเป็นนิรันดร์ การไปโรงเรียนคือการเคลื่อนไหว ดังนั้นการไปโรงเรียนจึงคงอยู่ตลอดไปคำว่า "การเคลื่อนไหว" ใช้ในความหมายที่แตกต่างกันสองความหมาย (ความหมายแรก - ในความหมายเชิงปรัชญา - เป็นคุณลักษณะของสสาร ส่วนที่สอง - ในความหมายทั่วไป - เป็นการกระทำเพื่อเคลื่อนที่ในอวกาศ) ซึ่งนำไปสู่ข้อสรุปที่ผิดพลาด

กฎแห่งการไม่ขัดแย้ง:

ประพจน์และนิเสธไม่สามารถเป็นจริงได้ในเวลาเดียวกัน นั่นคือถ้าคำสั่ง แต่เป็นจริงแล้วปฏิเสธของมัน ไม่ใช่ กต้องเป็นเท็จ (และในทางกลับกัน) จากนั้นผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะเป็นเท็จเสมอ

นี่คือความเท่าเทียมกันที่มักใช้เมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อน

บางครั้งกฎหมายนี้มีการกำหนดดังนี้: ข้อความสองคำที่ขัดแย้งกันไม่สามารถเป็นจริงได้ในเวลาเดียวกัน ตัวอย่างของการไม่ปฏิบัติตามกฎหมายว่าด้วยการไม่ขัดแย้ง:

1. มีสิ่งมีชีวิตบนดาวอังคารและไม่มีสิ่งมีชีวิตบนดาวอังคาร

2. Olya จบการศึกษาจากโรงเรียนมัธยมและอยู่ในเกรด 10

กฎหมายของกลางที่แยกออก:

ในเวลาเดียวกัน ข้อความนั้นสามารถเป็นจริงหรือเท็จก็ได้ ไม่มีข้อที่สาม จริงอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่,หรือ ไม่ใช่ ก.ตัวอย่างของการดำเนินการตามกฎหมายของกลางที่แยกออก:

1. เลข 12345 จะเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ ไม่มีเลขสาม

2. บริษัทกำลังดำเนินการขาดทุนหรือคุ้มทุน

3. ของเหลวนี้อาจเป็นกรดหรือไม่ก็ได้

กฎของตัวกลางที่ถูกแยกออกไม่ใช่กฎที่นักตรรกวิทยาทุกคนยอมรับว่าเป็นกฎสากลของตรรกศาสตร์ กฎหมายนี้ใช้เมื่อความรู้เกี่ยวข้องกับสถานการณ์ที่เข้มงวด: "อย่างใดอย่างหนึ่ง - หรือ", "จริง-เท็จ" ในกรณีที่มีความไม่แน่นอน (เช่น ในการให้เหตุผลเกี่ยวกับอนาคต) มักจะไม่สามารถนำกฎหมายของตัวกลางที่แยกออกมามาใช้ได้

พิจารณาข้อความต่อไปนี้: คำแนะนำนี้เป็นเท็จไม่สามารถเป็นจริงได้เพราะอ้างว่าเป็นเท็จ แต่จะเป็นเท็จไม่ได้เช่นกันเพราะมันจะเป็นจริง ข้อความนี้ไม่เป็นความจริงหรือเป็นเท็จ ดังนั้นจึงละเมิดกฎหมายของตัวกลางที่ถูกแยกออก

พาราดอกซ์(ความขัดแย้งกรีก - ไม่คาดคิด, แปลก) ในตัวอย่างนี้เกิดขึ้นจากการที่ประโยคอ้างถึงตัวเอง ความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงอีกอย่างหนึ่งคือปัญหาของช่างทำผม: ในเมืองหนึ่ง ช่างตัดผมตัดผมของผู้อยู่อาศัยทุกคน ยกเว้นคนที่ตัดผมของตัวเอง ใครตัดผมให้ช่างตัดผม?ในทางตรรกะ เนื่องจากเป็นทางการ จึงเป็นไปไม่ได้ที่จะได้รับรูปแบบของข้อความอ้างอิงตนเองดังกล่าว นี่เป็นการยืนยันแนวคิดอีกครั้งว่าด้วยความช่วยเหลือของพีชคณิตของตรรกะมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงความคิดและข้อโต้แย้งที่เป็นไปได้ทั้งหมด ให้เราแสดงวิธีหากฎที่เหลือของพีชคณิตเชิงประพจน์ตามนิยามของการสมมูลเชิงประพจน์

ตัวอย่างเช่น ลองกำหนดสิ่งที่เทียบเท่ากับ (เทียบเท่ากับ) แต่(สองครั้งไม่ แต่,นั่นคือการปฏิเสธของการปฏิเสธ แต่).ในการทำเช่นนี้ เราจะสร้างตารางความจริง:

ตามนิยามของความเท่าเทียมกันเราจะต้องค้นหาคอลัมน์ที่มีค่าตรงกับค่าของคอลัมน์ แต่.นี่จะเป็นคอลัมน์ แต่.

ดังนั้นเราจึงสามารถกำหนด กฎหมายคู่การปฏิเสธ:

หากเราปฏิเสธข้อความบางข้อความสองครั้ง ผลลัพธ์ก็คือข้อความเดิม ตัวอย่างเช่นคำสั่ง แต่= Matroskin- แมวเท่ากับว่า A = ไม่เป็นความจริงที่ Matroskin ไม่ใช่แมว

ในทำนองเดียวกัน กฎหมายต่อไปนี้สามารถรับและตรวจสอบได้:

คุณสมบัติคงที่:

กฎแห่งอำนาจ:

ไม่ว่าเราจะทำซ้ำกี่ครั้ง: ทีวีออนหรือทีวีออนหรือทีวีออน...ความหมายของประโยคจะไม่เปลี่ยนแปลง ในทำนองเดียวกันจากการทำซ้ำ ข้างนอกมันร้อน ข้างนอกมันร้อน...ไม่ร้อนขึ้นหนึ่งองศา

กฎของการสลับที่:

A v B = B v A

A & B = บี & ก

ตัวถูกดำเนินการ แต่และ ที่ในการดำเนินการของการแยกและส่วนร่วมสามารถแลกเปลี่ยนได้

กฎหมายความเชื่อมโยง:

ก v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

หากนิพจน์ใช้เฉพาะการดำเนินการแยกส่วนหรือเฉพาะการดำเนินการร่วม คุณสามารถละเว้นวงเล็บหรือจัดเรียงตามอำเภอใจ

กฎหมายการกระจาย:

Av (B & C) = (Av B) & (Av C)

(การแตกกระจาย
เกี่ยวกับการรวมกัน)

A & (B v C) = (A & B) โวลต์ (A & C)

(การกระจายของคำเชื่อม
เกี่ยวกับความแตกแยก)

กฎการกระจายของการร่วมในส่วนที่เกี่ยวกับส่วนร่วมนั้นคล้ายกับกฎการกระจายในพีชคณิต แต่กฎของการกระจายส่วนร่วมในส่วนที่เกี่ยวกับส่วนร่วมนั้นไม่มีอะนาลอก มันใช้ได้เฉพาะในตรรกะเท่านั้น ดังนั้นจึงต้องมีการพิสูจน์ การพิสูจน์ทำได้ดีที่สุดโดยใช้ตารางความจริง:

กฎหมายการดูดซึม:

A v (A & B) = ก

A & (A v B) = ก

ดำเนินการพิสูจน์กฎการดูดกลืนด้วยตัวคุณเอง

กฎของเดอมอร์แกน:

สูตรทางวาจาของกฎหมายของเดอมอร์แกน:

กฎช่วยจำ:ทางด้านซ้ายของเอกลักษณ์ การดำเนินการปฏิเสธอยู่เหนือข้อความทั้งหมด ทางด้านขวาดูเหมือนว่าจะใช้งานไม่ได้และการปฏิเสธจะอยู่เหนือคำสั่งง่ายๆ แต่ละข้อ แต่ในขณะเดียวกันการดำเนินการก็เปลี่ยนไป: การแยกออกจากการรวมกันและในทางกลับกัน

ตัวอย่างของการดำเนินการตามกฎหมายของเดอมอร์แกน:

1) คำชี้แจง ไม่เป็นความจริงที่ฉันรู้ภาษาอาหรับหรือภาษาจีนเหมือนกับข้อความ ฉันไม่รู้ภาษาอาหรับและไม่รู้ภาษาจีน

2) คำชี้แจง ไม่เป็นความจริงที่ฉันได้เรียนรู้บทเรียนของฉันและได้ D จากบทเรียนนั้นเหมือนกับข้อความ ฉันไม่ได้เรียนรู้บทเรียนหรือไม่ได้ A ในบทเรียนนั้น

การทดแทนการดำเนินการโดยปริยายและสมมูล

การดำเนินการโดยปริยายและความเท่าเทียมกันบางครั้งไม่ได้อยู่ในการดำเนินการทางตรรกะของคอมพิวเตอร์เครื่องใดเครื่องหนึ่งหรือคอมไพเลอร์จากภาษาโปรแกรม อย่างไรก็ตามการดำเนินการเหล่านี้จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาต่างๆ มีกฎสำหรับการแทนที่การดำเนินการเหล่านี้ด้วยลำดับของการปฏิเสธ การแยก และการดำเนินการร่วมกัน

ดังนั้นแทนที่การดำเนินการ ความหมายเป็นไปได้ตามกฎต่อไปนี้:

เพื่อทดแทนการดำเนินการ ความเท่าเทียมกันมีกฎสองข้อ:

การตรวจสอบความถูกต้องของสูตรเหล่านี้ทำได้ง่ายโดยสร้างตารางความจริงสำหรับด้านขวาและด้านซ้ายของข้อมูลประจำตัวทั้งสอง

ความรู้เกี่ยวกับกฎสำหรับการแทนที่การดำเนินการของนัยและความเท่าเทียมกันช่วยให้สามารถสร้างการปฏิเสธของความหมายได้อย่างถูกต้อง

พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ให้คำชี้แจง:

E = ไม่เป็นความจริงหากฉันชนะการแข่งขันฉันจะได้รับรางวัล

อนุญาต แต่= ฉันจะชนะการแข่งขัน

B = ฉันจะได้รับรางวัล

ดังนั้น E = ฉันจะชนะการแข่งขัน แต่ฉันจะไม่ได้รับรางวัล

กฎต่อไปนี้เป็นที่สนใจเช่นกัน:

คุณยังสามารถพิสูจน์ความถูกต้องได้โดยใช้ตารางความจริง

การแสดงออกของพวกเขาในภาษาธรรมชาตินั้นน่าสนใจ

ตัวอย่างเช่นวลี

ถ้าวินนี่เดอะพูห์กินน้ำผึ้งแสดงว่าเขาอิ่มแล้ว

ก็เหมือนกับประโยค

ถ้าหมีพูห์ไม่อิ่มแสดงว่าไม่ได้กินน้ำผึ้ง

ออกกำลังกาย:นึกถึงตัวอย่างวลีในกฎเหล่านี้

2. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความในภาคผนวก 1

3. วัสดุสำหรับผู้ที่อยากรู้อยากเห็นในภาคผนวก 2

4. การบ้าน

1) เรียนรู้กฎของตรรกะโดยใช้หลักสูตรพีชคณิตของลอจิกที่อยู่ในพื้นที่ข้อมูล (www.learning.9151394.ru)

2) ตรวจสอบการพิสูจน์กฎหมายของ De Morgan บนพีซีโดยสร้างตารางความจริง

แอพพลิเคชั่น

1. แนวคิดพื้นฐานและคำจำกัดความ (

ในการแปลงฟังก์ชัน ให้ลดความซับซ้อนของสูตรที่ได้รับโดยการทำให้เงื่อนไขของปัญหาตรรกะเป็นทางการ การแปลงสมมูลจะดำเนินการในพีชคณิตของตรรกะ ตามกฎตรรกะพื้นฐาน กฎเหล่านี้บางข้อได้รับการกำหนดและเขียนขึ้นในลักษณะเดียวกับกฎที่คล้ายกันในเลขคณิตและพีชคณิต ส่วนกฎอื่นๆ ดูไม่ปกติ

กฎของพีชคณิตของตรรกะบางครั้งเรียกว่า ทฤษฎีบท.

ในพีชคณิตเชิงประพจน์ กฎเชิงตรรกศาสตร์จะแสดงเป็นความเท่าเทียมกันของสูตรที่สมมูลกัน

ความถูกต้องของกฎหมายทั้งหมดสามารถตรวจสอบได้โดยการสร้างตารางความจริงสำหรับส่วนซ้ายและขวาของกฎหมายที่เป็นลายลักษณ์อักษร หลังจากทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยใช้กฎของพีชคณิตของตรรกศาสตร์ ตารางความจริงก็เหมือนกัน

ความถูกต้องของกฎหมายบางข้อสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เครื่องมือตารางความจริง

รูปภาพที่ 1

ตัวอย่าง

รูปที่ 3

มาทำให้นิพจน์ดั้งเดิมง่ายขึ้นโดยใช้กฎพื้นฐานของพีชคณิตของตรรกะ:

รูปที่ 4

(กฎของเดอ มอร์แกน, กฎการกระจายสำหรับ AND, กฎของการไร้อำนาจ, การดำเนินการของตัวแปรที่มีการผกผัน)

ตารางแสดงให้เห็นว่าสำหรับชุดค่าทั้งหมดของตัวแปร $x$ และ $y$ สูตรในรูปที่ 2 ใช้ค่า $1$ นั่นคือเป็นจริงเหมือนกัน

รูปที่ 6

จะเห็นได้จากตารางว่านิพจน์ Source ใช้ค่าเดียวกับนิพจน์แบบง่ายในค่าที่สอดคล้องกันของตัวแปร $x$ และ $y$

มาทำให้นิพจน์ในรูปที่ 5 ง่ายขึ้นโดยใช้กฎพื้นฐานของพีชคณิตของตรรกศาสตร์

รูปที่ 7

(กฎของเดอมอร์แกน กฎการดูดกลืน กฎการกระจายสำหรับ I)

รูปที่ 9

ตารางแสดงให้เห็นว่าสำหรับชุดค่าทั้งหมดของตัวแปร $x$ และ $y$ สูตรในรูปที่ 8 ใช้ค่า $0$ นั่นคือเป็นเท็จเหมือนกัน

มาทำให้การแสดงออกง่ายขึ้นโดยใช้กฎของพีชคณิตของตรรกะ:

รูปที่ 10.

รูปที่ 12.

(กฎของ De Mogrgan การกระจาย)

มาทำตารางความจริงสำหรับนิพจน์ในรูปที่ 11:

รูปที่ 13.

จะเห็นได้จากตารางว่านิพจน์ในรูปที่ 11 ในบางกรณีใช้ค่า $1$ และในบางค่า - $0$ นั่นคือเป็นไปได้

(กฎของเดอมอร์แกน เรานำปัจจัยร่วมออก กฎการดำเนินการของตัวแปรที่มีการผกผัน)

(ปัจจัยที่สองเกิดขึ้นซ้ำซึ่งเป็นไปได้โดยใช้กฎของ idempotent จากนั้นจึงรวมสองปัจจัยแรกและสองปัจจัยสุดท้ายเข้าด้วยกันและใช้กฎของการติดกาว)

(เราแนะนำปัจจัยเชิงตรรกะเสริม

มีห้ากฎของพีชคณิตของตรรกะ:

1. กฎแห่งองค์ประกอบเดียว

1*X=X
0*X=0
1+X=1
0 + X = X

กฎของพีชคณิตของตรรกะนี้เป็นไปตามโดยตรงจากนิพจน์ข้างต้นของสัจพจน์ของพีชคณิตของตรรกะ

นิพจน์สองตัวบนมีประโยชน์เมื่อสร้างสวิตช์ เนื่องจากการใช้ศูนย์โลจิคัลหรือหนึ่งต่อหนึ่งในอินพุตขององค์ประกอบ "2I" คุณสามารถส่งสัญญาณไปยังเอาต์พุตหรือสร้างศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ที่เอาต์พุต

ตัวแปรที่สองของการใช้นิพจน์เหล่านี้คือความเป็นไปได้ของการเลือกเลขศูนย์ของตัวเลขหลายหลัก ด้วยการใช้การดำเนินการ "AND" ในระดับบิต คุณสามารถคงค่าก่อนหน้าของตัวเลขไว้ หรือตั้งค่าใหม่โดยใช้หน่วยหรือศักย์เป็นศูนย์กับตัวเลขที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องรีเซ็ตตัวเลข 6, 3 และ 1 แล้ว:

ในตัวอย่างข้างต้นของการใช้กฎของพีชคณิตของตรรกศาสตร์ จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าในการทำให้ตัวเลขที่จำเป็นในหน้ากากเป็นศูนย์ (ตัวเลขด้านล่าง) เลขศูนย์จะถูกเขียนแทนที่ตัวเลขที่สอดคล้องกัน และตัวเลขจะถูกเขียนในส่วนที่เหลือ ตัวเลข เลขเดิม (เลขบน) มีหน่วยแทน 6 และ 1 หลัก หลังจากดำเนินการ "และ" ศูนย์จะปรากฏในตำแหน่งเหล่านี้ แทนที่หลักที่สามในจำนวนเดิมคือศูนย์ ในจำนวนผลลัพธ์จะมีศูนย์อยู่ที่สถานที่นี้ด้วย ตัวเลขที่เหลือตามเงื่อนไขของปัญหาจะไม่เปลี่ยนแปลง

ในทำนองเดียวกัน ด้วยความช่วยเหลือจากกฎขององค์ประกอบเดี่ยว ซึ่งเป็นหนึ่งในกฎพื้นฐานของพีชคณิตของตรรกะ เราสามารถเขียนหน่วยเป็นตัวเลขที่เราต้องการได้ ในกรณีนี้จำเป็นต้องใช้สองนิพจน์ล่างของกฎหมายองค์ประกอบเดียว ด้วยการใช้การดำเนินการ "OR" ในระดับบิต คุณสามารถคงค่าก่อนหน้าของตัวเลขไว้ หรือตั้งค่าใหม่โดยใช้ศูนย์หรือศักย์เอกภาพกับตัวเลขที่เกี่ยวข้อง ให้เขียนหน่วยเป็น 7 และ 6 บิตของตัวเลข แล้ว:

ที่นี่ในหน้ากาก (หมายเลขล่าง) เราได้เขียนไว้ในบิตที่เจ็ดและหก บิตที่เหลือประกอบด้วยศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สามารถเปลี่ยนสถานะเริ่มต้นของจำนวนเดิม ซึ่งเราเห็นในจำนวนผลลัพธ์ใต้บรรทัด

การแสดงออกครั้งแรกและครั้งสุดท้ายของกฎขององค์ประกอบเดียวอนุญาตให้ใช้กับอินพุตมากขึ้นเป็นองค์ประกอบลอจิกที่มีอินพุตน้อยลง ในการทำเช่นนี้ จะต้องเชื่อมต่ออินพุตที่ไม่ได้ใช้ในวงจร "AND" เข้ากับแหล่งจ่ายไฟ ดังแสดงในรูปที่ 1:

รูปที่ 1. แบบแผน "2I-NOT" นำมาใช้กับองค์ประกอบลอจิก "3I-NOT"

ในเวลาเดียวกัน อินพุตที่ไม่ได้ใช้ในวงจร "หรือ" ตามกฎขององค์ประกอบเดี่ยวจะต้องเชื่อมต่อกับสายทั่วไปของวงจรดังแสดงในรูปที่ 2

รูปที่ 2. วงจร "NOT" ใช้กับองค์ประกอบ "2I-NOT"

กฎต่อไปนี้ของพีชคณิตของตรรกศาสตร์ ต่อจากสัจพจน์ของพีชคณิตของตรรกศาสตร์ คือกฎของการปฏิเสธ

2. กฎแห่งการปฏิเสธ

ก. กฎแห่งธาตุประกอบ

นิพจน์ของกฎพีชคณิตของตรรกะนี้ใช้กันอย่างแพร่หลายเพื่อลดวงจรลอจิก หากสามารถแยกนิพจน์ย่อยดังกล่าวออกจากนิพจน์ทั่วไปของฟังก์ชันลอจิคัลได้ ก็เป็นไปได้ที่จะลดจำนวนอินพุตที่จำเป็นขององค์ประกอบวงจรดิจิทัล และบางครั้งก็ลดนิพจน์ทั้งหมดเป็นค่าคงที่เชิงตรรกะ

กฎอีกข้อหนึ่งของพีชคณิตของตรรกศาสตร์ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายคือกฎของการปฏิเสธสองครั้ง

ข. สองครั้งไม่

กฎของการปฏิเสธสองครั้งใช้ทั้งเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะ (และเป็นผลจากการลดความซับซ้อนและลดต้นทุนของวงจรเชิงซ้อนดิจิทัล) และเพื่อกำจัดการผกผันของสัญญาณหลังจากองค์ประกอบเชิงตรรกะเช่น "2I-NOT" และ "2OR- ไม่". ในกรณีนี้ กฎของพีชคณิตของลอจิกทำให้สามารถนำวงจรดิจิทัลที่กำหนดไปใช้ได้โดยใช้ชุดองค์ประกอบลอจิกที่จำกัด

ค. กฎของลอจิกเชิงลบ

กฎของตรรกะเชิงลบใช้ได้กับตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้ กฎของพีชคณิตของตรรกะนี้อนุญาตให้คุณดำเนินการโดยใช้องค์ประกอบตรรกะ "OR" และในทางกลับกัน: เพื่อใช้ฟังก์ชันตรรกะ "OR" โดยใช้องค์ประกอบตรรกะ "AND" สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในวงจร TTL เนื่องจากง่ายต่อการติดตั้งและเกท แต่การติดตั้ง OR นั้นค่อนข้างยาก ต้องขอบคุณกฎของตรรกะเชิงลบ จึงเป็นไปได้ที่จะนำองค์ประกอบ "OR" ไปใช้กับองค์ประกอบเชิงตรรกะ "และ" รูปที่ 3 แสดงการใช้งานองค์ประกอบลอจิก "2OR" บนองค์ประกอบ " " และอินเวอร์เตอร์สองตัว

รูปที่ 3 องค์ประกอบลอจิก "2OR" ใช้กับองค์ประกอบ "2I-NOT" และอินเวอร์เตอร์สองตัว

สามารถพูดได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับรูปแบบการติดตั้ง "หรือ" หากจำเป็นสามารถเปลี่ยนเป็นการติดตั้ง "AND" ได้โดยใช้อินเวอร์เตอร์ที่อินพุตและเอาต์พุตของวงจรนี้

3. กฎการรวมกัน

กฎเชิงผสมของพีชคณิตของตรรกศาสตร์ส่วนใหญ่สอดคล้องกับกฎเชิงผสมของพีชคณิตสามัญ แต่ก็มีความแตกต่างเช่นกัน

ก. กฎหมายซ้ำซากจำเจ (ซ้ำหลายครั้ง)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

กฎของพีชคณิตของลอจิกนี้อนุญาตให้ใช้ลอจิกเกตที่มีอินพุตมากกว่าเป็นเกตที่มีอินพุตน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้วงจร "2I" สองอินพุตบนองค์ประกอบตรรกะ "3I" ดังแสดงในรูปที่ 4:

รูปที่ 4. แบบแผน "2I-NOT" นำมาใช้กับองค์ประกอบลอจิก "3I-NOT"

หรือใช้วงจร "2NAND-NOT" เป็นอินเวอร์เตอร์ปกติ ดังรูปที่ 5:

รูปที่ 5. วงจร "NOT" ใช้กับองค์ประกอบตรรกะ "2I-NOT"

อย่างไรก็ตาม ควรเตือนว่าการรวมอินพุตหลายตัวจะเพิ่มกระแสอินพุตขององค์ประกอบลอจิกและความจุของมัน ซึ่งจะเพิ่มการใช้กระแสไฟฟ้าขององค์ประกอบก่อนหน้าและส่งผลเสียต่อความเร็วของวงจรดิจิทัลโดยรวม

หากต้องการลดจำนวนอินพุตในองค์ประกอบเชิงตรรกะ ควรใช้กฎอีกข้อหนึ่งของพีชคณิตของลอจิก นั่นคือกฎขององค์ประกอบเดี่ยวดังที่แสดงไว้ด้านบน

เราพิจารณากฎของพีชคณิตของตรรกะต่อไป:

ข. กฎแห่งการเคลื่อนที่

A + B + C + D = A + C + B + D

ค. กฎหมายรวมกัน

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

ง. กฎหมายการกระจาย

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /ลองพิสูจน์โดยขยายวงเล็บ/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. กฎการดูดซับ (ตัวแปรหนึ่งดูดซับตัวแปรอื่น ๆ )

X1 + X1X2X3 = X1(1 + X2X3) = X1

5. กฎการติดกาว (ดำเนินการโดยตัวแปรเดียวเท่านั้น)

เช่นเดียวกับในวิชาคณิตศาสตร์ทั่วไป ในพีชคณิตของตรรกศาสตร์มีความสำคัญกว่าการดำเนินการ สิ่งนี้จะทำก่อน:

1. การดำเนินการในวงเล็บ
2. การดำเนินการกับตัวถูกดำเนินการหนึ่งตัว (การดำเนินการเดี่ยว) - "ไม่"
3. การเชื่อมต่อ - "และ"
4. การแยก - "หรือ"
5. ผลรวมโมดูโลสอง

การดำเนินการของอันดับเดียวกันจะดำเนินการจากซ้ายไปขวาตามลำดับที่เขียนนิพจน์เชิงตรรกะ พีชคณิตของลอจิกเป็นแบบเส้นตรงและหลักการซ้อนทับนั้นใช้ได้

วรรณกรรม:

ร่วมกับบทความ "กฎของพีชคณิตของตรรกะ" พวกเขาอ่าน:

วงจรลอจิกใดๆ ที่ไม่มีหน่วยความจำจะอธิบายโดยตารางความจริงทั้งหมด หากต้องการใช้ตารางความจริง ก็เพียงพอแล้วที่จะพิจารณาเฉพาะแถวเหล่านั้น...
http://website/digital/SintSxem.php

ตัวถอดรหัส (ตัวถอดรหัส) ช่วยให้คุณสามารถแปลงรหัสไบนารีประเภทหนึ่งเป็นรหัสอื่นได้ ตัวอย่างเช่น...
http://website/digital/DC.php

บ่อยครั้งที่ผู้พัฒนาอุปกรณ์ดิจิทัลประสบปัญหาตรงกันข้าม คุณต้องการแปลงโค้ดบรรทัดฐานแปดหรือทศนิยมเป็น...
http://website/digital/coder.php

มัลติเพล็กเซอร์เป็นอุปกรณ์ที่ให้คุณเชื่อมต่ออินพุตหลายตัวเข้ากับเอาต์พุตเดียว ...
http://website/digital/MS.php

อุปกรณ์ต่างๆ เรียกว่า ดีมัลติเพล็กเซอร์ ... ความแตกต่างที่สำคัญจากมัลติเพล็กเซอร์คือ ...
http://website/digital/DMS.php

หากเราพิจารณาการประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงประพจน์สำหรับการวิเคราะห์และการเพิ่มประสิทธิภาพของวงจรคอนแทครีเลย์ วงจรอัตโนมัติ และการใช้งานอื่นๆ และความรู้ การลดลงของจำนวนองค์ประกอบและ/หรือการเชื่อมต่อนำไปสู่การเพิ่มความน่าเชื่อถือของอุปกรณ์ที่ใช้วงจรเหล่านี้ จากนั้นจะเห็นได้ชัดว่าการศึกษาสูตรดังกล่าวในคณิตศาสตร์แบบแยกส่วนเป็นสิ่งสำคัญ ซึ่งช่วยให้ปรับสูตรให้เหมาะสมได้

กฎที่ทำให้สามารถลดองค์ประกอบและการดำเนินการของประพจน์เชิงตรรกะ ได้แก่ กฎของการดูดซับและการติดกาว

กฎหมายการดูดซึม:

สำหรับการเพิ่มเชิงตรรกะ: เอ  (เอ & บี) = ก ;

สำหรับการคูณทางตรรกะ: A & (A  B) = ก .

ความรู้เกี่ยวกับกฎแห่งตรรกะช่วยให้คุณตรวจสอบความถูกต้องของเหตุผลและหลักฐานได้ ตามกฎหมาย คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์เชิงตรรกะที่ซับซ้อนได้ กระบวนการแทนที่ฟังก์ชันลอจิกที่ซับซ้อนด้วยฟังก์ชันที่ง่ายกว่าแต่เทียบเท่ากันนี้เรียกว่าการย่อฟังก์ชัน

การแปลงสูตรทางตรรกะบางอย่างคล้ายกับการแปลงสูตรในพีชคณิตธรรมดา (การคร่อมตัวประกอบร่วม การใช้กฎการสลับที่และการเชื่อมโยง ฯลฯ) การแปลงอื่นๆ ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติที่การดำเนินการทางพีชคณิตทั่วไปไม่มี (ใช้กฎการกระจายสำหรับการรวม กฎการดูดกลืน พันธะ เดอ มอร์แกน ฯลฯ)

การละเมิดกฎแห่งตรรกะนำไปสู่ข้อผิดพลาดเชิงตรรกะและผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกัน

8. กฎการติดกาว

; (2.11)
. (2.12) หลักฐานของ (2.11): . หลักฐาน (2.12):

9. กฎหมายทั่วไป ติดกาว . (2.13). (2.14) หลักฐาน (2.13): หลักฐาน (2.14) เราเปิดวงเล็บที่ด้านซ้ายของความเสมอภาค (2.14) ก่อน จากนั้นเปิดที่ด้านขวา ; .

9. กฎของเดอ มอร์แกน

กฎของเดอมอร์แกน (กฎของเดอมอร์แกน) - กฎตรรกะที่เชื่อมต่อคู่ของตัวดำเนินการเชิงตรรกะคู่โดยใช้การปฏิเสธเชิงตรรกะ

ประวัติและความหมาย

เดิมทีออกุสตุส เดอ มอร์แกนสังเกตว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้ถือเป็นจริงในตรรกะเชิงประพจน์แบบคลาสสิก:

ไม่ใช่ (P และ Q) = (ไม่ใช่ P) หรือ (ไม่ใช่ Q)

ไม่ใช่ (P หรือ Q) = (ไม่ใช่ P) และ (ไม่ใช่ Q)

สัญกรณ์ปกติของกฎหมายเหล่านี้ในตรรกะอย่างเป็นทางการคือ:

ในทฤษฎีเซต:

สูตรของ De Morgan ใช้ได้กับอาร์กิวเมนต์จำนวนเท่าใดก็ได้ สิ่งเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงความสมมาตรซึ่งกันและกันในเชิงลึกของการดำเนินการ AND และ OR: หากการดำเนินการ AND เลือกตอบสนองต่อสัญญาณโดยตรงโดยบังเอิญ การดำเนินการ OR ก็จะเลือกตอบสนองต่อความบังเอิญของการผกผันด้วยเช่นกัน องค์ประกอบ OR โปร่งใสสำหรับสัญญาณใด ๆ องค์ประกอบ AND - สำหรับการผกผัน เมื่อใช้สูตรของเดอ มอร์แกน เราสามารถแปลวงจรลอจิคัลจากพื้นฐาน NOT, AND, OR ซึ่งคนคุ้นเคยที่สุดในการคิดและเขียนนิพจน์เชิงตรรกะเริ่มต้น ไปสู่ฐานกลับด้าน ซึ่งใช้เทคโนโลยีแบบบูรณาการมาใช้อย่างมีประสิทธิภาพมากที่สุด

10. แอร์โรว์ เพียร์ซ

ลูกศรเจาะ (ตรรกะ "หรือไม่")งบ กและ ขเป็นประพจน์ใหม่ที่จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อประพจน์ทั้งสองเป็นเท็จ

เครื่องหมายลูกศรของเพียร์ซคือ ↓

ค่าฟังก์ชัน เจาะลูกศรแสดงในตาราง:

องค์ประกอบทางตรรกะของการดำเนินการ เจาะลูกศรเป็น:

แอร์โรว์ เพียร์ซ- การดำเนินการทางตรรกะแบบไบนารี, ฟังก์ชันบูลีนเหนือตัวแปรสองตัว แนะนำโดย Charles Peirce ในปี 1880-1881

ลูกศรเพียร์ซ มักจะใช้แทนด้วย ↓ ซึ่งเทียบเท่ากับการดำเนินการ NOR และกำหนดโดยตารางความจริงต่อไปนี้:

ดังนั้น คำสั่ง "X ↓ Y" จึงหมายถึง "ทั้ง X และ Y" การเปลี่ยนตำแหน่งของตัวดำเนินการจะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ของการดำเนินการ

		เอ็กซ์ ↓ วาย

11. จังหวะของแชฟเฟอร์- การดำเนินการทางตรรกะแบบไบนารี, ฟังก์ชันบูลีนมากกว่าสองตัวแปร นำเสนอโดย Henry Schaeffer ในปี 1913 (อ้างอิงในบางแหล่งว่าเส้นประของ Chulkov) เส้นขีดของ Schaeffer ซึ่งมักจะใช้แทนด้วย | เทียบเท่ากับการดำเนินการของ NAND และได้รับจากตารางความจริงต่อไปนี้:

ดังนั้น คำสั่ง X | Y หมายความว่า X และ Y ไม่เข้ากัน นั่นคือ ไม่เป็นความจริงในเวลาเดียวกัน การเปลี่ยนตำแหน่งของตัวดำเนินการจะไม่เปลี่ยนผลลัพธ์ของการดำเนินการ Schaeffer ไพรม์ เช่น ลูกศรเพียร์ซ สร้างพื้นฐานสำหรับช่องว่างของฟังก์ชันบูลีนของตัวแปรสองตัว นั่นคือ คุณสามารถสร้างส่วนที่เหลือของการดำเนินการโดยใช้จังหวะของแชฟเฟอร์เท่านั้น ตัวอย่างเช่น,

- ปฏิเสธ

ความแตกแยก

การเชื่อมต่อ

ค่าคงที่ 1

ในระบบอิเล็กทรอนิกส์ หมายความว่าองค์ประกอบทั่วไปเพียงองค์ประกอบเดียวก็เพียงพอแล้วที่จะใช้รูปแบบการแปลงสัญญาณที่หลากหลายทั้งหมดแทนค่าตรรกะ ในทางกลับกัน วิธีการนี้จะเพิ่มความซับซ้อนของวงจรที่ใช้นิพจน์เชิงตรรกะ และทำให้ความน่าเชื่อถือลดลง ตัวอย่างคือซีรีส์ 155 สำหรับอุตสาหกรรม

องค์ประกอบ 2I-NOT (2-in NAND) ที่ใช้ Schaeffer stroke ถูกกำหนดดังนี้ (ตามมาตรฐาน ANSI):

ในมาตรฐานยุโรป มีการใช้การกำหนดที่แตกต่างกัน:

12. ปุ่มไดโอดข้อมูลทั่วไป. กุญแจอิเล็กทรอนิกส์เป็นอุปกรณ์ที่สามารถอยู่ในสถานะคงที่หนึ่งในสองสถานะ: ปิดหรือเปิด พื้นฐานของกุญแจอิเล็กทรอนิกส์คือองค์ประกอบแอกทีฟแบบไม่เชิงเส้น (ไดโอดเซมิคอนดักเตอร์ ทรานซิสเตอร์ ไทริสเตอร์ ฯลฯ) ซึ่งทำงานในโหมดคีย์ ตามประเภทขององค์ประกอบที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่ใช้ คีย์อิเล็กทรอนิกส์แบ่งออกเป็นไดโอด ทรานซิสเตอร์ ไทริสเตอร์ ฯลฯ

ปุ่มไดโอด สวิตช์อิเล็กทรอนิกส์ประเภทที่ง่ายที่สุดคือสวิตช์ไดโอด ไดโอดเซมิคอนดักเตอร์หรืออิเล็กโทรแวคคัมใช้เป็นองค์ประกอบที่ใช้งานอยู่

ด้วยแรงดันไฟบวก ไดโอดจะเปิดและกระแสไหลผ่าน

, ความต้านทานไปข้างหน้าของไดโอดอยู่ที่ไหน

แรงดันขาออก

.

โดยปกติแล้ว ด้วยแรงดันอินพุตที่เป็นลบ กระแสจะไหลผ่านไดโอด

,

ความต้านทานย้อนกลับของไดโอดอยู่ที่ไหน

ในขณะเดียวกันแรงดันขาออก

. ตามกฎแล้วและ . เมื่อขั้วของไดโอดเปลี่ยน กราฟของฟังก์ชันจะหมุนเป็นมุมรอบจุดกำเนิด

ปุ่มไดโอดไม่อนุญาตให้มีการแยกส่วนควบคุมและวงจรควบคุมด้วยไฟฟ้า ซึ่งมักจำเป็นในทางปฏิบัติ สำหรับการสลับ (สวิตชิง) แรงดันและกระแส เรียกว่า. ปุ่มไดโอด วงจรเหล่านี้อนุญาตให้ปิด / เปิดวงจรไฟฟ้าที่ส่งสัญญาณที่มีประโยชน์ (กระแส, แรงดัน) เมื่อใช้แรงดันไฟฟ้าควบคุมบางอย่าง ในวงจรคีย์ที่ง่ายที่สุด สัญญาณอินพุตสามารถใช้เป็นตัวควบคุมได้

เมื่อพูดถึงสวิตช์ไดโอดไม่มีใครพลาดที่จะพูดถึงไดโอดเซมิคอนดักเตอร์คลาสพิเศษ - p-i-n-diodes ใช้สำหรับสลับสัญญาณ RF และไมโครเวฟเท่านั้น สิ่งนี้เกิดขึ้นได้เนื่องจากคุณสมบัติเฉพาะ - ค่าการนำไฟฟ้าที่ปรับได้ที่ความถี่สัญญาณ กฎระเบียบดังกล่าวมักจะดำเนินการเมื่อแรงดันไบอัสคงที่ภายนอกถูกป้อนให้กับไดโอด หรือโดยระดับสัญญาณโดยตรง (สำหรับการจำกัด p-i-n-diodes)