Емпиричният коефициент на детерминация показва. Емпиричното съотношение на корелация се изчислява по формулата

Решение. За да изчислим груповите дисперсии, изчисляваме средните стойности за всяка група:

БР.; PCS.

Междинните изчисления на дисперсии по групи са представени в табл. 3.2. Замествайки получените стойности във формула (3.4), получаваме:

Средна стойност на груповите дисперсии

След това изчисляваме междугруповата дисперсия. За да направим това, първо дефинираме общата средна стойност като среднопретеглената средна стойност на групата:

Сега дефинираме междугруповата дисперсия

Така общата дисперсия според правилото за добавяне на дисперсии:

Нека проверим резултата, като изчислим общата дисперсия по обичайния начин:

Въз основа на правилото за добавяне на дисперсии е възможно да се определи показателят за близостта на връзката между груповите (факториалните) и ефективните характеристики. Нарича се емпирично съотношение на корелация, означава се ("това") и се изчислява по формулата

За нашия пример, емпиричната корелация

.

Стойността от 0,86 характеризира значителна връзка между групирането и характеристиките на ефективността.

Стойността се нарича коефициент на детерминация и показва дела на междугруповата вариация в общата вариация.

Наред с изменението на количествените признаци може да се наблюдава и изменение на качествените признаци. Такова изследване на вариациите се постига, както за пропорциите на количествените признаци, чрез изчисляване и анализиране на следните видове вариации.

Вътрешногруповата вариация на дела се определя по формулата

. (3.17)

Средната стойност на дисперсиите в рамките на групата се изчислява като

. (3.18)

Формулата за междугруповата дисперсия е следната:

, (3.19)

където n i– брой единици в отделни групи;

- делът на изследвания признак в цялата популация, който се определя по формулата

Общата дисперсия има формата

. (3.21)

Трите вида дисперсии са свързани помежду си, както следва:

. (3.22)

Пример 3.4

Нека дефинираме груповите дисперсии, средната стойност на груповите, междугруповите и общите дисперсии според данните в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Номер и специфично теглоедна от категориите
район на говедовъдни ферми

Решение

Нека определим общия дял на млечните крави за три ферми:

Общо отклонение в дела на млечните крави:

Вътрешногрупови отклонения:

; ; .

Средна стойност на вариациите в рамките на групата:

Междугрупова вариация:

Използвайки правилото за добавяне на дисперсии, получаваме: 0,1025+0,0031=0,1056. Примерът е правилен.

Пример 3.5

Според извадково проучване заплатислужителите в публичния сектор са получили следните показатели (Таблица 3.4).

Таблица 3.4

Определете:

1) средна работна заплата в две отрасли;

2) дисперсия на заплатите:

а) средната стойност на груповите дисперсии (отрасъл),

б) междугрупови (междусекторни),

3) коефициент на детерминация;

4) емпирична корелация.

Решение

1. Средната работна заплата на работниците в две индустрии се изчислява по формулата (2.10):

търкайте.

2. Разлики в заплатите:

а) средната стойност на груповите дисперсии съгласно (3.14)

б) междугрупова дисперсия съгласно (3.12)

в) общата дисперсия, получена въз основа на правилото за добавяне на дисперсии (3.15):

3. Коефициентът на детерминация е равен на стойността

тези. , или 44,24%.

От него се вижда, че възнаграждението с 44,24% зависи от отрасловата принадлежност на служителите и с 55,76% - от вътрешноотраслови причини.

Съгласно формула (3.16), емпиричното съотношение на корелация ,

което показва значително влияние върху диференциацията на заплатите на отрасловите характеристики.

3.2. ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ

Задача 3.1

Според разпределението на 60 работници по тарифен разряд са налични следните данни (Таблица 3.5).

Таблица 3.5

Определете:

1) категорията на средната заплата на работниците;

2) средно линейно отклонение;

3) дисперсия;

4) стандартно отклонение;

5) коефициент на вариация.

Задача 3.2

Според резултатите от изпитната сесия на 1-ви и 2-ри курс на един от университетите са налични следните данни: през 1-ва година 85% от студентите са издържали сесията без двойки, през 2-ра година - 90%.

Определете за всеки курс дисперсията на дела на студентите, преминали успешно сесията.

Задача 3.3

Акционерните дружества от региона според средносписъчния брой на заетите лица към 1 януари 2004 г. са разпределени, както следва (Таблица 3.6).

Таблица 3.6

Изчисли:

1) средно линейно отклонение;

2) дисперсия;

3) стандартно отклонение;

4) коефициент на вариация.

Задача 3.4

Има данни за разпределението на семействата на служителите на предприятието по брой деца (Таблица 3.7).

Таблица 3.7

Изчисли:

1) вътрешногрупова дисперсия;

2) средната стойност на вътрешногруповите дисперсии;

3) междугрупова дисперсия;

4) обща дисперсия.

Проверете правилността на изчисленията, като използвате правилото за добавяне на отклонения.

Задача 3.5

Разпределението на себестойността на продуктите, предназначени за износ, по цеховете на предприятието е представено от следните данни (Таблица 3.8).

Таблица 3.8

Изчисли:

1) средната стойност на вътрешногруповите, междугруповите и общите дялове на експортните продукти;

2) коефициент на детерминация и емпирична корелация.

Задача 3.6

Според проучване на търговските банки в града 70% от общия брой клиенти са юридически лица със среден заем от 120 хиляди рубли. и коефициент на вариация от 25%, и 20% - лицасъс среден размер на заема от 20 хиляди рубли. със средно квадратно отклонение от 6 хиляди рубли.

Използвайки правилата за добавяне на отклонения, определете близостта на връзката между размера на кредита и вида на клиента, като изчислите емпиричното съотношение на корелация.

Раздел 4. Селективно наблюдение

4.1. МЕТОДИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ
И РЕШЕНИЕ НА ТИПОВИ ЗАДАЧИ

Целта на извадковото наблюдение е да се определят характеристиките на генералната съвкупност - обща средна стойност ( o) и общ дял ( Р). Характеристиките на извадковата съвкупност - средната извадка () и извадковият дял () се различават от общите характеристики по размера на извадковата грешка (). Следователно, за да се определят характеристиките на генералната съвкупност, е необходимо да се изчисли грешката на извадката или грешката на представителността, която се определя по формули, разработени в теорията на вероятностите за всеки тип извадка и метод за подбор.

Правилно произволно и механично вземане на проби.В случай на повторна случайна извадка, пределната извадкова грешка за средната () и за пропорцията () се изчислява по формулите

; (4.1)

(4.2)

където е дисперсията на извадката;

н– размер на извадката;

Tе коефициентът на доверие, който се определя от таблицата със стойности на интегралната функция на Лаплас за дадена вероятност ( P дос.) (Таблица A1).

При неповтарящ се случаен и механичен подбор пределната грешка на извадката се изчислява по формулите

; (4.3)

, (4.4)

където н- размерът на генералната съвкупност.

Пример 4.1

За определяне на пепелното съдържание на въглищата в находището са изследвани на случаен принцип 100 проби от въглища. В резултат на проучването е установено, че средното пепелно съдържание на въглищата в пробата е 16%, стандартното отклонение е 5%. В десет проби пепелното съдържание на въглищата е над 20%. С вероятност от 0,954 определете границите, в които ще бъде средното съдържание на пепел на въглищата в находището и делът на въглищата със съдържание на пепел над 20%.

Решение

Средното пепелно съдържание на въглищата ще бъде в рамките

За да определим границите на общата средна стойност, изчисляваме пределната извадкова грешка за средната стойност, използвайки формула (4.1):

. (4.5)

С вероятност от 0,954 може да се твърди, че средното пепелно съдържание на въглищата в находището ще бъде в рамките на 16% 1%, или 15% 17%.

Делът на въглищата с пепелно съдържание над 20% ще бъде в рамките

Извадковият дял се определя по формулата

където ме делът на единиците с функцията

Грешката на извадката за дела () се изчислява по формулата (4.2):

или ±6%.

С вероятност от 0,954 може да се твърди, че делът на въглищата със съдържание на пепел над 20% в находището ще бъде в рамките на , или .

Пример 4.2

За определяне на средния срок на ползване на краткосрочен кредит в банка е направена 5% механична извадка, която включва 100 сметки. В резултат на проучването е установено, че средният срок за ползване на краткосрочен кредит е 30 дни със стандартно отклонение от 9 дни. При пет сметки срокът на ползване на заема е над 60 дни. С вероятност от 0,954 определете границите, в които ще бъде срокът на използване на краткосрочен заем в общата съвкупност и делът на сметките със срок на използване на краткосрочен заем над 60 дни.

Решение

Среден срокползване на банков кредит е в рамките

.

Тъй като вземането на проби е механично, грешката на пробите се определя по формулата (2.3):

ден.

С вероятност от 0,954 може да се твърди, че срокът за ползване на краткосрочен заем в банка е в рамките на = 30 дни 2 дни, или

28 дни на ден.

В рамките е делът на кредитите със срок над 60 дни

Примерният дял ще бъде

Извадковата грешка за дела се определя по формулата (4.4):

или 4,2%.

С вероятност от 0,954 може да се твърди, че делът на банковите кредити с падеж над 60 дни ще бъде в рамките на или

Типична проба.При типична (зонална) селекция общата популация се разделя на хомогенни типични групи, райони. Извършва се подбор на единици за наблюдение в извадката различни методи. Помислете за типична извадка с пропорционален подбор в типични групи.

Размерът на извадката от типична група в селекцията, пропорционален на броя на типичните групи, се определя по формулата

където n iе размерът на извадката от типична група;

N iе обемът на типична група.

Пределната грешка на средната стойност на извадката и пропорцията за неповтарящи се произволни и механичен начинселекцията в типичните групи се изчислява по формулите

; (4.8)

, (4.9)

където е дисперсията на извадката от съвкупността.

Пример 4.3

За определяне на средната възраст на мъжете, които встъпват в брак, в областта е направена 5% типична извадка с подбор на единици пропорционално на размера на типичните групи. В рамките на групите е използван механичен подбор. Данните са обобщени в табл. 4.1.

Таблица 4.1

С вероятност от 0,954 определете границите, в които средна възрастмъжете, които се женят, и делът на мъжете, които се женят втори път.

Решение

Средната брачна възраст за мъжете е в рамките на

.

Средната брачна възраст на мъжете от извадката се определя по формулата на среднопретеглената стойност

= на годината.

Средната дисперсия на извадката се определя по формулата
средата

=

Изчисляваме пределната извадкова грешка по формулата (4.8):

на годината.

С вероятност от 0,954 може да се твърди, че средната възраст на мъжете, които встъпват в брак, ще бъде в рамките на годината от годината, или

24 години.

Делът на мъжете, които се женят повторно, ще бъде в рамките на

Извадковият дял се определя по формулата на средната стойност

или 14%.

Средна дисперсия на извадката алтернативна функцияизчислете по формулата

(4.12)

Извадковата грешка за дела се определя по формулата (4.9):

или 6%.

С вероятност от 0,954 може да се твърди, че делът на мъжете, които се женят втори път, ще бъде в рамките на , или .

серийно вземане на проби.При серийния метод на подбор генералната съвкупност се разделя на групи с еднакъв размер - серии. Сериите са избрани в примерния набор. В рамките на серията се извършва непрекъснато наблюдение на единиците, попаднали в серията.

В случай на неповтаряща се селекция от серии, пределните грешки на средната стойност на извадката и пропорцията се определят по формулата

, (4.13)

където е междусерийната дисперсия;

Ре броят на сериите в генералната съвкупност;

r– брой избрани серии.

Пример 4.4

В цеха на предприятието работят 10 екипа работници. За изследване на тяхната производителност на труда е проведена 20% серийна извадка, която включва 2 бригади. В резултат на проучването се установи, че средната производителност на работниците в екипите е 4,6 и 3 т. С вероятност 0,997 определете границите, в които ще бъде средната производителност на цеховите работници. t, или T.

Пример 4.5

В наличност Завършени продуктиРаботилницата съдържа 200 кутии с части, по 40 броя във всяка кутия. За проверка на качеството на готовия продукт е направена 10% серийна проба. В резултат на пробовземането е установено, че делът на дефектните части е 15%. Дисперсията на серийната проба е 0,0049.

С вероятност от 0,997 определете границите, в които се намира делът на дефектните продукти в партида от кутии.

Решение

Делът на дефектните части ще бъде в рамките

Нека определим пределната извадкова грешка за дела по формула (4.13):

или 4,4%.

С вероятност от 0,997 може да се твърди, че делът на дефектните части в партидата е в диапазона от 10,6% 19,6%.

Пример 4.6

В област, състояща се от 20 области, беше проведено извадково изследване на добива въз основа на подбора на серии (райони). Извадковите средни стойности за областите са съответно 14,5 ц/ха; 16; 15,5; 15 и 14 q/ha. С вероятност от 0,954 намерете границите на добива в цялата област.

Решение

Изчислете общата средна стойност:

ц/ха.

Междугрупова (междусерийна) дисперсия

Нека сега определим пределната грешка на сериен неповтарящ се образец (t = 2, P dov = 0,954), използвайки формула (4.13):

.

Следователно доходността в региона (с вероятност от 0,954) ще бъде в рамките на

15-1,7≤ ≤15+1,7,

13,3 c/ha ≤ ≤16,7 c/ha.

В практиката на проектиране на извадково наблюдение е необходимо да се намери размерът на извадката, който е необходим, за да се осигури определена точност при изчисляването на общите характеристики - средната стойност и пропорцията. В този случай пределната грешка на извадката, вероятността за нейното възникване и вариацията на характеристиката са известни предварително.

При случайно повторно вземане на проби размерът на извадката се определя от израза

При случаен неповтарящ се и механичен подбор размерът на извадката се изчислява по формулата

. (4.16)

За типична проба

. (4.17)

За серийно вземане на проби

. (4.18)

Пример 4.7

В областта живеят 2000 семейства. Предвижда се да се проведе извадково изследване на тях по метода на случаен еднократен подбор за определяне на средния размер на семейството. Определете необходимия размер на извадката, при условие че с вероятност от 0,954 грешката на извадката не надвишава едно лице със стандартно отклонение от трима души ( = 3).

Решение

При неповтарящ се случаен подбор размерът на извадката по формулата (4.16) ще бъде семейства.

Размер на извадката: най-малко 36 семейства.

Пример 4.8

Град А има 10 000 семейства. С помощта на механично вземане на проби се предвижда да се определи делът на семействата с три или повече деца. Какъв трябва да бъде размерът на извадката, така че да има вероятност от 0,954 грешката на извадката да не надвишава 0,02, ако е известно, че дисперсията е 0,2 от предишни проучвания?

Решение

Нека определим необходимия размер на извадката по формулата (4.16):

.

Размер на извадката: не по-малко от 1667.

В статистиката често е необходимо да се сравнят резултатите от две (или повече) проби. Въз основа на сравнение на две извадкови средни (или дялове) се прави заключение за случайността или значимостта на тяхното несъответствие.

За това абсолютната разлика между показателите на средните извадки се сравнява със средната грешка на разликата:

. (4.19)

Намерени Tкалк. в сравнение с Tраздел. На T- Разпределение на Стюдънт (Таблица P2) за броя на степените на свобода v=н 1 +н 2 -2 и дадено ниво на значимост a. (тук н 1 и н 2 – обеми на сравнявани проби).

Какво се има предвид под дисперсия в рамките на групата за популация? Каква е формулата за изчисляването му? Дай пример. Какво се разбира под вариация на междугруповата популация? Каква е формулата за изчисляването му? Дай пример.

Вътрешногрупова дисперсия () показва произволна вариация, която не зависи от признака, лежащ в основата на групирането.

, където

Групово средно

Средната вътрешногрупова дисперсия се изчислява, както следва: първо се изчисляват дисперсиите за отделните групи (), след това се изчислява средната вътрешногрупова дисперсия:

Характеризира систематичната вариация, т.е. разлики в големината на изследвания признак, който е в основата на групирането. Тази дисперсия се изчислява по формулата

, където

Средна стойност за отделна група

n i- брой единици в групата

- общата средна аритметична стойност на цялата изследвана популация.

И трите вида дисперсия са взаимосвързани: общата дисперсия е равна на сумата от средната вътрешногрупова дисперсия и междугруповата дисперсия:

Това съотношение отразява закона, който се нарича правило за добавяне на дисперсии.

20.

Какво се разбира под обща вариация на съвкупността? Каква е формулата за изчисляването му? Начинът, по който са групирани групите, влияе ли върху общата дисперсия? Дай пример.

Общата вариация () характеризира вариацията на признака на цялата популация под влиянието на всички онези фактори, които са причинили тази вариация. Тази стойност се определя по формулата

, където

общата средна аритметична стойност на цялата изследвана популация.

От друга страна, общата дисперсия е равна на сбора от средната вътрешногрупова дисперсия и междугруповата дисперсия:

Това съотношение отразява закона, който се нарича правило за добавяне на дисперсии.. Благодарение на правилото за добавяне на дисперсии е възможно да се определи каква част от общата дисперсия е под влиянието на характерния фактор, лежащ в основата на групирането.

Колкото по-висок е делът на междугруповата вариация в общата вариация, толкова по-силно е влиянието на факторния атрибут (ранг) върху резултата (производство).

Тази пропорция се характеризира с емпиричен коефициент на детерминация:

За качествена оценка на близостта на връзката между знаците се използват отношенията на Чадок.

		0-0,2	0,2-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила на връзката	липсва	много слаб	слаб	умерено	забележим	близо	много близо	функционален- назален

21.

Какво показва коефициентът на детерминация? Каква е формулата за изчисляването му? В какви единици се измерва този показател? Какви са възможните стойности за този показател? Какво показва емпиричната корелация? Каква е формулата за изчисляването му? В какви единици се измерва този показател? Какви са възможните стойности за този показател?

Емпиричен коефициент на детерминация () характеризира дела на междугруповата вариация в общата вариация:

Приема стойности от -1 до 1 и показва доколко вариацията на признака в съвкупността се дължи на групиращия фактор.

Междугрупова дисперсия;

обща дисперсия.

Определя се по формулата:

Приема стойности -1 към 1

Пример

Група	Брой фабрики в групата, бр.	Средна брутна продукция в сравними цени, милиона рубли

Нека сега определим средната стойност, общата дисперсия и междугруповата дисперсия на брутната продукция в сравними цени на фабриките:

милиона рубли;

Милион rub.2;

Милион rub.2.

Коефициентът на определяне ще бъде равен на:

В резултат на това емпиричното съотношение на корелация ще бъде равно на:

Изчислената стойност на емпиричния корелационна връзкапоказва доста висока статистическа връзка между брутната продукция в съпоставими цени и средната годишна цена на основните производствени активи на фабриките.

22.

Как се изчислява тестова статистика при едномерен дисперсионен анализ? Какъв е законът на неговото разпределение при валидност на основната хипотеза? Какви са параметрите на този закон? Как се взема решение при еднопосочен дисперсионен анализ въз основа на изчислената стойност на критериалната статистика?

Задачата на дисперсионния анализ е да се изследва влиянието на един или повече фактори върху разглеждания признак.

Еднопосочен дисперсионен анализ се използва, когато са налични три или повече независими извадки, получени от една и съща обща популация чрез промяна на някакъв независим фактор, за който по някаква причина няма количествени измервания.

Като критерий е необходимо да се използва критерият на Фишер:

., където

Q 1 е сумата от квадратите на отклоненията на извадковите средни стойности от общата средна стойност

Q 2 е сумата от квадратите на отклоненията на наблюдаваните стойности от средната стойност на извадката

Ако изчислената стойност на критерия на Фишър е по-малка от табличната стойност, няма причина да се смята, че независимият фактор влияе върху разпространението на средните стойности ( тези. хипотезата не беше потвърдена). В противен случай независимият фактор има значителен ефект върху разпространението на средните стойности ( хипотезата е вярна).

23-25.

1. На равни интервали използвайте простата средна аритметична стойност:

където y са абсолютните нива на серията;
н- броя на нивата в серията.
2. За неравни интервали използвайте среднопретеглената аритметична стойност:

където u 1 ,...,уn - нива на редицата от динамика;
t1,... tn - тегла, продължителност на времеви интервали.

Средно ниво на моментни серии динамиката се изчислява по формулата:
1. При равноотдалечени нива се изчислява по формулата на средната серия от хронологични моменти:

където u 1 ,...,уn - нива на периода, за който се извършва изчислението;
н- брой нива;
n-1 - продължителност на периода от време.
2. В неравеннива се изчислява с помощта на формулата за хронологично претеглена средна стойност:

където u 1 ,...,уn - нива на динамични редове;
T- интервал от време между съседни нива

в статистиката

Среден абсолютен прираст се определя като средната стойност на абсолютните печалби за равни интервали от време на един период. Изчислява се по формулите: 1. Въз основа на верижни данни за абсолютния прираст за няколко години, средният абсолютен прираст се изчислява като проста средна аритметична:

където n е броят на степенните абсолютни увеличения в периода, който се изследва.
2. Изчислява се средното абсолютно увеличениепрез основния абсолютен прираст при равни интервали

където m - броят нива на поредица от динамика в периода на изследване, включително базовия.

Среден темп на растеж е свободна обобщаваща характеристика на интензивността на изменение на нивотодинамични серии и показва колко пъти нивото на серията от динамика се променя средно за единица време.
Като основа и критерий за правилността на изчисляване на средния темп на растеж (намаляване) се използва обобщаващ показател, който се изчислява като произведение на темповете на растеж на веригата, равни на темпа на растеж за целия разглеждан период. Ако стойността на атрибута се формира като продукт индивидуални опции, тогава се използва средната геометрична стойност.
Тъй като средният темп на растеж е средният коефициент на растеж, изразен като процент, тогава за еквивалентната серия от динамика изчисленията, използващи средната геометрична стойност, се свеждат до изчисляване на средните коефициенти на растеж от верижните, като се използва „верижен метод“:

където n е броят на факторите на растеж на веригата;
kts- верижни растежни фактори;
Kb - основен темп на растеж за целия период.
Определяне на средния растежен факторможе да се опрости, ако нивата на динамичния ред са ясни. Тъй като произведението на верижните растежни фактори е равно на основния, основният растежен фактор се замества в радикалния израз.
Формула за определяне на средния коефициент на растежза равноотдалечени серии от динамика според "основния метод" ще бъде както следва:

36.

Какви са абсолютните показатели за промени в нивото на сериала, които са ви известни?

Всички тези показатели могат да се определят по основния начин, когато нивото даден периодсравняват се с първия (основен) период или по верижен начин - когато се сравняват две нива на съседни периоди.

Напишете формули за изчисление.

Основната абсолютна промяна е разликата между отделните и първите нива на серията, определена по формулата

Той показва колко (в единици индикатори от серията) нивото на един (i-ти) период е повече или по-малко от първото (основно) ниво и следователно може да има знак "+" (с увеличение в нива) или „–“ (с намаляване на нивата).

Верижната абсолютна промяна е разликата между конкретните и предишните нива на серията, определя се по формулата

Той показва колко (в единици индикатори от серията) нивото на един (i-ти) период е повече или по-малко от предишното ниво и може да има знак "+" или "-".

Обяснете как методът на изчисление зависи от избора на базата за сравнение.

Какви относителни показатели за промяна в нивото на серията са ви известни? Напишете формули за изчисление.

Основната относителна промяна (базов темп на растеж или основен индекс на динамика) е съотношението на конкретно и първо ниво на серията, определено по формулата

Относителното изменение на веригата (скорост на растеж на веригата или индекс на динамика на веригата) е съотношението на конкретно и предишни нива на серията, определено по формулата

Обяснете как методът на изчисление зависи от избора на базата за сравнение.

Относителната промяна показва колко пъти нивото на даден период е по-голямо от нивото на който и да е предишен период (за i > 1) или каква част от него е (за i<1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов, то есть простого кратного отношения(если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100%.

37.

Какви са средните показатели за промяна в нивото на сериала, които познавате? Напишете формулите за изчисляване на средния абсолютен прираст, темпа на растеж и темпа на растеж на нивата на реда.

Средният абсолютен прираст се определя като средната стойност на абсолютния прираст за равни периоди от време в един период. Изчислява се по формулите: 1. Въз основа на верижни данни за абсолютния прираст за няколко години, средният абсолютен прираст се изчислява като проста средна аритметична:

където n е броят на степенните абсолютни увеличения в периода, който се изследва.

2. Средният абсолютен прираст се изчислява чрез основния абсолютен прираст при равни интервали

където m - броят нива на поредица от динамика в периода на изследване, включително базовия.

Средният темп на растеж е свободна обобщаваща характеристика на интензивността на промените в нивата на поредица от динамики и показва колко пъти средно се променя нивото на поредица от динамики за единица време.

Като основа и критерий за правилността на изчисляване на средния темп на растеж (намаляване) се използва обобщаващ показател, който се изчислява като произведение на темповете на растеж на веригата, равни на темпа на растеж за целия разглеждан период. Ако характерната стойност се формира като продукт на отделни опции, тогава се използва средната геометрична стойност.

Тъй като средният темп на растеж е средният коефициент на растеж, изразен като процент, тогава за еквивалентната серия от динамика изчисленията, използващи средната геометрична стойност, се свеждат до изчисляване на средните коефициенти на растеж от верижните, като се използва „верижен метод“:

където n е броят на факторите на растеж на веригата;

Кц - верижни коефициенти на растеж;

Kb - основен темп на растеж за целия период.

Скоростта на изменение (темп на нарастване) на нивата е относителен показател, показващ колко процента дадено ниво е повече (или по-малко) от друго, взето като база за сравнение. Изчислява се чрез изваждане на 100% от относителната промяна, тоест по формулата:

или като процент от абсолютната промяна спрямо нивото, спрямо което се изчислява абсолютната промяна (базова линия), т.е. съгласно формулата:

.

Какви са недостатъците на тези индикатори? В какви случаи е подходящо да ги използвате? Как могат да бъдат коригирани тези недостатъци? Напишете формули за изчисляване на средни стойности, които гарантират запазване на общата стойност на реда.

38.

Как да определим вида на основната тенденция по стойностите на индикаторите за промени в нивата на серията? Дай примери.

Идентифицирането на общата тенденция на динамичния ред може да се извърши чрез изглаждане на динамичния ред с помощта на метода на пълзящата средна стойност. Същността на тази техника е, че изчислените (теоретични) нива се определят от началните нива на серията (емпирични данни).

Основното условие за прилагане на този метод е да се изчислят подвижните (пълзящи) средни връзки от такъв брой нива на серията, който съответства на продължителността на динамиката на цикъла, наблюдавана в серията.

3. Емпиричното съотношение на корелация се изчислява по формулата

Междугрупова дисперсия, която характеризира стойността на квадрата на отклонението на груповите средства от общата средна стойност на ефективния признак.

Общата дисперсия, показваща средната стойност на квадратите на отклоненията на стойността на резултантния признак от тяхното средно ниво.

Нека изградим таблица за изчисляване на общата дисперсия (вижте Таблица 8)

Таблица 8

Таблица с данни за определяне на общата дисперсия

N, p / p	Разходи за храна
1	21	441
2	16	256
3	26,1	681,21
4	28	784
5	26	676
6	22,5	506,25
7	27,6	761,76
8	35	1225
9	23,9	571,21
10	22,5	506,25
11	15	225
12	25,2	635,04
13	29	841
14	21,4	457,96
15	24,9	620,01
16	24,8	615,04
17	16	256
18	23,6	556,96
19	27,2	739,84
20	35	1225
21	17	289
22	23,8	566,44
23	22,6	510,76
24	25	625
25	27	729
26	30	900
27	35	1225
28	25,4	645,16
29	27,2	739,84
30	26,3	691,69
Обща сума	750	19502,42

Общата дисперсия на получения атрибут се изчислява по формулата:

=

Междугруповата дисперсия се изчислява по формулата:

Нека изградим спомагателна таблица за изчисляване на данни (вижте Таблица 9)

Таблица 9

Таблица с данни за изчисляване на междугруповата дисперсия

Номер на групата		Брой домакинства, бр	Разходи за храна, хиляди рубли
			Обща сума	Средно на домакинство
		f
1	28-40	3	48	16	-9	81	243
2	40-52	5	105	21	-4	16	80
3	52-64	12	300	25	0	0	0
4	64-76	6	165	27,5	2,5	6,25	37,5
5	76-88	4	132	33	8	64	256
Обща сума		30	750				616,5

Извод: връзката между факторите е много тясна, т.к приема стойности от 0,9 до 0,99.

Коефициентът на детерминация е квадратът на емпиричната корелация. Следователно,

(81,9%)

Извод: продукцията в тези предприятия зависи от 81,9% от производителността на капитала и 18,1% от други фактори.

Задача 3

Въз основа на резултатите от задача 1, с вероятност 0,9543, определете:

1. Извадковата грешка на средния брутен доход на лице от домакинство за година и границите, в които той ще бъде в генералната съвкупност.

2. Извадкова грешка на дела на домакинствата с брутен доход под 52 хиляди рубли. и повече от милион рубли. и границите, в които ще се намира общият дял.

1. Извадковата грешка за средната стойност се определя по формулата:

, където

дисперсия на извадката;

n - размер на извадката;

t е коефициентът на доверие, който се определя от таблицата със стойности на интегралната функция на Лаплас за дадена вероятност. В този случай при P=0,954 стойността t=2.

N-брой единици в генералната съвкупност, N=6000 бр.

Нека изчислим дисперсията. Данните ще бъдат представени под формата на таблица (виж Таблица 11).

Таблица 11

Данни за изчисляване на дисперсията на нивото на възвръщаемост на активите

Номер на групата	Групиране на домакинствата по брутен доход	Брой домакинства, бр
		f
1	28-40	3	34	-25,1	630,01	1890,03
2	40-52	5	46	-13,1	171,61	858,05
3	52-64	12	58	-1,1	1,21	14,52
4	64-76	6	70	10,9	118,81	712,86
5	76-88	4	82	22,9	524,41	2097,64
Обща сума		30				5573,1

ОТГОВОР

Количествената оценка на близостта на комуникацията според емпиричните данни се състои в изчисляване на показателите за близост на комуникацията:

· Емпиричен коефициент на детерминация (емпиричен коефициент на дисперсия) - r 2 .

Този показател се изчислява според данните на аналитичната групировка (таблица), като отношение на междугруповата дисперсия на резултатния признак Y (d y 2) към общата дисперсия Y (s y 2):

Съгласно теоремата за разлагане на дисперсията междугруповата дисперсия е свързана с общата дисперсия: s y 2 =d y 2 +e y 2 . Тогава емпиричният коефициент на детерминация може да се изчисли чрез остатъчната дисперсия по формулата:

където s j 2 е дисперсията на резултата Y в рамките на j-тата група.

Емпиричният коефициент на определяне характеризира силата на влиянието на групиращия признак (X) върху формирането на общата вариация на резултантния атрибут Y и показва процента (дяла) на вариацията на резултатния атрибут, дължащ се на фактора на атрибута, лежащ в основата групирането.

Удобно е да се изчисли r 2 в таблицата:

Знаков фактор X j	Nj	Средна стойност на признака-резултат		s j 2 N j
x1	N 1			s 1 2 N 1
x2	N 2			s 2 2 N 2
....				...
Xm	N m			s m 2 N m
Обща сума	н	х		es j 2

Тогава .

Помислете за пример. Нека е дадено множество от 20 работници, характеризиращо се със следните характеристики: Y - продукцията на работник (парче / смяна) и X - квалификация (ранг). Първоначалните данни са представени в таблицата:

х

Y

Необходимо е да се оцени близостта на връзката между характеристиките с помощта на емпиричния коефициент на детерминация (r 2).

За да изчислим r 2, ще извършим аналитично групиране на съвкупността. Като знак-фактор приемаме X (категорията на работника), като знак-резултат - Y, продукцията на работника). Аналитичното групиране се извършва на базата на X. В този случай то ще бъде дискретно (тъй като стойностите на атрибута X се повтарят доста често). Броят на групите е равен на броя на стойностите на атрибута X в съвкупността, т.е. 6. Резултатите от групирането и изчисляването на r 2 са обобщени в таблицата:

Знаков фактор X	Атрибут на резултата Y	Брой единици в група, N j	Средната стойност на знака-резултат в групата,	( - ) 2 N j	Дисперсия на признака-резултат в групата, s 2 j	s 2 j N j
			(10+12+13)/3=11,7	(11,7-17,1) 2 3=88,56	s 2 1 \u003d ((10-11,7) 2 + (12-11,7) 2 + (13-11,7) 2) / 3 \u003d 1,56	4,7
			(11+14)/2=12,5	(12,5-17,1) 2 2=42,3	s 2 2 \u003d ((11-12,5) 2 + (14-12,5) 2) / 2 \u003d 2,25	4,5
			(12+13+15+16)/4= 14	(14-17,1) 2 4=38,4	s 2 3 \u003d ((12-14) 2 + (13-14) 2 + (15-14) 2 + (16-14) 2) / 4 \u003d 2,5
			(15+17+17+18)/4= 16,75	(16,75-17,1) 2 4=0,49	s 2 4 \u003d ((15-16,75) 2 + (17-16,75) 2 ++ (17-16,75) 2 + (18-16,75) 2) / 4 \u003d 1,9	4,75
			(18+20+22)/3=20	(20-17,1) 2 3=25,23	s 2 5 \u003d ((18-20) 2 + (20-20) 2 + (22-20) 2) / 3 \u003d 2,7
			(23+24+27+25)/4= 24,75	(24,75-17,1) 2 4=234,1	s 2 6 \u003d ((23-24,75) 2 + (24-24,75) 2 + (27-24,75) 2 + (25-24,75) 2) / 4 \u003d 2,19	8,75
	=17,1			429,1		40,7

Емпиричният коефициент на детерминация е равен на съотношението на междугруповата вариация на резултатния атрибут (d y 2) към общата вариация на резултатния атрибут (s y 2): r 2 = d y 2 /s y 2 = d y 2 /(d y 2 +e y 2).

Междугруповата дисперсия Y ще бъде равна на: d y 2 = å( - ) 2 N j / N = 429.1/20=21.45.

Остатъчната дисперсия Y ще бъде: e y 2 = ås 2 j ·N j / N= 40,7/20= 2,035.

Тогава: r 2 \u003d 21,45 / (21,45 + 2,035) \u003d 429,1 / (429,1 + 40,7) \u003d 0,913.

Извод: 91,3% от вариацията в продукцията на работниците се дължи на влиянието на фактора освобождаване.

· Емпирична корелационна връзка - r.

Този показател е коренът на емпиричния коефициент на детерминация. Той показва плътността на връзката (не само линейна!) между групирането и продуктивните характеристики. Диапазонът на допустимите стойности на емпиричното съотношение на корелация е от 0 до +1.

Най-близката възможна връзка е функционална връзка, когато всяка стойност на резултата Y се определя еднозначно от стойността на фактора X (т.е. резултатът от групирането). В този случай дисперсията на груповите средни (d y 2) е равна на общата дисперсия (s y 2), т.е. няма да има вътрешногрупови вариации. В този случай остатъчната дисперсия (e y 2) е равна на 0, а емпиричният коефициент на детерминация е равен на 1.

Ако няма връзка между признаците, тогава всички групови средни са равни помежду си, няма да има междугрупова вариация (d y 2 =0) и емпиричният коефициент на детерминация е 0.

Нека изчислим емпиричното съотношение на корелация за нашия пример: r= 0,9555. Заключение: знаците "производство на работник" и "уволнение" са доста тясно свързани.

Индикаторите r и r 2 се определят не само от наличието на връзка между характеристиките X и Y, но и от факта на групиране на първичните данни. С увеличаването на броя на групите m междугруповата дисперсия d 2 нараства и се доближава до общата дисперсия. Ако броят на групите е по-малък от броя на популационните единици N, тогава стойностите на r и r 2 никога няма да бъдат равни на 1, дори при строга функционална връзка.

Обърнете внимание, че стойността на показателя за близост на връзката сама по себе си не е доказателство за наличието на причинно-следствена връзка между изследваните признаци, а е оценка на степента на взаимно съответствие в промените в признаците. Установяването на причинно-следствената връзка задължително трябва да бъде предшествано от анализ на качествения характер на явленията.

Корелационният анализ включва измерване на близостта на връзката с помощта на коефициента на корелация и съотношението на корелация. При линейна форма на зависимост силата на връзката се оценява от Коефициент на корелация на Пиърсън :

Коефициентът на корелация варира от (- 1) до (+ 1), (– 1  r  1).

Отрицателен знак на индикатора показва обратна връзка, положителен знак показва пряка връзка. Колкото по-близка е стойността на индикатора до единица, по абсолютна стойност, толкова по-силна е връзката, колкото по-близо до нула, толкова по-слаба е връзката.

За да измерите силата на връзката с всякаква форма на зависимост, както линейна, така и нелинейна, както и да оцените множествената връзка, приложете теоретична корелация (индекс на корелация). Изчислението му се основава на правилото за добавяне на дисперсия:

където –обща дисперсия - отразява изменението на ефективния признак, дължащо се на всички фактори, действащи върху него;

или

–факторна дисперсия , отразява изменението на ефективната характеристика, дължащо се на фактора (Х).

–остатъчна дисперсия , отразява вариацията на ефективната характеристика поради всички фактори, с изключение на фактора (Х);

Теоретично съотношение на корелация е корен квадратен от съотношението на факторната дисперсия към общата дисперсия:

коренен израз - коефициент на детерминация :

показва съотношението на вариацията на резултантния белег, дължаща се на влиянието на факторния белег, в общата вариация. Колкото по-голям е този дял, толкова по-силна е връзката между характеристиките.

Теоретично съотношение на корелация се променя от 0 на 1 (0  Р 1) Колкото по-близо до единица е стойността на индикатора, толкова по-силна е връзката.

За да оцените силата на връзката, можете да използвате мащабз едока:

Основната тенденция на развитие и методите за нейното откриване

Всеки ред от динамика има своя собствена тенденция на развитие, т.е. общата посока към увеличаване, намаляване или стабилизиране на нивото на явлението във времето. Тежестта на тази тенденция зависи от влиянието на постоянни, периодични (сезонни) и случайни фактори върху нивата на динамичния ред. Следователно трябва да се говори не само за тенденцията на развитие, а за основната тенденция.

Основната тенденция на развитие (тенденция) се нарича плавно и стабилно изменение на нивото на явлението във времето, без периодични и случайни колебания.

За да се идентифицира тенденция, сериите от динамика се обработват чрез методите на разширяване на интервали, пълзяща средна и аналитично подравняване.

Метод на интервално огрубяване се основава на консолидацията на периоди от време, които включват нивата на серия от динамика. За да направите това, оригиналните данни се комбинират, т.е. сумирани или осреднени за по-дълги интервали от време, докато общата тенденция на развитие стане достатъчно отчетлива. Например дневните данни за производството се комбинират в десетдневни данни, месечните данни в тримесечни данни, годишните данни в многогодишни данни. Предимството на метода е неговата простота. Недостатъкът е, че изгладената серия е много по-къса от оригиналната.

метод на пълзяща средна се състои в това, че въз основа на първоначалните данни се изчисляват подвижни средни от определен брой първи нива на серията, първо подред, след това от същия брой нива, започвайки от второто, от третото и т.н. Средната стойност, така да се каже, се плъзга по динамичната серия, движейки се с един интервал. Пълзящите средни изглаждат случайните колебания.

Схема за изчисляване на плъзгащата се средна на 3 нива

Времеви интервал (номер по ред)	Действителни нива на динамични серии при аз	пълзящи средни при ск
	при 1
	при 2
	при 3
	при 4	при sc3
	при 5	при sc4
	при 6

Изгладената серия от динамика е по-къса от оригиналната по стойност (l - 1), ако уголемяването се извършва върху нечетен брой нива, където л е продължителността на периода на разширяване. Например ако l = 3, тогава подравненият ред е с 2 нива по-къс. Така изгладената серия не е много по-къса от оригиналната.

Метод на аналитично подравняване се състои в замяна на действителните нива на времевия ред с техните теоретични стойности, изчислени въз основа на уравнението на тенденцията:

Изчисляват се параметрите на уравнението метод на най-малките квадрати:

където при– действителни нива; при тиса подравнените (изчислените) нива, съответстващи им във времето.

Ако развитието се извършва в аритметична прогресия (с равни верижни абсолютни нараствания), тогава линейна функция:

Ако има динамика в геометричната прогресия (с равни темпове на растеж на веригата), тогава е необходимо да се използва експоненциална функция:

при T = а 0 а 1 T .

Ако развитието протича с равни темпове на растеж, се използва с степенна функция, например от втори ред (парабола):

при T = а 0 + а 1 T+ а 2 T 2 .

Критерият за правилния избор на уравнението на тренда е грешка на приближението . Той представлява стандартното отклонение на действителните нива на динамичните серии от теоретичните:

Уравнението с най-малка апроксимационна грешка се счита за оптимално.

Разгледайте „техниката“ за изравняване на времевия ред според линейна функция:



където а 0 , а 1 са параметрите на уравнението на правата линия; T- индикатори за време (като правило, пореден номер на периода или момент във времето).

Параметри на линията а 0 и а 1 , удовлетворяващи метода на най-малките квадрати, се намират чрез решаване на следната система от нормални уравнения:

където не броят на нивата на динамичната серия; параметър а 1 съответства на средното абсолютно увеличение.

За да се опрости изчисляването на индикаторите за време
могат да бъдат дадени такива стойности, че
, тогава

За да направите това, в редове с нечетен брой нива, централният интервал се приема като начало на времевата референция, където T приравнявам към нула. От двете страни на нулата има съответно редове от отрицателни и положителни естествени числа, например:

Времеви интервал (номер по ред)	T аз

За четен брой нива броенето се извършва от два централни интервала, в които T приравнени съответно на (-1) и (+1), а от двете страни има редове от отрицателни и положителни нечетни числа, например:

Времеви интервал (номер по ред)	T аз

Схема за изчисляване на параметрите на линейно уравнение

Времеви интервали	Нива на динамични серии при аз	T аз	аз T 2	при аз T аз	при ти

Въз основа на изчисленото уравнение на тенденцията е възможно да се произведе екстраполация – намиране на вероятностни (прогнозирани) нива извън първоначалната серия от динамика.