Законът на логиката на залепването. Основи на алгебрата на логиката

Урокът по информатика е предназначен за ученици от 10 клас на общообразователно училище, чиято учебна програма включва раздела "Алгебра на логиката". Тази тема е много трудна за учениците, така че аз като учител исках да ги заинтересувам да изучават законите на логиката, да опростяват логически изрази и да подхождат с интерес към решаването на логически проблеми. В обичайната форма даването на уроци по тази тема е досадно и обезпокоително, а някои определения не винаги са ясни на децата. Във връзка с предоставянето на информационно пространство, имах възможността да публикувам уроците си в обвивката „учене“. Студентите, които се регистрират в него, могат да посещават този курс в свободното си време и да препрочитат това, което не е ясно в урока. Някои ученици, пропуснали уроци поради болест, компенсират пропуснатата тема у дома или в училище и винаги са готови за следващия урок. Тази форма на обучение много подхождаше на много деца и тези закони, които бяха неразбираеми за тях, сега се научават в компютърна форма много по-лесно и по-бързо. Предлагам един от тези уроци по информатика, който се провежда интегрирано с ИКТ.

План на урока

1. Обяснение на нов материал, с участието на компютър - 25 минути.
2. Основни понятия и дефиниции, заложени в „обучение” – 10 минути.
3. Материал за любопитните - 5 минути.
4. Домашна работа – 5 минути.

1. Обяснение на нов материал

Закони на формалната логика

Най-простите и необходими истински връзки между мислите са изразени в основните закони на формалната логика. Това са законите на тъждеството, непротиворечивостта, изключената среда, достатъчното основание.

Тези закони са основни, защото в логиката играят особено важна роля, те са най-общи. Те ви позволяват да опростявате логически изрази и да създавате изводи и доказателства. Първите три от горните закони са идентифицирани и формулирани от Аристотел, а законът за достатъчното основание - от Г. Лайбниц.

Законът за тъждеството: в процеса на определено разсъждение всяко понятие и съждение трябва да бъде идентично на себе си.

Законът за непротиворечивостта: невъзможно е едно и също око едновременно да бъде и да не е присъщо на едно и също нещо в едно и също отношение. Тоест, невъзможно е едновременно да се твърди и отрича нещо.

Закон за изключената среда: от две противоречиви твърдения едното е вярно, другото е невярно, а третото не е дадено.

Закон за достатъчната причина: Всяка истинска мисъл трябва да бъде достатъчно обоснована.

Последният закон гласи, че доказването на нещо предполага обосноваване на точно и само верни мисли. Фалшивите мисли не могат да бъдат доказани. Има една хубава латинска поговорка: "Да греши е присъщо на всеки човек, но само глупавият е да настоява за грешка." За този закон няма формула, тъй като той има само материален характер. Верни преценки, фактически материали, статистически данни, закони на науката, аксиоми, доказани теореми могат да бъдат използвани като аргументи за потвърждаване на вярна мисъл.

Закони на пропозиционалната алгебра

Алгебра на твърденията (алгебра на логиката) е раздел от математическата логика, който изучава логическите операции върху предложенията и правилата за трансформиране на сложни предложения.

При решаването на много логически проблеми често е необходимо да се опростят формулите, получени чрез формализиране на техните условия. Опростяването на формулите в алгебрата на предложенията се извършва на базата на еквивалентни трансформации, базирани на основните логически закони.

Законите на алгебрата на твърденията (алгебрата на логиката) са тавтологии.

Понякога тези закони се наричат ​​теореми.

В пропозиционалната алгебра логическите закони се изразяват като равенство на еквивалентни формули. Сред законите особено се отличават тези, които съдържат една променлива.

Първите четири от следните закони са основните закони на пропозиционалната алгебра.

Закон за идентичността:

Всяка концепция и преценка са идентични на себе си.

Законът за тъждеството означава, че в процеса на разсъждение човек не може да замени една мисъл с друга, едно понятие с друго. Ако този закон е нарушен, са възможни логически грешки.

Например дискусия Казват правилно, че езикът ще ви отведе до Киев, но вчера купих пушен език, което означава, че сега мога спокойно да отида до Киевнеправилно, тъй като първата и втората дума "език" обозначават различни понятия.

В дискусия: Движението е вечно. Ходенето на училище е движение. Следователно ходенето на училище е завинагидумата "движение" се използва в два различни смисъла (първият - във философския смисъл - като атрибут на материята, вторият - в обикновен смисъл - като действие за движение в пространството), което води до погрешно заключение.

Закон за непротиворечие:

Едно твърдение и неговото отрицание не могат да бъдат истинни едновременно. Тоест, ако твърдението Ие вярно, тогава неговото отрицание не Атрябва да е невярно (и обратното). Тогава техният продукт винаги ще бъде фалшив.

Именно това равенство често се използва при опростяване на сложни логически изрази.

Понякога този закон се формулира по следния начин: две твърдения, които си противоречат, не могат да бъдат верни едновременно. Примери за неспазване на закона за непротиворечие:

1. Има живот на Марс и няма живот на Марс.

2. Оля е завършила гимназия и е в 10 клас.

Законът на изключената среда:

В един и същи момент твърдението може да бъде вярно или невярно, няма трето. Вярно също И,или не А.Примери за прилагане на закона за изключената среда:

1. Числото 12345 е четно или нечетно, трето няма.

2. Компанията работи на загуба или на рентабилност.

3. Тази течност може или не може да бъде киселина.

Законът за изключената среда не е закон, признат от всички логици като универсален закон на логиката. Този закон се прилага, когато знанието се занимава с твърда ситуация: "или - или", "вярно-невярно". Когато има несигурност (например при разсъждения за бъдещето), законът на изключената среда често не може да бъде приложен.

Помислете за следното твърдение: Това предложение е невярно.Не може да е вярно, защото твърди, че е невярно. Но не може да бъде и невярно, защото тогава би било истина. Това твърдение не е нито вярно, нито невярно и следователно законът за изключената среда е нарушен.

Парадокс(Гръцки paradoxos - неочакван, странен) в този пример възниква от факта, че изречението се отнася за себе си. Друг известен парадокс е проблемът с фризьора: В един град фризьор подстригва всички жители, с изключение на тези, които се подстригват сами. Кой подстригва бръснаря?В логиката, поради своята формалност, не е възможно да се получи формата на такова самореферентно твърдение. Това още веднъж потвърждава идеята, че с помощта на алгебрата на логиката е невъзможно да се изразят всички възможни мисли и аргументи. Нека покажем как въз основа на дефиницията на пропозиционалната еквивалентност могат да бъдат получени останалите закони на пропозиционалната алгебра.

Например, нека дефинираме какво е еквивалентно на (еквивалентно на) И(два пъти не И,т.е. отрицание на отрицанието И).За да направим това, ще изградим таблица на истината:

По дефиницията на еквивалентността трябва да намерим колоната, чиито стойности съвпадат със стойностите на колоната И.Това ще бъде колоната И.

Така можем да формулираме двойно правоотрицания:

Ако отхвърлим дадено твърдение два пъти, тогава резултатът е оригиналното твърдение. Например изявлението И= Матроскин- коткае еквивалентно на казване A = Не е вярно, че Матроскин не е котка.

По подобен начин могат да бъдат извлечени и проверени следните закони:

Постоянни свойства:

Закони на идемпотентността:

Колкото и пъти да повтаряме: Включен телевизор или включен телевизор или включен телевизор...смисълът на изречението няма да се промени. Също и от повторение Навън е топло, навън е топло...нито един градус по-топло.

Законите на комутативността:

A v B = B v A

A & B = B & A

операнди Ии ATв операциите на дизюнкция и конюнкция могат да бъдат разменени.

Закони за асоциативност:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Ако изразът използва само операцията дизюнкция или само операцията конюнкция, тогава можете да пренебрегнете скобите или да ги подредите произволно.

Закони за разпределение:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(разпределителна дизюнкция
относно връзката)

A & (B v C) = (A & B) v (A & C)

(дистрибутивност на връзката
относно дизюнкция)

Дистрибутивният закон на конюнкцията спрямо дизюнкцията е подобен на дистрибутивния закон в алгебрата, но законът на дистрибутивната дизюнкция спрямо конюнкцията няма аналог, той е валиден само в логиката. Следователно трябва да се докаже. Доказателството се прави най-добре с помощта на таблица на истината:

Закони за абсорбция:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Извършете доказателството на законите за поглъщане сами.

Законите на Де Морган:

Словесни формулировки на законите на де Морган:

Мнемонично правило:от лявата страна на идентичността операцията на отрицание стои над цялото твърдение. От дясната страна изглежда, че е счупено и отрицанието стои над всяко от простите твърдения, но в същото време операцията се променя: дизюнкция към конюнкция и обратно.

Примери за прилагане на закона на де Морган:

1) Изявление Не е вярно, че знам арабски или китайские идентичен с твърдението Не знам арабски и не знам китайски.

2) Изявление Не е вярно, че съм си научил урока и съм получил 5е идентичен с твърдението Или не съм си научил урока, или не съм получил пет.

Замяна на импликация и операции за еквивалентност

Операциите на импликация и еквивалентност понякога не са сред логическите операции на конкретен компютър или компилатор от език за програмиране. Тези операции обаче са необходими за решаване на много проблеми. Има правила за замяна на тези операции с последователности от операции на отрицание, дизюнкция и конюнкция.

Така че, сменете операцията последицивъзможно според следното правило:

За да замените операцията еквивалентностима две правила:

Лесно е да се провери валидността на тези формули чрез конструиране на таблици на истината за дясната и лявата страна на двете идентичности.

Познаването на правилата за заместване на операциите на импликация и еквивалентност помага например за правилното конструиране на отрицанието на импликация.

Помислете за следния пример.

Нека бъде дадено изявлението:

E = Не е вярно, че ако спечеля състезанието, ще получа награда.

Нека бъде И= Ще спечеля състезанието

B = Ще получа награда.

Следователно E = ще спечеля състезанието, но няма да получа награда.

Следните правила също представляват интерес:

Можете също да докажете тяхната валидност с помощта на таблици на истината.

Изразът им на естествен език е интересен.

Например фразата

Ако Мечо Пух е ял мед, значи е пълен

е идентичен с фразата

Ако Мечо Пух не е пълен, значи не е ял мед.

Задачата:помислете за фрази-примери за тези правила.

2. Основни понятия и определенияв приложение 1

3. Материал за любопитнитев Приложение 2

4. Домашна работа

1) Научете законите на логиката, като използвате курса по алгебра на логиката, намиращ се в информационното пространство (www.learning.9151394.ru).

2) Проверете доказателството на законите на Де Морган на компютър, като съставите таблица на истината.

Приложения

1. Основни понятия и определения (

За преобразуване на функции, опростяване на формулите, получени чрез формализиране на условията на логически проблеми, се извършват еквивалентни трансформации в алгебрата на логиката, базирани на основните логически закони. Някои от тези закони са формулирани и записани по същия начин като подобни закони в аритметиката и алгебрата, други изглеждат необичайни.

Понякога се наричат ​​законите на алгебрата на логиката теореми.

В пропозиционалната алгебра логическите закони се изразяват като равенство на еквивалентни формули.

Валидността на всички закони може да бъде проверена чрез конструиране на таблици на истината за лявата и дясната част на писания закон. След опростяване на израза с помощта на законите на алгебрата на логиката, таблиците на истината са същите.

Валидността на някои закони може да се докаже с помощта на инструментите на таблиците на истината.

Снимка 1.

Примери

Фигура 3

Нека опростим оригиналния израз, използвайки основните закони на алгебрата на логиката:

Фигура 4

(Закон на Де Морган, закон за разпределение за И, закон за идемпотентност, операция на променлива с нейната инверсия).

Таблицата показва, че за всички набори от стойности на променливите $x$ и $y$, формулата на фиг. 2 приема стойността $1$, т.е. тя е идентично вярна.

Фигура 6

От таблицата може да се види, че изходният израз приема същите стойности като опростения израз за съответните стойности на променливите $x$ и $y$.

Нека опростим израза на фиг. 5, като приложим основните закони на алгебрата на логиката.

Фигура 7

(закон на Де Морган, закон на абсорбция, закон на разпределение за I).

Фигура 9

Таблицата показва, че за всички набори от стойности на променливите $x$ и $y$, формулата на фиг. 8 приема стойността $0$, т.е. тя е еднакво невярна.

Нека опростим израза, като приложим законите на алгебрата на логиката:

Фигура 10.

Фигура 12.

(закон на де Могрган, разпределителен).

Нека направим таблица на истинност за израза на фиг. 11:

Фигура 13.

От таблицата се вижда, че изразът на фиг. 11 в някои случаи приема стойност $1$, а в други - $0$, т.е. е осъществим.

(правилото на де Морган, изваждаме общия множител, правилото за операции на променлива с нейната инверсия).

(вторият фактор се повтаря, което е възможно с помощта на закона за идемпотента; след това първите два и последните два фактора се комбинират и се използва законът за слепването).

(въвеждаме спомагателен логически фактор

Има пет закона на алгебрата на логиката:

1. Законът за единичните елементи

1*X=X
0*X=0
1+X=1
0 + X = X

Този закон на алгебрата на логиката следва пряко от горните изрази на аксиомите на алгебрата на логиката.

Горните два израза могат да бъдат полезни при изграждане на превключватели, тъй като чрез прилагане на логическа нула или единица към един от входовете на елемента "2I" можете или да предадете сигнала към изхода, или да формирате нулев потенциал на изхода.

Вторият вариант на използване на тези изрази е възможността за избирателно нулиране на определени цифри от многоцифрено число. С побитовото прилагане на операцията "И" можете или да оставите предишната стойност на цифрата, или да я нулирате, като приложите единица или нулев потенциал към съответните цифри. Например, необходимо е да нулирате цифрите 6, 3 и 1. Тогава:

В горния пример за използване на законите на алгебрата на логиката ясно се вижда, че за да нулирате необходимите цифри в маската (по-ниско число), нулите се записват на мястото на съответните цифри, а единиците се записват в останалите цифри. В оригиналния номер (горното число) има единици на мястото на 6 и 1 цифри. След извършване на операцията "И" на тези места се появяват нули. На мястото на третата цифра в оригиналния номер е нула. В полученото число на това място присъства и нула. Останалите цифри, както се изисква от условието на проблема, не се променят.

По същия начин, с помощта на закона за единичните елементи, един от основните закони на алгебрата на логиката, можем да запишем единици в нужните ни цифри. В този случай е необходимо да се използват долните два израза на закона за единичните елементи. С побитовото прилагане на операцията "ИЛИ" можете или да оставите предишната стойност на цифрата, или да я нулирате, като приложите потенциал нула или единица към съответните цифри. Нека се изисква да се запишат единици в 7 и 6 бита от число. Тогава:

Тук в маската (по-ниското число) сме записали единици в седмия и шестия бит. Останалите битове съдържат нули и следователно не могат да променят първоначалното състояние на оригиналното число, което виждаме в полученото число под линията.

Първият и последният израз на закона за единичните елементи позволяват използване с повече входове като логически елементи с по-малко входове. За да направите това, неизползваните входове във веригата "И" трябва да бъдат свързани към източник на захранване, както е показано на фигура 1:

Фигура 1. Схема "2I-NOT", реализирана върху логическия елемент "3I-NOT"

В същото време неизползваните входове във веригата "ИЛИ" в съответствие със закона за единичните елементи трябва да бъдат свързани към общия проводник на веригата, както е показано на фигура 2.

Фигура 2. Верига "NOT", реализирана върху елемента "2I-NOT".

Следните закони на алгебрата на логиката, произтичащи от аксиомите на алгебрата на логиката, са законите на отрицанието.

2. Закони на отрицанието

а. Закон за допълнителните елементи

Изразите на този закон на алгебрата на логиката се използват широко за минимизиране на логически вериги. Ако е възможно да се изолират такива подизрази от общия израз на логическа функция, тогава е възможно да се намали необходимия брой входове на елементи на цифрова схема и понякога дори да се намали целият израз до логическа константа.

Друг широко използван закон на алгебрата на логиката е законът за двойното отрицание.

b. Два пъти не

Законът за двойното отрицание се използва както за опростяване на логически изрази (и в резултат на опростяване и намаляване на цената на цифровите комбинаторни схеми), така и за премахване на инверсията на сигналите след такива логически елементи като "2I-NOT" и "2OR- НЕ". В този случай законите на алгебрата на логиката правят възможно реализирането на дадени цифрови схеми с помощта на ограничен набор от логически елементи.

° С. Закон на негативната логика

Законът на отрицателната логика е валиден за произволен брой променливи. Този закон на алгебрата на логиката ви позволява да прилагате с помощта на логическите елементи "ИЛИ" и обратно: да прилагате логическата функция "ИЛИ" с помощта на логическите елементи "И". Това е особено полезно в TTL вериги, тъй като е лесно да се внедрят И порти, но е доста трудно да се приложат ИЛИ врати. Благодарение на закона на отрицателната логика е възможно да се внедрят елементите "ИЛИ" върху логическите елементи "И". Фигура 3 показва изпълнението на логическия елемент "2OR" върху елемента " " и два инвертора.

Фигура 3. Логически елемент "2OR", реализиран върху елемента "2I-NOT" и два инвертора

Същото може да се каже и за монтажната схема "ИЛИ". Ако е необходимо, може да се превърне в монтажно "И" чрез използване на инвертори на входа и изхода на тази верига.

3. Комбинационни закони

Комбинационните закони на алгебрата на логиката до голяма степен съответстват на комбинационните закони на обикновената алгебра, но има и разлики.

а. тавтологичен закон (многократно повторение)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Този закон на алгебрата на логиката позволява логическите врати с повече входове да се използват като врати с по-малко входове. Например, можете да реализирате верига "2I" с два входа на логически елемент "3I", както е показано на фигура 4:

Фигура 4. Схема "2I-NOT", реализирана върху логическия елемент "3I-NOT"

или използвайте веригата "2NAND-NOT" като нормален инвертор, както е показано на фигура 5:

Фигура 5. Верига "NOT", реализирана върху логическия елемент "2I-NOT"

Трябва обаче да се предупреди, че комбинирането на няколко входа увеличава входните токове на логическия елемент и неговия капацитет, което увеличава текущата консумация на предишните елементи и влияе неблагоприятно на скоростта на цифровата схема като цяло.

За да се намали броят на входовете в логическия елемент, е по-добре да се използва друг закон на алгебрата на логиката - законът на единичните елементи, както е показано по-горе.

Продължаваме да разглеждаме законите на алгебрата на логиката:

b. закон за подвижността

A + B + C + D = A + C + B + D

° С. комбиниран закон

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

д. разпределителен закон

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /нека го докажем, като разширим скобите/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Правило за абсорбиране (една променлива абсорбира други)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

5. Правило за залепване (извършва се само от една променлива)

Точно както в обикновената математика, в алгебрата на логиката има предимство на операциите. Това се прави първо:

1. Действие в скоби
2. Операция с един операнд (единична операция) - "НЕ"
3. Съюз - "и"
4. Дизюнкция - "ИЛИ"
5. Сума по модул две.

Операциите от един и същи ранг се извършват отляво надясно в реда, в който е написан логическият израз. Алгебрата на логиката е линейна и за нея е валиден принципът на суперпозицията.

Литература:

Заедно със статията "Законите на алгебрата на логиката" те гласят:

Всяка логическа схема без памет е напълно описана от таблица на истината... За да се реализира таблица на истината, е достатъчно да се вземат предвид само тези редове...
http://website/digital/SintSxem.php

Декодерите (декодери) ви позволяват да конвертирате един тип двоичен код в друг. Например...
http://website/digital/DC.php

Доста често разработчиците на цифрово оборудване се сблъскват с обратния проблем. Искате да конвертирате осмичен или десетичен редов код в...
http://website/digital/coder.php

Мултиплексорите са устройства, които ви позволяват да свържете няколко входа към един изход ...
http://website/digital/MS.php

Устройствата се наричат ​​демултиплексори ... Значителна разлика от мултиплексора е ...
http://website/digital/DMS.php

Ако разгледаме приложението на пропозиционалното смятане за анализ и оптимизиране на контактно-релейни вериги, вериги за автоматизация и други приложения и познаване. че намаляването на броя на елементите и/или връзките води до повишаване на надеждността на устройствата, използващи тези схеми, тогава става очевидно, че е важно да се изучават такива формули в дискретната математика, които позволяват оптимизиране на самата формула.

Законите, които правят възможно редуцирането на елементите и операциите на логическите предложения, включват законите на абсорбцията и слепването.

Закон за абсорбция:

за логично добавяне: A  (A & B) = А ;

за логическо умножение: A & (A  B) = A .

Познаването на законите на логиката ви позволява да проверите правилността на разсъжденията и доказателствата. Въз основа на законите можете да опростите сложни логически изрази. Този процес на замяна на сложна логическа функция с по-проста, но еквивалентна функция се нарича минимизиране на функция.

Някои трансформации на логически формули са подобни на трансформациите на формули в обикновената алгебра (поставяне на общия множител в скоби, използване на комутативни и асоциативни закони и т.н.), други се основават на свойства, които обикновените алгебрични операции нямат (използване на закона за разпределение за конюнкция, закони на абсорбция, свързване, де Морган и др.).

Нарушенията на законите на логиката водят до логически грешки и произтичащите от тях противоречия.

8. Правило за залепване

; (2.11)
. (2.12) Доказателство за (2.11): . Доказателство (2.12):

9. Закон на обобщеното залепване . (2.13) . (2.14) Доказателства (2.13): Доказателство (2.14). Разтваряме скобите първо от лявата страна на равенството (2.14), а след това от дясната му страна. ; .

9. Правилото на Де Морган

Законите на Де Морган (правилата на де Морган) - логически правила, свързващи двойки двойни логически оператори, използващи логическо отрицание.

История и определение

Август дьо Морган първоначално отбеляза, че следните отношения са верни в класическата пропозиционална логика:

не (P и Q) = (не P) или (не Q)

не (P или Q) = (не P) и (не Q)

Обичайното обозначение на тези закони във формалната логика е:

в теорията на множествата:

Формулите на Де Морган са приложими за произволен брой аргументи. Те илюстрират дълбоката взаимна симетрия на операциите И и ИЛИ: ако операцията И реагира избирателно на съвпадението на директните сигнали, тогава операцията ИЛИ също реагира избирателно на съвпадението на техните инверсии. Елементът OR е прозрачен за всеки сигнал, елементът AND - за всяка инверсия. Използвайки формулите на де Морган, можете лесно да преведете логически схеми от базата НЕ, И, ИЛИ, в която човек е най-свикнал да мисли и съставя първоначални логически изрази, в инвертиращи бази, които са най-ефективно реализирани от интегрирана технология.

10. Стрела Пиърс

Пиърс стрелка (логично „ИЛИ-НЕ“)изявления аи bе ново твърдение, което ще бъде вярно тогава и само ако и двете предложения са неверни.

Знакът със стрелка на Пиърс е ↓

Функционални стойности пробиват стрелипредставени в таблицата:

Логически елемент на операцията пробиват стрелие:

Стрела Пиърс- двоична логическа операция, булева функция над две променливи. Въведен от Чарлз Пърс през 1880-1881 г.

Стрелката на Пиърс, обикновено означавана с ↓, е еквивалентна на операцията NOR и се дава от следната таблица на истината:

Така твърдението „X ↓ Y“ означава „нито X, нито Y“. Промяната на местата на операндите не променя резултата от операцията.

		х ↓ Y

11. Инсулт на Шефер- двоична логическа операция, булева функция над две променливи. Въведена от Хенри Шефър през 1913 г. (наричана в някои източници като Пунктираната линия на Чулков), чертата на Шефър, обикновено означавана |, е еквивалентна на операцията NAND и се дава от следната таблица на истината:

По този начин твърдението X | Y означава, че X и Y са несъвместими, т.е. не са верни едновременно. Промяната на местата на операндите не променя резултата от операцията. Простото число на Шефер, подобно на стрелката на Пиърс, формира основа за пространството на булеви функции на две променливи. Тоест, използвайки само щриха на Schaeffer, можете да изградите останалите операции. Например,

-отрицание

Дизюнкция

Съчетание

Константа 1

В електрониката това означава, че един типичен елемент е достатъчен, за да се реализира цялото разнообразие от схеми за преобразуване на сигнали, представящи логически стойности. От друга страна, този подход увеличава сложността на схемите, които изпълняват логически изрази и по този начин намалява тяхната надеждност. Пример за това е индустриалната серия 155.

Елементът 2I-NOT (2-in NAND), който реализира щриха на Schaeffer, е обозначен както следва (според стандартите ANSI):

В европейските стандарти е прието различно обозначение:

12. Диодни ключове.Главна информация. Електронният ключ е устройство, което може да бъде в едно от двете стабилни състояния: затворено или отворено. Основата на електронния ключ е нелинеен активен елемент (полупроводников диод, транзистор, тиристор и др.), работещ в ключов режим. Според вида на използвания нелинеен елемент електронните ключове се делят на диодни, транзисторни, тиристорни и др.

диодни ключове. Най-простият тип електронни превключватели са диодни превключватели. Като активни елементи в тях се използват полупроводникови или електровакуумни диоди.

При положително входно напрежение диодът е отворен и токът през него

, където е предното съпротивление на диода.

Изходно напрежение

.

Обикновено тогава. При отрицателно входно напрежение токът протича през диода

,

където е обратното съпротивление на диода.

В същото време изходното напрежение

. Като правило и . Когато полярността на диода се промени, графиката на функцията ще се завърти на ъгъл около началото.

Диодните ключове не позволяват електрическо разделяне на управляващите и управляваните вериги, което често се налага в практиката. За превключване (комутация) напрежения и токове, т.нар. диодни ключове. Тези вериги позволяват, когато се приложи определено управляващо напрежение, да се затвори / отвори електрическа верига, през която се предава полезен сигнал (ток, напрежение). В най-простите ключови вериги самият входен сигнал може да се използва като контрол.

Говорейки за диодни превключватели, не може да не споменем специален клас полупроводникови диоди - p-i-n-диоди. Те се използват само за превключване на RF и микровълнови сигнали. Това е възможно благодарение на уникалното им свойство - регулируема проводимост на честотата на сигнала. Такова регулиране обикновено се извършва или когато към диода се прилага външно постоянно напрежение на отклонение, или директно от нивото на сигнала (за ограничаване на p-i-n-диоди).