Tartibli munosabatlar. Buyurtma munosabati

“Buyurtma” so‘zi ko‘pincha turli masalalarda qo‘llaniladi. Ofitser: "Raqamlar tartibiga ko'ra hisoblang" buyrug'ini beradi, arifmetik amallar ma'lum tartibda bajariladi, sportchilar balandligi bo'yicha tartiblanadi, qismni yasashda operatsiyalarni bajarish tartibi mavjud, so'zlar tartibi mavjud. jumlada.

Buyurtma haqida gapirganda, barcha holatlarda nima keng tarqalgan? Gap shundaki, "tartib" so'zi quyidagi ma'noga ega: bu berilgan to'plamning qaysi elementi qaysi biri ortidan (yoki qaysi element qaysi elementdan oldin) ekanligini anglatadi.

munosabat " X ergashadi da"o'tish: agar" X ergashadi da"Va" da ergashadi z", Bu " x ergashadi z" Bundan tashqari, bu munosabatlar antisimmetrik bo'lishi kerak: ikki xil uchun X Va da, Agar X ergashadi da, Bu da ergashmaydi X.

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X chaqirdi qat'iy tartib munosabati, agar u tranzitiv va antisimmetrik bo'lsa.

Keling, qat'iy tartibli munosabatlar grafigi va grafigining xususiyatlarini bilib olaylik.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. To'plamda X= (5, 7, 10, 15, 12) berilgan nisbat R: « X < da" Keling, juftlikni sanab, bu munosabatni aniqlaylik
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Keling, uning grafigini tuzamiz. Bu munosabat grafigida halqalar yo‘qligini ko‘ramiz. Grafikda qo'sh strelkalar yo'q. Agar dan X strelka boradi da, va dan da- V z, keyin dan X strelka boradi z(8-rasm).

Tuzilgan grafik to'plam elementlarini tartibga solish imkonini beradi X bu tartibda:

{5, 7, 10, 12, 15}.

6-rasmda (ushbu bobning 6-bandi) VII, VIII ustunlar qat'iy tartibli munosabatlarning grafiklari.

Qattiq bo'lmagan munosabatlar

Haqiqiy sonlar to‘plamidagi “kamroq” munosabati “kam emas” munosabatiga qarama-qarshidir. Bu endi qat'iy tartib munosabatlari emas. Gap shundaki, qachon X = da, munosabatlar amalga oshiriladi X ³ da Va da ³ X, ya'ni. "kam emas" munosabati refleksdir.

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X chaqirdi qat'iy bo'lmagan munosabatlar, agar u refleksli, antisimmetrik va tranzitiv bo'lsa.

Bunday munosabatlar o'ziga xoslik munosabati bilan qat'iy tartibli munosabatlarning birlashmasidir.

To'plam uchun "ortiq yo'q" (£) munosabatini ko'rib chiqing

X= (5, 7, 10, 15, 12). Uning grafigini tuzamiz (9-rasm).

Qattiq bo'lmagan tartibli munosabatlar grafigi, qat'iy tartib munosabatlari grafigidan farqli o'laroq, har bir tepada halqalarga ega.

Shaklda. 6 (ushbu bobning 6-bandi) V, VI ustunlar qat'iy bo'lmagan tartibli munosabatlarning grafiklari.

Buyurtma qilingan to'plamlar

To'plam qandaydir tartib munosabati bo'yicha tartiblangan (ular ham to'liq tartiblangan deyishadi), boshqa to'plam esa tartibsiz yoki qisman shunday munosabatda bo'lishi mumkin.

Ta'rif. Ko'pchilik X chaqirdi buyurdi ba'zi tartib munosabatlari R, agar har qanday ikkita element uchun x, y dan X:

(X, da) Î R yoki ( y, x) Î R.

Agar R qat'iy tartibli munosabatdir, keyin to'plam X berilgan bu munosabat bilan tartiblangan: agar X, da to'plamning har qanday ikkita teng bo'lmagan elementi X, Bu ( X, da) Î R yoki ( y, x) Î R, yoki har qanday ikkita element x, y to'plamlar X teng.

Maktab matematika kursidan ma'lumki, sonlar to'plami N , Z , Q , R “dan kam” munosabati bilan tartiblangan (<).

Muayyan to'plamning kichik to'plamlari to'plami yuqoridagi ma'noda qo'shilish munosabati (I) yoki qat'iy qo'shilish (S) ni kiritish orqali tartiblanmaydi, chunki kichik to'plamlar mavjud bo'lib, ularning hech biri boshqasiga kirmaydi. Bunda berilgan to‘plam Í (yoki Ì) munosabati bo‘yicha qisman tartiblangan deymiz.

To'plamni ko'rib chiqing X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) va u ikkita "kichik" va "bo'lingan" munosabatlarini o'z ichiga oladi. Bu munosabatlarning ikkalasi ham tartib munosabatlari ekanligini tekshirish oson. “Kamroq” munosabatining grafigi nur sifatida tasvirlanishi mumkin.

"Bo'lingan" munosabatning grafigi faqat tekislikda tasvirlanishi mumkin.

Bundan tashqari, ikkinchi munosabat grafigi o'q bilan bog'lanmagan cho'qqilarga ega. Misol uchun, 4 va 5 raqamlarini bog'laydigan o'q yo'q (10-rasm).

Birinchi munosabat " X < da"chiziqli deb ataladi. Umuman olganda, agar munosabatlar tartibli bo'lsa R(qat'iy va qat'iy bo'lmagan) to'plamda X mulkka ega: har qanday uchun X, daÎ X yoki xRy, yoki yRx, u holda chiziqli tartib munosabati va to'plam deyiladi X- chiziqli tartiblangan to'plam.

Agar to'plam X albatta, va iborat n elementlar, keyin chiziqli tartiblash X uning elementlarini 1,2,3, ..., raqamlari bilan raqamlashga tushadi. n.

Chiziqli tartiblangan to'plamlar bir qator xususiyatlarga ega:

1°. Mayli a, b, c- to'plam elementlari X, munosabati bilan tartiblangan R. Agar ma'lum bo'lsa aRv Va rublda, keyin ular element deb aytishadi V elementlar orasida joylashgan A Va Bilan.

2°. Ko'pchilik X, munosabati bilan chiziqli tartiblangan R, diskret deyiladi, agar uning istalgan ikkita elementi orasida faqat shu to'plam elementlarining cheklangan to'plami bo'lsa.

3°. Chiziqli tartiblangan to'plam zich deb ataladi, agar ushbu to'plamning har qanday ikkita alohida elementi uchun ular orasida to'plamning elementi bo'lsa.

Ekvivalentlik munosabati. Ekvivalentlik munosabati va to'plamning sinflarga bo'linishi o'rtasidagi bog'liqlik

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo'lsa, ekvivalentlik munosabati deyiladi.

Misol. munosabatni ko'rib chiqing " X sinfdosh da"Ta'lim fakultetining ko'plab talabalari haqida. U quyidagi xususiyatlarga ega:

1) reflekslilik, chunki har bir talaba o'zining sinfdoshi;

2) simmetriya, chunki talaba bo'lsa X da, keyin talaba da talabaning sinfdoshi X;

3) tranzitivlik, chunki talaba bo'lsa X- sinfdosh da, va talaba da- sinfdosh z, keyin talaba X talabaning sinfdoshi bo‘ladi z.

Demak, bu munosabat reflekslik, simmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega va shuning uchun ekvivalentlik munosabati hisoblanadi. Shu bilan birga, Pedagogik fakultetning ko'plab talabalarini bir kursda tahsil olayotgan talabalardan tashkil topgan kichik guruhlarga bo'lish mumkin. Biz 5 ta kichik to'plamni olamiz.

Ekvivalentlik munosabatlari ham, masalan, chiziqlar parallelligi munosabati, raqamlar tengligi munosabati. Har bir bunday munosabat to'plamni sinflarga bo'lish bilan bog'liq.

Teorema. Agar setda bo'lsa X ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsa, u bu to‘plamni juft bo‘lib ajratilgan kichik to‘plamlarga (ekvivalentlik sinflari) ajratadi.

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar to'plamda har qanday munosabat aniqlangan bo'lsa X, bu to'plamning sinflarga bo'linishini hosil qiladi, keyin u ekvivalentlik munosabati bo'ladi.

Misol. To'plamda X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) "3 ga bo'linganda bir xil qoldiqga ega bo'ladi" munosabati ko'rsatilgan. Bu ekvivalent munosabatmi?

Keling, ushbu munosabatning grafigini tuzamiz: (mustaqil ravishda)

Bu munosabat reflekslik, simmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega, shuning uchun u ekvivalentlik munosabati bo'lib, to'plamni ajratadi. X ekvivalentlik sinflariga. Har bir ekvivalentlik sinfida 3 ga bo'linganda bir xil qoldiqni beradigan raqamlar bo'ladi: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Ekvivalentlik sinfi uning har qanday vakili tomonidan belgilanadi, deb hisoblashadi, ya'ni. bu sinfning ixtiyoriy elementi. Shunday qilib, teng kasrlar sinfi ushbu sinfga tegishli har qanday kasrni ko'rsatish orqali aniqlanishi mumkin.

Matematikaning dastlabki kursida ekvivalentlik munosabatlariga ham duch keladi, masalan, “ifodalar. X Va da bir xil raqamli qiymatlarga ega", "rasm X raqamga teng da».

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X o'tish va assimetrik yoki antisimmetrik bo'lsa, tartib munosabati deyiladi.

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X agar u tranzitiv va assimetrik bo'lsa, qat'iy tartib munosabati deyiladi.

Misollar qat'iy tartibli munosabatlar: natural sonlar to'plamida "ko'proq", odamlar to'plamida "yuqori" va boshqalar.

Ta'rif. Munosabat R to'plamda X agar u tranzitiv va antisimmetrik bo'lsa, qat'iy bo'lmagan tartib munosabati deyiladi.

Misollar qat'iy bo'lmagan tartibli munosabatlar: haqiqiy sonlar to'plamida "endi yo'q", natural sonlar to'plamida "bo'luvchi bo'l" va boshqalar.

Ta'rif. Ko'pchilik X unda tartib munosabati ko'rsatilgan bo'lsa, tartiblangan deyiladi.

Misol. To'plamda X= (1; 2; 3; 4; 5) ikkita munosabat berilgan: “ X £ da"Va" X- ajratuvchi da».

Bu munosabatlarning ikkalasi ham refleksivlik, antisimmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega (grafiklarni tuzing va xususiyatlarni o'zingiz tekshiring), ya'ni. qat'iy bo'lmagan tartibli munosabatlardir. Lekin birinchi munosabat bog'lanish xususiyatiga ega, ikkinchisi esa yo'q.

Ta'rif. Buyurtma munosabati R to'plamda X bog'lanish xususiyatiga ega bo'lsa, chiziqli tartibli munosabat deyiladi.

Boshlang'ich maktabda ko'plab tartib munosabatlari o'rganiladi. Birinchi sinfda allaqachon natural sonlar to'plamida "kamroq", "ko'proq", segmentlar to'plamida "qisqaroq", "uzunroq" va hokazo munosabatlar mavjud.

Xavfsizlik masalalari

1. To‘plamdagi ikkilik munosabatni aniqlang X.

2. Elementlar ifodasi qanday yoziladi X Va da munosabatda bo‘lishadi R?

3. Munosabatlarni aniqlash usullarini sanab bering.

4. Munosabatlar ega bo'lishi mumkin bo'lgan xususiyatlarni shakllantiring. Ushbu xususiyatlar grafikda qanday aks ettirilgan?

5. Aloqa ekvivalent munosabat bo'lishi uchun qanday xususiyatlarga ega bo'lishi kerak?

6. To‘plamning sinflarga bo‘linishi bilan ekvivalentlik munosabati qanday bog‘liq?

7. Munosabat tartibli munosabat bo‘lishi uchun qanday xususiyatlarga ega bo‘lishi kerak?

X (\displaystyle X) chaqirdi qat'iy bo'lmagan qisman tartib munosabati (tartib munosabati, refleksiv munosabat), agar mavjud bo'lsa

Ko'pchilik X (\displaystyle X), unga qisman tartib munosabati kiritiladi, deyiladi qisman buyurtma qilingan. Qattiq bo'lmagan qisman tartib munosabati ko'pincha bilan belgilanadi ≼ (\displaystyle \preccurlyeq).

Variantlar

Qisman tartib munosabati R (\displaystyle R) chaqirdi chiziqli tartib, agar shart bajarilsa

∀ x ∀ y (x R y ∨ y R x) (\displaystyle \forall x\forall y(xRy\lor yRx)).

Ko'pchilik X (\displaystyle X), unga chiziqli tartib munosabati kiritiladi, deyiladi chiziqli tartiblangan, yoki zanjir.

Munosabat R (\displaystyle R), faqat reflektorlik va tranzitivlik shartlarini qondirish deyiladi oldindan buyurtma yoki kvazi-buyurtma.

Qattiq tartib

Agar refleksivlik sharti antireflektorlik sharti bilan almashtirilsa:

∀ x ¬ (x R x) (\displaystyle \forall x\neg (xRx)),

keyin biz ta'rifni olamiz qattiq, yoki anti-refleksiv qisman tartib(odatda belgi bilan ko'rsatiladi ≺ (\displaystyle \prec)).

Izoh. Munosabatning bir vaqtning o'zida aksil-reflektorlik va tranzitivligi antisimmetriyani keltirib chiqaradi. Shuning uchun munosabat qat'iy tartib munosabati agar u anti-refleksiv va o'tishli bo'lsa.

Umuman olganda, agar R (\displaystyle R) o'tishli, antisimmetrik munosabatdir, demak

R ≼ = R ∪ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\preccurlyeq )=R\kupa \((x,x)|x\in X\))- refleksli tartib R ≺ = R ∖ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\prec )=R\setminus \((x,x)|x\da X\))- qat'iy tartib.

Misollar

• Haqiqiy sonlar to'plamida "ko'p" va "kichik" munosabatlari qat'iy tartibli munosabatlardir va "ko'p yoki teng" va "kichik yoki teng" qat'iy emas.
• Butun sonlar to'plamiga bo'linish munosabati qat'iy bo'lmagan tartibli munosabatdir.

Dushnik-Miller o'lchami

Hikoya

Belgilar < {\displaystyle <} Va > (\displaystyle >) ixtiro qilgan

A to‘plamdagi R ikkilik munosabat bo‘lsin.

TA'RIF. A to'plamdagi R ikkilik munosabat A to'plamdagi tartib munosabati yoki o'tish va antisimmetrik bo'lsa, A dagi tartib deb ataladi.

TA'RIF. A to'plamdagi R tartibli munosabat, agar u A to'plamida, ya'ni A ning har biri uchun refleksiv bo'lsa, qat'iy emas deb ataladi.

Tartib munosabati R qat'iy (A bo'yicha) deb ataladi, agar u A da, ya'ni A ning har qandayida aksi refleksiv bo'lsa. Biroq, R o'tish munosabatining aksi-reflektorligidan kelib chiqadiki, u antisimmetrikdir. Shuning uchun quyidagi ekvivalent ta'rifni berish mumkin.

TA'RIF. A to'plamdagi R ikkilik munosabat, agar u A to'plamida o'tish va aksi refleksiv bo'lsa, A da qat'iy tartib deyiladi.

Misollar. 1. M to‘plamning barcha kichik to‘plamlari to‘plami bo‘lsin. To‘plamdagi qo‘shish munosabati qat’iy bo‘lmagan tartibli munosabatdir.

2. Haqiqiy sonlar to'plamidagi munosabatlar, mos ravishda, qat'iy va qat'iy bo'lmagan tartibli munosabatlardir.

3. Natural sonlar to‘plamidagi bo‘linish munosabati qat’iy bo‘lmagan tartibli munosabatdir.

TA'RIF. A to'plamdagi R ikkilik munosabati, agar u refleksiv va o'tishli bo'lsa, A to'plamida oldindan tartib munosabati yoki oldindan tartib deb ataladi.

Misollar. 1. Butun sonlar to‘plamidagi bo‘linish munosabati tartib emas. Biroq, u refleksli va o'tish xususiyatiga ega, ya'ni bu oldindan buyurtma.

2. Mantiqiy implikatsiya munosabati taklif mantiqiy formulalar to‘plamidagi oldingi tartibdir.

Chiziqli tartib. Buyurtmaning muhim maxsus holati chiziqli tartibdir.

TA'RIF. To'plamdagi tartib munosabati chiziqli tartib munosabati yoki chiziqli tartib munosabati deyiladi, agar u ga ulangan bo'lsa, ya'ni A dan istalgan x, y uchun.

Chiziqli bo'lmagan tartib munosabati odatda qisman tartib munosabati yoki qisman tartib deb ataladi.

Misollar. 1. Haqiqiy sonlar to‘plamidagi “kichik” munosabati chiziqli tartibli munosabatdir.

2. Rus tili lug'atlarida qabul qilingan tartib munosabati leksikografik deyiladi. Rus tilidagi so'zlar to'plamidagi leksikografik tartib chiziqli tartibdir.

"Buyurtma" so'zi ko'pincha turli xil masalalarda qo'llaniladi. Ofitser shunday buyruq beradi: “Raqamli tartibda hisoblang”, arifmetik amallar ma’lum tartibda bajariladi, sportchilar bo‘yi bo‘yicha tartiblanadi, barcha yetakchi shaxmatchilar Elo koeffitsientlari deb ataladigan (amerikalik professor) ma’lum bir tartibda joylashadilar. tizim koeffitsientlarini ishlab chiqdi, bu o'yinchilarning barcha yutuq va muvaffaqiyatsizliklarini hisobga olish imkonini beradi), chempionatdan so'ng barcha futbol jamoalari ma'lum bir tartibda joylashadi va hokazo. Bir qismni ishlab chiqarishda operatsiyalar tartibi, tartib mavjud. jumladagi so'zlarning soni ("U chol ustida" jumlasi nimani anglatishini tushunishga harakat qiling, eshakni ekmagan!"

Muayyan to'plamning elementlarini birin-ketin joylashtirgan holda, biz ularni tartibga solamiz yoki ular o'rtasida qandaydir aloqa o'rnatamiz tartibda; ... uchun. Eng oddiy misol - natural sonlarning natural tartibi. Uning tabiiyligi shundan iboratki, biz har qanday ikkita natural son uchun qaysi biri ikkinchisini kuzatib borishini yoki qaysi biri ikkinchisidan katta ekanligini bilamiz, shuning uchun biz natural sonlarni shunday ketma-ketlikda joylashtirishimiz mumkinki, bu katta raqam, masalan, kichikroqning o'ng tomoni: 1, 2, 3, ... . Albatta, elementlarning ketma-ketligini faqat chapdan o'ngga emas, balki istalgan yo'nalishda yozish mumkin. Natural sonlar tushunchasi allaqachon tartib g'oyasini o'z ichiga oladi. Har qanday to'plam elementlarining qandaydir nisbiy joylashuvini o'rnatib, biz shu bilan biz unda har bir aniq holatda o'z nomiga ega bo'lishi mumkin bo'lgan qandaydir ikkilik tartib munosabatlarini aniqlaymiz, masalan, "kamroq bo'lish", "kattaroq bo'lish", "to "," ergash" va hokazolarda bo'lishi mumkin. Tartibning ramziy belgilari ham o'zgarishi mumkin, masalan, Í va boshqalar.

Tartib munosabatlarining asosiy farqlovchi xususiyati uning tranzitivlik xususiyatiga egaligidir. Shunday qilib, agar biz ba'zi ob'ektlar ketma-ketligi bilan shug'ullanadigan bo'lsak x 1, x 2, ..., x n,..., tartiblangan, masalan, munosabatga ko'ra, keyin bajarilayotgan narsadan x 1x 2... x n..., har qanday juftlik uchun shunga amal qilishi kerak x i, x j bu ketma-ketlikning elementlari ham bajariladi x ix j:

Bir juft elementlar uchun x ij munosabat grafigida tepadan o'qni chizamiz x i tepaga x j, ya'ni kichikroq elementdan kattaroq elementga.

Tartib munosabatlari grafigi deb ataladigan usul yordamida soddalashtirilishi mumkin Hasse diagrammasi. Hasse diagrammasi quyidagicha tuzilgan. Kichikroq elementlar pastroq, kattaroqlari esa balandroq joylashtiriladi. Tasvirlash uchun bunday qoidaning o‘zi yetarli bo‘lmagani uchun ikki elementning qaysi biri ikkinchisidan kattaroq va qaysi biri kichikroq ekanligini ko‘rsatadigan chiziqlar chiziladi. Bunday holda, bir-biridan keyin darhol elementlar uchun faqat chiziqlar chizish kifoya. Hasse diagrammalariga misollar rasmda ko'rsatilgan:

Hasse diagrammasiga o'qlarni kiritish shart emas. Hasse diagrammasi tekislikda aylantirilishi mumkin, lekin o'zboshimchalik bilan emas. Burilish paytida diagramma cho'qqilarining nisbiy holatini (yuqorida - pastda) saqlash kerak:

Munosabat R mo'l-ko'llikda X chaqirdi qat'iy tartib munosabati, agar u tranzitiv va assimetrik bo'lsa.

Qattiq tartib munosabati aniqlangan to'plam deyiladi buyurdi. Masalan, natural sonlar to'plami “kichikroq” munosabati bilan tartiblangan. Ammo xuddi shu to'plam boshqa munosabat bilan ham tartibga solinadi - "bo'lingan" va "ko'proq".

Natural sonlar to'plamidagi "kichikroq" munosabat grafigi nur sifatida tasvirlanishi mumkin:

Munosabat R V X munosabat deb ataladi qat'iy bo'lmagan (qisman) tartib, agar u tranzitiv va antisimmetrik bo'lsa. Qat'iy bo'lmagan tartibli har qanday munosabat refleksdir.

"Qisman" epiteti, ehtimol, to'plamning barcha elementlarini ma'lum bir jihatdan solishtirish mumkin emasligini ifodalaydi.

Qisman tartib munosabatlarining tipik misollari "katta emas", "kam emas" va "katta emas" munosabatlaridir. Munosabatlar nomlaridagi “emas” zarrasi ularning refleksligini ifodalashga xizmat qiladi. “Ko‘p emas” munosabati “kichik yoki teng” munosabatiga to‘g‘ri keladi va “kam emas” munosabati “katta yoki teng” munosabati bilan bir xil bo‘ladi. Shu munosabat bilan, qisman tartib ham deyiladi qattiq emas tartibda; ... uchun. Ko'pincha qisman (qat'iy bo'lmagan) tartib munosabati "" belgisi bilan belgilanadi.

Muayyan to'plamning kichik to'plamlari orasidagi inklyuziya munosabati Í ham qisman tartibdir. Shubhasiz, bu jihatdan har ikki kichik to'plamni solishtirish mumkin emas. Quyidagi rasmda to'plamning barcha kichik to'plamlari to'plamiga qisman qo'shilish tartibi ko'rsatilgan (1,2,3). Grafikdagi yuqoriga qaratilishi kerak bo'lgan o'qlar ko'rsatilmagan.

Qisman buyurtma berilgan to'plamlar chaqiriladi qisman buyurtma qilingan, yoki shunchaki buyurdi to'plamlar.

Elementlar X Va da qisman tartiblangan to'plam deyiladi biz bilan solishtiring Agar Xda yoki daX. Aks holda, ularni taqqoslab bo'lmaydi.

Istalgan ikkita elementi solishtiriladigan tartiblangan to'plam deyiladi chiziqli tartiblangan, va tartib chiziqli tartibdir. Chiziqli tartib mukammal tartib deb ham ataladi.

Masalan, natural tartibli barcha haqiqiy sonlar to‘plami, shuningdek, uning barcha kichik to‘plamlari chiziqli tartiblangan.

Eng xilma-xil tabiatdagi ob'ektlarga buyurtma berish mumkin ierarxik tarzda. Mana bir nechta misollar.

1-misol: Kitobning qismlari shunday tartiblanganki, kitobda boblar, boblarda bo‘limlar, bo‘limlarda esa kichik bo‘limlar mavjud.

2-misol. Kompyuter fayl tizimidagi papkalar bir-birining ichiga joylashib, tarmoqlanuvchi strukturani tashkil qiladi.

Misol 3. Ota-onalar va bolalar o'rtasidagi munosabatlarni shunday deb tasvirlash mumkin oila daraxti, bu kimning ajdodi (yoki avlodi) ekanligini ko'rsatadi.

To'plamga qo'ying A qisman buyurtma beriladi. Element X chaqirdi maksimal (minimal) A to'plamning elementi, agar bundan kelib chiqsa Xda(daX), tenglik kelib chiqadi X= u. Boshqacha aytganda, element X har qanday element uchun maksimal (minimal) hisoblanadi da yoki bu haqiqat emasmi Xda(daX), yoki bajariladi X=u. Shunday qilib, maksimal (minimal) element o'zi bilan bog'liq bo'lgan barcha farqli elementlardan kattaroq (kichikroq).

Element X chaqirdi eng katta (eng kichik), agar kimdir uchun daÎ A yugurish da< х (х< у).

Qisman tartiblangan to'plamda bir nechta minimal va/yoki maksimal elementlar bo'lishi mumkin, lekin bir nechta minimal va maksimal elementlar bo'lishi mumkin emas. Eng kichik (eng katta) element ham minimal (maksimal) hisoblanadi, lekin buning aksi to'g'ri emas. Chapdagi rasmda ikkita minimal va ikkita maksimal elementlardan iborat qisman tartib, o'ngda esa eng kichik va eng katta elementlar bilan qisman tartib ko'rsatilgan:

Cheklangan qisman tartiblangan to'plamda har doim minimal va maksimal elementlar mavjud.

Eng katta va eng kichik elementlarga ega bo'lgan tartiblangan to'plam deyiladi cheklangan. Rasmda cheksiz chegaralangan to'plamning namunasi ko'rsatilgan. Albatta, cheksiz to'plamni chekli sahifada tasvirlash mumkin emas, lekin siz uning qurilish tamoyilini ko'rsatishingiz mumkin. Bu erda chizilganni soddalashtirish uchun cho'qqilar yaqinidagi pastadirlar ko'rsatilmaydi. Xuddi shu sababga ko'ra, tranzitivlik xususiyatini ko'rsatishni ta'minlovchi yoylar ko'rsatilmaydi. Boshqacha qilib aytganda, rasmda tartib munosabatlarining Hasse diagrammasi ko'rsatilgan.

Cheksiz to'plamlarda maksimal yoki minimal elementlar yoki ikkalasi ham bo'lmasligi mumkin. Masalan, natural sonlar to'plami (1,2, 3, ...) eng kichik elementi 1 ga ega, lekin maksimal emas. Tabiiy tartibli barcha haqiqiy sonlar to'plami eng kichik va eng katta elementga ega emas. Biroq, uning kichik to'plami barcha raqamlardan iborat X< 5, eng katta elementga ega (5 raqami), lekin eng kichigi yo'q.