व्यवस्थित रिश्ते. आदेश संबंध

"ऑर्डर" शब्द का प्रयोग अक्सर विभिन्न मुद्दों में किया जाता है। अधिकारी आदेश देता है: "संख्याओं के क्रम के अनुसार, गणना करें," अंकगणितीय संचालन एक निश्चित क्रम में किए जाते हैं, एथलीटों को ऊंचाई के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है, एक भाग बनाते समय संचालन करने का एक आदेश होता है, और शब्दों का क्रम होता है एक वाक्य में।

ऑर्डर के बारे में बात करते समय सभी मामलों में क्या सामान्य है? तथ्य यह है कि शब्द "ऑर्डर" का निम्नलिखित अर्थ है: इसका मतलब है कि किसी दिए गए सेट का कौन सा तत्व किसका अनुसरण करता है (या कौन सा तत्व किससे पहले आता है)।

नज़रिया " एक्सइस प्रकार पर"सकर्मक: यदि" एक्सइस प्रकार पर" और " परइस प्रकार जेड", वह " एक्सइस प्रकार जेड" इसके अलावा, यह रिश्ता एंटीसिमेट्रिक होना चाहिए: दो अलग-अलग के लिए एक्सऔर पर, अगर एक्सइस प्रकार पर, वह परपालन ​​नहीं करता एक्स.

परिभाषा।नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया सख्त आदेश का संबंध, यदि यह सकर्मक और असिमेट्रिक है।

आइए सख्त क्रम के संबंधों के ग्राफ और ग्राफ की विशेषताओं का पता लगाएं।

आइए एक उदाहरण देखें. सेट पर एक्स= (5, 7, 10, 15, 12) दिया गया अनुपात आर: « एक्स < पर" आइए जोड़ियों को सूचीबद्ध करके इस संबंध को परिभाषित करें
आर = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

चलिए इसका ग्राफ बनाते हैं. हम देखते हैं कि इस संबंध के ग्राफ़ में कोई लूप नहीं है। ग्राफ़ पर कोई दोहरे तीर नहीं हैं. यदि से एक्सतीर जाता है पर, और से पर- वी जेड, फिर से एक्सतीर जाता है जेड(चित्र 8)।

निर्मित ग्राफ़ आपको सेट के तत्वों को व्यवस्थित करने की अनुमति देता है एक्सइस क्रम में:

{5, 7, 10, 12, 15}.

चित्र 6 (इस अध्याय के § 6) में, कॉलम VII, VIII सख्त क्रम के संबंधों के ग्राफ हैं।

गैर सख्त संबंध

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में "इससे कम" संबंध का विपरीत "कम नहीं" संबंध है। यह अब सख्त आदेश का संबंध नहीं है. मुद्दा यह है कि कब एक्स = पर, रिश्ते निभाए जाते हैं एक्स ³ परऔर पर ³ एक्स, अर्थात। "कोई कम नहीं" रवैया चिंतनशील है।

परिभाषा।नज़रिया आरएक सेट पर एक्सबुलाया गैर सख्त संबंध, यदि यह रिफ्लेक्टिव, एंटीसिमेट्रिक और सकर्मक है।

ऐसे संबंध एक पहचान संबंध के साथ एक सख्त आदेश संबंध के मिलन हैं।

सेट के लिए संबंध "अब और नहीं" (£) पर विचार करें

एक्स= (5, 7, 10, 15, 12). आइए इसका ग्राफ बनाएं (चित्र 9)।

एक सख्त आदेश संबंध ग्राफ के विपरीत, एक गैर-सख्त आदेश संबंध ग्राफ में प्रत्येक शीर्ष पर लूप होते हैं।

चित्र में. 6 (§ इस अध्याय के 6) कॉलम वी, VI गैर-सख्त क्रम के संबंधों के ग्राफ हैं।

सेट का ऑर्डर दिया गया

एक सेट किसी ऑर्डर रिलेशन द्वारा ऑर्डर किया जा सकता है (वे यह भी कहते हैं कि पूरी तरह से ऑर्डर किया गया है), जबकि दूसरा सेट ऐसे रिलेशन द्वारा अव्यवस्थित या आंशिक रूप से ऑर्डर किया जा सकता है।

परिभाषा।गुच्छा एक्सबुलाया आदेश दियाकुछ आदेश संबंध आर, यदि किन्हीं दो तत्वों के लिए एक्स, वाईसे एक्स:

(एक्स, पर) Î आरया ( वाई, एक्स) Î आर.

अगर आरसख्त आदेश का संबंध है, फिर सेट एक्सइस संबंध द्वारा आदेश दिया गया है: यदि एक्स, परसमुच्चय के कोई दो असमान तत्व एक्स, वह ( एक्स, पर) Î आरया ( वाई, एक्स) Î आर, या कोई दो तत्व एक्स, वाईसेट एक्सबराबर हैं।

स्कूली गणित पाठ्यक्रम से यह ज्ञात होता है कि संख्याएँ निर्धारित होती हैं एन , जेड , क्यू , आर संबंध "से कम" द्वारा आदेशित (<).

किसी निश्चित समुच्चय के उपसमुच्चय को उपरोक्त अर्थ में समावेशन संबंध (I), या सख्त समावेशन (S) को प्रस्तुत करके क्रमबद्ध नहीं किया जाता है, क्योंकि उपसमुच्चय हैं, जिनमें से कोई भी दूसरे में शामिल नहीं है। इस मामले में, हम कहते हैं कि दिया गया सेट आंशिक रूप से संबंध Í (या Ì) द्वारा क्रमबद्ध है।

सेट पर विचार करें एक्स= (1, 2, 3, 4, 5, 6) और इसमें दो संबंध हैं "से कम" और "से विभाजित"। यह सत्यापित करना आसान है कि ये दोनों संबंध ऑर्डर संबंध हैं। "इससे कम" संबंध ग्राफ़ को एक किरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।

"विभाजित" संबंध का ग्राफ़ केवल एक समतल पर दर्शाया जा सकता है।

इसके अलावा, दूसरे संबंध के ग्राफ़ में ऐसे शीर्ष हैं जो एक तीर से जुड़े नहीं हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 4 और 5 को जोड़ने वाला कोई तीर नहीं है (चित्र 10)।

पहला रिश्ता" एक्स < पर"रेखीय कहा जाता है. सामान्य तौर पर, यदि संबंध व्यवस्थित है आर(सख्त और गैर-सख्त) सेट पर एक्ससंपत्ति है: किसी के लिए एक्स, परÎ एक्सया xRy, या yRx, तो इसे रैखिक क्रम संबंध और समुच्चय कहा जाता है एक्स- एक रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट।

यदि सेट एक्सबेशक, और इसमें शामिल है एनतत्व, फिर रैखिक क्रम एक्सइसके तत्वों को 1,2,3, ..., संख्याओं के साथ क्रमांकित करने के लिए नीचे आता है एन.

रैखिक रूप से क्रमित सेट में कई गुण होते हैं:

1°. होने देना ए, बी, सी- सेट के तत्व एक्स, संबंध द्वारा आदेश दिया गया आर. यदि यह ज्ञात हो तो आर.वीऔर आरएसयू में, तो वे कहते हैं कि तत्व वीतत्वों के बीच स्थित है एऔर साथ.

2°. गुच्छा एक्स, संबंध द्वारा रैखिक रूप से क्रमबद्ध आर, असतत कहलाता है यदि इसके किन्हीं दो तत्वों के बीच इस समुच्चय के तत्वों का केवल एक सीमित समुच्चय हो।

3°. एक रैखिक क्रमित समुच्चय को सघन कहा जाता है यदि इस समुच्चय के किन्हीं दो भिन्न तत्वों के बीच समुच्चय का एक अवयव स्थित हो।

तुल्यता संबंध. तुल्यता संबंध और किसी समुच्चय के वर्गों में विभाजन के बीच संबंध

परिभाषा।नज़रिया आरएक सेट पर एक्सयदि यह प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है तो इसे तुल्यता संबंध कहा जाता है।

उदाहरण।संबंध पर विचार करें " एक्ससहपाठी पर"शिक्षा संकाय के कई छात्रों पर। इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

1) रिफ्लेक्सिविटी, क्योंकि प्रत्येक विद्यार्थी अपना स्वयं का सहपाठी होता है;

2) समरूपता, क्योंकि यदि कोई छात्र एक्स पर, फिर छात्र परएक छात्र का सहपाठी है एक्स;

3) परिवर्तनशीलता, क्योंकि यदि कोई छात्र एक्स- सहपाठी पर, और छात्र पर– सहपाठी जेड, फिर छात्र एक्सछात्र का सहपाठी होगा जेड.

इस प्रकार, इस संबंध में प्रतिवर्तीता, समरूपता और परिवर्तनशीलता के गुण हैं, और इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है। साथ ही, शिक्षा संकाय के कई छात्रों को एक ही पाठ्यक्रम में पढ़ने वाले छात्रों से मिलकर उपसमूहों में विभाजित किया जा सकता है। हमें 5 उपसमुच्चय प्राप्त होते हैं।

समतुल्य संबंध भी हैं, उदाहरण के लिए, रेखाओं की समानता का संबंध, आंकड़ों की समानता का संबंध। ऐसा प्रत्येक संबंध समुच्चय को वर्गों में विभाजित करने से जुड़ा है।

प्रमेय.अगर सेट पर एक्सएक तुल्यता संबंध दिया गया है, तो यह इस सेट को जोड़ीदार असंयुक्त उपसमुच्चय (समतुल्य वर्ग) में विभाजित करता है।

विपरीत कथन भी सत्य है: यदि सेट पर कोई संबंध परिभाषित है एक्स, इस सेट का वर्गों में विभाजन उत्पन्न करता है, तो यह एक तुल्यता संबंध है।

उदाहरण।सेट पर एक्स= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) संबंध "3 से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है" निर्दिष्ट है। क्या यह एक तुल्यता संबंध है?

आइए इस रिश्ते का एक ग्राफ बनाएं: (स्वतंत्र रूप से)

इस संबंध में प्रतिवर्तीता, समरूपता और परिवर्तनशीलता के गुण हैं, इसलिए, यह एक तुल्यता संबंध है और सेट को विभाजित करता है एक्ससमतुल्य वर्गों के लिए. प्रत्येक तुल्यता वर्ग में ऐसी संख्याएँ होंगी, जिन्हें 3 से विभाजित करने पर समान शेषफल मिलता है: एक्स 1 = {3; 6}, एक्स 2 = {1; 4; 7}, एक्स 3 = {2; 5; 8}.

ऐसा माना जाता है कि तुल्यता वर्ग उसके किसी भी प्रतिनिधि द्वारा निर्धारित किया जाता है, अर्थात। इस वर्ग का एक मनमाना तत्व। इस प्रकार, इस वर्ग से संबंधित किसी भी भिन्न को निर्दिष्ट करके समान भिन्नों का एक वर्ग निर्दिष्ट किया जा सकता है।

गणित के प्रारंभिक पाठ्यक्रम में तुल्यता संबंध भी सामने आते हैं, उदाहरण के लिए, "अभिव्यक्ति"। एक्सऔर परसमान संख्यात्मक मान हैं", "आंकड़ा एक्सआकृति के बराबर पर».

परिभाषा।नज़रिया आरएक सेट पर एक्सइसे क्रम संबंध कहा जाता है यदि यह संक्रमणीय और असममित या एंटीसिमेट्रिक है।

परिभाषा।नज़रिया आरएक सेट पर एक्सयदि यह सकर्मक और असममित है तो इसे सख्त आदेश संबंध कहा जाता है।

उदाहरणसख्त आदेश के संबंध: प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर "अधिक", लोगों के सेट पर "अधिक", आदि।

परिभाषा।नज़रिया आरएक सेट पर एक्सइसे गैर-सख्त आदेश संबंध कहा जाता है यदि यह सकर्मक और एंटीसिमेट्रिक है।

उदाहरणएक गैर-सख्त क्रम के संबंध: वास्तविक संख्याओं के सेट पर "अब और नहीं", प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर "भाजक बनें", आदि।

परिभाषा।गुच्छा एक्सयदि उस पर ऑर्डर संबंध निर्दिष्ट है तो उसे ऑर्डर किया गया कहा जाता है।

उदाहरण. सेट पर एक्स= (1; 2; 3; 4; 5) दो संबंध दिए गए हैं: " एक्स £ पर" और " एक्स-विभाजक पर».

इन दोनों संबंधों में रिफ्लेक्सिविटी, एंटीसिममेट्री और ट्रांजिटिविटी के गुण हैं (ग्राफ़ बनाएं और गुणों की स्वयं जांच करें), यानी। गैर-सख्त आदेश के संबंध हैं. लेकिन पहले रिश्ते में जुड़ाव का गुण होता है, जबकि दूसरे में नहीं।

परिभाषा।आदेश संबंध आरएक सेट पर एक्सयदि इसमें जुड़ाव का गुण हो तो इसे रैखिक क्रम संबंध कहा जाता है।

प्राथमिक विद्यालय में कई क्रम संबंधों का अध्ययन किया जाता है। पहली कक्षा में पहले से ही प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर "कम", "अधिक", खंडों के सेट पर "छोटा", "लंबा" आदि संबंध हैं।

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

1. किसी समुच्चय पर द्विआधारी संबंध को परिभाषित करें एक्स.

2. कथन कैसे लिखें कि तत्व एक्सऔर परक्या एक रिश्ते में हैं आर?

3. रिश्तों को परिभाषित करने के तरीकों की सूची बनाएं।

4. उन गुणों का निरूपण करें जो रिश्तों में हो सकते हैं। ये गुण ग्राफ़ में कैसे प्रतिबिंबित होते हैं?

5. किसी संबंध को समतुल्य संबंध बनाने के लिए उसमें कौन से गुण होने चाहिए?

6. तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को वर्गों में विभाजित करने से किस प्रकार संबंधित है?

7. किसी संबंध को क्रम का संबंध बनाने के लिए उसमें कौन से गुण होने चाहिए?

एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)बुलाया गैर-सख्त आंशिक आदेश का संबंध (आदेश संबंध, प्रतिवर्ती संबंध), अगर वहाँ

गुच्छा एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), जिस पर आंशिक क्रम संबंध प्रस्तुत किया जाता है, कहलाता है आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया. एक गैर-सख्त आंशिक आदेश संबंध को अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है ≼ (\displaystyle \precurlyeq ).

विकल्प

आंशिक आदेश संबंध आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)बुलाया रैखिक क्रम, यदि शर्त पूरी होती है

∀ x ∀ y (x R y ∨ y R x) (\displaystyle \forall x\forall y(xRy\lor yRx)).

गुच्छा एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स), जिस पर एक रैखिक क्रम संबंध प्रस्तुत किया जाता है, कहलाता है रैखिक रूप से क्रमबद्ध, या जंजीर.

नज़रिया आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर), केवल प्रतिवर्तीता एवं परिवर्तनशीलता की शर्तों को संतुष्ट करना कहलाता है प्री-ऑर्डर, या अर्ध-ऑर्डर.

सख्त आदेश

यदि रिफ्लेक्सिविटी की स्थिति को एंटी-रिफ्लेक्सिविटी की स्थिति से बदल दिया जाए:

∀ x ¬ (x R x) (\displaystyle \forall x\neg (xRx)),

तब हमें परिभाषा मिलती है कठोर, या विरोधी प्रतिवर्ती आंशिक आदेश(आमतौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है ≺ (\displaystyle \prec )).

टिप्पणी। किसी संबंध की एक साथ प्रति-प्रतिक्रियाशीलता और परिवर्तनशीलता में प्रतिसममिति शामिल होती है। इसलिए संबंध है सख्त आदेश का संबंधयदि और केवल यदि यह प्रतिकर्मरोधी और सकर्मक है।

सामान्य तौर पर, यदि आर (\डिस्प्लेस्टाइल आर)तो फिर, यह एक सकर्मक, असिमेट्रिक संबंध है

R ≼ = R ∪ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\preccurlyeq )=R\cup \((x,x)|x\in X\))- प्रतिवर्ती क्रम R ≺ = R ∖ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\prec )=R\setminus \((x,x)|x\in X\))- सख्त आदेश.

उदाहरण

• वास्तविक संख्याओं के सेट पर, "इससे अधिक" और "इससे कम" संबंध सख्त क्रम के संबंध हैं, और "इससे अधिक या इसके बराबर" और "इससे कम या इसके बराबर" गैर-सख्त क्रम के संबंध हैं।
• पूर्णांकों के समुच्चय पर विभाज्यता संबंध गैर-सख्त क्रम का संबंध है।

दुश्निक-मिलर आयाम

कहानी

लक्षण < {\displaystyle <} और > (\डिस्प्लेस्टाइल >)आविष्कार

माना R समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध है।

परिभाषा। समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध R को A पर ऑर्डर संबंध या A पर ऑर्डर संबंध कहा जाता है यदि यह संक्रमणीय और एंटीसिमेट्रिक है।

परिभाषा। किसी समुच्चय A पर क्रम R के संबंध को गैर-सख्त कहा जाता है यदि यह A पर प्रतिवर्ती है, अर्थात A में से प्रत्येक के लिए।

एक आदेश संबंध आर को सख्त (ए पर) कहा जाता है यदि यह ए पर एंटी-रिफ्लेक्सिव है, यानी ए में से किसी के लिए। हालांकि, संक्रमणीय संबंध आर की एंटी-रिफ्लेक्सिविटी से, यह निम्नानुसार है कि यह एंटीसिमेट्रिक है। अतः निम्नलिखित समतुल्य परिभाषा दी जा सकती है।

परिभाषा। समुच्चय A पर एक द्विआधारी संबंध R को A पर सख्त आदेश कहा जाता है यदि यह A पर सकर्मक और प्रति-प्रतिवर्ती है।

उदाहरण। 1. माना समुच्चय M के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है। किसी समुच्चय पर समावेशन संबंध गैर-सख्त क्रम का संबंध है।

2. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर संबंध क्रमशः सख्त और गैर-सख्त क्रम के संबंध हैं।

3. प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में विभाज्यता संबंध गैर-सख्त क्रम का संबंध है।

परिभाषा। सेट ए पर एक बाइनरी रिलेशन आर को प्रीऑर्डर रिलेशन या ए पर प्रीऑर्डर कहा जाता है यदि यह रिफ्लेक्सिव ऑन और ट्रांजिटिव है।

उदाहरण। 1. पूर्णांकों के समुच्चय में विभाज्यता संबंध कोई क्रम नहीं है। हालाँकि, यह प्रतिवर्ती और सकर्मक है, जिसका अर्थ है कि यह एक पूर्व-आदेश है।

2. तार्किक निहितार्थ का संबंध प्रस्तावात्मक तर्क सूत्रों के सेट पर एक पूर्व-आदेश है।

रेखीय क्रम. क्रम का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला रैखिक क्रम है।

परिभाषा। किसी समुच्चय पर एक क्रम संबंध को रैखिक क्रम संबंध या रैखिक क्रम कहा जाता है यदि यह पर जुड़ा हुआ है, यानी ए से किसी एक्स, वाई के लिए

एक ऑर्डर संबंध जो रैखिक नहीं है, उसे आमतौर पर आंशिक ऑर्डर संबंध या आंशिक ऑर्डर कहा जाता है।

उदाहरण। 1. वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर "इससे कम" का संबंध रैखिक क्रम का संबंध है।

2. रूसी भाषा के शब्दकोशों में अपनाए गए क्रम संबंध को कोशलेखन कहा जाता है। रूसी भाषा में शब्दों के सेट पर शब्दकोषीय क्रम एक रैखिक क्रम है।

"ऑर्डर" शब्द का प्रयोग अक्सर विभिन्न प्रकार के मुद्दों में किया जाता है। अधिकारी आदेश देता है: "संख्यात्मक क्रम में गणना करें", अंकगणितीय संचालन एक निश्चित क्रम में किए जाते हैं, एथलीटों को ऊंचाई के अनुसार क्रमबद्ध किया जाता है, सभी प्रमुख शतरंज खिलाड़ियों को तथाकथित एलो गुणांक (अमेरिकी प्रोफेसर) के अनुसार एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित किया जाता है जिसने खिलाड़ियों की सभी सफलताओं और असफलताओं को ध्यान में रखने के लिए सिस्टम गुणांक विकसित किया है), चैंपियनशिप के बाद, सभी फुटबॉल टीमों को एक निश्चित क्रम में स्थित किया जाता है, आदि। एक हिस्से का निर्माण करते समय संचालन का एक क्रम होता है, एक वाक्य में शब्दों का क्रम (समझने की कोशिश करें कि "बूढ़े आदमी पर" वाक्य का क्या मतलब है कि मैंने गधा नहीं लगाया है!)

एक निश्चित समुच्चय के तत्वों को एक के बाद एक व्यवस्थित करके, हम उन्हें व्यवस्थित करते हैं या उनके बीच कुछ संबंध स्थापित करते हैं क्रम में।सबसे सरल उदाहरण प्राकृतिक संख्याओं का प्राकृतिक क्रम है। इसकी स्वाभाविकता इस तथ्य में निहित है कि किन्हीं दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए हम जानते हैं कि कौन सी दूसरे का अनुसरण करती है या कौन सी दूसरे से बड़ी है, इसलिए हम प्राकृतिक संख्याओं को एक क्रम में व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि बड़ी संख्या स्थित हो, उदाहरण के लिए, छोटे वाले के दाईं ओर: 1, 2, 3, ...। निःसंदेह, तत्वों का क्रम केवल बाएँ से दाएँ ही नहीं, बल्कि किसी भी दिशा में लिखा जा सकता है। प्राकृतिक संख्याओं की अवधारणा में पहले से ही क्रम का विचार शामिल है। किसी भी समुच्चय के तत्वों की कुछ सापेक्ष व्यवस्था स्थापित करके, हम उस पर कुछ द्विआधारी क्रम संबंध परिभाषित करते हैं, जिसका प्रत्येक विशिष्ट मामले में अपना नाम हो सकता है, उदाहरण के लिए, "कम होना," "बड़ा होना," "से ", "अनुसरण करें" आदि में समाहित हो। आदेश के प्रतीकात्मक पदनाम भी भिन्न हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, Í, आदि।

ऑर्डर संबंध की मुख्य विशिष्ट विशेषता यह है कि इसमें परिवर्तनशीलता का गुण होता है। इसलिए, यदि हम कुछ वस्तुओं के अनुक्रम से निपट रहे हैं एक्स 1, एक्स 2, ..., एक्स एन,..., आदेश दिया गया, उदाहरण के लिए, संबंध से, फिर जो किया जा रहा है उससे एक्स 1एक्स 2... एक्स एन..., इसे किसी भी जोड़ी के लिए अनुसरण करना चाहिए एक्स आई, एक्स जेइस क्रम के तत्व भी पूरे होते हैं एक्स मैंएक्स जे:

तत्वों की एक जोड़ी के लिए एक्स मैंजेसंबंध ग्राफ़ में हम शीर्ष से एक तीर खींचते हैं एक्स मैंसबसे ऊपर एक्स जे, यानी छोटे तत्व से बड़े तत्व की ओर।

तथाकथित विधि का उपयोग करके ऑर्डर रिलेशन ग्राफ को सरल बनाया जा सकता है हस्से आरेख.हस्से आरेख का निर्माण इस प्रकार किया गया है। छोटे तत्वों को नीचे रखा गया है, और बड़े तत्वों को ऊपर रखा गया है। चूँकि अकेले ऐसा नियम चित्रण के लिए पर्याप्त नहीं है, इसलिए रेखाएँ खींची जाती हैं जो दर्शाती हैं कि दोनों तत्वों में से कौन सा बड़ा है और कौन सा दूसरे से छोटा है। इस मामले में, एक दूसरे के तुरंत बाद वाले तत्वों के लिए केवल रेखाएँ खींचना पर्याप्त है। हस्से आरेखों के उदाहरण चित्र में दिखाए गए हैं:

आपको हस्से आरेख में तीरों को शामिल करने की आवश्यकता नहीं है। हस्से आरेख को एक समतल में घुमाया जा सकता है, लेकिन मनमाने ढंग से नहीं। मुड़ते समय, आरेख के शीर्षों की सापेक्ष स्थिति (ऊपर - नीचे) बनाए रखना आवश्यक है:

नज़रिया आरपर्याप्त रूप से एक्सबुलाया सख्त आदेश का रवैया,यदि यह सकर्मक और असममित है.

वह समुच्चय जिसमें एक सख्त क्रम संबंध परिभाषित किया जाता है, कहलाता है आदेश दिया.उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय "इससे कम" संबंध द्वारा क्रमबद्ध होता है। लेकिन यही सेट एक अन्य संबंध द्वारा भी क्रमबद्ध है - "विभाजित" और "अधिक"।

प्राकृतिक संख्याओं के सेट में "इससे कम" संबंध का ग्राफ़ एक किरण के रूप में दर्शाया जा सकता है:

नज़रिया आरवी एक्ससंबंध कहा जाता है गैर-सख्त (आंशिक) आदेश, यदि यह सकर्मक और असिमेट्रिक है। गैर-सख्त आदेश का कोई भी संबंध प्रतिवर्ती है।

विशेषण "आंशिक" इस तथ्य को व्यक्त करता है कि शायद किसी सेट के सभी तत्व किसी दिए गए संबंध में तुलनीय नहीं हैं।

आंशिक क्रम संबंधों के विशिष्ट उदाहरण "इससे अधिक नहीं," "इससे कम नहीं," और "इससे अधिक नहीं" संबंध हैं। रिश्तों के नाम में "नहीं" कण उनकी संवेदनशीलता को व्यक्त करने का काम करता है। संबंध "इससे अधिक नहीं" संबंध "इससे कम या बराबर" के साथ मेल खाता है, और संबंध "कम नहीं" का संबंध "इससे अधिक या बराबर" के समान है। इस सम्बन्ध में आंशिक क्रम भी कहा जाता है सख्त नहींक्रम में। अक्सर आंशिक (गैर-सख्त) आदेश संबंध को प्रतीक "" द्वारा दर्शाया जाता है।

एक निश्चित समुच्चय के उपसमुच्चय के बीच समावेशन संबंध Í भी एक आंशिक क्रम है। जाहिर है, प्रत्येक दो उपसमुच्चय इस संबंध में तुलनीय नहीं हैं। नीचे दिया गया चित्र सेट के सभी उपसमुच्चय (1,2,3) के सेट पर आंशिक समावेशन क्रम को दर्शाता है। ग्राफ़ पर जो तीर ऊपर की ओर इंगित होने चाहिए, वे नहीं दिखाए गए हैं।

वे समुच्चय जिन पर आंशिक क्रम दिया गया हो, कहलाते हैं आंशिक रूप से आदेश दिया गया,या केवल आदेश दियासेट.

तत्वों एक्सऔर परआंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट कहलाता है हमारे साथ तुलना करेंअगर एक्सपरया परएक्स।अन्यथा उनकी तुलना नहीं की जा सकती.

वह क्रमित समुच्चय जिसमें कोई दो तत्व तुलनीय हों, कहलाता है रैखिक रूप से क्रमबद्ध, और क्रम रैखिक क्रम है। रैखिक क्रम को पूर्ण क्रम भी कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक क्रम वाली सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, साथ ही उसके सभी उपसमुच्चय, रैखिक रूप से क्रमबद्ध होते हैं।

सबसे विविध प्रकृति की वस्तुओं का ऑर्डर दिया जा सकता है पदानुक्रमिक रूप से।यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

उदाहरण 1: किसी पुस्तक के हिस्सों को इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि पुस्तक में अध्याय हैं, अध्याय में अनुभाग हैं, और अनुभाग में उपखंड हैं।

उदाहरण 2. कंप्यूटर फ़ाइल सिस्टम में फ़ोल्डर्स एक दूसरे के अंदर नेस्टेड होते हैं, जिससे एक शाखा संरचना बनती है।

उदाहरण 3. माता-पिता और बच्चों के बीच के रिश्ते को तथाकथित के रूप में दर्शाया जा सकता है वंश - वृक्ष,जो दर्शाता है कि कौन किसका पूर्वज (या संतान) है।

चलो सेट पर एआंशिक आदेश दिया गया है. तत्व एक्सबुलाया अधिकतम न्यूनतम)सेट ए का तत्व, यदि इस तथ्य से कि एक्सपर(परएक्स),समानता आती है एक्स= यूदूसरे शब्दों में, तत्व एक्सयदि किसी तत्व के लिए अधिकतम (न्यूनतम) है परया फिर ये सच नहीं है एक्सपर(परएक्स), या निष्पादित किया जाता है एक्स=यूइस प्रकार, अधिकतम (न्यूनतम) तत्व अपने से भिन्न उन सभी तत्वों से बड़ा (छोटा) होता है जिनके साथ उसका संबंध होता है।

तत्व एक्सबुलाया सबसे बड़ा (सबसे छोटा),अगर किसी के लिए परÎ एप्रदर्शन किया पर< х (х< у).

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में कई न्यूनतम और/या अधिकतम तत्व हो सकते हैं, लेकिन एक से अधिक न्यूनतम और अधिकतम तत्व नहीं हो सकते। सबसे छोटा (सबसे बड़ा) तत्व भी न्यूनतम (अधिकतम) होता है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है। बाईं ओर का आंकड़ा दो न्यूनतम और दो अधिकतम तत्वों के साथ एक आंशिक क्रम दिखाता है, और दाईं ओर सबसे छोटे और सबसे बड़े तत्वों के साथ एक आंशिक क्रम दिखाता है:

एक सीमित आंशिक रूप से क्रमित सेट में हमेशा न्यूनतम और अधिकतम तत्व होते हैं।

एक क्रमबद्ध सेट जिसमें सबसे बड़े और सबसे छोटे तत्व होते हैं, उसे कहा जाता है सीमित।यह चित्र अनंत परिबद्ध समुच्चय का एक उदाहरण दिखाता है। बेशक, एक अनंत सेट को एक सीमित पृष्ठ पर चित्रित करना असंभव है, लेकिन आप इसके निर्माण के सिद्धांत को दिखा सकते हैं। यहां ड्राइंग को सरल बनाने के लिए शीर्षों के पास लूप नहीं दिखाए गए हैं। इसी कारण से, वे चाप जो परिवर्तनशीलता गुण का प्रदर्शन प्रदान करते हैं, नहीं दिखाए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, यह आंकड़ा ऑर्डर संबंध के हसे आरेख को दर्शाता है।

अनंत सेट में अधिकतम या न्यूनतम तत्व या दोनों नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं (1,2, 3, ...) के सेट में सबसे छोटा तत्व 1 है, लेकिन कोई अधिकतम नहीं है। प्राकृतिक क्रम वाली सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में न तो सबसे छोटा और न ही सबसे बड़ा तत्व होता है। हालाँकि, इसका उपसमुच्चय सभी संख्याओं से मिलकर बना है एक्स< 5 में सबसे बड़ा तत्व (संख्या 5) है, लेकिन सबसे छोटा नहीं है।