علاقة الترتيب الخطي لها خصائص. علاقة النظام

غالبًا ما تستخدم كلمة "النظام" في مجموعة متنوعة من القضايا. يعطي الضابط الأمر: "حسب ترتيب الأرقام، احسب"، تتم العمليات الحسابية بترتيب معين، ويتم ترتيب الرياضيين حسب الطول، وهناك ترتيب لأداء العمليات عند صنع جزء، وترتيب الكلمات في جملة.

ما هو الشائع في جميع الحالات عند الحديث عن النظام؟ الحقيقة هي أن كلمة "نظام" لها المعنى التالي: تعني أي عنصر من مجموعة معينة يتبع أي عنصر (أو أي عنصر يسبق أي عنصر).

سلوك " Xيتبع في"متعدية: إذا" Xيتبع في" و " فييتبع ض"، الذي - التي " سيتبع ض" بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون هذه العلاقة غير متماثلة: لاثنين مختلفين Xو في، لو Xيتبع في، الذي - التي فيلا يتبع X.

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة أمر صارم، إذا كانت متعدية وغير متماثلة.

دعونا نتعرف على ميزات الرسم البياني والرسم البياني للعلاقات ذات الترتيب الصارم.

لنلقي نظرة على مثال. على مجموعة X= (5، 7، 10، 15، 12) نسبة معينة ر: « X < في" دعونا نحدد هذه العلاقة من خلال سرد الأزواج
ر = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

دعونا نبني الرسم البياني الخاص به. نلاحظ أن الرسم البياني لهذه العلاقة لا يحتوي على حلقات. لا توجد أسهم مزدوجة على الرسم البياني. إذا من Xالسهم يذهب الى في، و من في- الخامس ض، ثم من Xالسهم يذهب الى ض(الشكل 8).

يسمح لك الرسم البياني المبني بترتيب عناصر المجموعة Xفي هذا التسلسل:

{5, 7, 10, 12, 15}.

في الشكل 6 (الفقرة 6 من هذا الفصل)، تمثل الأعمدة VII و VIII رسومًا بيانية للعلاقات ذات الترتيب الصارم.

علاقة غير صارمة

وعكس العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الحقيقية هي العلاقة "ليس أقل". ولم تعد علاقة نظام صارم. النقطة المهمة هي متى X = في، تتحقق العلاقات X ³ فيو في ³ X، أي. إن موقف "لا أقل" هو موقف انعكاسي.

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة غير صارمةإذا كانت انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية.

مثل هذه العلاقات هي اتحادات علاقة نظام صارمة مع علاقة الهوية.

خذ بعين الاعتبار العلاقة "لا أكثر" (جنيه إسترليني) للمجموعة

X= (5، 7، 10، 15، 12). دعونا نبني الرسم البياني الخاص به (الشكل 9).

الرسم البياني لعلاقة الترتيب غير الصارم، على عكس الرسم البياني لعلاقة الترتيب الصارم، يحتوي على حلقات في كل قمة.

في التين. 6 (§ 6 من هذا الفصل) الأعمدة V، VI عبارة عن رسوم بيانية للعلاقات ذات الترتيب غير الصارم.

مجموعات مرتبة

قد يتبين أن مجموعة ما مرتبة (ويقولون أيضًا أنها مرتبة تمامًا) من خلال علاقة ترتيبية ما، في حين أن مجموعة أخرى قد تكون غير مرتبة أو مرتبة جزئيًا من خلال مثل هذه العلاقة.

تعريف.مجموعة من Xمُسَمًّى أمربعض علاقة النظام ر، إذا كان لأي عنصرين س، صمن X:

(X, في) Î رأو ( ذ، س) Î ر.

لو رهي علاقة نظام صارم، ثم المجموعة Xأمرت بهذه العلاقة المقدمة: إذا X, فيأي عنصرين غير متساويين في المجموعة X، الذي - التي ( X, في) Î رأو ( ذ، س) Î رأو أي عنصرين س، صمجموعات Xمتساوون.

من المعروف من دورة الرياضيات المدرسية أن مجموعات الأرقام ن , ز , س , ر مرتبة حسب العلاقة "أقل من" (<).

لا يتم ترتيب مجموعة المجموعات الفرعية لمجموعة معينة عن طريق إدخال علاقة التضمين (I)، أو التضمين الصارم (S) بالمعنى أعلاه، لأن هناك مجموعات فرعية، لا يتم تضمين أي منها في الآخر. في هذه الحالة، نقول أن المجموعة المعطاة مرتبة جزئيًا بالعلاقة Í (أو Ì).

النظر في المجموعة X= (1، 2، 3، 4، 5، 6) وتحتوي على علاقتين "أصغر من" و"مقسمة على". من السهل التحقق من أن هاتين العلاقتين هما علاقات ترتيب. يمكن تصوير الرسم البياني للعلاقة "أقل من" على شكل شعاع.

لا يمكن تمثيل الرسم البياني للعلاقة "مقسمة على" إلا على مستوى.

بالإضافة إلى ذلك، فإن الرسم البياني للعلاقة الثانية يحتوي على رؤوس غير متصلة بواسطة سهم. على سبيل المثال، لا يوجد سهم يربط بين الرقمين 4 و5 (الشكل 10).

العلاقة الأولى " X < في"يسمى الخطية. بشكل عام، إذا كانت العلاقة نظامية ر(صارم وغير صارم) على المجموعة Xله خاصية : لأي X, فيÎ Xأو xRy، أو yRx، ثم يطلق عليه علاقة ترتيب خطية، والمجموعة X– مجموعة مرتبة خطيا .

إذا مجموعة Xبالطبع، ويتكون من نالعناصر، ثم الترتيب الخطي Xويتلخص في ترقيم عناصره بالأرقام 1،2،3، ...، ن.

تحتوي المجموعات المرتبة خطيًا على عدد من الخصائص:

1°. يترك أ، ب، ج– عناصر المجموعة X، مرتبة حسب العلاقة ر. إذا علم ذلك aRвو في جمهورية صربسكا، ثم يقولون أن العنصر الخامستقع بين العناصر أو مع.

2°. مجموعة من X، مرتبة خطيا بالعلاقة ر، يسمى منفصلاً إذا كان بين أي عنصرين من عناصره يوجد فقط مجموعة محدودة من عناصر هذه المجموعة.

3°. تسمى المجموعة المرتبة خطيًا كثيفة إذا كان هناك عنصر من المجموعة يقع بينهما لأي عنصرين مختلفين من هذه المجموعة.

خصائص العلاقات:

1) الانعكاسية.

2) التماثل.

3) العبور.

4) الترابط.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى عاكس،إذا كان حول كل عنصر من عناصر المجموعة Xيمكننا القول أنه على علاقة رمع نفسي: Xآر إكس.إذا كانت العلاقة انعكاسية، فهناك حلقة عند كل قمة من الرسم البياني. على العكس من ذلك، فإن الرسم البياني الذي يحتوي كل قمة على حلقة هو رسم بياني للعلاقة الانعكاسية.

ومن أمثلة العلاقات الانعكاسية، علاقة "المضاعف" على مجموعة الأعداد الطبيعية (كل رقم هو مضاعف لنفسه)، وعلاقة تشابه المثلثات (كل مثلث يشبه نفسه)، وعلاقة "المساواة" ( كل رقم يساوي نفسه)، الخ.

هناك علاقات لا تمتلك خاصية الانعكاسية، مثل علاقة تعامد القطع: أب، با(لا يوجد قطعة واحدة يمكن القول أنها متعامدة مع نفسها) . ولذلك، لا توجد حلقة واحدة في الرسم البياني لهذه العلاقة.

إن العلاقة "الأطول" للقطاعات، و"أكثر بمقدار 2" للأعداد الطبيعية، وما إلى ذلك، لا تمتلك خاصية الانعكاسية.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى مضادة للانعكاس، إذا كان لأي عنصر من المجموعة Xدائما كاذبة Xآر إكس: .

هناك علاقات ليست انعكاسية ولا مضادة للانعكاس. مثال على مثل هذه العلاقة هو العلاقة "نقطة Xمتناظرة لهذه النقطة فيمستقيم نسبيا ل"، محددة على مجموعة من نقاط المستوى. والواقع أن جميع نقاط خط مستقيم لمتناظرة مع نفسها، والنقاط التي لا تقع على خط مستقيم ل،أنفسهم ليسوا متماثلين.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى متماثل, إذا تحقق الشرط: من كون العنصر Xيتعلق بالعنصر ذويترتب على ذلك العنصر ذفي علاقة رمع العنصر العاشر:xRyyRx.

يحتوي الرسم البياني للعلاقة المتماثلة على الميزة التالية: جنبًا إلى جنب مع كل سهم قادم منه Xل ذ، يحتوي الرسم البياني على سهم يبدأ من ذل X(الشكل 35).

من أمثلة العلاقات المتماثلة ما يلي: علاقة "توازي" القطع، علاقة "تعامد" القطع، علاقة "تساوي" القطع، علاقة تشابه المثلثات، علاقة "تساوي" القطع الكسور، الخ.

هناك علاقات لا تمتلك خاصية التناظر.

في الواقع، إذا كان الجزء Xأطول من المقطع في، ثم المقطع فيلا يمكن أن يكون أطول من المقطع X. يتميز الرسم البياني لهذه العلاقة بخصوصية: فالسهم الذي يربط القمم موجه في اتجاه واحد فقط.

سلوك رمُسَمًّى غير متماثل، إذا كان لأي عناصر Xو ذمن الحقيقة xRyيجب أن تكون كاذبة yRx: : xRyyRx.

بالإضافة إلى العلاقة "الأطول"، هناك علاقات أخرى غير متماثلة على العديد من القطاعات. على سبيل المثال، العلاقة "أكبر من" للأرقام (if Xأكثر في، الذي - التي فيلا يمكن أن يكون هناك المزيد X)، والموقف "المزيد عن"، وما إلى ذلك.

هناك علاقات ليس لها خاصية التماثل ولا خاصية عدم التماثل.

العلاقة R على المجموعة Xمُسَمًّى متعد،إذا من هذا العنصر Xفي علاقة رمع العنصر ذ،والعنصر ذفي علاقة رمع العنصر ضويترتب على ذلك العنصر Xفي علاقة رمع العنصر ض: xRyو يرزxRz.

رسم بياني للعلاقة متعدية مع كل زوج من الأسهم القادمة منه Xل ذو من ذل ض، يحتوي على سهم ينطلق من Xل ض.

العلاقة "الأطول" على مجموعة من المقاطع لها أيضًا خاصية العبور: إذا كانت القطعة أأطول من المقطع ب، القطعة المستقيمة بأطول من المقطع مع، ثم المقطع أأطول من المقطع مع.إن علاقة "المساواة" على مجموعة من القطع لها أيضًا خاصية التعدية: (أ=ب، ب=ج)(أ=ج).

هناك علاقات لا تمتلك خاصية العبور. مثل هذه العلاقة هي، على سبيل المثال، العلاقة العمودية: إذا كانت قطعة أعمودي على هذا الجزء ب، والجزء بعمودي على هذا الجزء مع، ثم الأقسام أو معليس عموديا!

وهناك خاصية أخرى للعلاقات تسمى خاصية الترابط، والعلاقة التي لها هذه تسمى خاصية الترابط.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى متصل,إذا لأية عناصر Xو ذمن هذه المجموعة يتم استيفاء الشرط التالي: إذا Xو ذمختلفة، ثم سواء Xفي علاقة رمع العنصر ذ، أو العنصر ذفي علاقة رمع العنصر X. باستخدام الرموز يمكن كتابة هذا مثل هذا: xyxRyأو yRx.

على سبيل المثال، العلاقة "أكبر من" للأعداد الطبيعية لها خاصية الترابط: بالنسبة لأي أرقام مميزة x وy يمكن ذكرها إما س>ص، أو ذ>س.

في الرسم البياني للعلاقات المتصلة، يتم توصيل أي رأسين بواسطة سهم. والبيان المعاكس صحيح أيضا.

هناك علاقات لا تمتلك خاصية الترابط. مثل هذه العلاقة، على سبيل المثال، هي علاقة قابلية القسمة على مجموعة الأعداد الطبيعية: يمكننا تسمية هذه الأعداد x و ذمهما كان الرقم Xليس مقسوما على الرقم ذ، لا يوجد رقم ذليس مقسوما على الرقم X(أعداد 17 و 11 , 3 و 10 إلخ.) .

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. على مجموعة س=(1، 2، 4، 8، 12)يتم إعطاء العلاقة "الرقم". Xمتعددة من العدد ذ" لنقم بإنشاء رسم بياني لهذه العلاقة وصياغة خصائصها.

يقال إن علاقة تساوي الكسور هي علاقة تكافؤ.

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة التكافؤ,إذا كان لديه في نفس الوقت خصائص الانعكاسية والتماثل والعبور.

ومن أمثلة علاقات التكافؤ: علاقات تساوي الأشكال الهندسية، وعلاقات توازي الخطوط (بشرط أن تعتبر الخطوط المتطابقة متوازية).

في علاقة "مساواة الكسور" التي تمت مناقشتها أعلاه، المجموعة Xمقسمة إلى ثلاث مجموعات فرعية: ( ; ; }, {; } , (). هذه المجموعات الفرعية لا تتقاطع، واتحادها يتزامن مع المجموعة X، أي. لدينا قسم من المجموعة إلى فئات.

لذا، إذا تم إعطاء علاقة تكافؤ على مجموعة X، فإنها تولد قسمًا من هذه المجموعة إلى مجموعات فرعية منفصلة زوجية - فئات التكافؤ.

وبذلك نكون قد أثبتنا أن علاقة المساواة على المجموعة
X=( ;; ; ; ; ) يتوافق مع تقسيم هذه المجموعة إلى فئات التكافؤ، كل منها يتكون من كسور متساوية مع بعضها البعض.

يعد مبدأ تقسيم المجموعة إلى فئات باستخدام بعض علاقات التكافؤ أحد المبادئ المهمة في الرياضيات. لماذا؟

أولاً، المكافئ يعني المكافئ، القابل للتبديل. ولذلك، فإن عناصر فئة التكافؤ نفسها قابلة للتبديل. وبالتالي فإن الكسور الموجودة في نفس فئة التكافؤ (؛ ; ) ، لا يمكن تمييزها من وجهة نظر العلاقة بين المساواة والكسر يمكن استبداله بآخر، على سبيل المثال . وهذا الاستبدال لن يغير نتيجة الحسابات.

ثانيا، نظرا لأن فئة التكافؤ تحتوي على عناصر لا يمكن تمييزها من وجهة نظر بعض العلاقات، فمن المعتقد أن فئة التكافؤ يتم تحديدها من قبل أي من ممثليها، أي. عنصر تعسفي من الطبقة. وبالتالي يمكن تحديد أي فئة من الكسور المتساوية عن طريق تحديد أي كسر ينتمي إلى هذه الفئة. تسمح لك فئة التكافؤ بواسطة ممثل واحد بدراسة مجموعة من الممثلين من فئات التكافؤ بدلاً من جميع عناصر المجموعة. على سبيل المثال، فإن علاقة التكافؤ "أن يكون لها نفس عدد القمم"، المحددة على مجموعة من المضلعات، تولد تقسيم هذه المجموعة إلى فئات من المثلثات، والرباعيات، والخماسيات، وما إلى ذلك. تعتبر الخصائص المتأصلة في فئة معينة على أحد ممثليها.

ثالثًا، يتم استخدام تقسيم المجموعة إلى فئات باستخدام علاقة التكافؤ لتقديم مفاهيم جديدة. على سبيل المثال، يمكن تعريف مفهوم "حزمة الخطوط" على أنه ما تشترك فيه الخطوط المتوازية مع بعضها البعض.

نوع آخر مهم من العلاقات هو علاقة الترتيب. دعونا نفكر في المشكلة X={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ) العلاقة "لها نفس الباقي عند القسمة عليها 3 " تولد هذه العلاقة قسمًا من المجموعة Xإلى فئات: جميع الأرقام سوف تقع في واحد، عند قسمتها على 3 اتضح أنه الباقي 0 (هذه أرقام 3, 6, 9 ). في الثانية - الأرقام عند القسمة على 3 الباقي هو 1 (هذه أرقام 4, 7, 10 ). والثالث سيحتوي على جميع الأرقام التي، عند القسمة عليها 3 الباقي هو 2 (هذه أرقام 5, 8 ). وبالفعل فإن المجموعات الناتجة لا تتقاطع ويتطابق اتحادها مع المجموعة X. ولذلك، فإن العلاقة "لها نفس الباقي عند القسمة على 3 "، محدد في المجموعة X، هي علاقة تكافؤ.

لنأخذ مثالاً آخر، يمكن فرز العديد من الطلاب في الفصل حسب الطول أو العمر. لاحظ أن هذه العلاقة لها خصائص عدم التماثل والعبور. أو الجميع يعرف ترتيب الحروف في الأبجدية. يتم توفيره من خلال الموقف "ينبغي".

سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة أمر صارم، إذا كان له في نفس الوقت خصائص عدم التماثل والعبور. على سبيل المثال العلاقة " X< ذ».

إذا كانت العلاقة لها خصائص الانعكاسية وعدم التماثل والعبورية، فستكون كذلك علاقة غير صارمة. على سبيل المثال العلاقة " Xذ».

تتضمن أمثلة علاقات الترتيب ما يلي: العلاقة "أقل من" على مجموعة من الأعداد الطبيعية، والعلاقة "الأقصر" على مجموعة من القطع. إذا كانت العلاقة المرتبة لها أيضًا خاصية الترابط، فيقال إنها كذلك علاقة ترتيب خطية. على سبيل المثال، العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الطبيعية.

مجموعة من Xمُسَمًّى منظم،إذا تم تحديد علاقة أمر عليها.

على سبيل المثال، كثير س={2, 8, 12, 32 ) يمكن طلبها باستخدام العلاقة "أقل من" (الشكل 41)، أو يمكن القيام بذلك باستخدام العلاقة "المتعددة" (الشكل 42). ولكن، كونها علاقات ترتيبية، فإن العلاقات "أقل من" و"متعددة" تنظم مجموعة الأعداد الطبيعية بطرق مختلفة. تتيح لك العلاقة "أقل من" مقارنة أي رقمين من المجموعة Xلكن العلاقة "المتعددة" لا تمتلك هذه الخاصية. حسنا، بضعة أرقام. 8 و 12 لا علاقة له بالعلاقة "المتعددة": لا يمكن أن يقال ذلك 8 عديد 12 أو 12 عديد 8.

لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن جميع العلاقات تنقسم إلى علاقات تكافؤ وعلاقات نظام. هناك عدد كبير من العلاقات التي ليست علاقات تكافؤ ولا علاقات ترتيب.

نوع مهم من العلاقات الثنائية هو علاقات النظام. علاقة ترتيب صارمة -علاقة ثنائية مضادة للانعكاس وغير متماثلة ومتعدية:

تعيين - (أسبق ب).الامثله تشمل

العلاقات "أكثر"، "أقل"، "أكبر"، إلخ. بالنسبة للأرقام، التدوين المعتاد هو العلامات "<", ">".

علاقة أمر غير صارمة -العلاقة الثنائية الانعكاسية وغير المتماثلة والمتعدية. إلى جانب الأمثلة الطبيعية للمتباينات غير الصارمة للأرقام، يمكن أن يكون أحد الأمثلة هو العلاقة بين نقاط المستوى أو الفضاء "لكي تكون أقرب إلى أصل الإحداثيات". يمكن أيضًا اعتبار المتباينة غير الصارمة، للأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية، انفصالًا عن علاقات المساواة والنظام الصارم.

إذا كانت البطولة الرياضية لا تنص على تقسيم الأماكن (أي، يحصل كل مشارك على مكان معين لتناول الطعام/المنح فقط)، فهذا مثال على ترتيب صارم؛ وإلا فإنه ليس صارما.

يتم إنشاء علاقات الترتيب على مجموعة عندما تكون هناك علاقة لبعض أو كل أزواج عناصرها

الأولوية . المهمة - لمجموعة من بعض العلاقات النظامية تسمى "ترتيبها،ويصبح "مجموعة نفسها" نتيجة لذلك أمر.يمكن تقديم علاقات النظام بطرق مختلفة. بالنسبة لمجموعة محدودة، فإن أي تبديل لعناصرها "يضع نظامًا صارمًا ما. يمكن ترتيب مجموعة لا نهائية بعدد لا حصر له من الطرق. فقط تلك الترتيبات التي لها معنى ذي معنى هي ذات الأهمية.

إذا كانت العلاقة النظام رعلى مجموعة موبعض العناصر المختلفة تحمل واحدة على الأقل من العلاقات

أربأو ب راثم العناصر أو بوتسمى قابلة للمقارنة,خلاف ذلك - لا تضاهى.

مجموعة مرتبة بالكامل (أو خطيًا). م -

مجموعة يتم تحديد علاقة ترتيبية عليها، وأي عنصرين من عناصر المجموعة مقابلة للمقارنة؛ مجموعة مرتبة جزئيًا- نفس الشيء، ولكن يُسمح بأزواج من العناصر التي لا تضاهى.

الترتيب الخطي هو مجموعة النقاط على الخط مع العلاقة "أكثر إلى اليمين"، ومجموعة الأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية، والأعداد الحقيقية مع العلاقة "أكبر من"، وما إلى ذلك.

مثال على مجموعة مرتبة جزئيًا هو المتجهات ثلاثية الأبعاد، إذا تم إعطاء الترتيب على النحو التالي، إذا

أي أنه إذا تم تنفيذ الأسبقية على طول الإحداثيات الثلاثة، فإن المتجهات (2، 8، 5) و (6، 9، 10) قابلة للمقارنة، لكن المتجهات (2، 8، 5) و (12، 7، 40) لا يمكن مقارنتها. يمكن توسيع طريقة الترتيب هذه لتشمل المتجهات من أي بعد: المتجه

يسبق يكتور إذا

وانتهى

يمكننا أن نتناول أمثلة أخرى للترتيب على مجموعة المتجهات.

1) النظام الجزئي: ، لو

أولئك. بواسطة طول المتجه؛ ناقلات بنفس الطول لا تضاهى.

2) الترتيب الخطي: ، لو أ لو إعلان،الذي - التي ب< е ; إذا zhd = c?i6 = e، إذن