ความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนมีคุณสมบัติ คุณสมบัติของความสัมพันธ์บนเซต
ให้ R เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีบนเซต A
คำนิยาม. ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ R บนเซต A เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับบน A หรือลำดับบน A หากเป็นแบบสกรรมกริยาและแบบแอนติสมมาตร
คำนิยาม. ความสัมพันธ์ของลำดับ R บนเซต A เรียกว่าไม่เข้มงวดหากสะท้อนกลับบน A นั่นคือสำหรับ A แต่ละตัว
ความสัมพันธ์ลำดับ R เรียกว่า เข้มงวด (บน A) ถ้าเป็นความสัมพันธ์ต้านการสะท้อนบน A นั่นคือสำหรับความสัมพันธ์ใดๆ ของ A อย่างไรก็ตาม จากการต้านการสะท้อนกลับของความสัมพันธ์สกรรมกริยา R จะตามมาว่ามันเป็นแบบต้านสมมาตร ดังนั้นจึงสามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่าได้ดังต่อไปนี้
คำนิยาม. ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ R บนเซต A เรียกว่าลำดับที่เข้มงวดบน A หากมันเป็นสกรรมกริยาและต่อต้านการสะท้อนบน A
ตัวอย่าง. 1. อนุญาต เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซต M ความสัมพันธ์แบบรวมบนเซตนั้นเป็นความสัมพันธ์แบบไม่เข้มงวด
2. ความสัมพันธ์ของเซตจำนวนจริงคือความสัมพันธ์แบบเข้มงวดและไม่เข้มงวดตามลำดับ
3. ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวในชุดของจำนวนธรรมชาติเป็นความสัมพันธ์แบบไม่เข้มงวด
คำนิยาม. ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ R บนเซต A เรียกว่า ความสัมพันธ์การสั่งซื้อล่วงหน้า หรือการสั่งซื้อล่วงหน้าบน A หากเป็นแบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยา
ตัวอย่าง. 1. ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวของเซตจำนวนเต็มไม่ใช่ลำดับ อย่างไรก็ตาม เป็นแบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยา ซึ่งหมายความว่าเป็นการสั่งซื้อล่วงหน้า
2. ความสัมพันธ์ของความหมายเชิงตรรกะเป็นการสั่งซื้อล่วงหน้าในชุดสูตรตรรกะเชิงประพจน์
ลำดับเชิงเส้น กรณีพิเศษที่สำคัญของการสั่งซื้อคือลำดับเชิงเส้น
คำนิยาม. ความสัมพันธ์ลำดับบนเซตหนึ่งเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นหรือลำดับเชิงเส้นถ้าเชื่อมต่อกันบน เช่น สำหรับ x, y ใดๆ จาก A
ความสัมพันธ์ลำดับที่ไม่เชิงเส้นมักเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนหรือลำดับบางส่วน
ตัวอย่าง. 1. ความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” บนเซตของจำนวนจริงเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้น
2. ความสัมพันธ์ตามลำดับที่ใช้ในพจนานุกรมภาษารัสเซียเรียกว่าพจนานุกรม ลำดับพจนานุกรมของชุดคำในภาษารัสเซียนั้นเป็นลำดับเชิงเส้น
คำว่า "สั่ง" มักใช้ในประเด็นต่างๆ เจ้าหน้าที่ออกคำสั่ง: "ตามลำดับของตัวเลขคำนวณ" การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการในลำดับที่แน่นอนนักกีฬาจะถูกจัดอันดับตามความสูงมีคำสั่งสำหรับการดำเนินการเมื่อทำชิ้นส่วนและลำดับของคำ ในประโยค
เป็นเรื่องปกติในทุกกรณีเมื่อพูดถึงคำสั่งซื้อ? ความจริงก็คือคำว่า "ลำดับ" มีความหมายดังต่อไปนี้: หมายความว่าองค์ประกอบใดของชุดที่กำหนดจะตามหลังสิ่งใด (หรือองค์ประกอบใดอยู่ข้างหน้า)
ทัศนคติ " เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่" สกรรมกริยา: ถ้า " เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่" และ " ที่ดังต่อไปนี้ z", ที่ " xดังต่อไปนี้ z" นอกจากนี้ ความสัมพันธ์นี้จะต้องไม่สมมาตร: สำหรับสองความสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน เอ็กซ์และ ที่, ถ้า เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่, ที่ ที่ไม่ปฏิบัติตาม เอ็กซ์.
คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวดถ้ามันเป็นสกรรมกริยาและต่อต้านสมมาตร
ให้เราค้นหาคุณสมบัติของกราฟและกราฟความสัมพันธ์ของลำดับที่เข้มงวด
ลองดูตัวอย่าง ในชุด เอ็กซ์= (5, 7, 10, 15, 12) อัตราส่วนที่กำหนด ร: « เอ็กซ์ < ที่" ให้เรากำหนดความสัมพันธ์นี้โดยการแสดงรายการคู่ต่างๆ
ร = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.
มาสร้างกราฟกัน เราจะเห็นว่ากราฟของความสัมพันธ์นี้ไม่มีการวนซ้ำ ไม่มีลูกศรคู่บนกราฟ ถ้าจาก เอ็กซ์ลูกศรไปที่ ที่และจาก ที่- วี zจากนั้นจาก เอ็กซ์ลูกศรไปที่ z(รูปที่ 8)
กราฟที่สร้างขึ้นช่วยให้คุณสามารถจัดเรียงองค์ประกอบของชุดได้ เอ็กซ์ตามลำดับนี้:
{5, 7, 10, 12, 15}.
ในรูปที่ 6 (§ 6 ของบทนี้) คอลัมน์ VII, VIII เป็นกราฟของความสัมพันธ์ที่มีลำดับที่เข้มงวด
ความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด
สิ่งที่ตรงกันข้ามกับความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” ในชุดจำนวนจริงคือความสัมพันธ์ “ไม่น้อยกว่า” มันไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เคร่งครัดอีกต่อไป ประเด็นคือเมื่อไร เอ็กซ์ = ที่ความสัมพันธ์ก็สมหวัง เอ็กซ์ ³ ที่และ ที่ ³ เอ็กซ์, เช่น. ทัศนคติ "ไม่น้อย" สะท้อนกลับได้
คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวดถ้าเป็นการสะท้อนกลับ ต่อต้านสมมาตร และสกรรมกริยา
ความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นการรวมตัวกันของความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดกับความสัมพันธ์ด้านอัตลักษณ์
พิจารณาความสัมพันธ์ “no more” (£) สำหรับเซตนี้
เอ็กซ์= (5, 7, 10, 15, 12) มาสร้างกราฟกันเถอะ (รูปที่ 9)
กราฟความสัมพันธ์ลำดับแบบไม่เข้มงวด ต่างจากกราฟความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวด โดยมีการวนซ้ำที่แต่ละจุดยอด
ในรูป 6 (§ 6 ของบทนี้) คอลัมน์ V, VI เป็นกราฟของความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด
ชุดที่สั่ง
ชุดหนึ่งอาจกลายเป็นว่าได้รับคำสั่ง (ยังกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าได้รับคำสั่งอย่างสมบูรณ์) โดยความสัมพันธ์เชิงลำดับบางอย่าง ในขณะที่อีกชุดหนึ่งอาจไม่เรียงลำดับหรือถูกสั่งบางส่วนโดยความสัมพันธ์ดังกล่าว
คำนิยาม.พวงของ เอ็กซ์เรียกว่า สั่งความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อบางอย่าง รถ้าสำหรับสององค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์, ยจาก เอ็กซ์:
(เอ็กซ์, ที่) Î รหรือ ( ใช่, x) Î ร.
ถ้า รเป็นความสัมพันธ์ของการสั่งที่เข้มงวดแล้วเซต เอ็กซ์ได้รับคำสั่งจากความสัมพันธ์นี้: ถ้า เอ็กซ์, ที่องค์ประกอบที่ไม่เท่ากันสองรายการใดๆ ของเซต เอ็กซ์, ที่ ( เอ็กซ์, ที่) Î รหรือ ( ใช่, x) Î รหรือสององค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์, ยชุด เอ็กซ์มีความเท่าเทียมกัน
จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนจะทราบกันดีว่าชุดตัวเลข เอ็น , ซี , ถาม , ร เรียงตามความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” (<).
เซตของเซตย่อยของเซตใดเซตหนึ่งไม่ได้ถูกเรียงลำดับโดยการแนะนำความสัมพันธ์แบบรวม (I) หรือการรวมแบบเข้มงวด (S) ในความหมายข้างต้น เนื่องจาก มีชุดย่อยซึ่งไม่มีชุดใดรวมอยู่ในชุดอื่น ในกรณีนี้ เราบอกว่าเซตที่กำหนดบางส่วนได้รับคำสั่งจากความสัมพันธ์ Í (หรือ Ì)
พิจารณาชุด เอ็กซ์= (1, 2, 3, 4, 5, 6) และประกอบด้วยความสัมพันธ์สองค่า “น้อยกว่า” และ “หารด้วย” เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับ กราฟความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" สามารถแสดงเป็นรังสีได้
กราฟของความสัมพันธ์ “หารด้วย” สามารถแสดงได้บนระนาบเท่านั้น
นอกจากนี้ กราฟของความสัมพันธ์ที่สองยังมีจุดยอดที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยลูกศร เช่น ไม่มีลูกศรเชื่อมระหว่างตัวเลข 4 และ 5 (รูปที่ 10)
ความสัมพันธ์ครั้งแรก” เอ็กซ์ < ที่“เรียกว่าเป็นเส้นตรง โดยทั่วไปแล้วถ้าความสัมพันธ์เป็นระเบียบ ร(เข้มงวดและไม่เข้มงวด) บนชุด เอ็กซ์มีทรัพย์สิน : เพื่อใดๆ เอ็กซ์, ที่Î เอ็กซ์หรือ เอ็กซ์เรย์, หรือ คุณRxแล้วเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้น และเซต เอ็กซ์– ชุดเรียงลำดับเชิงเส้น
ถ้าเป็นชุด เอ็กซ์แน่นอนและประกอบด้วย nองค์ประกอบ จากนั้นจึงเรียงลำดับเชิงเส้น เอ็กซ์ลงมาเพื่อกำหนดหมายเลของค์ประกอบด้วยตัวเลข 1,2,3, ..., n.
ชุดที่เรียงลำดับเชิงเส้นมีคุณสมบัติหลายประการ:
1° อนุญาต ก ข ค– องค์ประกอบของชุด เอ็กซ์, เรียงลำดับตามความสัมพันธ์ ร. ถ้าจะรู้อย่างนั้น. อาร์วีและ ใน Rсแล้วเขาก็บอกว่าธาตุนั้น วีอยู่ระหว่างองค์ประกอบ กและ กับ.
2° พวงของ เอ็กซ์เรียงลำดับเชิงเส้นโดยความสัมพันธ์ รเรียกว่าไม่ต่อเนื่อง ถ้าระหว่างสององค์ประกอบใดๆ มีเพียงเซตขององค์ประกอบที่มีจำกัดของเซตนี้
3° เซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นจะเรียกว่าหนาแน่น หากองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองรายการใดๆ ของเซตนี้ มีองค์ประกอบของเซตอยู่ระหว่างองค์ประกอบเหล่านั้น
ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน การเชื่อมต่อระหว่างความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและการแบ่งพาร์ติชันของเซตออกเป็นคลาส
คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหากเป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา
ตัวอย่าง.พิจารณาความสัมพันธ์" เอ็กซ์เพื่อนร่วมชั้น ที่“กับนักศึกษาคณะศึกษาศาสตร์หลายท่าน มันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) การสะท้อนกลับเพราะ นักเรียนทุกคนเป็นเพื่อนร่วมชั้นของตัวเอง
2) สมมาตร เพราะ ถ้าเป็นนักเรียน เอ็กซ์ ที่แล้วนักเรียน ที่เป็นเพื่อนร่วมชั้นของนักเรียน เอ็กซ์;
3) การขนส่งเพราะ ถ้าเป็นนักเรียน เอ็กซ์- เพื่อนร่วมชั้น ที่และนักเรียน ที่– เพื่อนร่วมชั้น zแล้วนักเรียน เอ็กซ์จะเป็นเพื่อนร่วมชั้นของนักเรียน z.
ดังนั้น ความสัมพันธ์นี้จึงมีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และการเคลื่อนที่ผ่าน ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ขณะเดียวกันนักศึกษาคณะศึกษาศาสตร์จำนวนมากสามารถแบ่งออกเป็นกลุ่มย่อยซึ่งประกอบด้วยนักศึกษาที่เรียนในหลักสูตรเดียวกัน เราได้ 5 ชุดย่อย.
ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันยังรวมถึงความสัมพันธ์ของความขนานของเส้น ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันของตัวเลขด้วย แต่ละความสัมพันธ์ดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการแบ่งพาร์ติชันชุดออกเป็นคลาส
ทฤษฎีบท.ถ้าอยู่ในกองถ่าย เอ็กซ์เมื่อได้รับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน จากนั้นจะแยกเซตนี้ออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ต่อเนื่องแบบคู่ (คลาสที่เทียบเท่า)
ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าความสัมพันธ์ใดๆ ถูกกำหนดไว้ในเซต เอ็กซ์สร้างพาร์ติชันของชุดนี้เป็นคลาส จากนั้นจะเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
ตัวอย่าง.ในชุด เอ็กซ์= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) ระบุความสัมพันธ์ “มีเศษเหลือเท่ากันเมื่อหารด้วย 3” มันเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหรือไม่?
มาสร้างกราฟของความสัมพันธ์นี้กัน: (อย่างอิสระ)
ความสัมพันธ์นี้มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และการเปลี่ยนแปลงผ่าน ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและแยกเซตออกจากกัน เอ็กซ์สู่คลาสที่เท่าเทียมกัน ในแต่ละชั้นการเทียบเท่าจะมีตัวเลขที่เมื่อหารด้วย 3 แล้วจะได้เศษเท่ากัน: เอ็กซ์ 1 = {3; 6}, เอ็กซ์ 2 = {1; 4; 7}, เอ็กซ์ 3 = {2; 5; 8}.
เชื่อกันว่าคลาสความเท่าเทียมกันถูกกำหนดโดยตัวแทนคนใดคนหนึ่ง เช่น องค์ประกอบตามอำเภอใจของคลาสนี้ ดังนั้นจึงสามารถระบุคลาสของเศษส่วนที่เท่ากันได้โดยการระบุเศษส่วนใดๆ ที่เป็นของคลาสนี้
ในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น จะพบความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันด้วย เช่น "นิพจน์" เอ็กซ์และ ที่มีค่าตัวเลขเท่ากัน", "รูป เอ็กซ์เท่ากับรูป ที่».
คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงลำดับหากเป็นแบบสกรรมกริยาและไม่สมมาตรหรือแบบแอนติสมมาตร
คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดหากเป็นแบบสกรรมกริยาและไม่สมมาตร
ตัวอย่างความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวด: “มากกว่า” บนเซตของจำนวนธรรมชาติ, “สูงกว่า” บนเซตของบุคคล ฯลฯ
คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับแบบไม่เข้มงวดหากเป็นแบบสกรรมกริยาและแบบแอนติสมมาตร
ตัวอย่างความสัมพันธ์ของลำดับที่ไม่เข้มงวด: “ไม่มาก” บนเซตของจำนวนจริง, “เป็นตัวหาร” บนเซตของจำนวนธรรมชาติ ฯลฯ
คำนิยาม.พวงของ เอ็กซ์เรียกว่าสั่งหากมีการระบุความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อไว้
ตัวอย่าง. ในชุด เอ็กซ์= (1; 2; 3; 4; 5) ให้ความสัมพันธ์สองประการ: “ เอ็กซ์ £ ที่" และ " เอ็กซ์- ตัวแบ่ง ที่».
ความสัมพันธ์ทั้งสองนี้มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ความไม่สมดุล และการผ่านผ่าน (สร้างกราฟและตรวจสอบคุณสมบัติด้วยตนเอง) กล่าวคือ เป็นความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด แต่ความสัมพันธ์แรกมีคุณสมบัติของการเชื่อมโยง ในขณะที่ความสัมพันธ์ที่สองไม่มี
คำนิยาม.ความสัมพันธ์การสั่งซื้อ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นหากมีคุณสมบัติเชื่อมโยงกัน
ในโรงเรียนประถมศึกษา มีการศึกษาความสัมพันธ์เชิงลำดับหลายประการ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 มีความสัมพันธ์ "น้อยกว่า", "มากกว่า" ในชุดของจำนวนธรรมชาติ, "สั้นกว่า", "ยาวกว่า" ในชุดส่วน ฯลฯ
คำถามควบคุม
1. กำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารี่บนเซต เอ็กซ์.
2. วิธีเขียนคำสั่งว่าองค์ประกอบต่างๆ เอ็กซ์และ ที่อยู่ในความสัมพันธ์ ร?
3. ระบุวิธีการกำหนดความสัมพันธ์
4. กำหนดคุณสมบัติที่ความสัมพันธ์สามารถมีได้ คุณสมบัติเหล่านี้สะท้อนให้เห็นในกราฟอย่างไร
5. ความสัมพันธ์ต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน?
6. ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเกี่ยวข้องกับการแบ่งส่วนของเซตออกเป็นคลาสอย่างไร?
7. ความสัมพันธ์ต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะเป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับได้?
ความสัมพันธ์แบบไบนารีประเภทที่สำคัญคือความสัมพันธ์เชิงลำดับ ความสัมพันธ์อันเข้มงวดของคำสั่ง -ความสัมพันธ์แบบไบนารีที่ต่อต้านการสะท้อน ต่อต้านสมมาตร และสกรรมกริยา:
การกำหนด - (กนำหน้า ข)ตัวอย่างได้แก่
ความสัมพันธ์ "มากขึ้น" "น้อยลง" "แก่กว่า" ฯลฯ สำหรับตัวเลข สัญกรณ์ปกติคือเครื่องหมาย "<", ">".
ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อที่ไม่เข้มงวด -ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับแบบไบนารี แอนติสมมาตร และสกรรมกริยา นอกเหนือจากตัวอย่างตามธรรมชาติของความไม่เท่าเทียมกันแบบไม่เข้มงวดสำหรับตัวเลขแล้ว ตัวอย่างอาจเป็นความสัมพันธ์ระหว่างจุดต่างๆ ของระนาบหรืออวกาศ “เพื่อให้ใกล้กับจุดกำเนิดของพิกัดมากขึ้น” อสมการแบบไม่เข้มงวดสำหรับจำนวนเต็มและจำนวนจริง ยังถือเป็นการแยกความสัมพันธ์ของความเสมอภาคและลำดับที่เข้มงวดอีกด้วย
หากการแข่งขันกีฬาไม่ได้จัดให้มีการแบ่งสถานที่ (เช่น ผู้เข้าร่วมแต่ละคนจะได้รับสถานที่เฉพาะที่รับประทานอาหาร/ได้รับรางวัลเท่านั้น) นี่เป็นตัวอย่างของคำสั่งที่เข้มงวด ไม่อย่างนั้นก็ไม่เข้มงวด
ความสัมพันธ์เชิงลำดับถูกสร้างขึ้นบนเซตเมื่อองค์ประกอบบางส่วนหรือทั้งหมดมีความสัมพันธ์กัน
ลำดับความสำคัญ งาน - สำหรับชุดของความสัมพันธ์ลำดับบางอย่างเรียกว่า มัน "จัดและ "กำหนดตัวเอง" อันเป็นผลมาจากสิ่งนี้จึงกลายเป็น สั่งความสัมพันธ์เชิงลำดับสามารถนำเสนอได้หลายวิธี สำหรับเซตจำกัด การเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบของเซตใดๆ “จะทำให้เกิดลำดับที่เข้มงวด เซตอนันต์สามารถเรียงลำดับได้หลายวิธีไม่จำกัด เฉพาะลำดับที่มีความหมายที่มีความหมายเท่านั้นที่น่าสนใจ
ถ้าสำหรับความสัมพันธ์การสั่งซื้อ รบนชุด .มและองค์ประกอบที่แตกต่างกันบางส่วนมีความสัมพันธ์อย่างน้อยหนึ่งรายการ
เออาร์บีหรือ บราแล้วองค์ประกอบ กและ ขถูกเรียกว่า เทียบเคียง,มิฉะนั้น - หาที่เปรียบมิได้
ชุดสั่งเต็ม (หรือเชิงเส้น) เอ็ม -
ชุดที่ระบุความสัมพันธ์ลำดับ และองค์ประกอบสองรายการใดๆ ของชุด มเทียบเคียง; ชุดที่สั่งบางส่วน- เหมือนกัน แต่อนุญาตให้มีองค์ประกอบที่ไม่มีใครเทียบเคียงได้
การเรียงลำดับเชิงเส้นคือเซตของจุดบนเส้นตรงที่มีความสัมพันธ์ "ไปทางขวามากกว่า" เซตของจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริงที่มีความสัมพันธ์ "มากกว่า" เป็นต้น
ตัวอย่างของเซตที่มีการเรียงลำดับบางส่วนจะเป็นเวกเตอร์สามมิติ หากได้รับลำดับดังต่อไปนี้ ถ้า
นั่นคือ ถ้าลำดับความสำคัญถูกดำเนินการตามทั้งสามพิกัด เวกเตอร์ (2, 8, 5) และ (6, 9, 10) จะเทียบเคียงได้ แต่เวกเตอร์ (2, 8, 5) และ (12, 7, 40) ไม่สามารถเปรียบเทียบได้ วิธีการเรียงลำดับนี้สามารถขยายไปยังเวกเตอร์ทุกมิติ: เวกเตอร์
นำหน้า yector if
และทำเสร็จแล้ว
เราสามารถพิจารณาตัวอย่างอื่นๆ ของการเรียงลำดับเซตของเวกเตอร์ได้
1) คำสั่งซื้อบางส่วน: 
, ถ้า
เหล่านั้น. ตามความยาวเวกเตอร์ เวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากันหาที่เปรียบมิได้
2) ลำดับเชิงเส้น: 
, ถ้า ก
ตัวอย่างสุดท้ายแนะนำแนวคิดของการเรียงลำดับตัวอักษร
ตัวอักษรคือกลุ่มของอักขระแยกกันแบบคู่ที่เรียกว่าตัวอักษร ตัวอย่างคือตัวอักษรของภาษายุโรปและตัวอักษรอารบิก 10 ตัว บนคอมพิวเตอร์ แป้นพิมพ์และเครื่องมือสนับสนุนบางอย่างจะกำหนดตัวอักษรของอักขระที่ถูกต้อง
คำในตัวอักษรเอ -จำนวนอักขระตัวอักษร ก.คำนี้เขียนเป็นสัญลักษณ์ตามตัวอักษรเรียงกันเป็นแถวจากซ้ายไปขวาโดยไม่มีช่องว่าง จำนวนธรรมชาติคือคำในตัวอักษรดิจิทัล สูตรไม่ใช่คำเสมอไปเนื่องจากการจัดเรียงสัญลักษณ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้น การมีอยู่ของ สัญลักษณ์ตัวยก (เลขยกกำลัง) และตัวห้อย (ดัชนีของตัวแปร ฐานลอการิทึม) แท่งเศษส่วน เครื่องหมายกรณฑ์ ฯลฯ อย่างไรก็ตาม ตามหลักการบางประการสามารถเขียนเป็นสตริงได้ซึ่งใช้ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (เช่น เครื่องหมายยกกำลังเขียนเป็นเครื่องหมายคูณ 2 ตัวติดกัน 5**3 หมายถึง ยกกำลังสามของ หมายเลข 5
การเรียงลำดับคำศัพท์ (ตัวอักษร) -สำหรับคำต่าง ๆ ในตัวอักษรที่มีการเรียงลำดับ
สัญลักษณ์กำหนดลำดับ: , ถ้า
การนำเสนอเป็นไปได้ 
ซึ่งอย่างใดอย่างหนึ่ง
(คำย่อยสามารถเว้นว่างได้) หรือ - คำย่อยว่าง
ในคำจำกัดความนี้ - คำนำหน้า (คำย่อยเริ่มต้น) ที่เหมือนกันสำหรับทั้งสองคำ - หรือคำแรกทางซ้ายจะแตกต่างกัน
อักขระอย่างใดอย่างหนึ่ง - อักขระตัวสุดท้ายในคำ - หาง
คำย่อย
ดังนั้นการเรียงลำดับตัวอักษรของคำจึงถูกกำหนดโดยสัญลักษณ์แรกทางด้านซ้ายที่แยกแยะคำเหล่านั้น (ตัวอย่างเช่น คำว่า KONUS นำหน้าคำว่า COSINE เนื่องจากคำเหล่านี้แตกต่างกันในตัวอักษรตัวที่สามในครั้งแรก และ N นำหน้า S ในตัวอักษรรัสเซีย) อักขระช่องว่างยังถือว่านำหน้าอักขระใดๆ ของตัวอักษร - สำหรับกรณีที่คำใดคำหนึ่งเป็นคำนำหน้าของอีกคำหนึ่ง (เช่น CON และ CONE)
ออกกำลังกาย.ตรวจสอบว่าการเรียงลำดับตัวอักษรของจำนวนธรรมชาติที่มีจำนวนทศนิยมเท่ากันนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับการเรียงลำดับตามขนาด
อนุญาต เอ -ชุดที่สั่งบางส่วน องค์ประกอบที่เรียกว่า ขีดสุดวี เอ,หากไม่มีองค์ประกอบใด ก< b. องค์ประกอบ กเรียกว่า ที่ใหญ่ที่สุดวี เอ,ถ้าสำหรับทุกคนที่แตกต่างกัน กองค์ประกอบเสร็จสมบูรณ์ ข<а-
กำหนดอย่างสมมาตร น้อยที่สุดและเล็กที่สุดองค์ประกอบ แนวคิดขององค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดและสูงสุด (ตามลำดับ เล็กที่สุดและต่ำสุด) นั้นแตกต่างกัน - ดู ตัวอย่างในรูปที่ 14 ชุดในรูป. 14,a มีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด อาร์มันเป็นค่าสูงสุดด้วย มีองค์ประกอบขั้นต่ำสองประการ: ส และ ทีไม่มีขนาดเล็กที่สุด ในทางกลับกัน ในรูปที่ 14b มีเซตหนึ่งที่มีองค์ประกอบสูงสุดสองรายการ / และ เจไม่มีสิ่งใดที่ยิ่งใหญ่ที่สุด น้อยที่สุด หรือที่เล็กที่สุด - หนึ่ง: ต.
โดยทั่วไป หากเซตมีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด (ตามลำดับ เล็กที่สุด) ก็จะมีเพียงองค์ประกอบเดียว (อาจไม่มีเลย)
อาจมีองค์ประกอบสูงสุดและต่ำสุดได้หลายองค์ประกอบ (อาจไม่มีเลย - ในชุดอนันต์; ในกรณีสุดท้าย - ต้องมี)
ลองดูอีกสองตัวอย่าง - ความสัมพันธ์บนเซต เอ็น:
“ยแบ่ง เอ็กซ์",หรือ "เอ็กซ์เป็นตัวหารของจำนวน ย"(ตัวอย่างเช่น,
) เป็นแบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยา ลองพิจารณาด้วยเซตตัวหารจำกัดของเลข 30 กัน
ความสัมพันธ์เป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับบางส่วน (ไม่เข้มงวด)
และแสดงด้วยเมทริกซ์ลำดับ 8 ต่อไปนี้ ซึ่งมีอักขระ 31 ตัว
วงจรที่สอดคล้องกันซึ่งมี 8 จุดยอดจะต้องมี 31 ลิงค์ . อย่างไรก็ตาม จะสะดวกกว่าในการดูหากเราไม่รวม 8
ห่วงเชื่อมต่อที่แสดงถึงการสะท้อนกลับของความสัมพันธ์ (องค์ประกอบในแนวทแยงของเมทริกซ์) และการเชื่อมต่อแบบสกรรมกริยาเช่น เอ็น
หากมีเลขกลาง Z แบบนั้น
(เช่น การเชื่อมต่อตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา) แล้วอยู่ในโครงการ
เอ็น 12 เส้นจะยังคงอยู่ (รูปที่ 15) ลิงก์ที่ขาดหายไปนั้นมีความหมายเป็นนัยว่า "โดยการขนส่ง" เลข 1 เล็กที่สุด และเลข 30
องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดใน . หากเราแยกออกจากหมายเลข 30 และ
พิจารณาลำดับบางส่วนเดียวกันของชุดแล้ว
ไม่มีองค์ประกอบสูงสุด แต่มีองค์ประกอบสูงสุด 3 องค์ประกอบ: 6, 10, 15
ทีนี้มาสร้างวงจรเดียวกันสำหรับความสัมพันธ์บนบูลีนกัน
(เซตของเซตย่อยทั้งหมด) ของเซตที่มีสามองค์ประกอบ
ประกอบด้วย 8 องค์ประกอบ:
ตรวจสอบว่าถ้าคุณตรงกับองค์ประกอบ ก, ข, ค,ตามลำดับ ตัวเลข 2, 3, 5 และการดำเนินการของชุดการรวมคือการคูณของตัวเลขที่สอดคล้องกัน (เช่น เซตย่อยที่สอดคล้อง
ผลคูณ 2 5 = 10) จากนั้นเมทริกซ์ความสัมพันธ์จะเป็นเช่นนี้ทุกประการ
เช่นเดียวกับความสัมพันธ์; แผนภาพของความสัมพันธ์ทั้งสองนี้กับที่อธิบายไว้
คำย่อของลูปและการเชื่อมต่อสกรรมกริยาตรงกับสัญกรณ์ (ดูรูปที่ 16) องค์ประกอบที่เล็กที่สุดคือ
และยิ่งใหญ่ที่สุด -
ความสัมพันธ์แบบไบนารี รบนชุด กและ สบนชุด ในถูกเรียกว่า ไอโซมอร์ฟิค,ถ้าระหว่าง เอ และ บีเป็นไปได้ที่จะสร้างการติดต่อแบบตัวต่อตัว Г ซึ่งหาก (เช่น
องค์ประกอบมีความสัมพันธ์กัน ร)แล้ว (ภาพ
องค์ประกอบเหล่านี้มีความสัมพันธ์กัน ส)
ดังนั้นเซตที่เรียงลำดับบางส่วนจึงเป็นแบบมอร์ฟิก
ตัวอย่างที่พิจารณาช่วยให้สามารถสรุปได้ทั่วไป
ความสัมพันธ์แบบบูลีนเป็นลำดับบางส่วน ถ้า
เหล่านั้น. พวงของ อีประกอบด้วย ปองค์ประกอบแล้วแต่ละรายการ
สอดคล้องกับเซตย่อย ป-มิติเวกเตอร์ด้วย
ส่วนประกอบ โดยที่ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะอยู่ที่ไหน
ตั้ง A/ เซตของเวกเตอร์ดังกล่าวทั้งหมดถือได้ว่าเป็นเซตของจุด ป-ปริภูมิเลขคณิตมิติที่มีพิกัด 0 หรือ 1 หรืออีกนัยหนึ่งคือจุดยอด ป-มิติ
หน่วยลูกบาศก์ แสดงโดย เช่น ลูกบาศก์ที่มีขอบยาวหน่วย สำหรับ น=จุดที่ 1, 2, 3 ระบุแสดงถึงจุดสิ้นสุดของส่วน จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และลูกบาศก์ ตามลำดับ จึงเป็นชื่อสามัญ สำหรับ /7=4 การแสดงความสัมพันธ์นี้ในรูปแบบกราฟิกจะอยู่ในรูปที่ 17 ใกล้แต่ละจุดยอดของลูกบาศก์ 4 มิติที่สอดคล้องกัน
สับเซตของเซต 4 องค์ประกอบและเซตสี่มิติ
เวกเตอร์ที่แสดงถึงฟังก์ชันเฉพาะของเซตย่อยนี้ จุดยอดที่สอดคล้องกับเซ็ตย่อยที่แตกต่างกันเมื่อมีองค์ประกอบเดียวนั้นเชื่อมต่อถึงกัน
ในรูปที่ 17 ลูกบาศก์สี่มิติจะแสดงในลักษณะเดียวกัน
ระดับ องค์ประกอบที่ไม่มีใครเทียบเคียงจะอยู่เป็นคู่ โดยมีจำนวนหน่วยเท่ากันในบันทึก (ตั้งแต่ 0 ถึง 4) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำนวนองค์ประกอบเท่ากันในชุดย่อยที่แสดง
ในรูปที่ 18a, b - การแสดงภาพอื่น ๆ ของลูกบาศก์ 4 มิติ
ในรูปที่ 18a แกนของตัวแปรแรก โอ้ชี้นำขึ้น (การเบี่ยงเบนโดยเจตนาจากแนวตั้งเพื่อไม่ให้ขอบที่แตกต่างกันของลูกบาศก์):
ในกรณีนี้คือลูกบาศก์ย่อย 3 มิติที่สอดคล้องกับ เอ็กซ์= 0 อยู่ด้านล่างและสำหรับ เอ็กซ์= 1 - สูงกว่า ในรูป 186 แกนเดียวกัน โอ้ส่งตรงจากด้านในของลูกบาศก์ไปด้านนอก ส่วน subcube ภายในสอดคล้องกับ เอ็กซ์= โอ้ และอันภายนอกก็คือ เอ็กซ์ = 1.
ใน 
ไฟล์วัสดุแสดงรูปภาพของลูกบาศก์หน่วย 5 มิติ (หน้า 134)
2) ความสัมพันธ์บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์ อย่างเคร่งครัดถ้ามันเป็นแบบแอนติสมมาตรและสกรรมกริยา เรียกว่าความสัมพันธ์ ต่อต้านสมมาตรถ้าจากข้อเท็จจริงที่ว่า a สัมพันธ์กับ c ในนั้น ไม่เป็นไปตามที่ b สัมพันธ์กับ a (a ใน ∈ X และ R ใน → ใน R a) R - มีความสัมพันธ์กันเรียกว่าความสัมพันธ์ สกรรมกริยา, ถ้าสำหรับองค์ประกอบใดๆ a, b, c จากข้อเท็จจริงที่ว่า R ในและใน R c → นั่นคือ R c, a, b, c ∈ X ตัวอย่างเช่น: ความสัมพันธ์ "มาก น้อย" ชุดที่กำหนดความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดเรียกว่า สั่งมากมาย.
3) ความสัมพันธ์บนเซต X เรียกว่าความสัมพันธ์ ไม่ได้อยู่ในลำดับที่เข้มงวดถ้ามันเป็นแบบสะท้อนกลับ ไม่สมมาตร และสกรรมกริยา ตัวอย่างเช่น: ความสัมพันธ์ ≥ ≤ หากความสัมพันธ์เชิงลำดับมีคุณสมบัติของความเชื่อมโยงกัน ก็จะเรียกว่าเป็นความสัมพันธ์ ลำดับเชิงเส้น. เรียกว่าความสัมพันธ์ ที่เกี่ยวข้องบนเซต X หากองค์ประกอบใด ๆ x และ y เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: จากข้อเท็จจริงที่ว่า x ≠ y ตามนั้น x R y หรือ y R x หากมีการกำหนดความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นให้กับเซตหนึ่งๆ ก็จะเรียงลำดับเชิงเส้นตรงของเซตที่กำหนด
5. เซตของจำนวนจริง คุณสมบัติของมัน. การขยายชุดของจำนวนตรรกยะนำไปสู่ความจำเป็นในการวัดความยาวของส่วน พื้นที่ ฯลฯ พื้นฐานของการวัดใดๆ ก็ตามมีหลักการเดียวกัน: วัตถุที่วัดจะถูกเปรียบเทียบกับมาตรฐาน (วัตถุหรือปรากฏการณ์) ซึ่งค่านั้นมีค่าตัวเลขเท่ากับ 1 แต่ส่วนของหน่วยไม่ได้ฝังอยู่ในวัตถุที่วัดเสมอไป ดังนั้น เมื่อทำการวัด จึงมีการตั้งสมมติฐานสองประการ ซึ่งในทางคณิตศาสตร์ถูกกำหนดให้เป็นสัจพจน์: 1) มาตรฐานเดียวสามารถแบ่งออกเป็นจำนวนเท่าๆ กันหรือส่วนเท่าๆ กันก็ได้ 2) มาตรฐานที่เลือกสามารถใช้เพื่อวัดวัตถุใด ๆ ที่มีขนาดใหญ่ได้ตามต้องการ สำหรับเซ็กเมนต์ สัจพจน์เหล่านี้ถูกกำหนดโดยอาร์คิมิดีส: ไม่ว่าเซ็กเมนต์ AB จะเล็กแค่ไหน และไม่ว่า CD ส่วนจะใหญ่แค่ไหน ก็จะมีเลขธรรมชาติ N ที่ทำให้ N*AB>CD ถ้า CD ส่วนที่วัดมีค่าเท่ากัน จำนวนเซ็กเมนต์ AB จากนั้นความยาวของซีดีเซกเมนต์จะแสดงเป็นจำนวนธรรมชาติ ถ้าใน CD ส่วนที่วัดนั้น ส่วน AB ถูกวางในจำนวนครั้งไม่เท่ากัน AB จะถูกแบ่งออกเป็น 10 ส่วนเหมือนกัน เรียกว่า 10 ของมาตรฐาน หากจำเป็นหนึ่งในสิบสามารถแบ่งออกเป็น 10 ส่วนเท่า ๆ กันเป็นต้น หากตัวเลขเท่ากัน 10, 100 ฯลฯ พอดีกับซีดีส่วน เศษส่วนของเซกเมนต์ AB จากนั้นความยาวของเซกเมนต์ CD จะแสดงเป็นจำนวนตรรกยะ อย่างไรก็ตาม ความยาวของส่วนไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนตรรกยะได้เสมอไป มีส่วนที่ไม่สามารถเทียบเคียงได้เช่น ส่วนความยาวไม่ได้แสดงด้วยจำนวนตรรกยะ (ทฤษฎีบทดูคำถามที่ 32)
ตัวเลขที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนที่ไม่ใช่คาบของทศนิยมอนันต์ได้เรียกว่าจำนวนตรรกยะ การรวมกันของเซตของจำนวนตรรกยะและเซตของจำนวนอตรรกยะคือเซตของจำนวนจริง ()
คุณสมบัติของเซตของจำนวนจริง. 1). เซตของจุดบนเส้นจำนวนเท่ากับเซตของจำนวนจริง
0 M 1 ใช้จุด M ใด ๆ บนส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1
D วาดครึ่งวงกลมโดยให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่
จุดกึ่งกลางของส่วนนี้และรัศมี
K O S เท่ากับครึ่งหนึ่งของมัน ลองวาดเส้นตั้งฉากจาก M จนกระทั่งมันตัดกับครึ่งวงกลม เราได้ D จุดนี้เป็นจุดเฉพาะ เนื่องจากครึ่งวงกลมและเส้นตรงตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น จากตรงกลางของส่วนนี้ ให้ลากเส้นตรงผ่าน D จนกระทั่งตัดกับแกนตัวเลข เราได้ค่า K ซึ่งถูกกำหนดด้วยวิธีเฉพาะ เนื่องจากเส้นตัดกันที่จุดเดียวเท่านั้น โดยการเลือกจุดอื่นที่ต้องการบนส่วนที่กำหนดและทำซ้ำขั้นตอนทั้งหมด เราจะได้ว่าจุดใดๆ บนส่วนตั้งแต่ 0 ถึง 1 สอดคล้องกับจุดเดียวบนเส้นจำนวน การใช้เหตุผลในลำดับย้อนกลับเราสามารถแสดงว่าจุดใด ๆ บนเส้นจำนวนยังสอดคล้องกับจุดเดียวตั้งแต่ 0 ถึง 1 หากจุด E ใด ๆ ที่เป็นของเส้นจำนวนก็สามารถวาดได้เพียงเส้นเดียวผ่านจุด M และ E ที่ตัดครึ่งวงกลม จากครึ่งวงกลม คุณสามารถลดตั้งฉากลงไปยังส่วนที่กำหนดได้ ดังนั้นการแมปที่เหมือนกันจึงถูกสร้างขึ้นระหว่างจุดของเซ็กเมนต์ตั้งแต่ 0 ถึง 1 และจุดของเส้นจำนวนเช่น พวกมันก็มีพลังไม่แพ้กัน
2) เซตของจำนวนจริงนับไม่ได้ เช่น มันไม่เท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติ
3). เซตของจำนวนจริงเป็นเซตต่อเนื่อง ความต่อเนื่องของเซตของจำนวนจริงคือระหว่างจำนวนจริงสองตัวใดๆ จะมีเซตอนันต์ของจำนวนจริงเท่านั้น
6. การแบ่งพาร์ติชั่นเป็นคลาส ตัวอย่างของการจำแนกประเภท ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน คุณสมบัติของมัน ความสัมพันธ์ระหว่างความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและการแบ่งส่วนของเซตออกเป็นคลาส ลองดูตัวอย่าง ให้เซต M (เซตของรูปหลายเหลี่ยมนูน) เราจะสร้างเซตย่อยทั้งหมดของเซตนี้: A 1 – เซตของสามเหลี่ยม; A2 – ชุดของรูปสี่เหลี่ยม; A3 – ชุดรูปห้าเหลี่ยม; Ak คือเซตของเคกอน เซต M จะถือว่าแบ่งออกเป็นคลาสหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
- ทุกเซตย่อย A ไม่ว่างเปล่า
- จุดตัดกันของสองเซตย่อยใดๆ จะเป็นเซตว่าง
- การรวมกันของเซตย่อยทั้งหมดคือเซต M ที่กำหนด
เรียกว่าการแบ่งชุดเป็นคลาส การจัดหมวดหมู่.
ทัศนคติบนเซต X เรียกว่า เทียบเท่า ถ้าเป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา เรียกว่าความสัมพันธ์ สะท้อนแสงถ้าองค์ประกอบใดๆ จากเซต X มีความสัมพันธ์กับตัวเอง a ∈ X และ R a (R อยู่ในความสัมพันธ์) เรียกว่าความสัมพันธ์ สมมาตรถ้าองค์ประกอบสองตัวใดๆ ของเซต X (a และ b) จากข้อเท็จจริงที่ว่า a มีความสัมพันธ์กับ b มันจะตามมาด้วยว่า b อยู่ในความสัมพันธ์กับ a (a, b ∈ X และ R b → ใน ร ก) เรียกว่าความสัมพันธ์ สกรรมกริยาถ้าสำหรับองค์ประกอบใดๆ a, b, c จากข้อเท็จจริงที่ว่า R ในและใน R c → นั่นคือ R c, a, b, c ∈ X บนกราฟของความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันจะมีลูป ลูกศรผกผันร่วมกันและสามเหลี่ยม ลูกศร ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเท่านั้นที่สัมพันธ์กับพาร์ติชั่นของเซตเป็นคลาส คำสั่งนี้สามารถกำหนดเป็น ทฤษฎีบท: หากมีการระบุความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนเซต X ความสัมพันธ์นี้จะแบ่งเซต X ออกเป็นคลาส และในทางกลับกัน หากเซต X ถูกแบ่งออกเป็นคลาส ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันก็จะเป็นไปตามเซตที่กำหนด ตัวอย่างเช่น. ให้ทัศนคติได้รับ - อาศัยอยู่ในบ้านหลังเดียวกัน ให้เราแสดงว่าชุดผู้อยู่อาศัยในบ้านจะแบ่งออกเป็นชั้นเรียน และแต่ละชั้นเรียนเป็นอพาร์ตเมนต์แยกต่างหาก สำหรับการแบ่งส่วนนี้ จะต้องตรงตามเงื่อนไขที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการแบ่งชุดออกเป็นคลาส: ก) แต่ละคลาสไม่ว่างเปล่า เนื่องจาก ในแต่ละอพาร์ทเมนต์มีการลงทะเบียนอย่างน้อย 1 คน b) ชั้นเรียนไม่ทับซ้อนกัน (1 คนไม่ได้ลงทะเบียนในอพาร์ทเมนต์สองแห่งที่แตกต่างกัน) c) สหภาพของทุกชั้นเรียนเช่น ผู้พักอาศัยในแต่ละอพาร์ทเมนต์ และประกอบกันเป็นชุดของผู้พักอาศัยในบ้าน
18 . แนวทางเซตทฤษฎีเพื่อสร้างทฤษฎีจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ความสัมพันธ์แห่งความเท่าเทียมมากขึ้น(น้อยลง) ชุด A และ B สองชุดเรียกว่าเทียบเท่าหรือมีพลังเท่ากันหากสามารถสร้างการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างชุดเหล่านั้นได้ นั่นคือถ้าแต่ละองค์ประกอบของชุด A เชื่อมโยงกับองค์ประกอบเดียวของชุด B และในทางกลับกัน กำลังหรือจำนวนเชิงการนับเป็นคุณสมบัติที่มีอยู่ในเซต B ใดๆ ที่เทียบเท่ากับเซต A และไม่มีอยู่ในเซตอื่นใดที่ไม่เท่ากับเซต A A~B n (A) = a คือกำลัง ความสัมพันธ์ของกำลังที่เท่ากันคือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันนั่นคือ คุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ความสมมาตร และการผ่านผ่านนั้นเป็นไปตามที่ต้องการ ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันจะแบ่งเซตของเซตทั้งหมดออกเป็นคลาสที่เท่าเทียมกัน ในการกำหนดแนวคิดของจำนวนธรรมชาติและศูนย์ ให้พิจารณาพาร์ติชันของเซตจำกัดทั้งหมด
ให้ M เป็นเซตของเซตจำกัดทั้งหมด M = K 0 Ka Kv โดยที่ Ko คือคลาสของเซตว่าง Ka คือเซตที่มีเซตเท่ากับ 1, 2, a 3 เป็นต้น Kv คือเซต ประกอบด้วยเซตที่มีจำนวนการนับเท่ากันใน 1, 2, ใน 3 เป็นต้น เซต M อาจมีเซตย่อย K อื่นๆ ที่มีลักษณะต่างกัน ซึ่งประกอบด้วยเซตที่มีกำลังเท่ากัน แต่ละคลาส K ที่เทียบเท่ากันจะมีองค์ประกอบเหมือนกันจำนวนเท่ากัน และไม่มีคุณสมบัติอื่นที่เหมือนกันอีก จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบ จากมุมมองของเซต-ทฤษฎี เป็นสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตจำกัดที่มีกำลังเท่ากัน จำนวนธรรมชาติเป็นคุณสมบัติทั่วไปของคลาสของเซตจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งมีจำนวนเชิงการนับเท่ากัน แต่ละคลาสถูกกำหนดให้เป็นเลขสำคัญ (เชิงการนับ) ชุดว่างของคลาสถูกกำหนดให้เป็นพิกัดหมายเลข 0 คลาสที่ประกอบด้วยชุดที่มี 1 องค์ประกอบถูกกำหนดหมายเลข 1 คลาสที่ประกอบด้วยเซตที่มี 2 องค์ประกอบถูกกำหนดหมายเลข 2 (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a)
ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน. จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ a และ b เรียกว่าเท่ากันถ้าเซต A และ B ซึ่งเป็นจำนวนที่เซตทั้งสองแสดงออกมาเท่ากัน (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( ก)=n(B) ก=ค)
ทฤษฎีบท: ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือความสัมพันธ์ที่เท่ากัน การพิสูจน์. ขอให้เราพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันมีคุณสมบัติของสมมาตร การผ่านผ่าน และการสะท้อนกลับ
เพราะ คุณสมบัติของรีเฟล็กซ์ สมมาตร และทรานซิติวิตีเป็นที่พอใจ จากนั้นความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันก็คือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน
อัตราส่วนก็น้อย. จำนวนเต็มไม่เป็นลบ a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) ทฤษฎีบท: ความสัมพันธ์ที่น้อยกว่าในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือความสัมพันธ์ที่มีลำดับอย่างเคร่งครัด หลักฐาน: ให้เราพิสูจน์ว่าความสัมพันธ์ที่น้อยกว่านั้นมีคุณสมบัติของการต่อต้านสมมาตรและการเปลี่ยนผ่าน C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) เอ บี ซี 1 ซี บี 1 ซี 2 19
. การบวกและการลบในทฤษฎีเชิงปริมาณของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ คุณสมบัติของพวกเขา. จำนวนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบสองตัว a และ b เรียกว่าจำนวนเต็มไม่เป็นลบ เลข c ซึ่งเป็นจำนวนเชิงการนับของการรวมกันของเซต A และ B ที่ไม่ต่อเนื่องกัน ซึ่งมีจำนวนเชิงการนับเท่ากับ a และ b ตามลำดับ a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B) คุณสมบัติของการบวก. 1. การบวกในชุดของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบจะมีอยู่เสมอและถูกกำหนดในลักษณะเฉพาะ ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีอยู่เสมอ พิจารณา A และ B โดยที่จุดตัดกันคือเซตว่าง และจำนวนสมาชิกของ A คือ a และภาวะเชิงการนับของ B คือ b มาหาการรวมกันของ A และ B กัน เนื่องจากการรวมกันของสองเซตที่แยกจากกันจะมีอยู่เสมอ นั่นหมายความว่าผลรวมนั้นมีอยู่ด้วย และจากคำจำกัดความของผลรวม ผลรวมดังกล่าวจึงมีการบวกอยู่เสมอ ให้เราพิสูจน์ว่าผลรวมถูกกำหนดด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร มี C 1 และ C 2 เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ C 1 = ก + ข และ ค 2 = ก + ข ผลรวมของตัวเลข a และ b ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเซต A และ B ที่เราเลือกจากคลาสของเซ็ตกำลังที่เท่ากัน ดังนั้นการรวมกันของ A และ B ที่นำมาจากคลาสของเซตกำลังที่เท่ากันจึงไม่ขึ้นอยู่กับการเลือก เซต A และ B เนื่องจากกำลังในแต่ละคลาสเท่ากัน ดังนั้น C 1 = C 2 2. การบวกสับเปลี่ยน สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ a และ b คุณสมบัติ a+b=b+a จะเป็นค่าคงที่ จากทฤษฎีเซต เรารู้ว่าสำหรับ АУВ = ВУА หากเซตเท่ากัน ค่าตัวเลขจะเท่ากัน n(АУВ)=n(ВУА). จากทฤษฎีเซต เรารู้ว่าพลังของสหภาพเท่ากับผลรวมของพลัง N(A)+n(B)=n(B)+n(A) 3. ทรัพย์สินของการสมาคม สำหรับจำนวนใดๆ a, b, c คุณสมบัติต่อไปนี้คงอยู่: a+(b+c)=(a+b)+c จากทฤษฎีเซตเป็นที่ทราบกันดีว่าการรวมชุดเข้าด้วยกันนั้นมีคุณสมบัติการเชื่อมโยงกัน: АU(ВУС)=(АУВ)UC หากชุดเท่ากัน ค่าตัวเลขจะเท่ากัน n(АU(ВУС))=n( (АУВ)UC) จากทฤษฎีเซต เป็นที่ทราบกันว่ากำลังของเซตนั้นเท่ากับผลรวมของกำลังของเซตเหล่านี้ n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c โดยความแตกต่างจำนวนเต็มไม่เป็นลบ a และ b เรียกว่า จำนวนเต็มไม่เป็นลบ c ซึ่งเป็นกำลังของส่วนเติมเต็มของเซต B ต่อเซต A โดยที่ B เป็นสมาชิกของ A, n(A)=a, n(B) =ข. คุณสมบัติที่แตกต่าง. 1. เพื่อให้ผลต่างของจำนวนเต็มไม่เป็นลบดำรงอยู่ จำเป็นและเพียงพอที่ a มากกว่าหรือเท่ากับ b มาพิสูจน์กัน: 1) เงื่อนไขที่เพียงพอต่อการดำรงอยู่ของความแตกต่าง ให้ไว้: a - b = c พิสูจน์: a c ตามคำจำกัดความของความแตกต่าง จะตามมาว่ามีส่วนประกอบของเซต B เข้ากับเซต A และส่วนประกอบนี้มีกำลัง ซึ่งสามารถพบได้จากความเท่าเทียมกันที่ทราบจากทฤษฎีเซต n() = n(A)-n(B) จากข้อเท็จจริงที่ว่า B เป็นสับเซตของ A จะตามมาว่าจำนวนองค์ประกอบใน B น้อยกว่าจำนวนองค์ประกอบของ A. n (B) 2). เงื่อนไขที่จำเป็น ให้ค. พิสูจน์การมีอยู่ของความแตกต่าง (a-c) ถ้า a>b ตามคำจำกัดความของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" จะมีเซต A 1 ที่ A 1 รวมอยู่ใน A และ A 1 ~B มาสร้างความแตกต่างระหว่าง A และ A 1 กัน ความแตกต่างนี้มีอยู่เสมอ (A - A 1 = C) และดังนั้นจึงมี C อยู่ ซึ่งก็คือความแตกต่างนี้ จากเงื่อนไขเหล่านี้ จะตามมาว่า C คือส่วนเติมเต็มของ A 1 ถึง A C = 1A กำลังของ C คือกำลังของส่วนเสริมของ A 1 ถึง A n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1) เนื่องจาก A 1 ~ B ดังนั้น n(A 1)=n(B) ดังนั้น n(C)=n(A)-n(B) ดังนั้น c=a-b 2. ผลต่างของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบพบได้ในลักษณะเฉพาะ เนื่องจากความแตกต่างคือพลังของการเสริมของเซตย่อยของเซต และส่วนเสริมถูกกำหนดด้วยวิธีเฉพาะ ดังนั้นผลต่างของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบคือ กำหนดไว้อย่างมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว 3. คุณสมบัติของการแลกเปลี่ยนและการเชื่อมโยงไม่เป็นที่พอใจสำหรับการลบ 4. การลบจำนวนเงินออกจากตัวเลข ก-(ข+ค)=(ก-ค)-ค จากทฤษฎีเซต เรียกว่า A\(BUC)=(A\B)\C และ B Ì A; ส Ì A; บัสก้า. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) ก-(ข+ค)=(ก-ค)-ค 5. การลบตัวเลขออกจากผลต่าง (a-c)-c=(a-c)-c การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของผลต่างของเซต (A\B)\C=(A\C)\B 6. การลบตัวเลขออกจากผลรวม (a+b)-c=(a-c)+c การพิสูจน์จะขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของเซต (АУВ)\С=(А\С) УВ แม้จะไม่ได้ก็ตาม ในทางปฏิบัติ เรามักจะพบกับฟังก์ชันที่ไม่เป็นคู่หรือเป็นคู่ 4. ฟังก์ชั่นสามารถเป็นระยะ ฟังก์ชันจะเรียกว่าคาบถ้ามีตัวเลข T ตามเงื่อนไข f(x+T)=f(x) ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมด (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์) เป็นแบบคาบ 5.ฟังก์ชันสามารถมีจุดเอกพจน์ได้ เหล่านี้คือจุดตัดกับแกนพิกัดและจุดสุดขั้วเช่น คะแนนต่ำสุดและสูงสุด จุด x0 เรียกว่าจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน ถ้า X ทั้งหมดจากบริเวณใกล้เคียงของ x0 เป็นไปตามเงื่อนไข f (x) > f (x0) จุด x0 เรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชัน ถ้า x ทั้งหมดอยู่ใกล้ x0 f(x)< f (x0). 6. ฟังก์ชันสามารถมีช่วงสัญญาณของความคงที่ได้ เช่น สิ่งเหล่านี้คือเซตย่อย โดเมนของคำจำกัดความ องค์ประกอบที่ทำให้ฟังก์ชันเปลี่ยนเฉพาะค่าบวกหรือค่าลบเท่านั้น 7. ฟังก์ชันอาจมีเบรกพอยท์ เช่น ค่าเหล่านั้นของตัวแปร x ซึ่ง y ไม่มีอยู่ (ฟังก์ชันของสัดส่วนผกผัน) ย = ,ถ้า x = 0 ค้นหาบนเว็บไซต์: ปิดการใช้งาน AdBlock!
7. แนวคิดเรื่องทูเพิลของคู่อันดับ ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตและคุณสมบัติของเซต จำนวนองค์ประกอบในผลคูณของเซตที่ลดลง หากต้องการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต ให้พิจารณาแนวคิดดังกล่าว คาราวาน. แนวคิดนี้ เช่นเดียวกับแนวคิดเรื่องเซต เป็นแนวคิดพื้นฐานที่ไม่มีกำหนด สำหรับทูเพิล ลำดับขององค์ประกอบมีความสำคัญ องค์ประกอบในทูเพิลสามารถทำซ้ำได้ จำนวนองค์ประกอบในทูเพิลที่กำหนดเรียกว่าความยาว สิ่งอันดับความยาว 2 เรียกว่าคู่อันดับ บัตรมีเครื่องหมาย () หรือ< >. × เป็นการกำหนดผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของเซต (ก,ข,ก); (ก,ข,ค) ≠ (ข,ก,ค); (ก,อี,ค)=(ก,อี,ค) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ B เป็นเซตที่ประกอบด้วยคู่เรียงลำดับทั้งหมด โดยส่วนประกอบแรกเป็นองค์ประกอบของชุดแรก และส่วนประกอบที่สองเป็นองค์ประกอบของชุดที่สอง A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(с,2)) คุณสมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต (DPM) DPM ไม่มีคุณสมบัติของการสับเปลี่ยนและความเชื่อมโยง: A×B≠B×A คุณสมบัติการกระจายของ DPM เป็นที่พอใจ: 1) เทียบกับการรวมกันของเซต A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) เกี่ยวกับจุดตัดของเซต A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) หากต้องการค้นหาจำนวนองค์ประกอบใน DP ในชุดตั้งแต่สองชุดขึ้นไป คุณจำเป็นต้องทราบจำนวนองค์ประกอบในแต่ละชุด ถ้าจำนวนองค์ประกอบเป็น n ถ้า n(A)=n และ n(B)=m แล้ว n(A×B)=n*m ให้ A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm) ลองเขียน DPM A และ B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm) ___________________________ (аn, в1) (аn, в2) (аn, в3) …(аn, вm) ในแต่ละบรรทัด มีคู่ em-pair เส้นดังกล่าว en หมายความว่าจำนวนรายการทั้งหมดที่แสดงเป็น em บน en pair ดังนั้นจำนวนองค์ประกอบใน DPM A และ B เท่ากับผลคูณของจำนวนองค์ประกอบในชุด A และ จำนวนองค์ประกอบในชุด B 8. แนวคิดของการโต้ตอบระหว่างชุด วิธีการระบุการปฏิบัติตาม ประเภทของจดหมายโต้ตอบ ความสอดคล้อง ef ระหว่างองค์ประกอบของเซต X และ Y เรียกว่าสามเซต (X;U; G f (ji จาก ef), ji จาก ef เป็นเซตย่อยของ DP (ผลคูณคาร์ทีเซียน) เซต X เรียกว่า ภูมิภาคออกเดินทาง เซต Y เรียกว่าภูมิภาคมาถึง ji จาก ef - เรียกว่ากราฟของการโต้ตอบนี้ โดเมนของการพิจารณาการติดต่อ ef คือเซตขององค์ประกอบเหล่านั้นของเซตแรก (เช่น พื้นที่ออกเดินทาง) ซึ่ง องค์ประกอบของชุดที่สอง (เช่น พื้นที่มาถึง) สอดคล้องกัน ชุดของค่าการติดต่อ ef คือชุดขององค์ประกอบของพื้นที่มาถึงซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบบางส่วนของพื้นที่ออกเดินทาง วิธีการระบุการติดต่อ: การแสดงรายการองค์ประกอบ การใช้กราฟ การใช้กราฟ การใช้ตาราง วาจา พีชคณิต เช่น สมการอสมการ ประเภทของจดหมายโต้ตอบ จดหมายโต้ตอบจะถูกเรียกว่า ทุกที่ที่กำหนดไว้หากพื้นที่ส่งตรงกับพื้นที่กำหนด ในกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว ลูกศรอย่างน้อยหนึ่งลูกจะแยกออกจากแต่ละองค์ประกอบของชุดแรก เรียกว่าการปฏิบัติตาม การผ่าตัดหากชุดค่าของมันตรงกับภูมิภาคที่มาถึง ในกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว ลูกศรอย่างน้อย 1 อันตรงกับแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 2 เรียกว่าการปฏิบัติตาม ฉีดหากไม่มีองค์ประกอบที่แตกต่างกันของชุดที่ 1 ตรงกับองค์ประกอบเดียวกันของชุดที่ 2 ในกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว ไม่มีองค์ประกอบของชุดที่ 2 ที่จับคู่กับลูกศรมากกว่า 1 อัน เรียกว่าการปฏิบัติตาม การทำงานถ้าแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 1 สอดคล้องกับไม่เกิน 1 องค์ประกอบของชุดที่ 2 บนกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว หากมีลูกศรเพียง 1 ลูกศรที่แยกออกจากแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 1 เรียกว่าการติดต่อตามหน้าที่ การทำงาน. ในบรรดาจดหมายโต้ตอบเชิงหน้าที่ทั้งหมด มีจดหมายโต้ตอบที่กำหนดในระดับสากลซึ่งเรียกว่า แสดง. เรียกว่าการปฏิบัติตาม หนึ่งต่อหนึ่งหากตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: 1) สององค์ประกอบที่แตกต่างกันของเซต X สอดคล้องกับองค์ประกอบที่แตกต่างกันของเซต Y 2) องค์ประกอบใดๆ ของเซต Y สอดคล้องกับอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของเซต X ความสอดคล้องสองรายการระหว่าง เซต X และ Y ถูกเรียก ตรงข้ามหากกราฟของพวกเขาเสริมผลคูณคาร์ทีเซียนของ X และ Y ร่วมกัน เรียกว่าการโต้ตอบ ย้อนกลับต่อการโต้ตอบที่กำหนด หากการโต้ตอบนั้นถืออยู่ก็ต่อเมื่อการสนทนาถือเท่านั้น หากการโต้ตอบที่กำหนดเป็นเซตย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของเซต X และ Y ดังนั้นการโต้ตอบแบบผกผันจะเป็นเซตย่อยของผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียนของเซต X และ Y เพื่อให้ได้ค่าความสอดคล้องผกผันกับเซตที่กำหนด บนกราฟจำเป็นต้องเปลี่ยนทิศทางของลูกศร
9.การปฏิบัติตามหน้าที่ คุณสมบัติของฟังก์ชันตัวเลข เรียกว่าการปฏิบัติตาม การทำงานถ้าแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 1 สอดคล้องกับไม่เกิน 1 องค์ประกอบของชุดที่ 2 บนกราฟของการโต้ตอบดังกล่าว หากมีลูกศรเพียง 1 ลูกศรที่แยกออกจากแต่ละองค์ประกอบของชุดที่ 1 การโต้ตอบเชิงฟังก์ชันที่กำหนดบนชุดตัวเลขเรียกว่า ตัวเลขเรียกว่า การทำงาน. คุณสมบัติของฟังก์ชันตัวเลข 1. แต่ละฟังก์ชันมีโดเมนของคำจำกัดความและชุดของค่า 2. ฟังก์ชั่นสามารถเพิ่มหรือลดได้ กล่าวกันว่าฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา a b ถ้า x1 และ x2 x1 > x2 ใดๆ ตามหลัง f (x1) > f (x2) ฟังก์ชันเรียกว่าการลดลงในช่วงเวลา a b ถ้าสำหรับ x1 และ x2 ใดๆ จากช่วงเวลานี้ จากข้อเท็จจริงที่ว่า x1 > x2 เป็นไปตาม f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
เว็บไซต์ปี 2558-2563 - รายชื่อติดต่อ - เพิ่มเติมล่าสุด
จำเป็นมาก
