Tvarkingi santykiai. Užsakymo santykis

Žodis „užsakymas“ dažnai vartojamas įvairiais klausimais. Pareigūnas duoda komandą: „Pagal skaičių eilę skaičiuok“, tam tikra tvarka atliekami aritmetiniai veiksmai, sportininkai suskirstomi pagal ūgį, yra nurodymas atlikti operacijas darant detalę, žodžių tvarka. sakinyje.

Kas bendra visais atvejais kalbant apie tvarką? Faktas yra tas, kad žodis „tvarka“ turi tokią reikšmę: jis reiškia, kuris tam tikros rinkinio elementas eina po kurio (arba kuris elementas yra prieš kurį).

Požiūris " X seka adresu" tranzityvus: jei " X seka adresu"Ir" adresu seka z", tai" x seka z“ Be to, šis santykis turi būti antisimetriškas: dviem skirtingiems X Ir adresu, Jei X seka adresu, Tai adresu neseka X.

Apibrėžimas. Požiūris R rinkinyje X paskambino griežtos tvarkos santykis, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas.

Išsiaiškinkime griežtos tvarkos santykių grafiko ir grafiko ypatybes.

Pažiūrėkime į pavyzdį. Filmavimo aikštelėje X= (5, 7, 10, 15, 12) nurodytas santykis R: « X < adresu“ Apibrėžkime šį ryšį išvardydami poras
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

Sukurkime jo grafiką. Matome, kad šio ryšio grafikas neturi kilpų. Diagramoje nėra dvigubų rodyklių. Jei nuo X rodyklė eina į adresu, ir iš adresu– V z, tada nuo X rodyklė eina į z(8 pav.).

Sudarytas grafikas leidžia išdėstyti aibės elementus X tokia tvarka:

{5, 7, 10, 12, 15}.

6 pav. (šio skyriaus 6 §) VII, VIII stulpeliai yra griežtos tvarkos santykių grafikai.

Negriežtas santykis

Santykio „mažiau nei“ priešingybė realiųjų skaičių aibėje yra santykis „ne mažesnis“. Tai nebėra griežtos tvarkos santykis. Esmė ta, kada X = adresu, santykiai išsipildė X ³ adresu Ir adresu ³ X, t.y. požiūris „ne mažiau“ yra refleksinis.

Apibrėžimas. Požiūris R rinkinyje X paskambino negriežtas santykis, jei jis yra refleksinis, antisimetriškas ir tranzityvus.

Tokie santykiai yra griežtos tvarkos santykio sąjungos su tapatybės santykiu.

Apsvarstykite aibės santykį „ne daugiau“ (£).

X= (5, 7, 10, 15, 12). Sukurkime jo grafiką (9 pav.).

Negriežtos eilės santykių grafikas, skirtingai nei griežtos eilės santykių grafikas, turi kilpas kiekvienoje viršūnėje.

Fig. 6 (šio skyriaus 6 §) V, VI stulpeliai yra negriežtos eilės santykių grafikai.

Užsakyti rinkiniai

Aibė gali pasirodyti sutvarkyta (taip pat sakoma, kad visiškai sutvarkyta) pagal tam tikrą eilės santykį, o kita aibė gali būti nesutvarkyta arba iš dalies sutvarkyta pagal tokį ryšį.

Apibrėžimas. Krūva X paskambino užsakyta tam tikras tvarkos santykis R, jei bet kuriems dviem elementams x, y iš X:

(X, adresu) Î R arba ( y, x) Î R.

Jeigu R yra griežtos tvarkos santykis, tada aibė X užsakyta pagal šį santykį numatyta: jei X, adresu bet kurie du nelygūs aibės elementai X, tai ( X, adresu) Î R arba ( y, x) Î R, arba bet kuriuos du elementus x, y rinkiniai X yra lygūs.

Iš mokyklinio matematikos kurso žinoma, kad skaičių aibės N , Z , K , R sutvarkytas pagal santykį „mažiau nei“ (<).

Tam tikros aibės poaibių aibė nėra sutvarkyta įvedant įtraukimo santykį (I) arba griežtą įtraukimą (S) aukščiau nurodyta prasme, nes yra poaibių, kurių nė vienas neįtrauktas į kitą. Šiuo atveju sakome, kad duotoji aibė yra iš dalies sutvarkyta pagal ryšį Í (arba Ì).

Apsvarstykite rinkinį X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) ir jame yra du santykiai „mažiau nei“ ir „padalinta iš“. Nesunku patikrinti, ar abu šie santykiai yra tvarkos santykiai. Ryšio grafikas „mažiau nei“ gali būti pavaizduotas kaip spindulys.

Ryšio „padalinta iš“ grafikas gali būti pavaizduotas tik plokštumoje.

Be to, antrojo ryšio grafikas turi viršūnes, kurios nėra sujungtos rodykle. Pavyzdžiui, nėra rodyklės, jungiančios skaičius 4 ir 5 (10 pav.).

Pirmasis santykis" X < adresu“ vadinamas linijiniu. Apskritai, jei santykiai yra tvarkingi R(griežtas ir negriežtas) filmavimo aikštelėje X turi nuosavybę: už bet kurią X, adresuÎ X arba xRy, arba yRx, tada jis vadinamas tiesinės eilės ryšiu, o aibė X– tiesiškai sutvarkytas rinkinys.

Jei rinkinys Xžinoma, ir susideda iš n elementų, tada linijinis išdėstymas X jos elementus reikia sunumeruoti skaičiais 1,2,3, ..., n.

Linijiškai išdėstyti rinkiniai turi keletą savybių:

1°. Leisti a, b, c– rinkinio elementai X, užsakyta pagal santykį R. Jei žinoma, kad aRв Ir Rс, tada jie sako, kad elementas V yra tarp elementų A Ir Su.

2°. Krūva X, tiesiškai išdėstyta pagal ryšį R, vadinamas diskrečiu, jei tarp bet kurių dviejų jo elementų yra tik baigtinė šios aibės elementų aibė.

3°. Tiesiškai sutvarkyta aibė vadinama tankiąja, jei tarp bet kurių dviejų skirtingų šios aibės elementų yra aibės elementas.

Ekvivalentiškumo santykis. Ryšys tarp ekvivalentiškumo santykio ir aibės padalijimo į klases

Apibrėžimas. Požiūris R rinkinyje X vadinamas ekvivalentiškumu, jei jis yra refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus.

Pavyzdys. Apsvarstykite santykį " X klasiokas adresu„Daugeliui Edukologijos fakulteto studentų. Jis turi šias savybes:

1) refleksyvumas, nes kiekvienas mokinys yra savo klasės draugas;

2) simetrija, nes jei studentas X adresu, tada studentas adresu yra mokinio bendraklasis X;

3) tranzityvumas, nes jei studentas X- klasiokas adresu, ir studentas adresu– klasiokas z, tada studentas X bus mokinio klasės draugas z.

Taigi šis ryšys turi refleksyvumo, simetrijos ir tranzityvumo savybes, todėl yra lygiavertiškumo santykis. Tuo pačiu metu daugelis Pedagogikos fakulteto studentų gali būti suskirstyti į pogrupius, susidedančius iš studentų, studijuojančių tame pačiame kurse. Gauname 5 pogrupius.

Ekvivalentiškumo santykiai yra ir, pavyzdžiui, tiesių lygiagretumo, figūrų lygybės santykis. Kiekvienas toks ryšys yra susijęs su rinkinio padalijimu į klases.

Teorema. Jei filmavimo aikštelėje X atsižvelgiant į lygiavertiškumo santykį, tada jis padalija šią aibę į poromis disjunktinius poaibius (ekvivalentiškumo klases).

Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei aibėje apibrėžtas koks nors ryšys X, sugeneruoja šio rinkinio skaidinį į klases, tada tai yra ekvivalentiškumo santykis.

Pavyzdys. Filmavimo aikštelėje X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) nurodytas santykis „turėti tą patį likutį padalijus iš 3“. Ar tai lygiavertiškumo santykis?

Sukurkime šio ryšio grafiką: (nepriklausomai)

Šis ryšys turi refleksiškumo, simetrijos ir tranzityvumo savybes, todėl yra lygiavertiškumo santykis ir skaido aibę Xį lygiavertiškumo klases. Kiekvienoje lygiavertiškumo klasėje bus skaičiai, kuriuos padalijus iš 3, gaunama tokia pati likutis: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

Manoma, kad lygiavertiškumo klasę lemia bet kuris jos atstovas, t.y. savavališkas šios klasės elementas. Taigi lygių trupmenų klasę galima nurodyti nurodant bet kurią šiai klasei priklausančią trupmeną.

Pradiniame matematikos kurse taip pat susiduriama su ekvivalentiškumo ryšiais, pvz., „išraiškos X Ir adresu turi tas pačias skaitines reikšmes“, „pav X lygus figūrai adresu».

Apibrėžimas. Požiūris R rinkinyje X vadinamas eilės ryšiu, jei jis yra tranzityvus ir asimetriškas arba antisimetriškas.

Apibrėžimas. Požiūris R rinkinyje X vadinamas griežtos eilės ryšiu, jei jis yra tranzityvus ir asimetriškas.

Pavyzdžiai griežtos tvarkos santykiai: natūraliųjų skaičių aibėje „daugiau“, žmonių aibėje „aukštesnis“ ir kt.

Apibrėžimas. Požiūris R rinkinyje X vadinamas negriežtos eilės ryšiu, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas.

Pavyzdžiai negriežtos eilės ryšiai: realiųjų skaičių aibėje „nebėra“, natūraliųjų skaičių aibėje „būk daliklis“ ir kt.

Apibrėžimas. Krūva X vadinamas užsakytu, jei jame nurodytas užsakymo ryšys.

Pavyzdys. Filmavimo aikštelėje X= (1; 2; 3; 4; 5) pateikti du santykiai: „ X £ adresu"Ir" X- skirstytuvas adresu».

Abu šie santykiai turi refleksyvumo, antisimetrijos ir tranzityvumo savybes (sukurkite grafikus ir patikrinkite savybes patys), t.y. yra negriežtos tvarkos santykiai. Tačiau pirmasis santykis turi ryšio savybę, o antrasis – ne.

Apibrėžimas. Užsakymo santykis R rinkinyje X vadinamas tiesinės eilės ryšiu, jei jis turi ryšio savybę.

Pradinėje mokykloje tiriama daug tvarkos santykių. Jau pirmoje klasėje natūraliųjų skaičių aibėje yra ryšiai „mažiau“, „daugiau“, atkarpų aibėje „trumpesnis“, „ilgesnis“ ir kt.

Kontroliniai klausimai

1. Apibrėžkite aibės dvejetainį ryšį X.

2. Kaip parašyti teiginį, kad elementai X Ir adresu yra santykiuose R?

3. Išvardykite santykių apibrėžimo būdus.

4. Suformuluokite savybes, kurias gali turėti santykiai. Kaip šios savybės atsispindi grafike?

5. Kokias savybes turi turėti santykis, kad jis būtų ekvivalentinis ryšys?

6. Kaip lygiavertiškumo santykis yra susijęs su aibės padalijimu į klases?

7. Kokias savybes turi turėti santykis, kad jis būtų tvarkos santykis?

X (\displaystyle X) paskambino negriežtos dalinės tvarkos santykis (užsakymo santykis, refleksinis santykis), jei jie yra

Krūva X (\displaystyle X), kuriame įvedamas dalinės tvarkos santykis, iškviečiamas iš dalies užsakyta. Negriežtas dalinės tvarkos santykis dažnai žymimas ≼ (\displaystyle \preccurlyeq).

Galimybės

Dalinės tvarkos santykis R (\displaystyle R) paskambino linijinė tvarka, jei tenkinama sąlyga

∀ x ∀ y (x R y ∨ y R x) (\displaystyle \forall x\forall y(xRy\lor yRx)).

Krūva X (\displaystyle X), kuriame įvedamas tiesinės tvarkos santykis, vadinamas tiesiškai sutvarkytas, arba grandine.

Požiūris R (\displaystyle R), tenkinantis tik refleksyvumo ir tranzityvumo sąlygas, vadinamas išankstinis užsakymas arba beveik užsakymas.

Griežta tvarka

Jei refleksiškumo sąlyga pakeičiama antirefleksyvumo sąlyga:

∀ x ¬ (x R x) (\displaystyle \forall x\neg (xRx)),

tada gausime apibrėžimą griežtas, arba antirefleksinė dalinė tvarka(paprastai nurodomas simboliu ≺ (\displaystyle \prec )).

komentuoti. Vienu metu esantis santykio antirefleksyvumas ir tranzityvumas reiškia antisimetriją. Todėl santykis yra griežtos tvarkos santykis tada ir tik tada, kai jis yra antirefleksinis ir tranzityvus.

Apskritai, jei R (\displaystyle R) tai yra tranzityvus, antisimetrinis santykis

R ≼ = R ∪ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\preccurlyeq )=R\puodelis \((x,x)|x\in X\))- refleksinė tvarka R ≺ = R ∖ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\prec )=R\setminus \((x,x)|x\in X\))- griežta tvarka.

Pavyzdžiai

• Realiųjų skaičių aibėje santykiai „daugiau nei“ ir „mažiau nei“ yra griežtos eilės santykiai, o „daugiau arba lygus“ ir „mažiau nei arba lygus“ yra negriežti.
• Sveikųjų skaičių aibės dalijamumo santykis yra ne griežtos tvarkos santykis.

Dushnik-Miller matmuo

Istorija

Ženklai < {\displaystyle <} Ir > (\displaystyle >) išrado

Tegu R yra dvejetainis ryšys aibėje A.

APIBRĖŽIMAS. Dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas eilės santykiu A arba tvarka A, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas.

APIBRĖŽIMAS. R eilės santykis aibėje A vadinamas negriežtuoju, jei jis yra refleksinis A, ty kiekvienam iš A.

Eilės santykis R vadinamas griežtuoju (prie A), jei jis yra antirefleksinis A, tai yra bet kuriam iš A. Tačiau iš tranzityvinio santykio R antirefleksyvumo išplaukia, kad jis yra antisimetriškas. Todėl galima pateikti tokį lygiavertį apibrėžimą.

APIBRĖŽIMAS. Dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas griežta tvarka A, jei jis yra tranzityvus ir antirefleksinis A.

Pavyzdžiai. 1. Tegul yra visų aibės M poaibių aibė. Įtraukimo santykis aibėje yra negriežtos eilės santykis.

2. Santykiai su realiųjų skaičių aibe yra atitinkamai griežtos ir negriežtos eilės ryšiai.

3. Natūraliųjų skaičių aibėje dalijamumo santykis yra negriežtos eilės santykis.

APIBRĖŽIMAS. Dvejetainis ryšys R aibėje A vadinamas išankstinio užsakymo ryšiu arba išankstiniu užsakymu A, jei jis yra refleksinis ir pereinamasis.

Pavyzdžiai. 1. Sveikųjų skaičių aibėje dalijamumo santykis nėra tvarka. Tačiau jis yra refleksyvus ir pereinamasis, o tai reiškia, kad tai yra išankstinis užsakymas.

2. Loginės implikacijos santykis yra teiginių logikos formulių aibės išankstinė tvarka.

Linijinė tvarka. Svarbus specialus tvarkos atvejis yra linijinė tvarka.

APIBRĖŽIMAS. Aibės eilės santykis vadinamas tiesine tvarka arba tiesine tvarka, jei jis yra prijungtas prie , t. y. bet kuriam x, y iš A

Tvarkos ryšys, kuris nėra tiesinis, paprastai vadinamas dalinės tvarkos ryšiu arba daline tvarka.

Pavyzdžiai. 1. Santykis „mažiau nei“ realiųjų skaičių aibėje yra tiesinės eilės santykis.

2. Rusų kalbos žodynuose priimtas tvarkos santykis vadinamas leksikografiniu. Rusų kalbos žodžių rinkinio leksikografinė tvarka yra linijinė.

Žodis „užsakymas“ dažnai vartojamas įvairiais klausimais. Pareigūnas duoda komandą: „Skaičiuokite skaitine tvarka“, tam tikra tvarka atliekami aritmetiniai veiksmai, sportininkai reitinguojami pagal ūgį, visi pirmaujantys šachmatininkai išrikiuojami tam tikra tvarka pagal vadinamuosius Elo koeficientus (amerikiečių profesorius kurie sukūrė sistemos koeficientus, leidžiančius atsižvelgti į visas žaidėjų sėkmes ir nesėkmes), po čempionato visos futbolo komandos išsidėsto tam tikra tvarka ir pan. Gaminant detalę, yra nustatyta operacijų tvarka, žodžių tvarka sakinyje (pabandykite suprasti, ką reiškia sakinys „ant seno žmogaus“, aš nepasodinau asilo!)

Išdėstę tam tikros aibės elementus vieną po kito, mes juos sutvarkome arba nustatome tam tikrą ryšį tarp jų tvarka. Paprasčiausias pavyzdys yra natūraliųjų skaičių tvarka. Jo natūralumas slypi tame, kad mes žinome, kuris iš bet kurių dviejų natūraliųjų skaičių seka kitą arba kuris yra didesnis už kitą, todėl natūraliuosius skaičius galime išdėstyti tokia seka, kad didesnis skaičius būtų, pavyzdžiui, mažesnio dešinė: 1, 2, 3, ... . Žinoma, elementų seka gali būti rašoma bet kuria kryptimi, ne tik iš kairės į dešinę. Pačioje natūraliųjų skaičių sąvokoje jau yra tvarkos idėja. Nustatydami tam tikrą santykinį bet kurios aibės elementų išdėstymą, mes apibrėžiame joje tam tikrą dvejetainės eilės ryšį, kuris kiekvienu konkrečiu atveju gali turėti savo pavadinimą, pavyzdžiui, „būti mažesniam“, „būti vyresniam“, „į būti įtrauktas į ", "sekti" ir tt Simbolinės eilės žymos taip pat gali būti įvairios, pavyzdžiui, Í ir kt.

Pagrindinis tvarkos santykio skiriamasis bruožas yra tas, kad jis turi tranzityvumo savybę. Taigi, jei turime reikalą su kai kurių objektų seka x 1, x 2, ..., x n,..., užsakyta, pavyzdžiui, pagal ryšį, tada nuo to, kas atliekama x 1x 2... x n..., tai turėtų sekti bet kuriai porai x i, x j taip pat įvykdyti šios sekos elementai x ix j:

Dėl poros elementų x ij santykio grafe brėžiame rodyklę iš viršūnės x i iki viršaus x j t.y. iš mažesnio elemento į didesnį.

Užsakymo santykių grafiką galima supaprastinti naudojant vadinamąjį metodą Hasse diagramos. Hasse diagrama sudaryta taip. Mažesni elementai dedami žemiau, o didesni – aukščiau. Kadangi vien tokios taisyklės vaizdavimui nepakanka, brėžiamos linijos, rodančios, kuris iš dviejų elementų yra didesnis, o kuris mažesnis už kitą. Šiuo atveju pakanka nubrėžti tik linijas elementams, kurie iškart eina vienas po kito. Hasse diagramų pavyzdžiai pateikti paveikslėlyje:

Nereikia įtraukti rodyklių į Hasse diagramą. Hasse diagramą galima pasukti plokštumoje, bet ne savavališkai. Sukant būtina išlaikyti santykinę diagramos viršūnių padėtį (viršuje - apačioje):

Požiūris R gausiai X paskambino griežtos tvarkos požiūris, jei jis yra tranzityvus ir asimetriškas.

Iškviečiama aibė, kurioje apibrėžtas griežtos eilės ryšys užsakyta. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė yra išdėstyta santykiu „mažiau nei“. Tačiau tą patį rinkinį tvarko ir kitas santykis – „suskirstyta į“ ir „daugiau“.

Natūraliųjų skaičių aibės santykio „mažiau nei“ grafikas gali būti pavaizduotas kaip spindulys:

Požiūris R V X vadinamas santykiu negriežta (dalinė) tvarka, jei jis yra tranzityvus ir antisimetriškas. Bet koks negriežtos tvarkos santykis yra refleksyvus.

Epitetas „dalinis“ išreiškia faktą, kad galbūt ne visi rinkinio elementai tam tikru atžvilgiu yra palyginami.

Tipiški dalinės tvarkos santykių pavyzdžiai yra santykiai „ne didesnis nei“, „ne mažesnis už“ ir „ne didesnis nei“. Dalelė „ne“ santykių pavadinimuose išreiškia jų refleksiškumą. Santykis „ne daugiau kaip“ sutampa su santykiu „mažiau nei arba lygus“, o santykis „ne mažiau“ yra toks pat kaip „didesnis nei arba lygus“. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinama dalinė tvarka nėra griežtas tvarka. Dažnai dalinis (ne griežtas) eilės ryšys žymimas simboliu "".

Įtraukimo santykis Í tarp tam tikros aibės poaibių taip pat yra dalinė tvarka. Akivaizdu, kad šiuo požiūriu ne kiekvienas du pogrupiai yra palyginami. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta dalinio įtraukimo tvarka visų rinkinio pogrupių rinkinyje (1,2,3). Rodyklės diagramoje, kurios turėtų būti nukreiptos į viršų, nerodomos.

Iškviečiami rinkiniai, kuriuose pateikiamas dalinis įsakymas iš dalies užsakyta, arba tiesiog užsakyta rinkiniai.

Elementai X Ir adresu iš dalies užsakytas rinkinys vadinamas palygink su mumis Jeigu Xadresu arba adresuX. Priešingu atveju jie nėra lyginami.

Vadinama sutvarkyta aibė, kurioje bet kurie du elementai yra palyginami tiesiškai sutvarkytas, o tvarka yra tiesinė. Linijinė tvarka dar vadinama tobula tvarka.

Pavyzdžiui, visų realiųjų skaičių aibė natūralia tvarka, taip pat visi jos poaibiai yra tiesine tvarka.

Galima užsisakyti pačių įvairiausių objektų hierarchiškai.Štai keletas pavyzdžių.

1 pavyzdys: knygos dalys išdėstytos taip, kad knygoje būtų skyriai, skyriuose – skyriai, o skyriuose – poskyriai.

2 pavyzdys. Kompiuterio failų sistemos aplankai yra vienas kito viduje ir sudaro šakojančią struktūrą.

3 pavyzdys. Tėvų ir vaikų santykiai gali būti pavaizduoti kaip vadinamieji šeimos medis, kuri parodo, kas yra kieno protėvis (ar palikuonis).

Leisk į filmavimo aikštelę A duodamas dalinis įsakymas. Elementas X paskambino maksimalus (minimalus) aibės A elementas, jei iš to, kad Xadresu(adresuX), seka lygybė X= u. Kitaip tariant, elementas X yra didžiausias (minimalus), jei bet kuriam elementui adresu ar tai netiesa Xadresu(adresuX), arba yra įvykdytas X=u. Taigi maksimalus (minimalus) elementas yra didesnis (mažesnis) už visus elementus, kurie skiriasi nuo jo, su kuriais jis yra susijęs.

Elementas X paskambino didžiausias (mažiausias), jei kam adresuÎ A atlikta adresu< х (х< у).

Iš dalies užsakytas rinkinys gali turėti kelis minimalius ir/ar maksimalius elementus, tačiau negali būti daugiau nei vienas minimalus ir maksimalus elementas. Mažiausias (didžiausias) elementas taip pat yra minimalus (maksimalus), tačiau atvirkščiai nėra tiesa. Kairėje esančiame paveikslėlyje parodyta dalinė tvarka su dviem minimaliais ir dviem didžiausiais elementais, o dešinėje - dalinė tvarka su mažiausiais ir didžiausiais elementais:

Baigtiniame iš dalies sutvarkytame rinkinyje visada yra minimalūs ir didžiausi elementai.

Sutvarkytas rinkinys, turintis didžiausius ir mažiausius elementus, vadinamas ribotas. Paveikslėlyje parodytas begalinės ribos aibės pavyzdys. Žinoma, neįmanoma pavaizduoti begalinio rinkinio baigtiniame puslapyje, tačiau galite parodyti jo konstravimo principą. Čia kilpos šalia viršūnių nerodomos, kad būtų supaprastintas piešinys. Dėl tos pačios priežasties lankai, rodantys tranzityvumo savybę, nerodomi. Kitaip tariant, paveiksle parodyta eilės santykio Hasse diagrama.

Begaliniuose rinkiniuose gali nebūti didžiausių ar minimalių elementų arba abiejų. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibės (1,2, 3, ...) mažiausias elementas yra 1, bet ne didžiausias. Visų natūraliosios tvarkos realiųjų skaičių aibė neturi nei mažiausio, nei didžiausio elemento. Tačiau jo poaibis susideda iš visų skaičių X< 5, turi didžiausią elementą (skaičius 5), bet neturi mažiausio.