ความสัมพันธ์ที่เป็นระเบียบ ความสัมพันธ์การสั่งซื้อ

คำว่า "สั่ง" มักใช้ในประเด็นต่างๆ เจ้าหน้าที่ออกคำสั่ง: "ตามลำดับของตัวเลขคำนวณ" การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการในลำดับที่แน่นอนนักกีฬาจะถูกจัดอันดับตามความสูงมีคำสั่งสำหรับการดำเนินการเมื่อทำชิ้นส่วนและลำดับของคำ ในประโยค

เป็นเรื่องปกติในทุกกรณีเมื่อพูดถึงคำสั่งซื้อ? ความจริงก็คือคำว่า "ลำดับ" มีความหมายดังต่อไปนี้: หมายความว่าองค์ประกอบใดของชุดที่กำหนดจะตามหลังสิ่งใด (หรือองค์ประกอบใดอยู่ข้างหน้า)

ทัศนคติ " เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่" สกรรมกริยา: ถ้า " เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่" และ " ที่ดังต่อไปนี้ z", ที่ " xดังต่อไปนี้ z- นอกจากนี้ ความสัมพันธ์นี้จะต้องไม่สมมาตร: สำหรับสองความสัมพันธ์ที่แตกต่างกัน เอ็กซ์และ ที่, ถ้า เอ็กซ์ดังต่อไปนี้ ที่, ที่ ที่ไม่ปฏิบัติตาม เอ็กซ์.

คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวดถ้ามันเป็นสกรรมกริยาและต่อต้านสมมาตร

ให้เราค้นหาคุณสมบัติของกราฟและกราฟความสัมพันธ์ของลำดับที่เข้มงวด

ลองดูตัวอย่าง ในชุด เอ็กซ์= (5, 7, 10, 15, 12) อัตราส่วนที่กำหนด ร: « เอ็กซ์ < ที่- ให้เรากำหนดความสัมพันธ์นี้โดยการแสดงรายการคู่ต่างๆ
ร = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

มาสร้างกราฟกัน เราจะเห็นว่ากราฟของความสัมพันธ์นี้ไม่มีการวนซ้ำ ไม่มีลูกศรคู่บนกราฟ ถ้าจาก เอ็กซ์ลูกศรไปที่ ที่และจาก ที่- วี zจากนั้นจาก เอ็กซ์ลูกศรไปที่ z(รูปที่ 8)

กราฟที่สร้างขึ้นช่วยให้คุณสามารถจัดเรียงองค์ประกอบของชุดได้ เอ็กซ์ตามลำดับนี้:

{5, 7, 10, 12, 15}.

ในรูปที่ 6 (§ 6 ของบทนี้) คอลัมน์ VII, VIII เป็นกราฟของความสัมพันธ์ที่มีลำดับที่เข้มงวด

ความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” ในชุดจำนวนจริงคือความสัมพันธ์ “ไม่น้อยกว่า” มันไม่ใช่ความสัมพันธ์ที่เคร่งครัดอีกต่อไป ประเด็นคือเมื่อไร เอ็กซ์ = ที่ความสัมพันธ์ก็สมหวัง เอ็กซ์ ³ ที่และ ที่ ³ เอ็กซ์, เช่น. ทัศนคติ "ไม่น้อย" สะท้อนกลับได้

คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่า ความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวดถ้าเป็นการสะท้อนกลับ ต่อต้านสมมาตร และสกรรมกริยา

ความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นการรวมตัวกันของความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดกับความสัมพันธ์ด้านอัตลักษณ์

พิจารณาความสัมพันธ์ “no more” (£) สำหรับเซตนี้

เอ็กซ์= (5, 7, 10, 15, 12) มาสร้างกราฟกันเถอะ (รูปที่ 9)

กราฟความสัมพันธ์ลำดับแบบไม่เข้มงวด ต่างจากกราฟความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวด โดยมีการวนซ้ำที่แต่ละจุดยอด

ในรูป 6 (§ 6 ของบทนี้) คอลัมน์ V, VI เป็นกราฟของความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด

ชุดที่สั่ง

ชุดหนึ่งอาจกลายเป็นว่าได้รับคำสั่ง (ยังกล่าวอีกนัยหนึ่งว่าได้รับคำสั่งอย่างสมบูรณ์) โดยความสัมพันธ์เชิงลำดับบางอย่าง ในขณะที่อีกชุดหนึ่งอาจไม่เรียงลำดับหรือถูกสั่งบางส่วนโดยความสัมพันธ์ดังกล่าว

คำนิยาม.พวงของ เอ็กซ์เรียกว่า สั่งความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อบางอย่าง รถ้าสำหรับสององค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์, ยจาก เอ็กซ์:

(เอ็กซ์, ที่) Î รหรือ ( ใช่, x) Î ร.

ถ้า รเป็นความสัมพันธ์ของการสั่งที่เข้มงวดแล้วเซต เอ็กซ์ได้รับคำสั่งจากความสัมพันธ์นี้: ถ้า เอ็กซ์, ที่องค์ประกอบที่ไม่เท่ากันสองรายการใดๆ ของเซต เอ็กซ์, ที่ ( เอ็กซ์, ที่) Î รหรือ ( ใช่, x) Î รหรือสององค์ประกอบใดๆ เอ็กซ์, ยชุด เอ็กซ์มีความเท่าเทียมกัน

จากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนจะทราบกันดีว่าชุดตัวเลข เอ็น , ซี , ถาม , ร เรียงตามความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” (<).

เซตของเซตย่อยของเซตใดเซตหนึ่งไม่ได้ถูกเรียงลำดับโดยการแนะนำความสัมพันธ์แบบรวม (I) หรือการรวมแบบเข้มงวด (S) ในความหมายข้างต้น เนื่องจาก มีชุดย่อยซึ่งไม่มีชุดใดรวมอยู่ในชุดอื่น ในกรณีนี้ เราบอกว่าเซตที่กำหนดบางส่วนได้รับคำสั่งจากความสัมพันธ์ Í (หรือ Ì)

พิจารณาชุด เอ็กซ์= (1, 2, 3, 4, 5, 6) และประกอบด้วยความสัมพันธ์สองค่า “น้อยกว่า” และ “หารด้วย” เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับ กราฟความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" สามารถแสดงเป็นรังสีได้

กราฟของความสัมพันธ์ “หารด้วย” สามารถแสดงได้บนระนาบเท่านั้น

นอกจากนี้ กราฟของความสัมพันธ์ที่สองยังมีจุดยอดที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันด้วยลูกศร เช่น ไม่มีลูกศรเชื่อมระหว่างตัวเลข 4 และ 5 (รูปที่ 10)

ความสัมพันธ์ครั้งแรก” เอ็กซ์ < ที่“เรียกว่าเป็นเส้นตรง โดยทั่วไปแล้วถ้าความสัมพันธ์เป็นระเบียบ ร(เข้มงวดและไม่เข้มงวด) บนชุด เอ็กซ์มีทรัพย์สิน : เพื่อใดๆ เอ็กซ์, ที่Î เอ็กซ์หรือ เอ็กซ์เรย์, หรือ คุณRxแล้วเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้น และเซต เอ็กซ์– ชุดเรียงลำดับเชิงเส้น

ถ้าเป็นชุด เอ็กซ์แน่นอนและประกอบด้วย nองค์ประกอบ จากนั้นจึงเรียงลำดับเชิงเส้น เอ็กซ์ลงมาเพื่อกำหนดหมายเลของค์ประกอบด้วยตัวเลข 1,2,3, ..., n.

ชุดที่เรียงลำดับเชิงเส้นมีคุณสมบัติหลายประการ:

1° อนุญาต ก ข ค– องค์ประกอบของชุด เอ็กซ์, เรียงลำดับตามความสัมพันธ์ ร- ถ้าจะรู้อย่างนั้น. อาร์วีและ ใน Rсแล้วเขาก็บอกว่าธาตุนั้น วีอยู่ระหว่างองค์ประกอบ กและ กับ.

2° พวงของ เอ็กซ์เรียงลำดับเชิงเส้นโดยความสัมพันธ์ รเรียกว่าไม่ต่อเนื่อง ถ้าระหว่างสององค์ประกอบใดๆ มีเพียงเซตขององค์ประกอบที่มีจำกัดของเซตนี้

3° เซตที่เรียงลำดับเชิงเส้นจะเรียกว่าหนาแน่น หากองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองรายการใดๆ ของเซตนี้ มีองค์ประกอบของเซตอยู่ระหว่างองค์ประกอบเหล่านั้น

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน การเชื่อมต่อระหว่างความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและการแบ่งพาร์ติชันของเซตออกเป็นคลาส

คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหากเป็นแบบสะท้อนกลับ สมมาตร และสกรรมกริยา

ตัวอย่าง.พิจารณาความสัมพันธ์" เอ็กซ์เพื่อนร่วมชั้น ที่“กับนักศึกษาคณะศึกษาศาสตร์หลายท่าน มันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1) การสะท้อนกลับเพราะ นักเรียนทุกคนเป็นเพื่อนร่วมชั้นของตัวเอง

2) สมมาตร เพราะ ถ้าเป็นนักเรียน เอ็กซ์ ที่แล้วนักเรียน ที่เป็นเพื่อนร่วมชั้นของนักเรียน เอ็กซ์;

3) การขนส่งเพราะ ถ้าเป็นนักเรียน เอ็กซ์- เพื่อนร่วมชั้น ที่และนักเรียน ที่– เพื่อนร่วมชั้น zแล้วนักเรียน เอ็กซ์จะเป็นเพื่อนร่วมชั้นของนักเรียน z.

ดังนั้น ความสัมพันธ์นี้จึงมีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และการเคลื่อนที่ผ่าน ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน ขณะเดียวกันนักศึกษาคณะศึกษาศาสตร์จำนวนมากสามารถแบ่งออกเป็นกลุ่มย่อยซึ่งประกอบด้วยนักศึกษาที่เรียนในหลักสูตรเดียวกัน เราได้ 5 ชุดย่อย.

ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันยังรวมถึงความสัมพันธ์ของความขนานของเส้น ความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกันของตัวเลขด้วย แต่ละความสัมพันธ์ดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการแบ่งพาร์ติชันชุดออกเป็นคลาส

ทฤษฎีบท.ถ้าอยู่ในกองถ่าย เอ็กซ์เมื่อได้รับความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน จากนั้นจะแยกเซตนี้ออกเป็นเซตย่อยที่ไม่ต่อเนื่องแบบคู่ (คลาสที่เทียบเท่า)

ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้าความสัมพันธ์ใดๆ ถูกกำหนดไว้ในเซต เอ็กซ์สร้างพาร์ติชันของชุดนี้เป็นคลาส จากนั้นจะเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน

ตัวอย่าง.ในชุด เอ็กซ์= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) ระบุความสัมพันธ์ “มีเศษเหลือเท่ากันเมื่อหารด้วย 3” มันเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันหรือไม่?

มาสร้างกราฟของความสัมพันธ์นี้กัน: (อย่างอิสระ)

ความสัมพันธ์นี้มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ สมมาตร และการเปลี่ยนแปลงผ่าน ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันและแยกเซตออกจากกัน เอ็กซ์สู่คลาสที่เท่าเทียมกัน ในแต่ละชั้นการเทียบเท่าจะมีตัวเลขที่เมื่อหารด้วย 3 แล้วจะได้เศษเท่ากัน: เอ็กซ์ 1 = {3; 6}, เอ็กซ์ 2 = {1; 4; 7}, เอ็กซ์ 3 = {2; 5; 8}.

เชื่อกันว่าคลาสความเท่าเทียมกันถูกกำหนดโดยตัวแทนคนใดคนหนึ่ง เช่น องค์ประกอบตามอำเภอใจของคลาสนี้ ดังนั้นจึงสามารถระบุคลาสของเศษส่วนที่เท่ากันได้โดยการระบุเศษส่วนใดๆ ที่เป็นของคลาสนี้

ในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้น จะพบความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันด้วย เช่น "นิพจน์" เอ็กซ์และ ที่มีค่าตัวเลขเท่ากัน", "รูป เอ็กซ์เท่ากับรูป ที่».

คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงลำดับหากเป็นแบบสกรรมกริยาและไม่สมมาตรหรือแบบแอนติสมมาตร

คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดหากเป็นแบบสกรรมกริยาและไม่สมมาตร

ตัวอย่างความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวด: “มากกว่า” บนเซตของจำนวนธรรมชาติ, “สูงกว่า” บนเซตของบุคคล ฯลฯ

คำนิยาม.ทัศนคติ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับแบบไม่เข้มงวดหากเป็นแบบสกรรมกริยาและแบบแอนติสมมาตร

ตัวอย่างความสัมพันธ์ของลำดับที่ไม่เข้มงวด: “ไม่มาก” บนเซตของจำนวนจริง, “เป็นตัวหาร” บนเซตของจำนวนธรรมชาติ ฯลฯ

คำนิยาม.พวงของ เอ็กซ์เรียกว่าสั่งหากมีการระบุความสัมพันธ์ของคำสั่งซื้อไว้

ตัวอย่าง- ในชุด เอ็กซ์= (1; 2; 3; 4; 5) ให้ความสัมพันธ์สองประการ: “ เอ็กซ์ £ ที่" และ " เอ็กซ์- ตัวแบ่ง ที่».

ความสัมพันธ์ทั้งสองนี้มีคุณสมบัติของการสะท้อนกลับ ความไม่สมดุล และการผ่านผ่าน (สร้างกราฟและตรวจสอบคุณสมบัติด้วยตนเอง) กล่าวคือ เป็นความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวด แต่ความสัมพันธ์แรกมีคุณสมบัติของการเชื่อมโยง ในขณะที่ความสัมพันธ์ที่สองไม่มี

คำนิยาม.ความสัมพันธ์การสั่งซื้อ รบนชุด เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นหากมีคุณสมบัติเชื่อมโยงกัน

ในโรงเรียนประถมศึกษา มีการศึกษาความสัมพันธ์เชิงลำดับหลายประการ ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 มีความสัมพันธ์ "น้อยกว่า", "มากกว่า" ในชุดของจำนวนธรรมชาติ, "สั้นกว่า", "ยาวกว่า" ในชุดส่วน ฯลฯ

คำถามควบคุม

1. กำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารี่บนเซต เอ็กซ์.

2. วิธีเขียนคำสั่งว่าองค์ประกอบต่างๆ เอ็กซ์และ ที่อยู่ในความสัมพันธ์ ร?

3. ระบุวิธีการกำหนดความสัมพันธ์

4. กำหนดคุณสมบัติที่ความสัมพันธ์สามารถมีได้ คุณสมบัติเหล่านี้สะท้อนให้เห็นในกราฟอย่างไร

5. ความสัมพันธ์ต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะเป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน?

6. ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันเกี่ยวข้องกับการแบ่งส่วนของเซตออกเป็นคลาสอย่างไร?

7. ความสัมพันธ์ต้องมีคุณสมบัติอะไรจึงจะเป็นความสัมพันธ์เชิงลำดับได้?

X (\รูปแบบการแสดงผล X)เรียกว่า ความสัมพันธ์ของคำสั่งบางส่วนที่ไม่เข้มงวด (ความสัมพันธ์ในการสั่งซื้อ, ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ), ถ้ามี

พวงของ X (\รูปแบบการแสดงผล X)ซึ่งเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับบางส่วน สั่งมาบางส่วน- ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อบางส่วนที่ไม่เข้มงวดมักแสดงโดย ≼ (\displaystyle \preccurlyeq ).

ตัวเลือก

ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อบางส่วน R (\รูปแบบการแสดงผล R)เรียกว่า ลำดับเชิงเส้นหากตรงตามเงื่อนไข

∀ x ∀ y (x R y ∨ y R x) (\displaystyle \forall x\forall y(xRy\lor yRx)).

พวงของ X (\รูปแบบการแสดงผล X)ซึ่งเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้น สั่งเป็นเส้นตรง, หรือ โซ่.

ทัศนคติ R (\รูปแบบการแสดงผล R)เรียกว่าตอบสนองเฉพาะเงื่อนไขของการสะท้อนกลับและการผ่านผ่านเท่านั้น สั่งซื้อล่วงหน้าหรือกึ่งสั่งซื้อ.

คำสั่งที่เข้มงวด

หากสภาวะการสะท้อนกลับถูกแทนที่ด้วยภาวะการต้านการสะท้อน:

∀ x ฌ (x R x) (\displaystyle \forall x\neg (xRx)),

แล้วเราจะได้คำจำกัดความ เข้มงวด, หรือ ลำดับบางส่วนป้องกันแสงสะท้อน(โดยปกติจะระบุด้วยสัญลักษณ์ ≺ (\displaystyle \prec )).

ความคิดเห็น การต่อต้านการสะท้อนกลับและการเคลื่อนผ่านของความสัมพันธ์พร้อมกันทำให้เกิดการต่อต้านสมมาตร ดังนั้นความสัมพันธ์จึงเป็น ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่เข้มงวดถ้าหากว่ามันป้องกันแสงสะท้อนและสกรรมกริยา

โดยทั่วไปแล้วถ้า R (\รูปแบบการแสดงผล R)ก็คือความสัมพันธ์แบบสกรรมกริยาที่ไม่สมมาตร

R ≼ = R ∪ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\preccurlyeq )=R\cup \((x,x)|x\in X\))- คำสั่งสะท้อนกลับ R ≺ = R ∖ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\prec )=R\setminus \((x,x)|x\in X\))- คำสั่งที่เข้มงวด

ตัวอย่าง

• บนเซตของจำนวนจริง ความสัมพันธ์ "มากกว่า" และ "น้อยกว่า" เป็นความสัมพันธ์ที่มีลำดับเข้มงวด และ "มากกว่าหรือเท่ากับ" และ "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบเข้มงวด
• ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวของเซตของจำนวนเต็มเป็นความสัมพันธ์แบบไม่เข้มงวด

มิติดัชนิก-มิลเลอร์

เรื่องราว

สัญญาณ < {\displaystyle <} และ > (\displaystyle >)ประดิษฐ์

ให้ R เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีบนเซต A

คำนิยาม. ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ R บนเซต A เรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับบน A หรือลำดับบน A หากเป็นแบบสกรรมกริยาและแบบแอนติสมมาตร

คำนิยาม. ความสัมพันธ์ของลำดับ R บนเซต A เรียกว่าไม่เข้มงวดหากสะท้อนกลับบน A นั่นคือสำหรับ A แต่ละตัว

ความสัมพันธ์ลำดับ R เรียกว่า เข้มงวด (บน A) ถ้าเป็นความสัมพันธ์ต้านการสะท้อนบน A นั่นคือสำหรับความสัมพันธ์ใดๆ ของ A อย่างไรก็ตาม จากการต้านการสะท้อนกลับของความสัมพันธ์สกรรมกริยา R จะตามมาว่ามันเป็นแบบต้านสมมาตร ดังนั้นจึงสามารถให้คำจำกัดความที่เทียบเท่าได้ดังต่อไปนี้

คำนิยาม. ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ R บนเซต A เรียกว่าลำดับที่เข้มงวดบน A หากมันเป็นสกรรมกริยาและต่อต้านการสะท้อนบน A

ตัวอย่าง. 1. อนุญาต เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซต M ความสัมพันธ์แบบรวมบนเซตนั้นเป็นความสัมพันธ์แบบไม่เข้มงวด

2. ความสัมพันธ์ของเซตจำนวนจริงคือความสัมพันธ์แบบเข้มงวดและไม่เข้มงวดตามลำดับ

3. ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวในชุดของจำนวนธรรมชาติเป็นความสัมพันธ์แบบไม่เข้มงวด

คำนิยาม. ความสัมพันธ์แบบไบนารี่ R บนเซต A เรียกว่า ความสัมพันธ์การสั่งซื้อล่วงหน้า หรือการสั่งซื้อล่วงหน้าบน A หากเป็นแบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยา

ตัวอย่าง. 1. ความสัมพันธ์ของการหารลงตัวของเซตจำนวนเต็มไม่ใช่ลำดับ อย่างไรก็ตาม เป็นแบบสะท้อนกลับและสกรรมกริยา ซึ่งหมายความว่าเป็นการสั่งซื้อล่วงหน้า

2. ความสัมพันธ์ของความหมายเชิงตรรกะเป็นการสั่งซื้อล่วงหน้าในชุดสูตรตรรกะเชิงประพจน์

ลำดับเชิงเส้น กรณีพิเศษที่สำคัญของการสั่งซื้อคือลำดับเชิงเส้น

คำนิยาม. ความสัมพันธ์ลำดับบนเซตหนึ่งเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับเชิงเส้นหรือลำดับเชิงเส้นถ้าเชื่อมต่อกันบน เช่น สำหรับ x, y ใดๆ จาก A

ความสัมพันธ์ลำดับที่ไม่เชิงเส้นมักเรียกว่าความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนหรือลำดับบางส่วน

ตัวอย่าง. 1. ความสัมพันธ์ “น้อยกว่า” บนเซตของจำนวนจริงเป็นความสัมพันธ์ของลำดับเชิงเส้น

2. ความสัมพันธ์ตามลำดับที่ใช้ในพจนานุกรมภาษารัสเซียเรียกว่าพจนานุกรม ลำดับพจนานุกรมของชุดคำในภาษารัสเซียนั้นเป็นลำดับเชิงเส้น

คำว่า "สั่ง" มักใช้ในประเด็นต่างๆ มากมาย เจ้าหน้าที่ออกคำสั่ง: "คำนวณตามลำดับตัวเลข" การดำเนินการทางคณิตศาสตร์จะดำเนินการในลำดับที่แน่นอน นักกีฬาได้รับการจัดอันดับตามความสูง ผู้เล่นหมากรุกชั้นนำทั้งหมดจะถูกจัดเรียงตามลำดับที่แน่นอนตามที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ Elo (ศาสตราจารย์ชาวอเมริกัน ผู้พัฒนาระบบค่าสัมประสิทธิ์ให้คำนึงถึงความสำเร็จและความล้มเหลวของผู้เล่นทั้งหมด) หลังการแข่งขันชิงแชมป์ทีมฟุตบอลทั้งหมดอยู่ในลำดับที่แน่นอน เป็นต้น มีลำดับการดำเนินการในการผลิตชิ้นส่วนลำดับ ของคำในประโยค (พยายามทำความเข้าใจว่าประโยค “บนเขาแก่” หมายความว่า ฉันไม่ได้ปลูกลา!”

ด้วยการจัดเรียงองค์ประกอบของฉากหนึ่งๆ ทีละชิ้น ดังนั้นเราจึงจัดลำดับหรือสร้างความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างพวกมัน ตามลำดับตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือลำดับธรรมชาติของจำนวนธรรมชาติ ความเป็นธรรมชาติของมันอยู่ที่ว่าสำหรับจำนวนธรรมชาติสองตัวใดๆ เรารู้ว่าจำนวนใดตามหลังอีกจำนวนหนึ่งหรือจำนวนใดมากกว่าจำนวนอื่นๆ ดังนั้นเราจึงสามารถจัดเรียงจำนวนธรรมชาติตามลำดับเพื่อให้จำนวนที่มากกว่านั้นอยู่ เป็นต้น ด้านขวาของอันเล็กกว่า: 1, 2, 3, ... . แน่นอนว่าลำดับขององค์ประกอบสามารถเขียนไปในทิศทางใดก็ได้ ไม่ใช่แค่จากซ้ายไปขวา แนวคิดเรื่องจำนวนธรรมชาติมีแนวคิดเรื่องลำดับอยู่แล้ว โดยการสร้างการจัดเรียงสัมพัทธ์ขององค์ประกอบของชุดใดๆ ก็ตาม เราจึงกำหนดความสัมพันธ์ลำดับไบนารี่ซึ่งในแต่ละกรณีอาจมีชื่อเป็นของตัวเอง เช่น "น้อยกว่า" "มีอายุมากกว่า" "ถึง มีอยู่ใน ", "ติดตาม" ฯลฯ การกำหนดสัญลักษณ์ของลำดับอาจแตกต่างกันไปเช่น Í เป็นต้น

ลักษณะเด่นที่สำคัญของความสัมพันธ์เชิงลำดับคือมันมีคุณสมบัติของการผ่านผ่าน ดังนั้นหากเรากำลังเผชิญกับลำดับของวัตถุบางอย่าง x 1, x 2, ..., xn,... เรียงลำดับตามความสัมพันธ์แล้วจากสิ่งที่กำลังดำเนินการอยู่ x1x2... เอ็กซ์เอ็น...ก็ควรจะเป็นไปตามนั้นทุกคู่ x ฉัน x เจองค์ประกอบของลำดับนี้ก็ถูกเติมเต็มเช่นกัน x ฉันเอ็กซ์เจ:

สำหรับธาตุคู่หนึ่ง x ฉันเจในกราฟความสัมพันธ์เราวาดลูกศรจากจุดยอด x ฉันไปด้านบน เอ็กซ์เจนั่นคือจากองค์ประกอบที่เล็กกว่าไปจนถึงองค์ประกอบที่ใหญ่กว่า

กราฟความสัมพันธ์ลำดับสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยใช้วิธีที่เรียกว่า แผนภาพฮาสส์แผนภาพ Hasse ถูกสร้างขึ้นดังนี้ องค์ประกอบที่เล็กกว่าจะถูกวางไว้ด้านล่าง และองค์ประกอบที่ใหญ่กว่าจะถูกวางไว้ที่สูงกว่า เนื่องจากกฎดังกล่าวเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอสำหรับการพรรณนา จึงมีการลากเส้นเพื่อแสดงว่าองค์ประกอบใดในสององค์ประกอบที่มีขนาดใหญ่กว่าและองค์ประกอบใดเล็กกว่าองค์ประกอบอื่น ในกรณีนี้ การวาดเฉพาะเส้นสำหรับองค์ประกอบที่อยู่ติดกันทันทีก็เพียงพอแล้ว ตัวอย่างของแผนภาพ Hasse แสดงในรูป:

คุณไม่จำเป็นต้องใส่ลูกศรในไดอะแกรม Hasse แผนภาพ Hasse สามารถหมุนได้ในระนาบ แต่ไม่สามารถหมุนได้ตามใจชอบ เมื่อหมุนจำเป็นต้องรักษาตำแหน่งสัมพัทธ์ (บน - ล่าง) ของจุดยอดของแผนภาพ:

ทัศนคติ รในความอุดมสมบูรณ์ เอ็กซ์เรียกว่า ทัศนคติของการสั่งซื้อที่เข้มงวดถ้ามันเป็นสกรรมกริยาและไม่สมมาตร

ชุดที่กำหนดความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดเรียกว่า สั่งตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติเรียงลำดับตามความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" แต่ชุดเดียวกันนี้ยังได้รับคำสั่งจากความสัมพันธ์อื่น - "แบ่งออกเป็น" และ "มากกว่า"

กราฟของความสัมพันธ์ "น้อยกว่า" ในชุดของจำนวนธรรมชาติสามารถแสดงเป็นรังสีได้:

ทัศนคติ รวี เอ็กซ์เรียกว่าความสัมพันธ์ คำสั่งที่ไม่เข้มงวด (บางส่วน)ถ้ามันเป็นสกรรมกริยาและต่อต้านสมมาตร ความสัมพันธ์ของคำสั่งที่ไม่เข้มงวดใดๆ ก็สามารถสะท้อนกลับได้

ฉายา "บางส่วน" เป็นการแสดงออกถึงความจริงที่ว่าบางทีองค์ประกอบทั้งหมดของเซตอาจไม่สามารถเทียบเคียงได้ในแง่ที่กำหนด

ตัวอย่างทั่วไปของความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนคือความสัมพันธ์ "ไม่มากกว่า" "ไม่น้อยกว่า" และ "ไม่มากกว่า" อนุภาค "ไม่ใช่" ในชื่อของความสัมพันธ์ทำหน้าที่เพื่อแสดงการสะท้อนกลับ ความสัมพันธ์ “ไม่เกิน” เกิดขึ้นพร้อมกับความสัมพันธ์ “น้อยกว่าหรือเท่ากับ” และความสัมพันธ์ “ไม่น้อยกว่า” ก็เหมือนกับความสัมพันธ์ “มากกว่าหรือเท่ากับ” ในเรื่องนี้เรียกอีกอย่างว่าคำสั่งซื้อบางส่วน ไม่เข้มงวดตามลำดับ บ่อยครั้งที่ความสัมพันธ์คำสั่งซื้อบางส่วน (ไม่เข้มงวด) จะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ""

ความสัมพันธ์แบบรวม Í ระหว่างเซตย่อยของเซตใดเซตหนึ่งก็เป็นลำดับบางส่วนเช่นกัน แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกๆ สองเซ็ตย่อยจะเทียบเคียงได้ในส่วนนี้ รูปด้านล่างแสดงลำดับการรวมบางส่วนบนเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซต (1,2,3) ลูกศรบนกราฟที่ควรชี้ขึ้นจะไม่แสดง

ชุดที่ได้รับคำสั่งบางส่วนจะถูกเรียก สั่งบางส่วน,หรือเพียงแค่ สั่งชุด

องค์ประกอบ เอ็กซ์และ ที่ชุดสั่งบางส่วนเรียกว่า เปรียบเทียบกับเราถ้า เอ็กซ์ที่หรือ ที่เอ็กซ์ไม่อย่างนั้นก็เทียบไม่ได้

ชุดเรียงลำดับซึ่งมีองค์ประกอบสองรายการใดเทียบเคียงได้เรียกว่า สั่งเป็นเส้นตรงและลำดับนั้นเป็นลำดับเชิงเส้น ลำดับเชิงเส้นเรียกอีกอย่างว่าลำดับที่สมบูรณ์แบบ

ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่มีลำดับธรรมชาติ รวมถึงเซตย่อยทั้งหมดจะถูกเรียงลำดับเชิงเส้น

สามารถสั่งซื้อวัตถุที่มีลักษณะหลากหลายที่สุดได้ ตามลำดับชั้นนี่คือตัวอย่างบางส่วน.

ตัวอย่างที่ 1: ส่วนของหนังสือถูกจัดเรียงเพื่อให้หนังสือมีบท บทมีส่วน และส่วนมีส่วนย่อย

ตัวอย่างที่ 2 โฟลเดอร์ในระบบไฟล์ของคอมพิวเตอร์ซ้อนกันอยู่ภายใน ทำให้เกิดโครงสร้างการแยกย่อย

ตัวอย่างที่ 3 ความสัมพันธ์ระหว่างพ่อแม่กับลูกสามารถอธิบายได้เป็นสิ่งที่เรียกว่า แผนภูมิต้นไม้ครอบครัว,ซึ่งแสดงให้เห็นว่าใครเป็นบรรพบุรุษ (หรือลูกหลาน)

ปล่อยให้อยู่ในชุด กได้รับคำสั่งบางส่วน องค์ประกอบ เอ็กซ์เรียกว่า สูงสุด (ขั้นต่ำ)องค์ประกอบของเซต A ถ้าจากข้อเท็จจริงนั้น เอ็กซ์ที่(ที่เอ็กซ์),ความเท่าเทียมกันตามมา เอ็กซ์= ยู.กล่าวอีกนัยหนึ่งคือองค์ประกอบ เอ็กซ์คือสูงสุด (ขั้นต่ำ) หากเป็นองค์ประกอบใดๆ ที่หรือว่ามันไม่จริงอย่างนั้น เอ็กซ์ที่(ที่เอ็กซ์) หรือถูกดำเนินการ เอ็กซ์=ยู.ดังนั้น องค์ประกอบสูงสุด (ขั้นต่ำ) จึงมากกว่า (เล็ก) มากกว่าองค์ประกอบทั้งหมดที่แตกต่างจากองค์ประกอบที่เกี่ยวข้อง

องค์ประกอบ เอ็กซ์เรียกว่า ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด)ถ้าเพื่อใครก็ตาม ที่Î กดำเนินการ ที่< х (х< у).

ชุดที่เรียงลำดับบางส่วนสามารถมีองค์ประกอบขั้นต่ำและ/หรือสูงสุดได้หลายองค์ประกอบ แต่ไม่สามารถมีองค์ประกอบขั้นต่ำและสูงสุดได้มากกว่าหนึ่งองค์ประกอบ องค์ประกอบที่เล็กที่สุด (ใหญ่ที่สุด) ก็เป็นองค์ประกอบขั้นต่ำ (สูงสุด) เช่นกัน แต่การสนทนาไม่เป็นความจริง รูปด้านซ้ายแสดงลำดับบางส่วนที่มีองค์ประกอบขั้นต่ำสององค์ประกอบและสูงสุดสององค์ประกอบ และทางด้านขวาแสดงลำดับบางส่วนที่มีองค์ประกอบเล็กที่สุดและใหญ่ที่สุด:

ในชุดที่มีการเรียงลำดับบางส่วนที่มีขอบเขตจำกัด จะมีองค์ประกอบขั้นต่ำและสูงสุดอยู่เสมอ

ชุดคำสั่งที่มีองค์ประกอบใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดเรียกว่า ถูก จำกัด.รูปนี้แสดงตัวอย่างเซตที่มีขอบเขตอนันต์ แน่นอนว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพรรณนาชุดอนันต์บนหน้าที่จำกัด แต่คุณสามารถแสดงหลักการสร้างได้ ในกรณีนี้จะไม่แสดงลูปใกล้กับจุดยอดเพื่อทำให้การวาดง่ายขึ้น ด้วยเหตุผลเดียวกัน ส่วนโค้งที่แสดงคุณสมบัติการผ่านผ่านจะไม่แสดง รูปภาพนี้แสดงแผนภาพ Hasse ของความสัมพันธ์ลำดับ

เซตอนันต์อาจไม่มีองค์ประกอบสูงสุดหรือต่ำสุด หรือทั้งสองอย่าง ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนธรรมชาติ (1,2, 3, ...) มีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดคือ 1 แต่ไม่มีค่าสูงสุด เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่มีลำดับธรรมชาติไม่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุด อย่างไรก็ตามเซตย่อยประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมด เอ็กซ์< 5 มีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด (หมายเลข 5) แต่ไม่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด