Relacija parcijalnog reda ima svojstva. Svojstva relacija na skupu
Neka je R binarna relacija na skupu A.
DEFINICIJA. Binarna relacija R na skupu A naziva se relacija reda na A ili red na A ako je tranzitivna i antisimetrična.
DEFINICIJA. Relacija reda R na skupu A naziva se nestrogom ako je refleksivna na A, odnosno za svaki od A.
Relacija reda R naziva se stroga (na A) ako je antirefleksivna na A, odnosno za bilo koji od A. Međutim, iz antirefleksivnosti tranzitivne relacije R slijedi da je antisimetrična. Stoga se može dati sljedeća ekvivalentna definicija.
DEFINICIJA. Binarna relacija R na skupu A naziva se strogim redom na A ako je tranzitivna i antirefleksivna na A.
Primjeri. 1. Neka je skup svih podskupova skupa M. Relacija uključivanja na skup je relacija nestrogog reda.
2. Relacije na skupu realnih brojeva su, respektivno, relacije strogog i nestrogog reda.
3. Relacija djeljivosti u skupu prirodnih brojeva je relacija nestrogog reda.
DEFINICIJA. Binarna relacija R na skupu A naziva se relacija predreda ili predred na A ako je refleksivna na i tranzitivna.
Primjeri. 1. Relacija djeljivosti u skupu cijelih brojeva nije red. Međutim, on je refleksivan i tranzitivan, što znači da je prednarudžbina.
2. Relacija logičke implikacije je predured na skupu propozicionalnih logičkih formula.
Linearni poredak. Važan poseban slučaj reda je linearni poredak.
DEFINICIJA. Relacija poretka na skupu naziva se linearna relacija reda ili linearna poredak ako je povezana na , tj. za bilo koje x, y iz A
Relacija poretka koja nije linearna se obično naziva relacija parcijalnog reda ili parcijalni poredak.
Primjeri. 1. Relacija “manje od” na skupu realnih brojeva je relacija linearnog reda.
2. Odnos reda usvojen u rječnicima ruskog jezika naziva se leksikografski. Leksikografski poredak na skupu riječi u ruskom jeziku je linearan.
Riječ "red" se često koristi u raznim pitanjima. Oficir daje komandu: „Prema redosledu brojeva računaj“, aritmetičke radnje se izvode određenim redosledom, sportisti se rangiraju po visini, postoji redosled izvođenja radnji pri izradi dela i redosled reči. u rečenici.
Šta je zajedničko u svim slučajevima kada se govori o redu? Činjenica je da riječ „red“ ima sljedeće značenje: označava koji element datog skupa slijedi nakon kojeg (ili koji element prethodi kome).
stav " X slijedi at" tranzitivno: ako " X slijedi at" i " at slijedi z", to" x slijedi z" Osim toga, ovaj odnos mora biti antisimetričan: za dva različita X I at, Ako X slijedi at, To at ne prati X.
Definicija. Stav R na setu X pozvao odnos strogog reda, ako je tranzitivan i antisimetričan.
Otkrijmo karakteristike grafa i grafa relacija strogog reda.
Pogledajmo primjer. Na snimanju X= (5, 7, 10, 15, 12) dati omjer R: « X < at" Definirajmo ovu relaciju navođenjem parova
R = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.
Napravimo njegov graf. Vidimo da graf ove relacije nema petlje. Na grafikonu nema dvostrukih strelica. Ako od X strelica ide na at, i od at- V z, zatim od X strelica ide na z(Sl. 8).
Konstruisani graf vam omogućava da rasporedite elemente skupa X ovim redoslijedom:
{5, 7, 10, 12, 15}.
Na slici 6 (§ 6 ovog poglavlja), kolone VII, VIII su grafovi relacija strogog reda.
Nestrogi odnos
Suprotnost odnosu „manje od“ u skupu realnih brojeva je relacija „ne manje“. To više nije odnos strogog reda. Poenta je kada X = at, odnosi su ispunjeni X ³ at I at ³ X, tj. “ne manje” stav je refleksivan.
Definicija. Stav R na setu X pozvao nestrogi odnos, ako je refleksivan, antisimetričan i tranzitivan.
Takvi odnosi su zajednice odnosa strogog poretka sa odnosom identiteta.
Razmotrimo relaciju “nema više” (£) za skup
X= (5, 7, 10, 15, 12). Napravimo njegov graf (slika 9).
Graf odnosa nestrogog reda, za razliku od grafa relacija strogog reda, ima petlje na svakom vrhu.
Na sl. 6 (§ 6 ovog poglavlja) kolone V, VI su grafovi relacija nestrogog reda.
Naručeni setovi
Skup se može pokazati uređenim (kažu i potpuno uređen) nekom relacijom reda, dok drugi skup može biti neuređen ili djelomično uređen takvom relacijom.
Definicija. Gomila X pozvao naredio neki odnos poretka R, ako za bilo koja dva elementa x, y od X:
(X, at) Î R ili ( y, x) Î R.
Ako R je odnos strogog reda, zatim skup X naređeno ovim odnosom pod uslovom: ako X, at bilo koja dva nejednaka elementa skupa X, To ( X, at) Î R ili ( y, x) Î R, ili bilo koja dva elementa x, y setovi X su jednaki.
Iz školskog predmeta matematike se zna da su skupovi brojeva N , Z , Q , R poredano relacijom "manje od" (<).
Skup podskupova određenog skupa nije uređen uvođenjem inkluzivne relacije (I), odnosno stroge inkluzije (S) u gornjem smislu, jer postoje podskupovi od kojih nijedan nije uključen u drugi. U ovom slučaju kažemo da je dati skup djelimično uređen relacijom Í (ili Ì).
Razmotrite set X= (1, 2, 3, 4, 5, 6) i sadrži dvije relacije “manje od” i “podijeljeno”. Lako je provjeriti da su oba ova odnosa odnosi poretka. Graf odnosa “manje od” može se prikazati kao zraka.
Grafikon relacije “podijeljeno sa” može se prikazati samo na ravni.
Osim toga, graf druge relacije ima vrhove koji nisu povezani strelicom. Na primjer, ne postoji strelica koja povezuje brojeve 4 i 5 (slika 10).
Prva relacija" X < at"zove se linearna. Općenito, ako je odnos uredan R(strogi i nestrogi) na setu X ima svojstvo: za bilo koje X, atÎ X ili xRy, ili yRx, tada se naziva linearna relacija reda, a skup X– linearno uređen skup.
Ako je set X naravno i sastoji se od n elemenata, zatim linearnog reda X svodi se na numerisanje njegovih elemenata brojevima 1,2,3, ..., n.
Linearno uređeni skupovi imaju niz svojstava:
1°. Neka a, b, c– elementi skupa X, poredano po relaciji R. Ako se to zna aRv I u Rs, onda kažu da je element V leži između elemenata A I With.
2°. Gomila X, linearno poredano relacijom R, naziva se diskretnim ako između bilo koja dva njegova elementa leži samo konačan skup elemenata ovog skupa.
3°. Linearno uređen skup naziva se gust ako za bilo koja dva različita elementa ovog skupa postoji element skupa koji leži između njih.
Relacija ekvivalencije. Veza između relacije ekvivalencije i podjele skupa na klase
Definicija. Stav R na setu X naziva se relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna.
Primjer. Razmotrite odnos " X drug iz razreda at„na mnogim studentima Pedagoškog fakulteta. Ima sljedeća svojstva:
1) refleksivnost, jer svaki učenik je sam sebi drug iz razreda;
2) simetrija, jer ako je student X at, zatim student at je učenik iz razreda X;
3) tranzitivnost, jer ako je student X- drugarica iz razreda at, i student at– drugarica iz razreda z, zatim student Xće biti učenikov drug iz razreda z.
Dakle, ova relacija ima svojstva refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti, te je stoga relacija ekvivalencije. Istovremeno, mnogi studenti Pedagoškog fakulteta mogu se podijeliti u podskupove koje se sastoje od studenata koji studiraju na istom predmetu. Dobijamo 5 podskupova.
Relacije ekvivalencije su i, na primjer, odnos paralelnosti pravih, odnos jednakosti figura. Svaki takav odnos povezan je sa dijeljenjem skupa na klase.
Teorema. Ako je na setu X ako je data relacija ekvivalencije, onda ovaj skup dijeli na parno disjunktne podskupove (klase ekvivalencije).
Obrnuti iskaz je također istinit: ako je bilo koja relacija definirana na skupu X, generiše particiju ovog skupa na klase, onda je to relacija ekvivalencije.
Primjer. Na snimanju X= (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8) specificirana je relacija „imati isti ostatak kada se podijeli sa 3“. Da li je to relacija ekvivalencije?
Napravimo graf ovog odnosa: (nezavisno)
Ova relacija ima svojstva refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti, stoga je relacija ekvivalencije i dijeli skup X na klase ekvivalencije. U svakoj klasi ekvivalencije biće brojevi koji, kada se podijele sa 3, daju isti ostatak: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.
Smatra se da klasu ekvivalencije određuje bilo koji njen predstavnik, tj. proizvoljan element ove klase. Dakle, klasa jednakih razlomaka može biti specificirana specificiranjem bilo kojeg razlomka koji pripada ovoj klasi.
U početnom kursu matematike susreću se i odnosi ekvivalencije, na primjer, „izrazi X I at imaju iste numeričke vrijednosti", "slika X jednaka figuri at».
Definicija. Stav R na setu X naziva se relacija poretka ako je tranzitivna i asimetrična ili antisimetrična.
Definicija. Stav R na setu X naziva se relacija striktnog reda ako je tranzitivna i asimetrična.
Primjeri odnosi strogog reda: "više" na skupu prirodnih brojeva, "više" na skupu ljudi, itd.
Definicija. Stav R na setu X naziva se relacija nestriktnog reda ako je tranzitivna i antisimetrična.
Primjeri relacije nestrogog reda: “nema više” na skupu realnih brojeva, “budi djelitelj” na skupu prirodnih brojeva, itd.
Definicija. Gomila X naziva se uređenim ako je na njemu specificiran odnos reda.
Primjer. Na snimanju X= (1; 2; 3; 4; 5) date su dvije relacije: “ X £ at" i " X- razdjelnik at».
Oba ova odnosa imaju svojstva refleksivnosti, antisimetrije i tranzitivnosti (konstruirajte grafove i sami provjerite svojstva), tj. su odnosi nestrogog reda. Ali prva relacija ima svojstvo povezanosti, dok druga nema.
Definicija. Odnos reda R na setu X naziva se linearna relacija reda ako ima svojstvo povezanosti.
U osnovnoj školi se izučavaju mnogi odnosi reda. Već u prvom razredu postoje relacije “manje”, “više” na skupu prirodnih brojeva, “kraće”, “duže” na skupu segmenata itd.
Kontrolna pitanja
1. Definirajte binarnu relaciju na skupu X.
2. Kako napisati izjavu da elementi X I at su u vezi R?
3. Navedite načine definiranja odnosa.
4. Formulirajte svojstva koja veze mogu imati. Kako se ova svojstva odražavaju na grafikonu?
5. Koja svojstva mora imati relacija da bi bila relacija ekvivalencije?
6. Kako je relacija ekvivalencije povezana sa podjelom skupa na klase?
7. Koja svojstva mora imati odnos da bi bio odnos reda?
Važan tip binarnih odnosa su odnosi poretka. Strogi odnos reda - binarni odnos koji je antirefleksivan, antisimetričan i tranzitivan:
oznaka - (A prethodio b). Primjeri uključuju
odnosima “više”, “manje”, “stariji” itd. Za brojeve, uobičajena oznaka su znakovi "<", ">".
Nestrogi odnos poretka - binarni refleksivni, antisimetrični i tranzitivni odnos. Uz prirodne primjere nestrogih nejednakosti za brojeve, primjer može biti odnos između tačaka ravni ili prostora „da budu bliže ishodištu koordinata“. Nestroga nejednakost, za cijele i realne brojeve, također se može smatrati disjunkcijama relacija jednakosti i strogog reda.
Ako sportski turnir ne predviđa podjelu mjesta (tj. svaki učesnik dobije određeno, samo jelo/nagrađeno mjesto), onda je to primjer strogog reda; inače, nije striktno.
Relacije poretka se uspostavljaju na skupu kada je za neke ili sve parove njegovih elemenata relacija
prednost . Poziva se zadatak - za skup neke relacije reda njegovo "uređenje, a "sam set" kao rezultat toga postaje naredio. Relacije poretka se mogu uvesti na različite načine. Za konačan skup, svaka permutacija njegovih elemenata "postavlja neki strogi red. Beskonačan skup se može urediti na beskonačan broj načina. Interesantni su samo oni redosledi koji imaju smisleno značenje.
Ako za odnos narudžbe R na setu .M a neki različiti elementi drže barem jednu od relacija
aRb ili bRa zatim elementi A I b su pozvani uporedivo, inače - neuporedivo.
Potpuno (ili linearno) uređen skup M -
skup na kojem je specificiran odnos poretka i bilo koja dva elementa skupa M uporedivi; djelomično naručeni set- isto, ali su dozvoljeni parovi neuporedivih elemenata.
Linearno uređen je skup tačaka na pravoj sa relacijom „više udesno“, skup celih brojeva, racionalni brojevi, realni brojevi sa relacijom „veće od“ itd.
Primjer djelomično uređenog skupa bi bili trodimenzionalni vektori, ako je poredak dat na sljedeći način, ako
To jest, ako se prioritet vrši duž sve tri koordinate, vektori (2, 8, 5) i (6, 9, 10) su uporedivi, ali vektori (2, 8, 5) i (12, 7, 40) nisu uporedivi. Ova metoda uređenja može se proširiti na vektore bilo koje dimenzije: vektor
prethodi yktoru if
I gotovo
Možemo razmotriti i druge primjere uređenja na skupu vektora.
1) djelomični red: 
, Ako
One. po dužini vektora; vektori iste dužine su neuporedivi.
2) linearni poredak: 
, Ako a
Posljednji primjer uvodi koncept abecednog reda.
Abeceda je skup parova različitih znakova koji se nazivaju slovima abecede. Primjer je abeceda bilo kojeg evropskog jezika, kao i abeceda od 10 arapskih brojeva.Na računaru tastatura i neki prateći alati određuju abecedu važećih znakova.
Riječ u abecediA - niz znakova abecede A. Riječ je ispisana abecednim simbolima u nizu, slijeva nadesno, bez razmaka. Prirodni broj je riječ u digitalnom alfabetu. Formula nije uvijek riječ zbog nelinearnog rasporeda simbola; prisutnost superskript (eksponenti) i indeks (indeksi varijabli, baze logaritama) simboli, razlomka, radikali znakova itd.; međutim, prema nekim konvencijama može se zapisati u niz, koji se koristi, na primjer, u kompjuterskom programiranju (na primjer, znak eksponencijacije se piše kao 2 znaka množenja u nizu: 5**3 znači treći stepen od broj 5.
Leksikografski (abecedni) poredak - za različite riječi u abecedi sa poređanim
simboli postavljaju redoslijed: , if
moguća prezentacija 
, na kojem bilo
(podriječ može biti prazna), ili - prazna podriječ
U ovoj definiciji - prefiks (početna podriječ) koji je isti za obje riječi - ili prve s lijeve strane se razlikuju
znakova, bilo - posljednji znak u riječi - rep
podreči.
Dakle, abecedni poredak riječi određen je prvim simbolom s lijeve strane koji ih razlikuje (na primjer, riječ KONUS prethodi riječi KOSIN jer se one prve razlikuju u trećem slovu, a N ispred S u ruskom alfabetu). Također se smatra da znak za razmak prethodi bilo kojem znaku abecede - u slučaju kada je jedna od riječi prefiks druge (na primjer, CON i CONE)
Vježbajte. Provjerite da li se abecedni poredak prirodnih brojeva koji imaju isti broj decimalnih mjesta poklapa s njihovim redoslijedom po veličini.
Neka A - djelomično naručeni set. Element se zove maksimum V A, ako ne postoji element za koji A< b. Element A pozvao najveća V A, ako se za svakog razlikuje od A element završen b<а-
Određeno simetrično minimalni i najmanji elementi. Koncepti najvećeg i maksimalnog (odnosno, najmanjeg i minimalnog) elementa su različiti - vidi. primjer na slici 14. Skup na sl. 14,a ima najveći element R, to je ujedno i maksimum, postoje dva minimalna elementa: s i t, ne postoji najmanji. Na slici 14b, naprotiv, postoji skup koji ima dva maksimalna elementa / i j, nema najvećeg, minimalnog, odnosno najmanjeg - jednog: T.
Općenito, ako skup ima najveći (odnosno najmanji) element, onda postoji samo jedan (možda ga nema).
Može biti nekoliko maksimalnih i minimalnih elemenata (možda ih uopće nema - u beskonačnom skupu; u krajnjem slučaju - mora postojati).
Pogledajmo još dva primjera. - odnos na setu N:
„Y deli X", ili "X je djelitelj broja Y"(Na primjer,
) je refleksivan i tranzitivan. Razmotrimo ga na konačnom skupu djelitelja broja 30.
Relacija je relacija djelomičnog poretka (nestroga)
i predstavljen je sljedećom matricom reda 8, koja sadrži 31 znak
Odgovarajuće kolo sa 8 vrhova mora sadržavati 31 vezu. . Međutim, bit će zgodnije za gledanje ako izuzmemo 8
veznici-petlje koje oslikavaju refleksivnost odnosa (dijagonalni elementi matrice) i tranzitivni veznici, tj. ligamenti
Ako postoji srednji broj Z takav da
(na primjer, vezivo pošto). Zatim u šemi
12 ligamenata će ostati (slika 15); karike koje nedostaju su implicirane "tranzitivnošću". Broj 1 je najmanji, a broj 30
najveći elementi u . Ako izuzmemo iz broja 30 i
onda razmotrimo isti delimični redosled na setu
ne postoji maksimalni element, ali postoje 3 maksimalna elementa: 6, 10, 15
Sada napravimo isto kolo za relaciju na Booleovu
(skup svih podskupova) skupa od tri elementa
Sadrži 8 elemenata:
Provjerite da li se poklapaju elementi a, b, c, redom, brojevi 2, 3, 5 i operacije kombinovanja skupova su množenje odgovarajućih brojeva (tj., na primer, podskup odgovara
proizvod 2 5 = 10), tada će matrica relacija biti upravo ovakva
isto kao i za odnos; dijagrame ova dva odnosa sa opisanim
Skraćenice petlji i tranzitivnih veziva poklapaju se do notacije (vidi sliku 16). Najmanji element je
I najveći -
Binarni odnosi R na setu A I S na setu IN su pozvani izomorfan, ako između A i B moguće je uspostaviti korespondenciju jedan prema jedan G, u kojoj, ako (tj.
elementi su u odnosu R), zatim (slike
ovi elementi su u vezi S).
Dakle, djelomično uređeni skupovi su izomorfni.
Razmatrani primjer dozvoljava generalizaciju.
Boolean odnos je parcijalni poredak. Ako
One. gomila E sadrži P elemenata, zatim svaki
odgovara podskupu P-dimenzionalni vektor sa
komponente , gdje je karakteristična funkcija
set A/ . Skup svih takvih vektora može se smatrati skupom tačaka P-dimenzionalni aritmetički prostor sa koordinatama 0 ili 1, ili, drugim riječima, kao vrhovi P-dimenzionalno
jedinična kocka, označena sa , tj. kocka sa ivicama jedinične dužine. Za n = 1, 2, 3 označene tačke predstavljaju, redom, krajeve segmenta, vrhove kvadrata i kocke - otuda i uobičajeni naziv. Za /7=4, grafički prikaz ovog odnosa je na slici 17. Blizu svakog vrha 4-dimenzionalne kocke odgovarajući
podskup skupa od 4 elementa i četverodimenzionalnog
vektor koji predstavlja karakterističnu funkciju ovog podskupa. Vrhovi koji odgovaraju podskupovima koji se razlikuju po prisutnosti tačno jednog elementa povezani su jedan s drugim.
Na slici 17, četvorodimenzionalna kocka je prikazana na način da na jednoj
nivou, neuporedivi elementi se nalaze u parovima, koji sadrže isti broj jedinica u zapisu (od 0 do 4), ili, drugim rečima, isti broj elemenata u predstavljenim podskupovima.
Na slici 18a, b - drugi vizuelni prikazi 4-dimenzionalne kocke;
na slici 18a osa prve varijable OH usmjereno prema gore (namjerno odstupanje od vertikale kako se različiti rubovi kocke ne spajaju):
u ovom slučaju 3-dimenzionalna potkocka koja odgovara X= 0 se nalazi ispod, a za X= 1 - više. Na sl. 186 iste ose OH usmjerena od unutrašnjosti kocke prema van; unutrašnja potkocka odgovara X= Oh, a vanjski je X = 1.
IN 
Datoteka materijala prikazuje sliku 5-dimenzionalne jedinične kocke (str. 134).
2) relacija na skupu X naziva se relacija strogo po redu, ako je antisimetričan i tranzitivan. Veza se zove antisimetrično, ako iz činjenice da je a u odnosu na c u ne slijedi da je b u odnosu na a (a, u ∈ X, a R u → u R a) R – biti u vezi. Veza se zove tranzitivan, ako za bilo koje elemente a, b, c iz činjenice da je a R u i u R c → da je a R c, a, b, c ∈ X. Na primjer: relacija “više, manje”. Poziva se skup na kojem je definirana stroga relacija reda naredio mnogi.
3) relacija na skupu X naziva se relacija nije u strogom redu, ako je refleksivan, asimetričan i tranzitivan. Na primjer: relacija ≥ ≤. Ako odnos poretka ima svojstvo povezanosti, onda se kaže da je relacija linearni poredak. Veza se zove povezane na skupu X, ako je za bilo koje elemente x i y ispunjen sljedeći uvjet: iz činjenice da je x ≠ y slijedi da je x R y ili y R x. Ako je relacija linearnog reda data na skupu, onda ona linearno poređa dati skup.
5. Skup realnih brojeva. Njegova svojstva. Proširenje skupa racionalnih brojeva vođeno je potrebom da se izmjere dužine segmenata, površina itd. Osnova svakog mjerenja je isti princip: mjerni objekt se upoređuje sa standardom (predmetom ili fenomenom), čija vrijednost ima numeričku vrijednost jednaku 1, ali jedinični segment nije uvijek ugrađen u mjerni objekt. Stoga se prilikom mjerenja prave dvije pretpostavke koje se u matematici definiraju kao aksiomi: 1) Jedan standard se može podijeliti na bilo koji broj jednakih udjela ili dijelova. 2) Odabrani standard se može koristiti za mjerenje bilo kojeg objekta po želji. Za segmente, ove aksiome je formulirao Arhimed: Bez obzira koliko je mali segment AB i koliko god da je segment CD veliki, postoji prirodan broj N takav da je N*AB>CD, ako izmjereni segment CD sadrži jednaku broj segmenata AB, tada se dužina segmenta CD izražava prirodnim brojem. Ako je u izmjerenom segmentu CD segment AB postavljen nejednak broj puta, tada se AB dijeli na 10 identičnih segmenata, koji se nazivaju desetinkama etalona. Ako je potrebno, desetina se može podijeliti na 10 jednakih dijelova itd. Ako jednak broj 10, 100, itd. stane u segment CD. razlomci segmenata AB, tada je dužina segmenta CD izražena racionalnim brojem. Međutim, dužina segmenta se ne može uvijek izraziti prirodnim ili racionalnim brojem. Postoje nesamerljivi segmenti, tj. segmente čija dužina nije izražena racionalnim brojem. (teoreme vidi pitanje 32)
Brojevi koji se mogu predstaviti kao beskonačni decimalni neperiodični razlomci nazivaju se iracionalni. Unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva ().
Svojstva skupa realnih brojeva. 1). Skup tačaka na brojevnoj pravoj jednak je skupu realnih brojeva.
0 M 1 Uzmite bilo koju tačku M na segmentu od 0 do 1,
D nacrtati polukrug sa centrom u
Sredina ovog segmenta i poluprečnik
K O S jednako polovini. Nacrtajmo okomicu iz M dok se ne siječe s polukružnicom. Dobijamo D. Ova tačka je jedinstvena, pošto se polukrug i prava seku samo u jednoj tački. Od sredine ovog segmenta povucite pravu liniju kroz D dok se ne siječe s brojevnom osom. Dobijamo K, koji je određen na jedinstven način, pošto se prave seku samo u jednoj tački. Odabirom druge proizvoljne tačke na datom segmentu i ponavljanjem čitavog procesa, dobijamo da bilo kojoj tački na segmentu od 0 do 1 odgovara jedna tačka na brojevnoj pravoj. Rasuđujući obrnutim redoslijedom, možemo pokazati da bilo kojoj tački na brojevnoj pravoj odgovara i jedna tačka od 0 do 1. Ako proizvoljna tačka E pripada brojevnoj pravoj, onda se kroz tačke M i E može povući samo jedna prava koji seče polukrug. Iz polukruga možete spustiti okomicu na dati segment. Tako se uspostavlja međusobno identično preslikavanje između tačaka segmenta od 0 do 1 i tačaka brojevne prave, tj. podjednako su moćni.
2) skup realnih brojeva nije prebrojiv, tj. nije jednak skupu prirodnih brojeva.
3). Skup realnih brojeva je neprekidan skup. Kontinuitet skupa realnih brojeva je da između bilo koja dva realna broja postoji beskonačan skup samo realnih brojeva
6. Particioniranje skupa u klase. Primjeri klasifikacije. Relacija ekvivalencije, njena svojstva. Odnos između relacije ekvivalencije i podjele skupa na klase. Pogledajmo primjer. Neka je zadan skup M (skup konveksnih poligona), formiramo sve podskupove ovog skupa: A 1 – skup trouglova; A2 – skup četvorouglova; A3 – skup pentagona; Ak je skup k-gona. Smatra se da je skup M podijeljen na klase ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:
- svaki podskup A nije prazan
- presek bilo koja dva podskupa je prazan skup
- unija svih podskupova je dati skup M
Poziva se particionisanje skupa na klase klasifikacija.
Stav na skupu X se zove ekvivalentno , ako je refleksivan, simetričan i tranzitivan. Veza se zove reflektirajuće, ako je bilo koji element iz skupa X u vezi sa samim sobom a ∈ X, a R a (R je u vezi). Veza se zove simetrično, ako za bilo koja dva elementa skupa X (a i b) iz činjenice da je a u odnosu sa b, slijedi da je b u odnosu sa a (a, b ∈ X, i R b → u R a). Veza se zove tranzitivan, ako za bilo koje elemente a, b, c iz činjenice da je a R u i u R c → da je a R c, a, b, c ∈ X. Na grafu relacija ekvivalencije postoje petlje, međusobno inverzne strelice i trouglasti strelice. Relacija ekvivalencije, i samo ona, povezana je sa podjelom skupa na klase. Ova izjava se može formulisati kao teoreme: Ako je relacija ekvivalencije specificirana na skupu X, onda ova relacija dijeli skup X na klase, i obrnuto, ako je skup X podijeljen na klase, tada je relacija ekvivalencije zadovoljena na datom skupu. Na primjer. Neka stav bude dat - živjeti u istoj kući. Pokažimo da će se skup stanara u kući podijeliti na klase. I svaka klasa je zaseban stan. Za ovu podjelu bit će ispunjeni svi potrebni uslovi za podjelu skupa na klase: a) svaka klasa nije prazna, jer u svakom stanu je prijavljena najmanje 1 osoba, b) razredi se ne preklapaju (1 osoba nije upisana u dva različita stana), c) zajednica svih klasa, tj. stanara svakog stana, a čini skup stanovnika kuće.
18 . Teorijski pristup konstruiranju teorije nenegativnih cijelih brojeva. Odnosi jednakosti, više (manje). Dva skupa A i B nazivaju se ekvivalentnim ili jednako snažnim ako se između njih može uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan, odnosno ako je svaki element skupa A povezan s jednim elementom skupa B i obrnuto. Snaga ili kardinalni broj je svojstvo koje je inherentno bilo kom skupu B koje je ekvivalentno skupu A i nije svojstveno nijednom drugom skupu koji nije jednak skupu A. A~B n (A) = a je snaga. Odnos jednake moći je odnos ekvivalencije, tj. za to su zadovoljena svojstva refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti. Relacija ekvivalencije dijeli skup svih skupova u klase ekvivalencije. Da biste definirali koncept prirodnog broja i nule, razmotrite particiju svih konačnih skupova.
Neka je M skup svih konačnih skupova. M = K 0 Ka Kv, gdje je Ko klasa praznih skupova, Ka je skup koji sadrži jednake skupove a 1, a 2, a 3, itd., Kv je skup. Sadrži skupove jednake kardinalnosti u 1, u 2, u 3, itd. Skup M može sadržavati i druge podskupove K različite prirode, koji se sastoje od skupova jednake snage. Svaka klasa ekvivalencije K ima zajedničko to što se sastoje od istog broja elemenata; nema drugih zajedničkih svojstava. Nenegativni cijeli broj, sa teorijske tačke gledišta, je opće svojstvo klase konačnih skupova jednake snage. Prirodni broj je opšte svojstvo klase nepraznih konačnih skupova jednake kardinalnosti. Svakoj klasi je dodijeljen kardinalni broj (kardinalnost). Prazan skup klase ima koordinatni broj 0. Klasi koja se sastoji od skupova koji imaju 1 element dodjeljuje se broj 1. Klasi koja se sastoji od skupova sa 2 elementa dodeljuje se broj 2. (n(K 0)=0, n(K 1)=1, n(K 2)=2, n(Ka)=a).
Odnos jednakosti. Nenegativni cijeli brojevi a i b kažu da su jednaki ako su skupovi A i B, čiji broj izražavaju, jednaki (A; n(A)=a, n(B)=b, A ~ B n( A)=n(B) a=c).
Teorema: relacija jednakosti u skupu nenegativnih cijelih brojeva je relacija ekvivalencije. Dokaz. Dokažimo da relacija jednakosti ima svojstva simetrije, tranzitivnosti i refleksivnosti.
Jer svojstva refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti su zadovoljena, tada je relacija jednakosti relacija ekvivalencije.
Omjer je manji. Nenegativni cijeli broj a<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В 1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В 1 В n(В 1) Teorema: relacija manja nego u skupu nenegativnih cijelih brojeva je relacija strogog reda. Dokaz: Dokažimo da relacija manje ima svojstva antisimetrije i tranzitivnosti. C 2 C 1 C 2 ~B 1 C 2 ~A n(A)=n(C 2) n(C 2) A B C 1 C B 1 C 2 19
. Sabiranje i oduzimanje u kvantitativnoj teoriji nenegativnih cijelih brojeva. Njihova svojstva. Iznos dva nenegativna cijela broja a i b nazivamo nenegativnim cijelim brojem c, koji je kardinalnost unije dva disjunktna skupa A i B, čiji su kardinali jednaki a i b. a+b=c, n(C)=n(AUB), n(AUB)=n(A)+n(B). Svojstva sabiranja. 1. Sabiranje u skupu nenegativnih cijelih brojeva uvijek postoji i definirano je na jedinstven način. Dokažimo da zbir uvijek postoji. Razmotrimo A i B, tako da je njihov presek prazan skup, a broj elemenata A je a, a kardinalnost B je b. hajde da nađemo uniju A i B. Pošto unija dva disjunktna skupa uvek postoji, to znači da postoji i zbir, a iz definicije zbira sledi da sabiranje uvek postoji. Dokažimo da je zbir određen na jedinstven način. Postoje C 1 i C 2 – nenegativni cijeli brojevi. C 1 = a + b i C 2 = a + b. Zbir brojeva a i b ne zavisi od toga koje smo skupove A i B izabrali iz klase skupova jednakih snaga, pa stoga unija A i B uzetih iz klase skupova jednakih snaga ne zavisi od izbora skupovi A i B, pošto su snage u svakoj klasi iste, onda je C 1 = C 2. 2. Komutativno sabiranje. Za bilo koje nenegativne cijele brojeve a i b vrijedi svojstvo a+b=b+a. Iz teorije skupova znamo da je za AUV = VUA. Ako su skupovi jednaki, njihove numeričke vrijednosti su jednake. n(AUV)=n(VUA). Iz teorije skupova znamo da je snaga unije jednaka zbiru potencija. N(A)+n(B)=n(B)+n(A). 3. Svojstvo asocijativnosti. Za bilo koje brojeve a, b, c vrijedi sljedeće svojstvo: a+(b+c)=(a+b)+c. Iz teorije skupova je poznato da je za objedinjavanje skupova zadovoljeno svojstvo asocijativnosti: AU(VUS)=(AUV)UC, ako su skupovi jednaki, onda su njihove numeričke vrijednosti jednake, n(AU(VUS))=n( (AUV)UC). Iz teorije skupova je poznato da je snaga unije jednaka zbroju potencija ovih skupova, n(A)+n(BUC)=n(AUB)+n(C) n(A)+(n (B)+n(C))= (n(A)+n(B))+n(C) a+(b+c)=(a+b)+c. Po razlici nenegativni cijeli brojevi a i b nazivaju se nenegativnim cijelim brojem c, što je snaga komplementa skupa B skupu A, tako da B pripada A, n(A)=a, n(B) =b. Difference Properties. 1. Da bi postojala razlika nenegativnih cijelih brojeva, potrebno je i dovoljno da a bude veće ili jednako b. Hajde da dokažemo: 1) dovoljan uslov za postojanje razlike. Dato je: a - b = c, dokazati: a c. Iz definicije razlike slijedi da postoji komplement skupa B skupu A, a ovaj komplement ima moć, što se može naći iz jednakosti poznate iz teorije skupova. n() = n(A)-n(B). Iz činjenice da je B podskup od A slijedi da je broj elemenata u B manji od broja elemenata u A. n (B) 2). Neophodan uslov. S obzirom na c. dokazati postojanje razlike (a-c). Ako je a>b, prema definiciji relacije “manje od”, postoji skup A 1 takav da je A 1 uključen u A i A 1 ~B. Hajde da napravimo razliku između A i A 1. Ova razlika uvek postoji (A - A 1 = C), i stoga postoji C, što je ta razlika. Iz ovih uslova proizilazi da je C komplement od A 1 do A. C = 1A Moć C je moć komplementa od A 1 do A. n (C)=n( 1A)=n(A)- n(A 1), pošto je A 1 ~ B, onda je n(A 1)=n(B), dakle n(C)=n(A)-n(B), dakle c=a-b. 2. Razlika nenegativnih cijelih brojeva nalazi se na jedinstven način, pošto je razlika snaga komplementa podskupova skupu, a komplement je određen na jedinstven način, tada je razlika nenegativnih cijelih brojeva određena na jedinstven način. 3. Svojstva komutativnosti i asocijativnosti nisu zadovoljena za oduzimanje. 4. Oduzimanje iznosa od broja. a-(b+c)=(a-c)-c. Iz teorije skupova je poznato A\(BUC)=(A\B)\C, i B Ì A; S Ì A; BUSCA. n (A\(BUC))=n((A\B)\C) n(A)-n(BUC)=n(A\B)-n(C) n(A)-(n(B)+n(C))=(n(A)-n(B))-n(C) a-(b+c)=(a-c)-c. 5. Oduzimanje broja od razlike (a-c)-c=(a-c)-c. Dokaz se zasniva na svojstvu razlike skupova (A\B)\C=(A\C)\B. 6. Oduzimanje broja od zbira (a+b)-c=(a-c)+c. Dokaz se zasniva na svojstvu skupova (AUV)\S=(A\S) UV. Čak ni ne U praksi se često susrećemo sa funkcijama koje nisu ni parne ni parne. 4. Funkcije mogu biti periodične. Funkcija se naziva periodičnom ako postoji broj T takav da je uslov f(x+T)=f(x) zadovoljen. Sve trigonometrijske funkcije (sinus, kosinus, tangenta) su periodične. 5. funkcije mogu imati singularne tačke. To su tačke preseka sa koordinatnim osama i tačke ekstrema, tj. minimalni i maksimalni bodovi. Tačka x0 naziva se minimalnom tačkom funkcije ako su za sve X iz okoline x0 ispunjeni uslovi f (x) > f (x0). Tačka x0 naziva se maksimalnom točkom funkcije ako je za sve x u blizini x0 f(x)< f (x0). 6. funkcije mogu imati intervale znakova konstantnosti, tj. to su oni podskupovi, domeni definicije, čiji elementi okreću funkciju ili samo pozitivno ili samo negativno. 7. funkcija može imati tačke prekida, tj. one vrijednosti varijable x u kojima y ne postoji (funkcije inverzne proporcionalnosti). y = , ako je x = 0 Pretražite na stranici: Onemogući adBlock!
7. Koncept torke uređenog para. Dekartov proizvod skupova i njegova svojstva. Broj elemenata u određenom proizvodu skupova. Da biste uveli koncept kartezijanskog proizvoda skupova, razmotrite koncept povorka. Ovaj koncept, kao i koncept skupa, je osnovni neodređeni koncept. Za tuple, redosled elemenata je važan. Elementi u tuple se mogu ponoviti. Broj elemenata u datom tuple-u naziva se njegova dužina. Skup dužine 2 naziva se uređeni par. Kartica je označena sa () ili< >. × je oznaka za kartezijanski proizvod skupova. (a,b,a); (a,b,c) ≠ (b,a,c); (a,e,c)=(a,e,c). Dekartov proizvod skupova A i B je skup koji se sastoji od svih uređenih parova u kojima je prva komponenta element prvog skupa, a druga komponenta element drugog skupa. A=(a,b,c) B=(1,2) A×B=((a,1),(a,2), (c,1),(c,2),(c,1) ,(c,2)) Svojstvo kartezijanskog proizvoda skupova (CPM). DPM nema svojstvo komutativnosti i asocijativnosti: A×B≠B×A. Distributivna svojstva DPM-a su zadovoljena: 1) u odnosu na uniju skupova A×(B⋃C)=(A×B)⋃(A×C); 2) u pogledu preseka skupova A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C). Da biste pronašli broj elemenata u DP-u u dva ili više skupova, morate znati broj elemenata u svakom skupu. Ako je broj elemenata n. Ako je n(A)=n, i n(B)=m, onda je n(A×B)=n*m. Neka je A=(a1,a2,a3,...an) B=(b1,b2,b3,...bm). Sastavimo DPM A i B: (a1,b1) (a1,b2) (a1,b3) ...(a1, bm) (a2,b1) (a2,b2) (a2,b3) ...( a2, bm) (a3 ,v1) (a3,v2) (a3,v3) …(a3,vm) __________________________ (an, v1) (an, v2) (an, v3) …(an, vm) U svakom redu postoje em-parovi, takvi redovi en, to znači da je ukupan broj navedenih stavki em na en parovima, stoga je broj elemenata u DPM A i B jednak proizvodu broja elemenata u skupu A i broj elemenata u skupu B. 8. Koncept korespondencije između skupova. Metode za određivanje usklađenosti. Vrste korespondencije. Korespondencija ef između elemenata skupova X i Y naziva se trojka skupova (X;U; G f (ji iz ef), ji iz ef je podskup DP-a (kartezijanski proizvod). Skup X se naziva region odlaska, skup Y se naziva region dolaska ji od ef - naziva se graf ove korespondencije. Domen utvrđivanja korespondencije ef je skup onih elemenata prvog skupa (tj. područje odlaska) na koje elementi drugog skupa (tj. područja dolaska) odgovaraju Skup vrijednosti korespondencije ef je skup elemenata područja dolaska kojemu u skladu sa nekim elementima područja odlaska. Metode za određivanje korespondencije: navođenje njegovih elemenata, korištenje grafa, korištenje grafa, korištenje tablice, verbalno, algebarski, tj. jednačina, nejednakost. Vrste korespondencije. Korespondencije se zovu svuda definisano, ako se područje slanja poklapa s područjem definicije. U grafu takve korespondencije, najmanje jedna strelica polazi od svakog elementa prvog skupa. Usklađenost se zove surjektivni, ako se njegov skup vrijednosti poklapa sa regijom dolaska. U grafu takve korespondencije, najmanje 1 strelica odgovara svakom elementu 2. skupa. Usklađenost se zove injektivno, ako nijedan drugi element iz 1. skupa ne odgovara istom elementu 2. skupa. U grafu takve korespondencije, nijedan element 2. skupa se ne podudara sa više od 1 strelice. Usklađenost se zove funkcionalan, ako svaki element 1. skupa odgovara ne više od 1 elementa 2. skupa. Na grafu takve korespondencije, ako postoji samo 1 strelica koja polazi od svakog elementa 1. skupa. Funkcionalna korespondencija se zove funkcija. Među svim funkcionalnim korespondencijama, postoje univerzalno definirajuće korespondencije, koje se nazivaju displej. Usklađenost se zove jedan na jedan, ako su ispunjeni sljedeći uvjeti: 1) bilo koja dva različita elementa skupa X odgovaraju različitim elementima skupa Y, 2) bilo kojem elementu skupa Y odgovara barem jedan element skupa X. Dvije korespondencije između skupovi X i Y se nazivaju suprotno, ako se njihovi grafovi međusobno nadopunjuju s kartezijanskim proizvodom X i Y. Korespondencija se naziva obrnuto na datu korespondenciju ako data korespondencija vrijedi ako i samo ako vrijedi obrnuto. Ako je data korespondencija podskup kartezijanskog proizvoda skupova X i Y, tada je inverzna korespondencija podskup kartezijanskog proizvoda skupova X i Y. Da bi se dobila inverzna korespondencija datom. Na njegovom grafikonu potrebno je promijeniti smjer strelica.
9. Funkcionalna usklađenost. Svojstva numeričkih funkcija. Usklađenost se zove funkcionalan, ako svaki element 1. skupa odgovara ne više od 1 elementa 2. skupa. Na grafu takve korespondencije, ako postoji samo 1 strelica koja polazi od svakog elementa 1. skupa. Funkcionalna korespondencija definirana na numeričkom skupu naziva se numerička zove se funkcija. Svojstva numeričkih funkcija. 1. Svaka funkcija ima domenu definicije i skup vrijednosti. 2. Funkcija može biti rastuća ili opadajuća. Za funkciju se kaže da raste na intervalu a b ako za bilo koje x1 i x2 x1 > x2 slijedi f (x1) > f (x2). Funkcija se naziva opadajućom na intervalu a b ako za bilo koje x1 i x2 iz ovog intervala, iz činjenice da je x1 > x2 slijedi f (x1)< f (x2).
3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной – симметричен относительно начала координат.
у = х 2 у = х 3
Web stranica 2015-2020 - Kontakti - Najnoviji dodatak
veoma potrebno
