Kalkulator primjera za radnje u koloni. Podjela prirodnih brojeva kolonom, primjeri, rješenja

Jedna od važnih faza u podučavanju djeteta matematičkim operacijama je učenje operacije dijeljenja prostih brojeva. Kako djetetu objasniti podijeljenost, kada možete početi savladavati ovu temu?

Da bi se dijete naučilo dijeljenju, potrebno je da do trenutka učenja već savlada takve matematičke operacije kao što su zbrajanje, oduzimanje, a također ima jasno razumijevanje same suštine operacija množenja i dijeljenja. Odnosno, on mora shvatiti da je podjela podjela nečega na jednake dijelove. Također je potrebno naučiti operacije množenja i naučiti tablicu množenja.

Već sam pisao o tome kako vam ovaj članak može biti od koristi.

Savladavamo operaciju podjele (podjele) na dijelove na igriv način

U ovoj fazi potrebno je kod djeteta formirati razumijevanje da je podjela podjela nečega na jednake dijelove. Najlakši način da naučite dijete da to radi je da ga pozovete da podijeli određeni broj predmeta sa svojim prijateljima ili članovima porodice.

Na primjer, uzmite 8 identičnih kockica i pozovite dijete da podijeli na dva jednaka dijela - za njega i drugu osobu. Varirajte i komplikujte zadatak, pozovite dijete da podijeli 8 kocki ne na dvije, već na četiri osobe. Analizirajte rezultat s njim. Promijenite komponente, pokušajte s drugim brojem objekata i ljudi na koje te objekte treba podijeliti.

Bitan: Uvjerite se da dijete isprva operira s parnim brojem predmeta, tako da rezultat dijeljenja bude isti broj dijelova. Ovo će biti korisno u sljedećem koraku, kada dijete treba da shvati da je dijeljenje obrnuto od množenja.

Množite i dijelite pomoću tablice množenja

Objasnite svom djetetu da se u matematici suprotno množenju zove dijeljenje. Koristeći tablicu množenja, demonstrirajte učeniku, koristeći bilo koji primjer, odnos između množenja i dijeljenja.

primjer: 4x2=8. Podsjetite svoje dijete da je rezultat množenja proizvod dva broja. Zatim objasnite da je dijeljenje obrnuto od množenja i to jasno ilustrirajte.

Podijelite rezultirajući proizvod "8" iz primjera - bilo kojim od faktora - "2" ili "4", a rezultat će uvijek biti drugi faktor koji nije korišten u operaciji.

Također morate naučiti mladog učenika kako se nazivaju kategorije koje opisuju operaciju dijeljenja – “djeljivo”, “djelitelj” i “količnik”. Koristite primjer da pokažete koji su brojevi djeljivi, djelitelj i količnik. Učvrstite ova znanja, neophodna su za dalje učenje!

U stvari, morate naučiti svoje dijete tablici množenja „obrnuto“, i morate je zapamtiti kao i samu tablicu množenja, jer će vam to biti potrebno kada počnete učiti dugo dijeljenje.

Podijelite kolonom - navedite primjer

Prije početka lekcije, sjetite se sa svojim djetetom kako se zovu brojevi tokom operacije dijeljenja. Šta je "djelitelj", "djeljiv", "količnik"? Naučite precizno i ​​brzo identificirati ove kategorije. Ovo će biti vrlo korisno dok učite dijete da dijeli proste brojeve.

Objašnjavamo jasno

Podijelimo 938 sa 7. U ovom primjeru, 938 je dividenda, 7 je djelitelj. Rezultat će biti količnik, a zatim ga morate izračunati.

Korak 1. Zapisujemo brojeve, dijeleći ih "uglom".

Korak 2 Pokažite učeniku broj djeljivih i zamolite ga da od njih izabere najmanji broj koji je veći od djelitelja. Od tri broja 9, 3 i 8, ovaj broj će biti 9. Pozovite dijete da analizira koliko puta broj 7 može biti sadržan u broju 9? Tako je, samo jednom. Stoga će prvi rezultat koji zapišemo biti 1.

Korak 3 Pređimo na dizajn podjele po stupcu:

Pomnožimo djelitelj 7x1 i dobijemo 7. Dobiveni rezultat zapisujemo pod prvim brojem naše dividende 938 i oduzimamo, kao i obično, u stupcu. Odnosno, oduzimamo 7 od 9 i dobijamo 2.

Zapisujemo rezultat.

Korak 4 Broj koji vidimo manji je od djelitelja, pa ga moramo povećati. Da bismo to učinili, kombiniramo ga sa sljedećim neiskorištenim brojem naše dividende - to će biti 3. Rezultirajućem broju 2 pripisujemo 3.

Korak 5 Zatim postupamo prema već poznatom algoritmu. Hajde da analiziramo koliko puta je naš djelitelj 7 sadržan u rezultirajućem broju 23? Tako je, tri puta. Fiksiramo broj 3 u količniku. A rezultat proizvoda - 21 (7 * 3) je napisan ispod pod brojem 23 u stupcu.

Korak.6 Sada ostaje da pronađemo zadnji broj našeg količnika. Koristeći već poznati algoritam, nastavljamo da radimo proračune u koloni. Oduzimanjem u koloni (23-21) dobijamo razliku. To je jednako 2.

Od dividende ostaje nam jedan neiskorišćen broj - 8. Kombinujemo ga sa brojem 2 dobijenim kao rezultat oduzimanja, dobijamo - 28.

Korak 7 Hajde da analiziramo koliko puta je naš djelitelj 7 sadržan u rezultirajućem broju? Tako je, 4 puta. Dobivenu cifru upisujemo u rezultat. Dakle, imamo količnik dobijen kao rezultat dijeljenja stupcem = 134.

Kako naučiti dijete da dijeli - konsolidujemo vještinu

Glavni razlog zašto mnogi učenici imaju problem s matematikom je nemogućnost brzog obavljanja jednostavnih aritmetičkih proračuna. I na osnovu toga se gradi sva matematika u osnovnoj školi. Posebno često problem je u množenju i dijeljenju.
Da bi dijete naučilo kako brzo i efikasno u umu izvoditi računanje dijeljenja, neophodna je ispravna metodika nastave i konsolidacija vještine. Da biste to učinili, savjetujemo vam da koristite trenutno popularna pomagala u savladavanju vještine dijeljenja. Neki su namijenjeni djeci za rad sa roditeljima, drugi za samostalan rad.

1. „Divizija. Nivo 3. Radna sveska „iz najvećeg međunarodnog centra za dodatno obrazovanje Kumon
2. „Divizija. Radna sveska za nivo 4 od Kumona
3. “Ne mentalna aritmetika. Sistem za učenje djeteta brzom množenju i dijeljenju. Za 21 dan. Notepad simulator.» od Sh. Akhmadulina - autora najprodavanijih obrazovnih knjiga

Najvažnija stvar kada učite dijete da dijeli u kolonu je da savlada algoritam, koji je, općenito, prilično jednostavan.

Ako dijete dobro radi sa tablicom množenja i "obrnutim" dijeljenjem, neće imati poteškoća. Ipak, veoma je važno stalno trenirati stečenu vještinu. Nemojte stati na tome čim shvatite da je dijete shvatilo suštinu metode.

Da biste dijete lako naučili operaciji dijeljenja, potrebno vam je:

• Tako da je sa dve-tri godine savladao odnos "celo - deo". Treba razviti razumijevanje cjeline kao neodvojive kategorije i percepciju zasebnog dijela cjeline kao nezavisnog objekta. Na primjer, kamion igračka je cjelina, a njegovo tijelo, kotači, vrata su dijelovi ove cjeline.
• Tako da u osnovnoškolskom uzrastu dijete slobodno operiše radnjama za sabiranje i oduzimanje brojeva, razumije suštinu procesa množenja i dijeljenja.

Da bi dijete uživalo u matematici, potrebno je pobuditi njegovo interesovanje za matematiku i matematičke radnje, ne samo tokom treninga, već i u svakodnevnim situacijama.

Stoga, podsticati i razvijati zapažanje kod djeteta, povlačiti analogije sa matematičkim operacijama (operacije brojanja i dijeljenja, analiza odnosa dio-cjelina i sl.) tokom konstruiranja, igre i posmatranja prirode.

Predavač, specijalista centra za razvoj djeteta
Druzhinina Elena
sajt posebno za projekat

Video zaplet za roditelje, kako pravilno objasniti djetetu podjelu u kolonu:

Kalkulator stupaca za Android uređaje bit će odličan pomoćnik modernim školarcima. Program ne samo da daje tačan odgovor na matematičku radnju, već i jasno pokazuje njeno rješenje korak po korak. Ako su vam potrebni složeniji kalkulatori, možete pogledati napredni inženjerski kalkulator.

Posebnosti

Glavna karakteristika programa je jedinstvenost izračunavanja matematičkih operacija. Prikaz procesa proračuna u koloni omogućava učenicima da ga detaljnije upoznaju, razumiju algoritam rješenja, a ne samo da dobiju gotov rezultat i prepišu ga u bilježnicu. Ova funkcija ima veliku prednost u odnosu na druge kalkulatore. prilično često u školi nastavnici zahtijevaju da se zapišu međuračuni kako bi bili sigurni da ih učenik radi u svom umu i da zaista razumije algoritam za rješavanje problema. Inače, imamo još jedan sličan program - .

Da biste počeli koristiti program, morate preuzeti kalkulator u stupcu na Androidu. To možete učiniti na našoj web stranici potpuno besplatno bez dodatnih registracija i SMS-a. Nakon instalacije, otvorit će se glavna stranica u obliku bilježnice u kavezu, na kojoj će, u stvari, biti prikazani rezultati proračuna i njihovo detaljno rješenje. Na dnu se nalazi panel sa dugmadima:

1. Brojevi.
2. Znakovi aritmetičkih operacija.
3. Izbrišite prethodno unesene znakove.

Unos se vrši po istom principu kao na. Sva razlika je samo u interfejsu aplikacije - svi matematički proračuni i njihovi rezultati prikazani su u virtuelnoj đačkoj svesci.

Aplikacija vam omogućava da brzo i ispravno izvršite standardne matematičke proračune za učenika u stupcu:

• množenje;
• divizija;
• dodatak;
• oduzimanje.

Lijep dodatak aplikaciji je funkcija svakodnevnog podsjetnika domaće zadaće iz matematike. Ako želiš, uradi svoj domaći. Da biste to omogućili, idite na postavke (pritisnite dugme u obliku zupčanika) i označite okvir za podsjetnik.

Prednosti i nedostaci

1. Pomaže učeniku ne samo da brzo dobije tačan rezultat matematičkih proračuna, već i da razumije sam princip izračunavanja.
2. Vrlo jednostavno, intuitivno sučelje za svakog korisnika.
3. Aplikaciju možete instalirati čak i na najpovoljniji Android uređaj sa operativnim sistemom 2.2 i novijim.
4. Kalkulator čuva istoriju matematičkih proračuna, koja se može obrisati u bilo kom trenutku.

Kalkulator je ograničen u matematičkim operacijama, tako da neće raditi za složene proračune koje bi inženjerski kalkulator mogao podnijeti. Međutim, s obzirom na svrhu same aplikacije - da učenicima osnovnih škola jasno demonstrira princip računanja u koloni, to ne treba smatrati nedostatkom.

Aplikacija će također biti odličan pomoćnik ne samo za školarce, već i za roditelje koji žele zainteresirati svoje dijete za matematiku i naučiti ga kako pravilno i dosljedno izvodi proračune. Ako ste već koristili aplikaciju Stacked Calculator, ostavite svoje utiske ispod u komentarima.

Pogodno je provesti posebnu metodu, koja se zove oduzimanje kolone ili oduzimanje kolone. Ova metoda oduzimanja opravdava svoj naziv, jer su minus, oduzeti i razlika ispisani u koloni. Srednji proračuni se također vrše u kolonama koje odgovaraju znamenkama brojeva.

Pogodnost oduzimanja prirodnih brojeva u koloni leži u jednostavnosti izračunavanja. Proračuni se svode na korištenje tablice sabiranja i primjenu svojstava oduzimanja.

Pogledajmo kako se izvodi oduzimanje kolone. Razmotrit ćemo proces oduzimanja zajedno s rješenjem primjera. Tako će biti jasnije.

Navigacija po stranici.

Šta treba da znate da biste oduzeli za kolonu?

Da biste oduzeli prirodne brojeve u koloni, prvo morate znati kako se oduzimanje izvodi pomoću tablice sabiranja.

Konačno, ne škodi ponoviti definiciju pražnjenja prirodnih brojeva.

Oduzimanje po koloni na primjerima.

Počnimo sa snimkom. Prvo se piše minus. Ispod minuenda je oduzimanje. Štaviše, to se radi na način da su brojevi jedan ispod drugog, počevši s desne strane. Znak minus stavlja se lijevo od zabilježenih brojeva, a ispod je povučena vodoravna linija ispod koje će se zabilježiti rezultat nakon poduzimanja potrebnih radnji.

Evo nekoliko primjera ispravnih unosa prilikom oduzimanja po stupcu. Zapišite razliku u koloni 56−9 , razlika 3 004−1 670 , kao i 203 604 500−56 777 .

Dakle, sa sređenim zapisnikom.

Prelazimo na opis procesa oduzimanja po stupcu. Njegova suština leži u sekvencijalnom oduzimanju vrijednosti odgovarajućih znamenki. Prvo se oduzimaju vrijednosti znamenki jedinica, zatim vrijednosti znamenki desetice, zatim vrijednosti znamenki stotine i tako dalje. Rezultati se bilježe ispod horizontalne linije na odgovarajućim mjestima. Broj koji se formira ispod linije nakon završetka procesa je željeni rezultat oduzimanja dva originalna prirodna broja.

Zamislite dijagram koji ilustruje proces oduzimanja kolonom prirodnih brojeva.

Gornja shema daje opću sliku oduzimanja prirodnih brojeva po stupcu, ali ne odražava sve suptilnosti. Bavićemo se ovim suptilnostima prilikom rešavanja primera. Počnimo s najjednostavnijim slučajevima, a zatim ćemo se postepeno kretati prema složenijim slučajevima, sve dok ne shvatimo sve nijanse koje se mogu pojaviti pri oduzimanju po stupcu.

Primjer.

Prvo oduzmite kolonu od broja 74 805 broj 24 003 .

Odluka.

Zapišimo ove brojeve kako to zahtijeva metoda oduzimanja stupaca:

Počinjemo oduzimanjem vrijednosti cifara jedinica, odnosno oduzimamo od broja 5 broj 3 . Iz tabele sabiranja imamo 5−3=2 . Dobivene rezultate upisujemo ispod vodoravne linije u istu kolonu u kojoj se nalaze brojevi 5 i 3 :

Sada oduzmite vrijednosti znamenki desetice (u našem primjeru one su jednake nuli). Imamo 0−0=0 (spomenuli smo ovo svojstvo oduzimanja u prethodnom pasusu). Dobivenu nulu upisujemo ispod linije u istoj koloni:

Pomakni se. Oduzmite vrijednosti mjesta stotina: 8−0=8 (prema svojstvu oduzimanja, izraženom u prethodnom paragrafu). Sada će naš unos izgledati ovako:

Pređimo na oduzimanje vrijednosti hiljada mjesta: 4−4=0 (ovo su svojstva oduzimanja jednakih prirodnih brojeva). Imamo:

Ostaje da oduzmemo vrijednosti desetina hiljada mjesta: 7−2=5 . Dobijeni broj upisujemo ispod crte na pravom mjestu:

Ovo završava oduzimanje kolone. Broj 50 802 , što se pokazalo u nastavku, rezultat je oduzimanja originalnih prirodnih brojeva 74 805 i 24 003 .

Razmotrite sljedeći primjer.

Primjer.

Oduzmite kolonu od broja 5 777 broj 5 751 .

Odluka.

Sve radimo na isti način kao u prethodnom primjeru - oduzimamo vrijednosti odgovarajućih znamenki. Nakon završetka svih koraka, unos će izgledati ovako:

Ispod crte smo dobili broj u čijem zapisniku se nalaze brojevi na lijevoj strani 0 . Ako ovi brojevi 0 odbaciti, onda dobijamo rezultat oduzimanja originalnih prirodnih brojeva. U našem slučaju odbacujemo dvije cifre 0 dobijeno sa leve strane. Imamo: razliku 5 777−5 751 je jednako 26 .

Do ove tačke smo oduzimali prirodne brojeve čiji se zapisi sastoje od istog broja znakova. Sada, koristeći primjer, hajde da shvatimo kako se prirodni brojevi oduzimaju u koloni kada ima više znakova u zapisu redukovanog nego u zapisu oduzimanja.

Primjer.

Oduzmite od broja 502 864 broj 2 330 .

Odluka.

Minuend i subtrahend upisujemo u kolonu:

Oduzmite vrijednosti cifre jedinice jednu po jednu: 4−0=4 ; slijede desetice: 6−3=3 ; dalje - stotine: 8−3=5 ; dalje - hiljada: 2−2=0 . Dobijamo:

Sada, da bismo završili oduzimanje kolone, još treba da oduzmemo vrednosti mesta desetina hiljada, a zatim vrednosti mesta stotina hiljada. Ali iz vrijednosti ovih znamenki (u našem primjeru, iz brojeva 0 i 5 ) nemamo šta da oduzimamo (pošto je oduzeti broj 2 330 nema cifara u ovim ciframa). Kako biti? Vrlo jednostavno - vrijednosti ovih bitova se jednostavno prepisuju ispod vodoravne linije:

Na ovom oduzimanju kolonom prirodnih brojeva 502 864 i 2 330 završeno. Razlika je 500 534 .

Ostaje da razmotrimo slučajeve kada je u nekom koraku oduzimanja stupca vrijednost cifre redukovanog broja manja od vrijednosti odgovarajuće cifre oduzetog. U tim slučajevima morate se "pozajmiti" od viših rangova. Hajde da to shvatimo na primjerima.

Primjer.

Oduzmite kolonu od broja 534 broj 71 .

Odluka.

U prvom koraku oduzmite od 4 broj 1 , dobijamo 3 . Imamo:

U sljedećem koraku trebamo oduzeti vrijednosti znamenki desetice, odnosno od broja 3 oduzmi broj 7 . Jer 3<7 , onda ne možemo oduzimati ove prirodne brojeve (oduzimanje prirodnih brojeva je definisano samo kada oduzimanje nije veće od minusa). sta da radim? U ovom slučaju, uzimamo 1 jedinicu iz najvišeg reda i "razmijeniti" je. U našem primjeru, "razmjena" 1 sto per 10 desetke. Da bismo vizuelno odrazili naše postupke, stavljamo debelu tačku na broj na mestu stotine, a preko broja na mestu desetice upisujemo broj 10 koristeći drugu boju. Unos će izgledati ovako:

Dodajemo primljene nakon "razmjene" 10 desetke do 3 dostupne desetice: 3+10=13 , i oduzmite od ovog broja 7 . Imamo 13−7=6 . Ovaj broj 6 ispod vodoravne crte na njenom mjestu napišite:

Pređimo na oduzimanje vrijednosti mjesta stotina. Ovdje vidimo tačku iznad broja 5, što znači da smo od ovog broja uzeli jednu „za razmjenu“. Odnosno, sada imamo 5 , a 5−1=4 . Od broja 4 ništa drugo ne treba oduzimati (pošto je originalno oduzeti broj 71 ne sadrži cifre na mjestu stotina). Dakle, ispod vodoravne linije upisujemo broj 4 :

Dakle razlika 534−71 je jednako 463 .

Ponekad, kada oduzimate po koloni, morate nekoliko puta "razmjenjivati" jedinice od najviših cifara. U prilog ovim riječima analiziramo rješenje sljedećeg primjera.

Primjer.

Oduzmite od prirodnog broja 1 632 broj 947 kolona.

Odluka.

U prvom koraku trebamo oduzeti od broja 2 broj 7 . Jer 2<7 , onda odmah morate "razmijeniti" 1 tuce on 10 jedinice. Nakon toga, od sume 10+2 oduzmi broj 7 , dobijamo (10+2)−7=12−7=5 :

U sljedećem koraku trebamo oduzeti vrijednosti cifara desetica. Vidimo to preko broja 3 vredi bod, odnosno nismo 3 , a 3−1=2 . I sa ovog broja 2 trebamo oduzeti broj 4 . Jer 2<4 , onda opet morate pribjeći "razmjeni". Ali sada se razmjenjujemo 1 sto per 10 desetke. U ovom slučaju imamo (10+2)−4=12−4=8 :

Sada oduzimamo vrijednosti mjesta stotina. Od broja 6 jedinica je bila zauzeta u prethodnom koraku, tako da imamo 6−1=5 . Od ovog broja trebamo oduzeti broj 9 . Jer 5<9 , onda moramo "razmijeniti" 1 hiljadu per 10 stotine. Dobijamo (10+5)−9=15−9=6 :

Ostaje posljednji korak. Od onog na hiljade mjesta koje smo pozajmili u prethodnom koraku, tako da imamo 1−1=0 . Ne moramo ništa drugo oduzimati od rezultirajućeg broja. Ovaj broj je napisan ispod vodoravne linije:

Pomoću ovog matematičkog programa možete podijeliti polinome po stupcu.
Program za dijeljenje polinoma polinomom ne daje samo odgovor na problem, on daje detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces rješavanja u cilju provjere znanja iz matematike i/ili algebre.

Ovaj program može biti od koristi srednjoškolcima u pripremi za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da svoj domaći zadatak iz matematike ili algebre uradite što je brže moguće? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku vaše mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti zadataka koji se rješavaju povećava.

Ako trebate ili pojednostaviti polinom ili množi polinome, onda za ovo imamo poseban program Simplifikacija (množenje) polinoma

Prvi polinom (dividenda - ono što dijelimo):

Drugi polinom (djelitelj - čime dijelimo):

Podijelite polinome

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U vašem pretraživaču je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Podjela polinoma polinomom (binomom) sa stupcem (ugao)

U algebri podjela polinoma stupcem (ugao)- algoritam za dijeljenje polinoma f(x) polinomom (binomom) g(x), čiji je stepen manji ili jednak stepenu polinoma f(x).

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom je generalizirani oblik dijeljenja brojeva kolonom, koji se lako implementira ručno.

Za bilo koje polinome \(f(x) \) i \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), postoje jedinstveni polinomi \(q(x) \) i \(r( x ) \), takav da
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
gdje \(r(x) \) ima niži stepen od \(g(x) \).

Svrha algoritma za dijeljenje polinoma u stupac (ugao) je pronaći količnik \(q(x) \) i ostatak \(r(x) \) za datu dividendu \(f(x) \) i nenulti djelitelj \(g(x) \)

Primjer

Dijelimo jedan polinom drugim polinomom (binomom) sa stupcem (ugao):
\(\veliki \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

Kvocijent i ostatak podjele ovih polinoma mogu se naći u toku sljedećih koraka:
1. Podijelite prvi element dividende sa najvišim elementom djelitelja, stavite rezultat ispod linije \((x^3/x = x^2) \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2 \)

3. Od dividende oduzmite polinom dobijen nakon množenja, rezultat upišite ispod linije \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2 \)

4. Ponavljamo prethodna 3 koraka, koristeći polinom napisan ispod linije kao dividendu.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x\)

5. Ponovite korak 4.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(x\) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x\) \(-27 \)

6. Kraj algoritma.
Dakle, polinom \(q(x)=x^2-9x-27 \) je parcijalna podjela polinoma, a \(r(x)=-123 \) je ostatak podjele polinoma.

Rezultat dijeljenja polinoma može se zapisati kao dvije jednakosti:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
ili
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)

Podjela prirodnih brojeva, posebno onih s više vrijednosti, prikladno se provodi posebnom metodom, koja se naziva podjela po koloni (u koloni). Također možete vidjeti ime kutna podjela. Odmah napominjemo da se u stupcu može izvršiti i dijeljenje prirodnih brojeva bez ostatka, i dijeljenje prirodnih brojeva s ostatkom.

U ovom članku ćemo razumjeti kako se vrši podjela po stupcu. Ovdje ćemo govoriti o pravilima pisanja, i o svim srednjim proračunima. Prvo, hajde da se zadržimo na podjeli viševrijednog prirodnog broja jednocifrenim brojem kolonom. Nakon toga ćemo se fokusirati na slučajeve u kojima su i dividenda i djelitelj višeznačni prirodni brojevi. Cijela teorija ovog članka pruža karakteristične primjere dijeljenja kolonom prirodnih brojeva sa detaljnim objašnjenjima rješenja i ilustracijama.

Navigacija po stranici.

Pravila za snimanje prilikom dijeljenja po stupcu

Počnimo s proučavanjem pravila za pisanje dividende, djelitelja, svih međuizračunavanja i rezultata pri dijeljenju prirodnih brojeva stupcem. Recimo odmah da je najpogodnije podijeliti u stupac pisano na papiru kariranom linijom - tako je manja šansa da skrenete sa željenog reda i stupca.

Prvo se dividenda i djelitelj ispisuju u jednom redu s lijeva na desno, nakon čega se između ispisanih brojeva prikazuje simbol forme. Na primjer, ako je dividenda broj 6 105, a djelitelj 5 5, tada će njihova ispravna notacija kada se podijeli u stupac biti:

Pogledajte sljedeći dijagram, koji ilustruje mjesta za pisanje dividende, djelitelja, količnika, ostatka i međukalkulacije prilikom dijeljenja kolonom.

Iz gornjeg dijagrama se može vidjeti da će željeni količnik (ili nepotpuni količnik pri dijeljenju s ostatkom) biti napisan ispod djelitelja ispod vodoravne linije. A međukalkulacije će se vršiti ispod dividende, a o dostupnosti prostora na stranici morate unaprijed voditi računa. U ovom slučaju treba se voditi pravilom: što je veća razlika u broju znakova u unosima dividende i djelitelja, potrebno je više prostora. Na primjer, pri dijeljenju prirodnog broja 614.808 sa 51.234 kolonom (614.808 je šestocifreni broj, 51.234 je petocifreni broj, razlika u broju znakova u zapisima je 6−5=1), srednji proračuni će zahtijevati manje prostora nego kod dijeljenja brojeva 8 058 i 4 (ovdje je razlika u broju znakova 4−1=3). Da bismo potvrdili naše riječi, predstavljamo popunjene zapise dijeljenja kolonom ovih prirodnih brojeva:

Sada možete ići direktno na proces dijeljenja prirodnih brojeva kolonom.

Dijeljenje kolonom prirodnog broja jednocifrenim prirodnim brojem, algoritam za dijeljenje stupcem

Jasno je da je dijeljenje jednog jednocifrenog prirodnog broja drugim prilično jednostavno i nema razloga da se ti brojevi dijele u stupac. Međutim, bit će korisno vježbati početne vještine dijeljenja po stupcu na ovim jednostavnim primjerima.

Primjer.

Trebamo podijeliti kolonom 8 sa 2.

Odluka.

Naravno, možemo izvršiti dijeljenje pomoću tablice množenja, i odmah zapisati odgovor 8:2=4.

Ali nas zanima kako podijeliti ove brojeve kolonom.

Prvo, pišemo dividendu 8 i djelitelj 2 prema metodi:

Sada počinjemo da otkrivamo koliko puta je djelitelj u dividendi. Da bismo to učinili, sukcesivno množimo djelitelj s brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok rezultat ne bude broj jednak dividendi (ili broj veći od dividende, ako postoji podjela s ostatkom ). Ako dobijemo broj jednak dividendi, onda ga odmah upisujemo ispod dividende, a na mjesto privatnog upisujemo broj kojim smo pomnožili djelitelj. Ako dobijemo broj veći od djeljivog, tada ispod djelitelja upisujemo broj izračunat na pretposljednjem koraku, a umjesto nepotpunog količnika upisujemo broj kojim je djelitelj pomnožen u pretposljednjem koraku.

Idemo: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Dobili smo broj jednak dividendi, pa ga upišemo ispod dividende, a na mjesto privatnog upišemo broj 4. Zapis će tada izgledati ovako:

Ostaje završna faza dijeljenja jednocifrenih prirodnih brojeva kolonom. Ispod broja napisanog ispod dividende potrebno je povući vodoravnu liniju, a iznad ove linije oduzimati brojeve na isti način kao što se radi kada se prirodni brojevi oduzimaju kolonom. Broj dobiven nakon oduzimanja bit će ostatak dijeljenja. Ako je jednako nuli, tada se originalni brojevi dijele bez ostatka.

U našem primjeru dobijamo

Sada imamo gotov zapis dijeljenja kolonom broja 8 sa 2. Vidimo da je količnik 8:2 4 (a ostatak je 0).

odgovor:

8:2=4 .

Sada razmotrite kako se provodi dijeljenje kolonom jednocifrenih prirodnih brojeva s ostatkom.

Primjer.

Podijelite kolonom 7 sa 3.

Odluka.

U početnoj fazi unos izgleda ovako:

Počinjemo otkrivati ​​koliko puta dividenda sadrži djelitelj. Pomnožićemo 3 sa 0, 1, 2, 3, itd. dok ne dobijemo broj jednak ili veći od dividende 7. Dobijamo 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (ako je potrebno, pogledajte članak poređenje prirodnih brojeva). Ispod dividende upisujemo broj 6 (dobio je na pretposljednjem koraku), a umjesto nepotpunog količnika upisujemo broj 2 (pomnožen je u pretposljednjem koraku).

Ostaje izvršiti oduzimanje, a dijeljenje kolonom jednocifrenih prirodnih brojeva 7 i 3 će biti završeno.

Dakle, parcijalni količnik je 2, a ostatak je 1.

odgovor:

7:3=2 (odmor 1) .

Sada možemo prijeći na dijeljenje viševrijednih prirodnih brojeva jednocifrenim prirodnim brojevima kolonom.

Sada ćemo analizirati algoritam podjele stupaca. U svakoj fazi prikazat ćemo rezultate dobivene dijeljenjem višeznačnog prirodnog broja 140 288 jednoznačnim prirodnim brojem 4 . Ovaj primjer nije slučajno odabran, jer ćemo prilikom rješavanja naići na sve moguće nijanse, moći ćemo ih detaljno analizirati.

Prvo, gledamo prvu cifru slijeva u unosu dividende. Ako je broj definiran ovom cifrom veći od djelitelja, onda u sljedećem pasusu moramo raditi s ovim brojem. Ako je ovaj broj manji od djelitelja, onda trebamo dodati sljedeću cifru lijevo u zapisu o dividendi i dalje raditi s brojem koji je određen od dotične dvije cifre. Radi praktičnosti, u našoj evidenciji biramo broj s kojim ćemo raditi.

Prva cifra slijeva u dividendi 140.288 je broj 1. Broj 1 je manji od djelitelja 4, pa gledamo i sljedeću cifru lijevo u zapisu o dividendi. U isto vrijeme vidimo broj 14, s kojim moramo dalje raditi. Ovaj broj biramo u zapisu dividende.

Sljedeće tačke od druge do četvrte ponavljaju se ciklički dok se ne završi dijeljenje prirodnih brojeva po stupcu.

Sada moramo odrediti koliko puta je djelitelj sadržan u broju s kojim radimo (zbog pogodnosti, označimo ovaj broj sa x). Da bismo to učinili, sukcesivno množimo djelitelj sa 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj x ili broj veći od x. Kada se dobije broj x, onda ga zapisujemo pod odabranim brojem prema pravilima notacije koja se koriste prilikom oduzimanja kolonom prirodnih brojeva. Broj kojim je izvršeno množenje upisuje se umjesto količnika tokom prvog prolaza algoritma (tokom narednih prolaza 2-4 tačke algoritma, ovaj broj se upisuje desno od brojeva koji su već tamo). Kada se dobije broj veći od broja x, tada ispod odabranog broja upisujemo broj dobijen u pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika (ili desno od brojeva koji su već tamo) upisujemo broj sa pri čemu je množenje izvršeno u pretposljednjem koraku. (Mi smo izvršili slične akcije u dva primjera o kojima smo gore govorili).

Množimo djelitelj broja 4 brojevima 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj koji je jednak 14 ili veći od 14. Imamo 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>četrnaest . Pošto smo u posljednjem koraku dobili broj 16 koji je veći od 14, onda ispod odabranog broja upisujemo broj 12 koji je ispao na pretposljednjem koraku, a na mjesto količnika upisujemo broj 3, pošto u pretposljednjem pasusu množenje je izvršeno upravo na njemu.


U ovoj fazi, od odabranog broja, oduzmite broj ispod njega u koloni. Ispod horizontalne linije je rezultat oduzimanja. Međutim, ako je rezultat oduzimanja nula, onda ga ne treba zapisivati ​​(osim ako je oduzimanje u ovoj tački posljednja radnja koja u potpunosti dovršava dijeljenje stupcem). Ovdje, za vašu kontrolu, neće biti suvišno usporediti rezultat oduzimanja s djeliteljem i uvjeriti se da je manji od djelitelja. Inače je negdje napravljena greška.

Od broja 14 u koloni trebamo oduzeti broj 12 (za ispravnu notaciju, ne smijete zaboraviti staviti znak minus lijevo od oduzetih brojeva). Nakon završetka ove akcije, ispod vodoravne linije pojavio se broj 2. Sada provjeravamo naše izračune upoređujući rezultirajući broj s djeliteljem. Budući da je broj 2 manji od djelitelja 4, možete sigurno preći na sljedeću stavku.


Sada, ispod vodoravne linije desno od brojeva koji se tu nalaze (ili desno od mjesta gdje nismo napisali nulu), upisujemo broj koji se nalazi u istoj koloni u evidenciji dividende. Ako u zapisu dividende u ovoj koloni nema brojeva, onda se podjela po koloni završava ovdje. Nakon toga odabiremo broj formiran ispod vodoravne linije, uzimamo ga kao radni broj i ponavljamo s njim od 2 do 4 točke algoritma.

Ispod vodoravne linije desno od broja 2 koji je već tu upisujemo broj 0, jer je to broj 0 koji se nalazi u zapisu dividende 140 288 u ovoj koloni. Dakle, broj 20 se formira ispod horizontalne linije.


Odaberemo ovaj broj 20, uzmemo ga kao radni broj i s njim ponovimo radnje druge, treće i četvrte tačke algoritma.

Množimo djelitelj 4 sa 0, 1, 2, ... dok ne dobijemo broj 20 ili broj koji je veći od 20. Imamo 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Oduzimanje vršimo po stupcu. Pošto oduzimamo jednake prirodne brojeve, onda, zbog svojstva oduzimanja jednakih prirodnih brojeva, kao rezultat dobijamo nulu. Ne zapisujemo nulu (jer ovo još nije završna faza dijeljenja kolonom), ali pamtimo mjesto na koje bismo je mogli zapisati (radi pogodnosti, ovo mjesto ćemo označiti crnim pravougaonikom).


Ispod vodoravne linije desno od memorisanog mjesta upisujemo broj 2, jer je ona ta koja je u evidenciji dividende 140 288 u ovoj koloni. Dakle, ispod horizontalne linije imamo broj 2.


Uzimamo broj 2 kao radni broj, označimo ga i još jednom ćemo morati izvršiti korake iz 2-4 tačke algoritma.

Pomnožimo djelitelj sa 0, 1, 2 i tako dalje, i uporedimo dobijene brojeve sa označenim brojem 2. Imamo 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Stoga ispod označenog broja upisujemo broj 0 (dobio ga je na pretposljednjem koraku), a umjesto količnika desno od broja koji je već tamo, upisujemo broj 0 (pomnožili smo sa 0 na pretposljednjem korak).


Izvodimo oduzimanje po stupcu, dobivamo broj 2 ispod vodoravne linije. Provjeravamo se upoređujući rezultirajući broj sa djeliteljem 4. Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Ispod vodoravne linije desno od broja 2 dodajemo broj 8 (pošto se nalazi u ovoj koloni u evidenciji dividende 140 288). Dakle, ispod vodoravne linije nalazi se broj 28.


Ovaj broj prihvatamo kao radnik, označavamo ga i ponavljamo korake 2-4 paragrafa.

Ovdje ne bi trebalo biti nikakvih problema ako ste do sada bili oprezni. Nakon poduzimanja svih potrebnih radnji, dobiva se sljedeći rezultat.

Ostaje posljednji put da izvršite radnje iz tačaka 2, 3, 4 (mi vam to pružamo), nakon čega ćete dobiti potpunu sliku dijeljenja prirodnih brojeva 140 288 i 4 u stupac:

Imajte na umu da je broj 0 napisan na samom dnu reda. Da ovo nije zadnji korak dijeljenja kolonom (tj. da su u zapisu o dividendi u stupcima desno bili brojevi), onda ovu nulu ne bismo pisali.

Tako, gledajući kompletiran zapis o dijeljenju višeznačnog prirodnog broja 140 288 jednoznačnim prirodnim brojem 4, vidimo da je broj 35 072 privatni (a ostatak dijeljenja je nula, nalazi se na samom donja linija).

Naravno, kada dijelite prirodne brojeve kolonom, nećete tako detaljno opisati sve svoje postupke. Vaša rješenja će izgledati otprilike poput sljedećih primjera.

Primjer.

Izvršite dugo dijeljenje ako je dividenda 7136, a djelitelj je jedan prirodan broj 9.

Odluka.

U prvom koraku algoritma za dijeljenje prirodnih brojeva stupcem dobijamo zapis oblika

Nakon izvođenja radnji iz druge, treće i četvrte tačke algoritma, zapis dijeljenja po stupcu će poprimiti oblik

Ponavljajući ciklus, imaćemo

Još jedan prolaz će nam dati potpunu sliku dijeljenja kolonom prirodnih brojeva 7 136 i 9

Dakle, parcijalni količnik je 792, a ostatak dijeljenja je 8.

odgovor:

7 136:9=792 (odmor 8) .

A ovaj primjer pokazuje kako bi podjela trebala izgledati.

Primjer.

Podijelite prirodni broj 7 042 035 jednocifrenim prirodnim brojem 7 .

Odluka.

Najpogodnije je izvršiti podjelu po stupcu.

odgovor:

7 042 035:7=1 006 005 .

Podjela kolonom viševrijednih prirodnih brojeva

Požurimo da vas zadovoljimo: ako ste dobro savladali algoritam za dijeljenje po stupcu iz prethodnog stavka ovog članka, tada već gotovo znate kako to izvesti podjela kolonom viševrijednih prirodnih brojeva. To je tačno, budući da koraci 2 do 4 algoritma ostaju nepromijenjeni, a samo manje promjene se pojavljuju u prvom koraku.

U prvoj fazi dijeljenja u kolonu viševrijednih prirodnih brojeva, morate gledati ne prvu cifru s lijeve strane u unosu dividende, već u onoliko njih koliko ih ima u unosu djelitelja. Ako je broj definisan ovim brojevima veći od djelitelja, onda u sljedećem pasusu moramo raditi s ovim brojem. Ako je ovaj broj manji od djelitelja, tada moramo uzeti u obzir sljedeću cifru s lijeve strane u zapisu o dividendi. Nakon toga se izvode radnje navedene u paragrafima 2, 3 i 4 algoritma dok se ne dobije konačni rezultat.

Ostaje samo vidjeti primjenu algoritma za dijeljenje stupcem viševrijednih prirodnih brojeva u praksi prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Izvršimo dijeljenje kolonom viševrijednih prirodnih brojeva 5562 i 206.

Odluka.

Pošto su u zapisu djelitelja 206 uključena 3 znaka, gledamo prve 3 cifre s lijeve strane u zapisu dividende 5 562. Ovi brojevi odgovaraju broju 556. Budući da je 556 veći od djelitelja 206, uzimamo broj 556 kao radni, odabiremo ga i prelazimo na sljedeću fazu algoritma.

Sada množimo djelitelj 206 brojevima 0, 1, 2, 3, ... dok ne dobijemo broj koji je ili jednak 556 ili veći od 556. Imamo (ako je množenje teško, onda je bolje izvršiti množenje prirodnih brojeva u stupcu): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Pošto smo dobili broj veći od broja 556, onda ispod odabranog broja upisujemo broj 412 (dobio je na pretposljednjem koraku), a na mjesto količnika upisujemo broj 2 (pošto je pomnožen na pretposljednji korak). Unos podjele stupaca ima sljedeći oblik:

Izvršite oduzimanje kolone. Dobijamo razliku 144, ovaj broj je manji od djelitelja, tako da možete sigurno nastaviti izvršavati tražene radnje.

Ispod vodoravne crte desno od broja koji je tamo dostupan upisujemo broj 2, pošto se on nalazi u evidenciji dividende 5 562 u ovoj koloni:

Sada radimo sa brojem 1442, biramo ga i ponovo prolazimo kroz korake od dva do četiri.

Množimo djelitelj 206 sa 0 , 1 , 2 , 3 , ... dok ne dobijemo broj 1442 ili broj veći od 1442 . Idemo: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Oduzimamo po koloni, dobijamo nulu, ali ne zapisujemo je odmah, već samo pamtimo njenu poziciju, jer ne znamo da li se deljenje završava ovde ili ćemo morati da ponovimo korake algoritma opet:

Sada vidimo da ispod horizontalne linije desno od memorisane pozicije ne možemo zapisati nijedan broj, jer u zapisu dividende u ovoj koloni nema brojeva. Dakle, ova podjela po koloni je završena i završavamo unos:

• Matematika. Bilo koji udžbenici za 1, 2, 3, 4 razred obrazovnih institucija.
• Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.