علاقات منظمة. علاقة النظام

غالبًا ما تستخدم كلمة "النظام" في مجموعة متنوعة من القضايا. يعطي الضابط الأمر: "حسب ترتيب الأرقام، احسب"، تتم العمليات الحسابية بترتيب معين، ويتم ترتيب الرياضيين حسب الطول، وهناك ترتيب لأداء العمليات عند صنع جزء، وترتيب الكلمات في جملة.

ما هو الشائع في جميع الحالات عند الحديث عن النظام؟ الحقيقة هي أن كلمة "نظام" لها المعنى التالي: تعني أي عنصر من مجموعة معينة يتبع أي عنصر (أو أي عنصر يسبق أي عنصر).

سلوك " Xيتبع في"متعدية: إذا" Xيتبع في" و " فييتبع ض"، الذي - التي " سيتبع ض" بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون هذه العلاقة غير متماثلة: لاثنين مختلفين Xو في، لو Xيتبع في، الذي - التي فيلا يتبع X.

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة أمر صارم، إذا كانت متعدية وغير متماثلة.

دعونا نتعرف على ميزات الرسم البياني والرسم البياني للعلاقات ذات الترتيب الصارم.

لنلقي نظرة على مثال. على مجموعة X= (5، 7، 10، 15، 12) نسبة معينة ر: « X < في" دعونا نحدد هذه العلاقة من خلال سرد الأزواج
ر = {(5, 7), (5, 10), (5, 15), (5, 12), (7, 10), (7, 15), (7, 12), (10, 15), (10, 12), (12, 15)}.

دعونا نبني الرسم البياني الخاص به. نلاحظ أن الرسم البياني لهذه العلاقة لا يحتوي على حلقات. لا توجد أسهم مزدوجة على الرسم البياني. إذا من Xالسهم يذهب الى في، و من في- الخامس ض، ثم من Xالسهم يذهب الى ض(الشكل 8).

يسمح لك الرسم البياني المبني بترتيب عناصر المجموعة Xفي هذا التسلسل:

{5, 7, 10, 12, 15}.

في الشكل 6 (الفقرة 6 من هذا الفصل)، تمثل الأعمدة VII و VIII رسومًا بيانية للعلاقات ذات الترتيب الصارم.

علاقة غير صارمة

وعكس العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الحقيقية هي العلاقة "ليس أقل". ولم تعد علاقة نظام صارم. النقطة المهمة هي متى X = في، تتحقق العلاقات X ³ فيو في ³ X، أي. إن موقف "لا أقل" هو موقف انعكاسي.

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xمُسَمًّى علاقة غير صارمةإذا كانت انعكاسية وغير متماثلة ومتعدية.

مثل هذه العلاقات هي اتحادات علاقة نظام صارمة مع علاقة الهوية.

خذ بعين الاعتبار العلاقة "لا أكثر" (جنيه إسترليني) للمجموعة

X= (5، 7، 10، 15، 12). دعونا نبني الرسم البياني الخاص به (الشكل 9).

الرسم البياني لعلاقة الترتيب غير الصارم، على عكس الرسم البياني لعلاقة الترتيب الصارم، يحتوي على حلقات في كل قمة.

في التين. 6 (§ 6 من هذا الفصل) الأعمدة V، VI عبارة عن رسوم بيانية للعلاقات ذات الترتيب غير الصارم.

مجموعات مرتبة

قد يتبين أن مجموعة ما مرتبة (ويقولون أيضًا أنها مرتبة تمامًا) من خلال علاقة ترتيبية ما، في حين أن مجموعة أخرى قد تكون غير مرتبة أو مرتبة جزئيًا من خلال مثل هذه العلاقة.

تعريف.مجموعة من Xمُسَمًّى أمربعض علاقة النظام ر، إذا كان لأي عنصرين س، صمن X:

(X, في) Î رأو ( ذ، س) Î ر.

لو رهي علاقة نظام صارم، ثم المجموعة Xأمرت بهذه العلاقة المقدمة: إذا X, فيأي عنصرين غير متساويين في المجموعة X، الذي - التي ( X, في) Î رأو ( ذ، س) Î رأو أي عنصرين س، صمجموعات Xمتساوون.

من المعروف من دورة الرياضيات المدرسية أن مجموعات الأرقام ن , ز , س , ر مرتبة حسب العلاقة "أقل من" (<).

لا يتم ترتيب مجموعة المجموعات الفرعية لمجموعة معينة عن طريق إدخال علاقة التضمين (I)، أو التضمين الصارم (S) بالمعنى أعلاه، لأن هناك مجموعات فرعية، لا يتم تضمين أي منها في الآخر. في هذه الحالة، نقول أن المجموعة المعطاة مرتبة جزئيًا بالعلاقة Í (أو Ì).

النظر في المجموعة X= (1، 2، 3، 4، 5، 6) وتحتوي على علاقتين "أصغر من" و"مقسمة على". من السهل التحقق من أن هاتين العلاقتين هما علاقات ترتيب. يمكن تصوير الرسم البياني للعلاقة "أقل من" على شكل شعاع.

لا يمكن تمثيل الرسم البياني للعلاقة "مقسمة على" إلا على مستوى.

بالإضافة إلى ذلك، فإن الرسم البياني للعلاقة الثانية يحتوي على رؤوس غير متصلة بواسطة سهم. على سبيل المثال، لا يوجد سهم يربط بين الرقمين 4 و5 (الشكل 10).

العلاقة الأولى " X < في"يسمى الخطية. بشكل عام، إذا كانت العلاقة نظامية ر(صارم وغير صارم) على المجموعة Xله خاصية : لأي X, فيÎ Xأو xRy، أو yRx، ثم يطلق عليه علاقة ترتيب خطية، والمجموعة X– مجموعة مرتبة خطيا .

إذا مجموعة Xبالطبع، ويتكون من نالعناصر، ثم الترتيب الخطي Xويتلخص في ترقيم عناصره بالأرقام 1،2،3، ...، ن.

تحتوي المجموعات المرتبة خطيًا على عدد من الخصائص:

1°. يترك أ، ب، ج– عناصر المجموعة X، مرتبة حسب العلاقة ر. إذا علم ذلك aRвو في جمهورية صربسكا، ثم يقولون أن العنصر الخامستقع بين العناصر أو مع.

2°. مجموعة من X، مرتبة خطيا بالعلاقة ر، يسمى منفصلاً إذا كان بين أي عنصرين من عناصره يوجد فقط مجموعة محدودة من عناصر هذه المجموعة.

3°. تسمى المجموعة المرتبة خطيًا كثيفة إذا كان هناك عنصر من المجموعة يقع بينهما لأي عنصرين مختلفين من هذه المجموعة.

علاقة التكافؤ. العلاقة بين علاقة التكافؤ وتقسيم المجموعة إلى فئات

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة التكافؤ إذا كانت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.

مثال.النظر في العلاقة " Xزميل الصف في"على العديد من طلاب كلية التربية. لديها الخصائص التالية:

1) الانعكاسية، لأن كل طالب هو زميله.

2) التماثل، لأن إذا كان طالبا X في، ثم الطالب فيهو زميل للطالب X;

3) العبور، لأن إذا كان طالبا X- زميل الصف في، والطالب في- زميل الصف ض، ثم الطالب Xسيكون زميل الطالب ض.

وبالتالي فإن هذه العلاقة لها خصائص الانعكاسية والتماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ. وفي الوقت نفسه، يمكن تقسيم العديد من طلاب كلية التربية إلى مجموعات فرعية تتكون من طلاب يدرسون في نفس المقرر الدراسي. نحصل على 5 مجموعات فرعية.

علاقات التكافؤ هي أيضًا، على سبيل المثال، علاقة توازي الخطوط، علاقة تساوي الأرقام. ترتبط كل علاقة من هذا القبيل بتقسيم المجموعة إلى فئات.

نظرية.إذا على مجموعة Xبالنظر إلى علاقة التكافؤ، فإنه يقسم هذه المجموعة إلى مجموعات فرعية منفصلة زوجية (فئات التكافؤ).

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا تم تحديد أي علاقة في المجموعة X، ينشئ قسمًا من هذه المجموعة إلى فئات، فهي علاقة تكافؤ.

مثال.على مجموعة X= (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5؛ 6؛ 7؛ 8) تم تحديد العلاقة "لها نفس الباقي عند القسمة على 3". هل هي علاقة تكافؤ؟

لنقم ببناء رسم بياني لهذه العلاقة: (بشكل مستقل)

وتتميز هذه العلاقة بخصائص الانعكاسية والتماثل والتعدية، وبالتالي فهي علاقة تكافؤ وتقسم المجموعة Xإلى فصول المعادلة. في كل فئة معادلة سيكون هناك أرقام عند قسمتها على 3 تعطي نفس الباقي: X 1 = {3; 6}, X 2 = {1; 4; 7}, X 3 = {2; 5; 8}.

ويعتقد أن فئة التكافؤ يتم تحديدها من قبل أي من ممثليها، أي. عنصر تعسفي من هذه الفئة. وبالتالي، يمكن تحديد فئة من الكسور المتساوية عن طريق تحديد أي كسر ينتمي إلى هذه الفئة.

في الدورة الأولية للرياضيات، يتم أيضًا مواجهة علاقات التكافؤ، على سبيل المثال، "التعبيرات". Xو فيلها نفس القيم العددية"، "الشكل Xيساوي هذا الرقم في».

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة ترتيبية إذا كانت متعدية وغير متماثلة أو غير متماثلة.

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة ترتيب صارمة إذا كانت متعدية وغير متماثلة.

أمثلةعلاقات ذات ترتيب صارم: "أكثر" في مجموعة الأعداد الطبيعية، "أعلى" في مجموعة الأشخاص، وما إلى ذلك.

تعريف.سلوك رعلى مجموعة Xتسمى علاقة أمرية غير صارمة إذا كانت متعدية وغير متماثلة.

أمثلةعلاقات ذات ترتيب غير صارم: "لا أكثر" في مجموعة الأعداد الحقيقية، "كن مقسومًا" على مجموعة الأعداد الطبيعية، وما إلى ذلك.

تعريف.مجموعة من Xيسمى أمرا إذا تم تحديد علاقة أمر عليه.

مثال. على مجموعة X= (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5) يتم إعطاء علاقتين: " X £ في" و " X- مقسم في».

كل من هذه العلاقات لها خصائص الانعكاسية وعدم التماثل والعبور (قم بإنشاء الرسوم البيانية وتحقق من الخصائص بنفسك)، أي. هي علاقات ذات نظام غير صارم. لكن العلاقة الأولى لها خاصية الترابط، أما الثانية فلا.

تعريف.علاقة النظام رعلى مجموعة Xتسمى علاقة ترتيبية خطية إذا كانت تتمتع بخاصية الترابط.

في المدرسة الابتدائية، تتم دراسة العديد من العلاقات النظامية. بالفعل في الصف الأول توجد علاقات "أقل"، و"أكثر" في مجموعة الأعداد الطبيعية، و"أقصر"، و"أطول" في مجموعة الأجزاء، وما إلى ذلك.

أسئلة التحكم

1. تحديد علاقة ثنائية على مجموعة X.

2. كيفية كتابة بيان العناصر Xو فيهم في علاقة ر?

3. ضع قائمة بطرق تعريف العلاقات.

4. صياغة الخصائص التي يمكن أن تمتلكها العلاقات. كيف تنعكس هذه الخصائص في الرسم البياني؟

5. ما هي الخصائص التي يجب أن تتمتع بها العلاقة حتى تكون علاقة تكافؤ؟

6. كيف ترتبط علاقة التكافؤ بتقسيم المجموعة إلى فئات؟

7. ما هي الخصائص التي يجب أن تتمتع بها العلاقة حتى تكون علاقة نظام؟

إكس (\displaystyle X)مُسَمًّى علاقة النظام الجزئي غير الصارم (علاقة النظام, العلاقة الانعكاسية)، اذا كان هناك

مجموعة من إكس (\displaystyle X)، والتي يتم فيها تقديم علاقة الترتيب الجزئي، تسمى أمرت جزئيا. غالبًا ما يُشار إلى علاقة النظام الجزئي غير الصارمة بـ ≼ (\displaystyle \preccurlyeq ).

خيارات

علاقة النظام الجزئي ص (\displaystyle R)مُسَمًّى ترتيب خطي، إذا تحقق الشرط

∀ x ∀ y (x R y ∨ y R x) (\displaystyle \forall x\forall y(xRy\lor yRx)).

مجموعة من إكس (\displaystyle X)، والتي يتم فيها تقديم علاقة ترتيب خطية، تسمى أمر خطيا، أو سلسلة.

سلوك ص (\displaystyle R)، يسمى تلبية شروط الانعكاسية والعبورية فقط طلب مسبق، أو شبه طلب.

أمر صارم

إذا تم استبدال حالة الانعكاسية بحالة مضادة للانعكاس:

∀ x ¬ (x R x) (\displaystyle \forall x\neg (xRx)),

ثم نحصل على التعريف حازم، أو ترتيب جزئي مضاد للانعكاس(يشار إليه عادةً بالرمز ≺ (\displaystyle \prec )).

تعليق. إن مكافحة الانعكاسية والعبورية المتزامنة للعلاقة تستلزم عدم التماثل. وبالتالي فإن العلاقة علاقة أمر صارمإذا وفقط إذا كان مضادًا للانعكاس ومتعديًا.

بشكل عام، إذا ص (\displaystyle R)هي علاقة متعدية وغير متماثلة إذن

R ≼ = R ∪ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\preccurlyeq )=R\cup \((x,x)|x\in X\))- النظام الانعكاسي R ≺ = R ∖ ( (x , x) | x ∈ X ) (\displaystyle R_(\prec )=R\setminus \((x,x)|x\in X\))- أمر صارم.

أمثلة

• في مجموعة الأعداد الحقيقية، العلاقات "أكثر من" و"أقل من" هي علاقات ذات ترتيب صارم، و"أكثر من أو يساوي" و"أقل من أو يساوي" علاقات غير صارمة.
• علاقة قابلية القسمة على مجموعة من الأعداد الصحيحة هي علاقة ذات ترتيب غير صارم.

البعد دوشنيك ميلر

قصة

علامات < {\displaystyle <} و > (\displaystyle >)اخترع

اجعل R علاقة ثنائية في المجموعة A.

تعريف. تسمى العلاقة الثنائية R على المجموعة A علاقة ترتيبية على A أو علاقة ترتيبية على A إذا كانت متعدية وغير متماثلة.

تعريف. تسمى العلاقة من الرتبة R على المجموعة A غير صارمة إذا كانت انعكاسية على A، أي بالنسبة لكل من A.

تسمى علاقة الترتيب R صارمة (على A) إذا كانت مضادة للانعكاس على A، أي لأي من A. ومع ذلك، من مقاومة الانعكاس للعلاقة المتعدية R، يترتب على ذلك أنها غير متماثلة. ولذلك، يمكن إعطاء التعريف المعادل التالي.

تعريف. تسمى العلاقة الثنائية R في المجموعة A ترتيبًا صارمًا على A إذا كانت متعدية ومضادة للانعكاس في A.

أمثلة. 1. Letbe مجموعة من جميع المجموعات الفرعية للمجموعة M. علاقة التضمين في المجموعة هي علاقة ذات ترتيب غير صارم.

2. العلاقات على مجموعة الأعداد الحقيقية هي، على التوالي، علاقات ذات ترتيب صارم وغير صارم.

3. علاقة قابلية القسمة في مجموعة الأعداد الطبيعية هي علاقة ذات ترتيب غير صارم.

تعريف. تسمى العلاقة الثنائية R على المجموعة A علاقة الطلب المسبق أو العلاقة المسبقة على A إذا كانت انعكاسية ومتعدية.

أمثلة. 1. علاقة قابلية القسمة في مجموعة الأعداد الصحيحة ليست أمرًا. ومع ذلك، فهو انعكاسي ومتعد، مما يعني أنه أمر مسبق.

2. علاقة التضمين المنطقي هي أمر مسبق على مجموعة الصيغ المنطقية القضوية.

الترتيب الخطي. حالة خاصة مهمة من النظام هي الترتيب الخطي.

تعريف. تسمى علاقة الترتيب على مجموعة علاقة ترتيب خطية أو ترتيبًا خطيًا إذا كانت متصلة على ، أي لأي x، y من A

عادةً ما تسمى علاقة الترتيب غير الخطية بعلاقة ترتيب جزئية أو ترتيب جزئي.

أمثلة. 1. العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الحقيقية هي علاقة ذات ترتيب خطي.

2. العلاقة الترتيبية المعتمدة في قواميس اللغة الروسية تسمى المعجمية. الترتيب المعجمي لمجموعة الكلمات في اللغة الروسية هو ترتيب خطي.

غالبًا ما تُستخدم كلمة "النظام" في مجموعة واسعة من القضايا. يعطي الضابط الأمر: “احسب بالترتيب العددي”، يتم إجراء العمليات الحسابية بترتيب معين، ويتم ترتيب الرياضيين حسب الطول، ويتم ترتيب جميع لاعبي الشطرنج الرائدين بترتيب معين وفقًا لما يسمى بمعاملات إيلو (البروفيسور الأمريكي الذي طور معاملات النظام، مما يسمح لك بمراعاة جميع نجاحات وإخفاقات اللاعبين)، بعد البطولة، تقع جميع فرق كرة القدم في ترتيب معين، وما إلى ذلك. هناك ترتيب للعمليات عند تصنيع جزء ما، ترتيب الكلمات في الجملة (حاول أن تفهم ماذا تعني جملة "على شيخ" لم أزرع الحمار!"

ومن خلال ترتيب عناصر مجموعة معينة واحدًا تلو الآخر، فإننا بذلك نرتبها أو نقيم علاقة ما بينها مرتب.أبسط مثال هو الترتيب الطبيعي للأعداد الطبيعية. وطبيعتها تكمن في أنه بالنسبة لأي عددين طبيعيين نعرف أيهما يتبع الآخر أو أيهما أكبر من الآخر، فيمكننا ترتيب الأعداد الطبيعية في تسلسل بحيث يقع الرقم الأكبر، على سبيل المثال، على حق الأصغر: 1، 2، 3، ... . بالطبع، يمكن كتابة تسلسل العناصر في أي اتجاه، وليس فقط من اليسار إلى اليمين. إن مفهوم الأعداد الطبيعية يحتوي بالفعل على فكرة النظام. من خلال إنشاء بعض الترتيب النسبي لعناصر أي مجموعة، فإننا نحدد عليها بعض علاقات الترتيب الثنائي، والتي في كل حالة محددة قد يكون لها اسمها الخاص، على سبيل المثال، "أن تكون أقل"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أقل"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أكبر سنا"، "أن تكون أقل" يمكن تضمينها في "،" متابعة "، وما إلى ذلك. يمكن أيضًا تغيير التسميات الرمزية للترتيب، على سبيل المثال، Í، إلخ.

السمة المميزة الرئيسية لعلاقة النظام هي أنها تمتلك خاصية العبور. لذا، إذا كنا نتعامل مع تسلسل لبعض الأشياء × 1، × 2، ...، × ن،...، مرتبة، على سبيل المثال، بالعلاقة، ثم بما يتم تنفيذه × 1× 2... س ن...، وينبغي أن يتبع ذلك لأي زوج س ط، س ييتم أيضًا استيفاء عناصر هذا التسلسل × طس ي:

لزوج من العناصر × طيفي الرسم البياني للعلاقة نرسم سهمًا من الرأس × طإلى الأعلى س يأي: من العنصر الأصغر إلى العنصر الأكبر.

يمكن تبسيط الرسم البياني لعلاقة الترتيب باستخدام الطريقة المزعومة مخططات هاس.يتم إنشاء مخطط هاس على النحو التالي. يتم وضع العناصر الأصغر في الأسفل، ويتم وضع العناصر الأكبر في الأعلى. وبما أن هذه القاعدة وحدها لا تكفي للتصوير، فقد تم رسم خطوط توضح أي العنصرين أكبر وأيهما أصغر من الآخر. في هذه الحالة، يكفي رسم خطوط فقط للعناصر التي تتبع بعضها البعض مباشرة. تظهر أمثلة مخططات هاس في الشكل:

ليس من الضروري تضمين أسهم في مخطط Hasse. يمكن تدوير مخطط هاس في مستوى، ولكن ليس بشكل تعسفي. عند الدوران، من الضروري الحفاظ على الموضع النسبي (أعلى - أسفل) لرؤوس المخطط:

سلوك ربوفرة Xمُسَمًّى موقف النظام الصارم ،إذا كانت متعدية وغير متماثلة.

تسمى المجموعة التي يتم فيها تعريف علاقة ترتيب صارمة أمر.على سبيل المثال، يتم ترتيب مجموعة الأعداد الطبيعية حسب العلاقة "أقل من". لكن هذه المجموعة نفسها مرتبة أيضًا بعلاقة أخرى - "مقسمة إلى" و"أكثر".

يمكن تمثيل الرسم البياني للعلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الطبيعية على شكل شعاع:

سلوك رالخامس Xتسمى العلاقة أمر غير صارم (جزئي).، إذا كانت متعدية وغير متماثلة. أي علاقة ذات نظام غير صارم هي علاقة انعكاسية.

يعبر اللقب "جزئي" عن حقيقة أنه ربما لا تكون جميع عناصر المجموعة قابلة للمقارنة في مجال معين.

الأمثلة النموذجية لعلاقات الترتيب الجزئي هي العلاقات "ليس أكبر من" و"ليس أقل من" و"ليس أكبر من". إن حرف "لا" في أسماء العلاقات يعمل على التعبير عن انعكاسيتها. العلاقة "ليس أكثر من" تتطابق مع العلاقة "أقل من أو يساوي"، والعلاقة "ليس أقل" هي نفس العلاقة "أكبر من أو يساوي". في هذا الصدد، ويسمى أيضا النظام الجزئي ليست صارمةمرتب. غالبًا ما يُشار إلى علاقة الترتيب الجزئية (غير الصارمة) بالرمز "".

علاقة التضمين Í بين مجموعات فرعية من مجموعة معينة هي أيضًا ترتيب جزئي. ومن الواضح أنه ليست كل مجموعتين فرعيتين قابلة للمقارنة في هذا الصدد. يوضح الشكل أدناه ترتيب الدمج الجزئي على مجموعة جميع المجموعات الفرعية للمجموعة (1،2،3). لا يتم عرض الأسهم على الرسم البياني التي ينبغي أن تشير إلى الأعلى.

تسمى المجموعات التي يتم إعطاء الترتيب الجزئي لها أمرت جزئياأو ببساطة أمرمجموعات.

عناصر Xو فييتم استدعاء المجموعة المطلوبة جزئيًا مقارنة معنالو Xفيأو فيX.وإلا فهي غير قابلة للمقارنة.

تسمى المجموعة المرتبة التي يكون فيها أي عنصرين قابلين للمقارنة أمر خطيا، والترتيب هو ترتيب خطي. ويسمى الترتيب الخطي أيضًا بالترتيب المثالي.

على سبيل المثال، مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ذات الترتيب الطبيعي، وكذلك جميع مجموعاتها الفرعية، مرتبة خطيًا.

يمكن طلب الكائنات ذات الطبيعة الأكثر تنوعًا هرمية.وهنا بعض الأمثلة.

مثال رقم 1: تم ترتيب أجزاء الكتاب بحيث يحتوي الكتاب على فصول، والفصول تحتوي على أقسام، والأقسام تحتوي على أقسام فرعية.

مثال 2. المجلدات الموجودة في نظام ملفات الكمبيوتر متداخلة داخل بعضها البعض، لتشكل بنية متفرعة.

مثال 3. يمكن تصوير العلاقة بين الوالدين والأطفال على أنها ما يسمى ب شجرة العائلة،مما يوضح من هو سلفه (أو نسله).

دعونا على المجموعة أيتم إعطاء النظام الجزئي. عنصر Xمُسَمًّى ما في وسعنا)عنصر المجموعة أ، إذا كان من حقيقة ذلك Xفي(فيX)،يلي ذلك المساواة X= ش.وبعبارة أخرى، العنصر Xهو الحد الأقصى (الحد الأدنى) إذا كان لأي عنصر فيأم أنه ليس صحيحا ذلك Xفي(فيX)، أو يتم تنفيذه X=ش.وعلى هذا فإن العنصر الأقصى (الأدنى) أكبر (أصغر) من جميع العناصر المتميزة عنه التي يرتبط بها.

عنصر Xمُسَمًّى الأكبر (الأصغر) ،إذا لأي شخص فيÎ أإجراء في< х (х< у).

يمكن أن تحتوي المجموعة المرتبة جزئيًا على عدة عناصر الحد الأدنى و/أو الحد الأقصى، ولكن لا يمكن أن يكون هناك أكثر من عنصر الحد الأدنى والحد الأقصى. أصغر (أكبر) عنصر هو أيضًا الحد الأدنى (الحد الأقصى)، لكن العكس غير صحيح. يوضح الشكل الموجود على اليسار ترتيبًا جزئيًا بعنصرين أدنى وأقصى عنصرين، وعلى اليمين ترتيبًا جزئيًا مع العنصرين الأصغر والأكبر:

في المجموعة المحدودة المرتبة جزئيًا، يوجد دائمًا الحد الأدنى والحد الأقصى من العناصر.

تسمى المجموعة المرتبة التي تحتوي على العناصر الأكبر والأصغر محدود.يوضح الشكل مثالاً لمجموعة لا نهائية محدودة. بالطبع، من المستحيل تصوير مجموعة لا حصر لها على صفحة محدودة، ولكن يمكنك إظهار مبدأ بنائها. هنا لا تظهر الحلقات القريبة من القمم لتبسيط الرسم. لنفس السبب، لا يتم عرض الأقواس التي توفر عرض خاصية العبور. بمعنى آخر، يوضح الشكل مخطط هاس لعلاقة الترتيب.

قد لا تحتوي المجموعات اللانهائية على الحد الأقصى أو الحد الأدنى من العناصر، أو كليهما. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية (1،2، 3، ...) تحتوي على أصغر عنصر وهو 1، ولكن لا يوجد حد أقصى. مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ذات الترتيب الطبيعي لا تحتوي على عنصر أصغر أو أكبر. ومع ذلك، فإن مجموعتها الفرعية تتكون من جميع الأرقام X< 5، يحتوي على العنصر الأكبر (الرقم 5)، لكنه لا يحتوي على العنصر الأصغر.