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कॉलम में क्रियाओं के लिए उदाहरणों का कैलक्यूलेटर। एक स्तंभ, उदाहरण, समाधान द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

एक बच्चे को गणितीय संक्रियाएँ सिखाने के महत्वपूर्ण चरणों में से एक अभाज्य संख्याओं को विभाजित करने की संक्रिया सीखना है। एक बच्चे को विभाजन कैसे समझाएं, आप इस विषय में कब महारत हासिल करना शुरू कर सकते हैं?

एक बच्चे को विभाजन सिखाने के लिए, यह आवश्यक है कि सीखने के समय तक वह जोड़, घटाव जैसी गणितीय क्रियाओं में महारत हासिल कर चुका हो, और उसे गुणा और भाग की क्रियाओं के सार की भी स्पष्ट समझ हो। अर्थात्, उसे यह समझना चाहिए कि विभाजन किसी वस्तु का समान भागों में विभाजन है। गुणन संक्रियाएँ सिखाना और गुणन तालिका सीखना भी आवश्यक है।

यह लेख आपके लिए कैसे उपयोगी हो सकता है, इसके बारे में मैं पहले ही लिख चुका हूँ।

हम चंचल तरीके से भागों में विभाजन (विभाजन) के संचालन में महारत हासिल करते हैं

इस स्तर पर, बच्चे में यह समझ पैदा करना आवश्यक है कि विभाजन किसी चीज़ को समान भागों में विभाजित करना है। एक बच्चे को ऐसा करने के लिए सिखाने का सबसे आसान तरीका उसे अपने दोस्तों या परिवार के सदस्यों के बीच निश्चित संख्या में आइटम साझा करने के लिए आमंत्रित करना है।

उदाहरण के लिए, 8 समान क्यूब्स लें और बच्चे को दो समान भागों में विभाजित करने के लिए आमंत्रित करें - उसके और दूसरे व्यक्ति के लिए। भिन्न और जटिल कार्य, बच्चे को 8 क्यूब्स को दो में नहीं, बल्कि चार लोगों में विभाजित करने के लिए आमंत्रित करें। उसके साथ परिणाम का विश्लेषण करें। घटकों को बदलें, वस्तुओं की एक अलग संख्या और उन लोगों के साथ प्रयास करें जिनमें इन वस्तुओं को विभाजित करने की आवश्यकता है।

महत्वपूर्ण:सुनिश्चित करें कि पहले बच्चा वस्तुओं की एक समान संख्या के साथ काम करता है, ताकि विभाजन का परिणाम भागों की समान संख्या हो। यह अगले चरण में उपयोगी होगा, जब बच्चे को यह समझने की आवश्यकता होगी कि विभाजन गुणन का विलोम है।

गुणन तालिका का उपयोग करके गुणा और भाग करें

अपने बच्चे को समझाएं कि गणित में गुणा के विपरीत भाग को भाग कहा जाता है। गुणन तालिका का उपयोग करते हुए, किसी भी उदाहरण का उपयोग करते हुए, गुणन और भाग के बीच के संबंध को छात्र को प्रदर्शित करें।

उदाहरण: 4x2=8. अपने बच्चे को याद दिलाएं कि गुणा का परिणाम दो संख्याओं का गुणनफल होता है। फिर स्पष्ट कीजिए कि भाग गुणन का विलोम है और इसे स्पष्ट कीजिए।

परिणामी उत्पाद "8" को उदाहरण से - किसी भी कारक - "2" या "4" से विभाजित करें, और परिणाम हमेशा एक अन्य कारक होगा जो ऑपरेशन में उपयोग नहीं किया गया था।

आपको युवा छात्रों को यह भी सिखाने की जरूरत है कि विभाजन के संचालन का वर्णन करने वाली श्रेणियों को कैसे कहा जाता है - "विभाज्य", "भाजक" और "भागफल"। यह दिखाने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें कि कौन सी संख्याएँ विभाज्य, भाजक और भागफल हैं। इस ज्ञान को समेकित करें, वे आगे सीखने के लिए आवश्यक हैं!

वास्तव में, आपको अपने बच्चे को गुणन तालिका "उलटा" सिखाने की आवश्यकता है, और आपको इसे याद करने की आवश्यकता है, साथ ही साथ गुणन तालिका भी, क्योंकि यह तब आवश्यक होगा जब आप लंबे विभाजन को पढ़ाना शुरू करेंगे।

एक कॉलम से विभाजित करें - एक उदाहरण दें

पाठ शुरू करने से पहले, अपने बच्चे के साथ याद रखें कि विभाजन संक्रिया के दौरान संख्याओं को कैसे पुकारा जाता है। "भाजक", "विभाज्य", "भागफल" क्या है? इन श्रेणियों की सही और जल्दी पहचान करना सीखें। बच्चे को अभाज्य संख्याओं को विभाजित करना सिखाते समय यह बहुत उपयोगी होगा।

हम स्पष्ट रूप से समझाते हैं

आइए 938 को 7 से भाग दें। इस उदाहरण में, 938 भाज्य है, 7 भाजक है। परिणाम एक भागफल होगा, और फिर आपको इसकी गणना करने की आवश्यकता है।

स्टेप 1. हम संख्याओं को लिखते हैं, उन्हें "कोने" से विभाजित करते हैं।

चरण दोविद्यार्थी को विभाज्य की संख्या दिखाएँ और उससे वह सबसे छोटी संख्या चुनने को कहें जो भाजक से बड़ी हो। तीन संख्याओं 9, 3 और 8 में से यह संख्या 9 होगी। बच्चे को यह विश्लेषण करने के लिए आमंत्रित करें कि संख्या 9 में कितनी बार संख्या 7 समाहित हो सकती है? सही है, बस एक बार। इसलिए, हम जो पहला परिणाम लिखेंगे वह 1 होगा।

चरण 3आइए एक स्तंभ द्वारा विभाजन के डिजाइन पर चलते हैं:

हम भाजक 7x1 को गुणा करते हैं और 7 प्राप्त करते हैं। हम प्राप्त परिणाम को अपने लाभांश 938 की पहली संख्या के तहत लिखते हैं और हमेशा की तरह एक कॉलम में घटाते हैं। यानी हम 9 में से 7 घटाते हैं और 2 पाते हैं।

हम परिणाम लिखते हैं।

चरण 4जो संख्या हम देखते हैं वह भाजक से छोटी है, इसलिए हमें इसे बढ़ाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम इसे अपने लाभांश की अगली अप्रयुक्त संख्या के साथ जोड़ते हैं - यह 3 होगा। हम 3 को परिणामी संख्या 2 से जोड़ते हैं।

चरण 5अगला, हम पहले से ज्ञात एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं। आइए विश्लेषण करें कि परिणामी संख्या 23 में हमारा भाजक 7 कितनी बार समाहित है? ठीक है, तीन बार। हम भागफल में संख्या 3 तय करते हैं। तथा गुणनफल का परिणाम - 21 (7*3) नीचे एक कॉलम में 23 अंक के नीचे लिखा है।

चरण 6अब यह हमारे भागफल की अंतिम संख्या को खोजने के लिए बनी हुई है। पहले से परिचित एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम एक कॉलम में गणना करना जारी रखते हैं। कॉलम (23-21) में घटाने पर हमें अंतर प्राप्त होता है। यह 2 के बराबर है।

लाभांश में से, हमारे पास एक संख्या बची है - 8. हम इसे घटाव के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या 2 के साथ जोड़ते हैं, हमें - 28 मिलता है।

चरण 7आइए विश्लेषण करें कि परिणामी संख्या में हमारा भाजक 7 कितनी बार समाहित है? ठीक है, 4 बार। हम परिणामी आकृति को परिणाम में लिखते हैं। इसलिए, हमारे पास एक कॉलम = 134 द्वारा विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त भागफल है।

बच्चे को विभाजित करना कैसे सिखाएं - हम कौशल को मजबूत करते हैं

कई छात्रों को गणित में समस्या होने का मुख्य कारण सरल अंकगणितीय गणनाओं को शीघ्रता से करने में असमर्थता है। और इसी आधार पर प्राथमिक विद्यालय में सभी गणित का निर्माण होता है। विशेष रूप से अक्सर समस्या गुणा और भाग में होती है।
एक बच्चे को यह सीखने के लिए कि दिमाग में विभाजन गणनाओं को जल्दी और कुशलता से कैसे करना है, सही शिक्षण पद्धति और कौशल का समेकन आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम आपको सलाह देते हैं कि आप विभाजन कौशल में महारत हासिल करने के लिए वर्तमान में लोकप्रिय साधनों का उपयोग करें। कुछ बच्चों के लिए अपने माता-पिता के साथ काम करने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं, अन्य स्वतंत्र काम के लिए।

"विभाजन। स्तर 3. कार्यपुस्तिका "अतिरिक्त शिक्षा Kumon के लिए सबसे बड़े अंतरराष्ट्रीय केंद्र से
"विभाजन। Kumon द्वारा स्तर 4 कार्यपुस्तिका
"मानसिक अंकगणित नहीं। एक बच्चे को तेजी से गुणा और भाग सिखाने के लिए एक प्रणाली। 21 दिनों के लिए। नोटपैड सिम्युलेटर।» श्री अखमदुलिन से - सबसे अधिक बिकने वाली शैक्षिक पुस्तकों के लेखक

सबसे महत्वपूर्ण बात जब आप किसी बच्चे को एक कॉलम में विभाजित करना सिखाते हैं, तो एल्गोरिथ्म में महारत हासिल करना है, जो सामान्य तौर पर काफी सरल है।

यदि बच्चा गुणन तालिका और "रिवर्स" डिवीजन के साथ अच्छी तरह से काम करता है, तो उसे कोई कठिनाई नहीं होगी। फिर भी, अधिग्रहीत कौशल को लगातार प्रशिक्षित करना बहुत महत्वपूर्ण है। जैसे ही आपको पता चलता है कि बच्चे ने विधि का सार समझ लिया है, वहीं रुकें नहीं।

एक बच्चे को आसानी से विभाजन की प्रक्रिया सिखाने के लिए, आपको चाहिए:

ताकि दो या तीन साल की उम्र में उन्होंने "संपूर्ण - भाग" के रिश्ते में महारत हासिल कर ली। उसे एक अविभाज्य श्रेणी के रूप में संपूर्ण की समझ और एक स्वतंत्र वस्तु के रूप में संपूर्ण के एक अलग हिस्से की धारणा विकसित करनी चाहिए। उदाहरण के लिए, एक खिलौना ट्रक एक संपूर्ण है, और इसका शरीर, पहिए, दरवाजे इस पूरे के हिस्से हैं।
ताकि प्राथमिक विद्यालय की उम्र में बच्चा स्वतंत्र रूप से संख्याओं को जोड़ने और घटाने की क्रियाओं में काम करता है, गुणन और विभाजन की प्रक्रियाओं का सार समझता है।

बच्चे को गणित का आनंद लेने के लिए, न केवल प्रशिक्षण के दौरान, बल्कि रोजमर्रा की स्थितियों में भी गणित और गणितीय क्रियाओं में उसकी रुचि जगाना आवश्यक है।

इसलिए, बच्चे में अवलोकन को प्रोत्साहित और विकसित करें, निर्माण, खेल और प्रकृति के अवलोकन के दौरान गणितीय संचालन (गणना और विभाजन पर संचालन, भाग-पूर्ण संबंधों का विश्लेषण आदि) के साथ समानताएं बनाएं।

व्याख्याता, बाल विकास केंद्र विशेषज्ञ
Druzhinina ऐलेना
साइट विशेष रूप से परियोजना के लिए

माता-पिता के लिए वीडियो प्लॉट, बच्चे को कॉलम में विभाजन को सही ढंग से कैसे समझाएं:

Android उपकरणों के लिए कॉलम कैलकुलेटर आधुनिक स्कूली बच्चों के लिए एक महान सहायक होगा। कार्यक्रम न केवल एक गणितीय क्रिया का सही उत्तर देता है, बल्कि इसके चरण-दर-चरण समाधान को भी स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है। यदि आपको अधिक जटिल कैलकुलेटर की आवश्यकता है, तो आप उन्नत इंजीनियरिंग कैलकुलेटर देख सकते हैं।

peculiarities

कार्यक्रम की मुख्य विशेषता गणितीय कार्यों की गणना की विशिष्टता है। गणना प्रक्रिया को एक कॉलम में प्रदर्शित करने से छात्र इसे और अधिक विस्तार से जान सकते हैं, समाधान एल्गोरिथम को समझ सकते हैं, और न केवल समाप्त परिणाम प्राप्त कर सकते हैं और इसे एक नोटबुक में फिर से लिख सकते हैं। अन्य कैलकुलेटर की तुलना में इस सुविधा का बहुत बड़ा लाभ है। स्कूल में अक्सर, शिक्षकों को यह सुनिश्चित करने के लिए मध्यवर्ती गणनाओं को लिखने की आवश्यकता होती है कि छात्र उन्हें अपने दिमाग में करता है और वास्तव में समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझता है। वैसे, हमारे पास इसी तरह का एक और प्रोग्राम है - .

कार्यक्रम का उपयोग शुरू करने के लिए, आपको Android पर एक कॉलम में कैलकुलेटर डाउनलोड करना होगा। आप इसे हमारी वेबसाइट पर अतिरिक्त पंजीकरण और एसएमएस के बिना बिल्कुल मुफ्त में कर सकते हैं। स्थापना के बाद, मुख्य पृष्ठ एक पिंजरे में एक नोटबुक शीट के रूप में खुलेगा, जिस पर, वास्तव में, गणना परिणाम और उनका विस्तृत समाधान प्रदर्शित किया जाएगा। नीचे बटन वाला एक पैनल है:

अंक।
अंकगणितीय संचालन के संकेत।
पहले दर्ज किए गए वर्णों को हटाएं।

इनपुट उसी सिद्धांत के अनुसार किया जाता है जिस पर। सभी अंतर केवल एप्लिकेशन के इंटरफ़ेस में हैं - सभी गणितीय गणनाएं और उनके परिणाम वर्चुअल छात्र नोटबुक में प्रदर्शित होते हैं।

एप्लिकेशन आपको एक कॉलम में एक छात्र के लिए मानक गणितीय गणनाओं को जल्दी और सही ढंग से करने की अनुमति देता है:

गुणन;
विभाजन;
जोड़ना;
घटाव।

ऐप का एक अच्छा जोड़ दैनिक गणित होमवर्क रिमाइंडर सुविधा है। तुम चाहो तो अपना होमवर्क करो। इसे सक्षम करने के लिए, सेटिंग्स पर जाएं (गियर के रूप में बटन दबाएं) और रिमाइंडर बॉक्स को चेक करें।

फायदे और नुकसान

यह छात्र को न केवल गणितीय गणनाओं का सही परिणाम प्राप्त करने में मदद करता है, बल्कि गणना के सिद्धांत को समझने में भी मदद करता है।
प्रत्येक उपयोगकर्ता के लिए बहुत ही सरल, सहज इंटरफ़ेस।
आप ऑपरेटिंग सिस्टम 2.2 और बाद के संस्करण के साथ सबसे बजटीय एंड्रॉइड डिवाइस पर भी एप्लिकेशन इंस्टॉल कर सकते हैं।
कैलकुलेटर गणितीय गणनाओं का इतिहास सहेजता है, जिसे किसी भी समय साफ़ किया जा सकता है।

कैलकुलेटर गणितीय कार्यों में सीमित है, इसलिए यह उन जटिल गणनाओं के लिए काम नहीं करेगा जिन्हें एक इंजीनियरिंग कैलकुलेटर संभाल सकता है। हालाँकि, आवेदन के उद्देश्य को देखते हुए - प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को एक कॉलम में गणना के सिद्धांत को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने के लिए, इसे नुकसान नहीं माना जाना चाहिए।

आवेदन न केवल स्कूली बच्चों के लिए, बल्कि उन माता-पिता के लिए भी एक उत्कृष्ट सहायक होगा जो अपने बच्चे को गणित में रुचि लेना चाहते हैं और उसे सही और लगातार गणना करना सिखाते हैं। यदि आप पहले से ही स्टैक्ड कैलकुलेटर ऐप का उपयोग कर चुके हैं, तो नीचे टिप्पणी में अपनी राय दें।

एक विशेष विधि को अंजाम देना सुविधाजनक है, जिसे कहा जाता है स्तंभ घटावया स्तंभ घटाव. घटाव की यह विधि अपने नाम को सही ठहराती है, क्योंकि लघु अंत, घटाव और अंतर एक कॉलम में लिखे गए हैं। इंटरमीडिएट गणना भी संख्याओं के अंकों के अनुरूप कॉलम में की जाती है।

एक स्तंभ में प्राकृतिक संख्याओं को घटाने की सुविधा परिकलन की सरलता में निहित है। जोड़ तालिका का उपयोग करने और घटाव गुणों को लागू करने के लिए गणना नीचे आती है।

आइए देखें कि कॉलम घटाव कैसे किया जाता है। हम उदाहरणों के समाधान के साथ घटाव की प्रक्रिया पर विचार करेंगे। तो यह और स्पष्ट होगा।

पेज नेविगेशन।

कॉलम द्वारा घटाने के लिए आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

एक कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को घटाने के लिए, आपको सबसे पहले यह जानना होगा कि जोड़ तालिका का उपयोग करके घटाव कैसे किया जाता है।

अंत में, प्राकृतिक संख्याओं के निर्वहन की परिभाषा को दोहराने में कोई हर्ज नहीं है।

उदाहरणों पर एक कॉलम द्वारा घटाव।

चलिए रिकॉर्डिंग से शुरू करते हैं। मीनू पहले लिखी जाती है। मिनट के नीचे सबट्रेंड है। इसके अलावा, यह इस तरह से किया जाता है कि संख्याएं एक के नीचे एक होती हैं, जो दाईं ओर से शुरू होती हैं। रिकॉर्ड किए गए नंबरों के बाईं ओर एक ऋण चिह्न लगाया जाता है, और नीचे एक क्षैतिज रेखा खींची जाती है, जिसके तहत आवश्यक कार्रवाई किए जाने के बाद परिणाम रिकॉर्ड किया जाएगा।

कॉलम द्वारा घटाते समय सही प्रविष्टियों के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। अंतर को एक कॉलम में लिखें 56−9 , अंतर 3 004−1 670 , और 203 604 500−56 777 .

तो, रिकॉर्ड के साथ।

हम एक स्तंभ द्वारा घटाव की प्रक्रिया के विवरण की ओर मुड़ते हैं। इसका सार संबंधित अंकों के मूल्यों के अनुक्रमिक घटाव में निहित है। सबसे पहले, इकाई अंक के मान घटाए जाते हैं, फिर दहाई अंक के मान, फिर सौ अंक के मान, और इसी तरह। परिणाम उचित स्थानों पर क्षैतिज रेखा के नीचे दर्ज किए जाते हैं। प्रक्रिया के पूरा होने के बाद रेखा के नीचे जो संख्या बनती है, वह दो मूल प्राकृतिक संख्याओं को घटाने का वांछित परिणाम है।

प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा घटाव की प्रक्रिया को दर्शाने वाले आरेख की कल्पना करें।

उपरोक्त योजना एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं के घटाव का एक सामान्य चित्र देती है, लेकिन यह सभी सूक्ष्मताओं को प्रतिबिंबित नहीं करती है। उदाहरणों को हल करते समय हम इन सूक्ष्मताओं से निपटेंगे। आइए सबसे सरल मामलों से शुरू करें, और फिर हम धीरे-धीरे और अधिक जटिल मामलों की ओर बढ़ेंगे, जब तक कि हम उन सभी बारीकियों का पता नहीं लगा लेते हैं जो एक कॉलम द्वारा घटाते समय हो सकती हैं।

उदाहरण।

सबसे पहले, एक कॉलम को संख्या से घटाएं 74 805 संख्या 24 003 .

समाधान।

आइए इन नंबरों को कॉलम घटाव विधि द्वारा आवश्यक रूप से लिखें:

हम इकाई के अंकों के मान घटाकर शुरू करते हैं, अर्थात हम संख्या से घटाते हैं 5 संख्या 3 . अतिरिक्त तालिका से हमारे पास है 5−3=2 . हम क्षैतिज रेखा के नीचे प्राप्त परिणामों को उसी कॉलम में लिखते हैं जिसमें संख्याएँ स्थित होती हैं 5 और 3 :

अब दहाई अंक के मान घटाएं (हमारे उदाहरण में, वे शून्य के बराबर हैं)। अपने पास 0−0=0 (हमने पिछले पैराग्राफ में घटाव की इस संपत्ति का उल्लेख किया है)। हम परिणामी शून्य को उसी कॉलम में लाइन के नीचे लिखते हैं:

आगे बढ़ो। सौ स्थान के मान घटाएँ: 8−0=8 (घटाव की संपत्ति के अनुसार, पिछले पैराग्राफ में आवाज उठाई गई)। अब हमारी एंट्री कुछ इस तरह दिखेगी:

आइए हज़ारों स्थानीय मानों को घटाना शुरू करें: 4−4=0 (ये समान प्राकृतिक संख्याओं के घटाव के गुण हैं)। अपने पास:

यह हजारों स्थानों के दसियों के मूल्यों को घटाना बाकी है: 7−2=5 . हम परिणामी संख्या को सही जगह पर लाइन के नीचे लिखते हैं:

यह स्तंभ घटाव पूरा करता है। संख्या 50 802 , जो नीचे निकला, मूल प्राकृतिक संख्याओं को घटाने का परिणाम है 74 805 और 24 003 .

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

संख्या से एक कॉलम घटाएं 5 777 संख्या 5 751 .

समाधान।

हम सब कुछ उसी तरह करते हैं जैसे पिछले उदाहरण में - हम संबंधित अंकों के मूल्यों को घटाते हैं। सभी चरणों को पूरा करने के बाद, प्रविष्टि इस प्रकार दिखाई देगी:

लाइन के नीचे हमें एक संख्या मिली जिसके रिकॉर्ड में बाईं ओर संख्याएँ हैं 0 . यदि ये संख्याएँ 0 त्यागें, तो हमें मूल प्राकृत संख्याओं को घटाने का परिणाम प्राप्त होता है। हमारे मामले में, हम दो अंकों को छोड़ देते हैं 0 बाईं ओर प्राप्त किया। हमारे पास है: अंतर 5 777−5 751 के बराबर है 26 .

इस बिंदु तक, हमने उन प्राकृतिक संख्याओं को घटा दिया है जिनके रिकॉर्ड में वर्णों की समान संख्या होती है। अब, एक उदाहरण का उपयोग करते हुए, आइए जानें कि एक स्तंभ में प्राकृतिक संख्याओं को कैसे घटाया जाता है जब सबट्रेंड के रिकॉर्ड की तुलना में कम के रिकॉर्ड में अधिक संकेत होते हैं।

उदाहरण।

संख्या से घटाएं 502 864 संख्या 2 330 .

समाधान।

हम एक कॉलम में लघु अंत और उपांश लिखते हैं:

इकाई अंक के मानों को एक-एक करके घटाएं: 4−0=4 ; दसियों के बाद: 6−3=3 ; आगे - सैकड़ों: 8−3=5 ; आगे - हजार: 2−2=0 . हम पाते हैं:

अब, कॉलम घटाव को पूरा करने के लिए, हमें अभी भी हजारों स्थानों के मूल्यों को घटाना होगा, और फिर सैकड़ों हजारों स्थानों के मूल्यों को घटाना होगा। लेकिन इन अंकों के मान से (हमारे उदाहरण में, संख्याओं से 0 और 5 ) हमारे पास घटाने के लिए कुछ भी नहीं है (घटाई गई संख्या के बाद से 2 330 इन अंकों में अंक नहीं हैं)। हो कैसे? बहुत सरल - इन बिट्स के मूल्यों को क्षैतिज रेखा के नीचे फिर से लिखा जाता है:

प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा इस घटाव पर 502 864 और 2 330 पुरा होना। अंतर है 500 534 .

यह उन मामलों पर विचार करने के लिए बना रहता है, जब कॉलम घटाव के कुछ चरण में, घटी हुई संख्या के अंक का मान सबट्रेंड के संबंधित अंक के मान से कम होता है। इन मामलों में, आपको वरिष्ठ रैंकों से "उधार" लेना होगा। आइए इसे उदाहरणों से समझते हैं।

उदाहरण।

संख्या से एक कॉलम घटाएं 534 संख्या 71 .

समाधान।

पहले चरण में, से घटाएं 4 संख्या 1 , हम पाते हैं 3 . अपने पास:

अगले चरण में, हमें दहाई अंक के मानों को घटाना होगा, अर्थात संख्या से 3 संख्या घटाना 7 . क्योंकि 3<7 , तो हम इन प्राकृतिक संख्याओं को घटा नहीं सकते हैं (प्राकृतिक संख्याओं का घटाव तभी परिभाषित किया जाता है जब घटाव न्यूनतम से अधिक न हो)। क्या करें? इस मामले में, हम लेते हैं 1 उच्चतम क्रम से इकाई और इसे "विनिमय" करें। हमारे उदाहरण में, "विनिमय" 1 एक सौ प्रति 10 दसियों। अपने कार्यों को दृष्टिगत रूप से प्रतिबिंबित करने के लिए, हम सौ के स्थान पर संख्या के ऊपर एक मोटा बिंदु लगाते हैं, और दहाई के स्थान पर संख्या के ऊपर हम संख्या लिखते हैं 10 एक अलग रंग का उपयोग करना। एंट्री इस तरह दिखेगी:

हम "विनिमय" के बाद प्राप्त जोड़ते हैं 10 दसियों से 3 उपलब्ध दसियों: 3+10=13 , और इस संख्या से घटाएं 7 . अपने पास 13−7=6 . यह नंबर 6 इसके स्थान पर क्षैतिज रेखा के नीचे लिखें:

चलिए सैकड़े के स्थान के मान को घटाना शुरू करते हैं। यहां हम संख्या 5 के ऊपर एक बिंदु देखते हैं, जिसका अर्थ है कि इस संख्या से हमने "विनिमय के लिए" एक लिया। यानी अब हमारे पास है 5 , ए 5−1=4 . संख्या से 4 और कुछ भी घटाए जाने की आवश्यकता नहीं है (मूल घटाई गई संख्या के बाद से 71 इसमें सौ के स्थान पर अंक नहीं होते हैं)। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे हम संख्या लिखते हैं 4 :

तो फर्क 534−71 के बराबर है 463 .

कभी-कभी, किसी कॉलम द्वारा घटाते समय, आपको कई बार उच्चतम अंकों से इकाइयों का "विनिमय" करना पड़ता है। इन शब्दों के समर्थन में, हम निम्नलिखित उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करते हैं।

उदाहरण।

प्राकृतिक संख्या से घटाएं 1 632 संख्या 947 कॉलम।

समाधान।

पहले चरण में, हमें संख्या से घटाना होगा 2 संख्या 7 . क्योंकि 2<7 , तो आपको तुरंत "एक्सचेंज" करना होगा 1 दर्जन चालू 10 इकाइयों। इसके बाद योग से 10+2 संख्या घटाना 7 , हमें (10+2)−7=12−7=5 :

अगले चरण में, हमें दहाई अंकों के मानों को घटाना होगा। हम देखते हैं कि संख्या से अधिक है 3 एक बिंदु के लायक, यानी हमारे पास नहीं है 3 , ए 3−1=2 . और इस नंबर से 2 हमें संख्या घटानी है 4 . क्योंकि 2<4 , फिर आपको "एक्सचेंज" का सहारा लेना होगा। लेकिन अब हम अदला-बदली कर रहे हैं 1 एक सौ प्रति 10 दसियों। इस स्थिति में, हमारे पास (10+2)−4=12−4=8 :

अब हम सैकड़े के स्थान के मान घटाते हैं। संख्या से 6 इकाई पिछले चरण में भरी हुई थी, इसलिए हमारे पास है 6−1=5 . इस संख्या से हमें संख्या घटानी होगी 9 . क्योंकि 5<9 , तो हमें "विनिमय" करने की आवश्यकता है 1 एक हजार प्रति 10 सैकड़ों। हम पाते हैं (10+5)−9=15−9=6 :

अंतिम चरण बाकी है। पिछले चरण में हमने हज़ारों स्थानों में से एक से उधार लिया था, इसलिए हमारे पास है 1−1=0 . हमें प्राप्त संख्या में से और कुछ घटाने की आवश्यकता नहीं है। यह संख्या क्षैतिज रेखा के नीचे लिखी जाती है:

इस गणितीय कार्यक्रम के साथ, आप बहुपदों को एक स्तंभ से विभाजित कर सकते हैं।
बहुपद को बहुपद से विभाजित करने का कार्यक्रम केवल समस्या का उत्तर नहीं देता है, यह स्पष्टीकरण के साथ एक विस्तृत समाधान देता है, अर्थात। गणित और/या बीजगणित के ज्ञान की जाँच करने के लिए हल करने की प्रक्रिया को प्रदर्शित करता है।

यह कार्यक्रम हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में उपयोगी हो सकता है, जब माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर नियुक्त करना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप बस अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्दी से जल्दी पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस प्रकार, आप अपने स्वयं के प्रशिक्षण और/या अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण का संचालन कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

अगर आपको चाहिए या बहुपद को सरल करेंया बहुपदों का गुणन करें, तो इसके लिए हमारे पास एक बहुपद का एक अलग कार्यक्रम सरलीकरण (गुणा) है

बहुपदों को विभाजित करें

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट्स को लोड नहीं किया गया था, और प्रोग्राम शायद काम न करे।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस स्थिति में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
यहां आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को सक्षम करने के निर्देश दिए गए हैं।

क्योंकि ऐसे बहुत से लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतारबद्ध है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर आप समाधान में त्रुटि देखी, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
भूलना नहीं कौन सा कार्य बताएंआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, एमुलेटर:

थोड़ा सिद्धांत।

एक स्तंभ (कोने) के साथ एक बहुपद (द्विपद) द्वारा एक बहुपद का विभाजन

बीजगणित में एक स्तंभ (कोने) द्वारा बहुपदों का विभाजन- बहुपद f(x) को बहुपद (द्विपद) g(x) से विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म, जिसकी डिग्री बहुपद f(x) की डिग्री से कम या उसके बराबर है।

एक बहुपद द्वारा एक बहुपद को विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म एक स्तंभ द्वारा संख्याओं को विभाजित करने का एक सामान्यीकृत रूप है, आसानी से मैन्युअल रूप से कार्यान्वित किया जाता है।

किसी भी बहुपद \(f(x) \) और \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \) के लिए अद्वितीय बहुपद \(q(x) \) और \(r( x ) \), जैसे कि
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
जहां \(r(x) \) की डिग्री \(g(x) \) से कम है।

बहुपदों को एक स्तंभ (कोने) में विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म का उद्देश्य दिए गए लाभांश (f(x) \) के लिए भागफल \(q(x) \) और शेषफल \(r(x) \) ज्ञात करना है और अशून्य भाजक \(g(x) \)

उदाहरण

हम एक बहुपद को दूसरे बहुपद (द्विपद) से एक स्तंभ (कोने) से विभाजित करते हैं:
\(\बड़ा \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

इन बहुपदों के विभाजन का भागफल और शेष निम्नलिखित चरणों में पाया जा सकता है:
1. भाज्य के पहले तत्व को भाजक के उच्चतम तत्व से विभाजित करें, परिणाम को रेखा के नीचे रखें \((x^3/x = x^2) \)

\(एक्स\)	\(-3 \)
\(x^2 \)

3. भाज्य से गुणन के बाद प्राप्त बहुपद को घटाएं, परिणाम को पंक्ति के नीचे लिखें \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3 \)	\(-12x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
\(x^3 \)	\(-3x^2 \)
	\(-9x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)

\(एक्स\)	\(-3 \)
\(x^2 \)

4. रेखा के नीचे लिखे बहुपद को भाज्य के रूप में उपयोग करते हुए, हम पिछले 3 चरणों को दोहराते हैं।

\(x^3 \)	\(-12x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
\(x^3 \)	\(-3x^2 \)
	\(-9x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
	\(-9x^2 \)	\(+27x\)
		\(-27x\)	\(-42 \)

\(एक्स\)	\(-3 \)
\(x^2 \)	\(-9x\)

5. चरण 4 को दोहराएं।

\(x^3 \)	\(-12x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
\(x^3 \)	\(-3x^2 \)
	\(-9x^2 \)	\(+0x\)	\(-42 \)
	\(-9x^2 \)	\(+27x\)
		\(-27x\)	\(-42 \)
		\(-27x\)	\(+81 \)
			\(-123 \)

\(एक्स\)	\(-3 \)
\(x^2 \)	\(-9x\)	\(-27 \)

6. एल्गोरिथ्म का अंत।
इस प्रकार, बहुपद \(q(x)=x^2-9x-27 \) बहुपदों का आंशिक विभाजन है, और \(r(x)=-123 \) बहुपदों के विभाजन का शेषफल है।

बहुपदों को विभाजित करने के परिणाम को दो समानताओं के रूप में लिखा जा सकता है:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
या
\(\बड़ा(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \बड़ा(\frac(-123)(x-3)) \)

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन, विशेष रूप से बहु-मूल्यवान, एक विशेष विधि द्वारा सुविधाजनक रूप से किया जाता है, जिसे कहा जाता है एक स्तंभ द्वारा विभाजन (एक स्तंभ में). आप नाम भी देख सकते हैं कोने का विभाजन. तुरंत, हम ध्यान दें कि स्तंभ को शेष के बिना प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन और शेष के साथ प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के रूप में किया जा सकता है।

इस लेख में, हम समझेंगे कि कॉलम द्वारा विभाजन कैसे किया जाता है। यहां हम राइटिंग रूल्स और सभी इंटरमीडिएट कैलकुलेशन के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम एक बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या के विभाजन पर एक कॉलम द्वारा एकल-अंक संख्या पर ध्यान केन्द्रित करते हैं। उसके बाद, हम उन मामलों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जहां भाज्य और भाजक दोनों बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याएं हैं। इस लेख का संपूर्ण सिद्धांत प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन के विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान और दृष्टांतों की विस्तृत व्याख्या के साथ प्रदान किया गया है।

पेज नेविगेशन।

कॉलम द्वारा विभाजित करते समय रिकॉर्डिंग के नियम

आइए एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते समय लाभांश, भाजक, सभी मध्यवर्ती गणनाओं और परिणामों को लिखने के नियमों का अध्ययन करके शुरू करें। आइए हम तुरंत कहते हैं कि एक चेकर लाइन के साथ कागज पर लिखित रूप में एक कॉलम में विभाजित करना सबसे सुविधाजनक है - इसलिए वांछित पंक्ति और कॉलम से भटकने की संभावना कम है।

सर्वप्रथम भाज्य और भाजक को एक पंक्ति में बाएँ से दाएँ लिखा जाता है, जिसके बाद लिखित संख्याओं के बीच रूप का प्रतीक प्रदर्शित होता है। उदाहरण के लिए, यदि भाज्य संख्या 6 105 है, और भाजक 5 5 है, तो एक स्तंभ में विभाजित करने पर उनका सही अंकन होगा:

निम्नलिखित आरेख को देखें, जो एक स्तंभ द्वारा विभाजित करते समय भाज्य, भाजक, भागफल, शेषफल और मध्यवर्ती गणनाओं को लिखने के लिए स्थानों को दर्शाता है।

उपरोक्त आरेख से देखा जा सकता है कि वांछित भागफल (या शेष के साथ विभाजित करते समय अधूरा भागफल) क्षैतिज रेखा के नीचे विभाजक के नीचे लिखा जाएगा। और लाभांश के नीचे मध्यवर्ती गणना की जाएगी, और आपको पहले से पृष्ठ पर स्थान की उपलब्धता का ध्यान रखना होगा। इस मामले में, किसी को नियम द्वारा निर्देशित किया जाना चाहिए: लाभांश और भाजक की प्रविष्टियों में वर्णों की संख्या में जितना अधिक अंतर होगा, उतनी ही अधिक जगह की आवश्यकता होगी। उदाहरण के लिए, जब एक प्राकृतिक संख्या 614,808 को 51,234 से एक कॉलम द्वारा विभाजित किया जाता है (614,808 एक छह अंकों की संख्या है, 51,234 एक पांच अंकों की संख्या है, रिकॉर्ड में वर्णों की संख्या में अंतर 6−5=1 है), मध्यवर्ती संख्या 8 058 और 4 को विभाजित करते समय गणना के लिए कम जगह की आवश्यकता होगी (यहां वर्णों की संख्या में अंतर 4−1=3 है)। अपने शब्दों की पुष्टि के लिए, हम इन प्राकृतिक संख्याओं के एक कॉलम द्वारा विभाजन के पूर्ण रिकॉर्ड प्रस्तुत करते हैं:

अब आप सीधे प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करने की प्रक्रिया पर जा सकते हैं।

एक अंकीय प्राकृतिक संख्या द्वारा एक प्राकृतिक संख्या के एक स्तंभ द्वारा विभाजन, एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथम

यह स्पष्ट है कि एक अंकीय प्राकृतिक संख्या को दूसरे से विभाजित करना काफी सरल है, और इन संख्याओं को एक स्तंभ में विभाजित करने का कोई कारण नहीं है। हालांकि, इन सरल उदाहरणों पर एक कॉलम द्वारा विभाजन के प्रारंभिक कौशल का अभ्यास करना उपयोगी होगा।

उदाहरण।

हमें एक कॉलम 8 को 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है।

समाधान।

बेशक, हम गुणा तालिका का उपयोग करके विभाजन कर सकते हैं, और तुरंत उत्तर 8:2=4 लिख सकते हैं।

लेकिन हम इस बात में रुचि रखते हैं कि इन नंबरों को एक कॉलम से कैसे विभाजित किया जाए।

सबसे पहले, हम भाज्य 8 और भाजक 2 को विधि के अनुसार लिखते हैं:

अब हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि भाजक भाज्य में कितनी बार है। ऐसा करने के लिए, हम भाजक को क्रमिक रूप से संख्या 0, 1, 2, 3, ... से गुणा करते हैं जब तक कि परिणाम लाभांश के बराबर संख्या (या लाभांश से बड़ी संख्या, यदि कोई विभाजन शेष के साथ होता है) ). यदि हमें भाज्य के बराबर कोई संख्या मिलती है तो हम उसे तुरंत भाज्य के नीचे लिख देते हैं और निजी के स्थान पर वह संख्या लिख देते हैं जिससे हमने भाजक को गुणा किया था। यदि हमें विभाज्य से अधिक संख्या मिलती है, तो विभाजक के तहत हम अंतिम चरण में गणना की गई संख्या लिखते हैं, और अपूर्ण भागफल के स्थान पर हम उस संख्या को लिखते हैं जिसके द्वारा भाजक को अंतिम चरण में गुणा किया गया था।

आओ चलें: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4; 2 3=6; 2 4=8 . हमें भाज्य के बराबर एक संख्या प्राप्त होती है, इसलिए हम इसे भाज्य के नीचे लिखते हैं, और निजी के स्थान पर हम संख्या 4 लिखते हैं। रिकॉर्ड तब इस तरह दिखेगा:

एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को एक स्तंभ से विभाजित करने का अंतिम चरण रहता है। लाभांश के तहत लिखी गई संख्या के तहत, आपको एक क्षैतिज रेखा खींचनी होगी, और इस रेखा के ऊपर संख्याओं को उसी तरह घटाना होगा जैसे कि एक स्तंभ के साथ प्राकृतिक संख्याओं को घटाते समय किया जाता है। घटाने के बाद प्राप्त संख्या भाग का शेषफल होगा। यदि यह शून्य के बराबर है, तो मूल संख्या बिना शेष के विभाजित हो जाती है।

हमारे उदाहरण में, हमें मिलता है

अब हमारे पास संख्या 8 के एक कॉलम द्वारा 2 से भाग देने का पूरा रिकॉर्ड है। हम देखते हैं कि भागफल 8:2 4 है (और शेषफल 0 है)।

उत्तर:

8:2=4 .

अब विचार करें कि शेषफल के साथ एक-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के स्तंभ द्वारा विभाजन कैसे किया जाता है।

उदाहरण।

एक कॉलम 7 को 3 से विभाजित करें।

समाधान।

प्रारंभिक चरण में, प्रविष्टि इस तरह दिखती है:

हम यह पता लगाना शुरू करते हैं कि भाजक में कितनी बार भाजक होता है। हम 3 को 0, 1, 2, 3 आदि से गुणा करेंगे। जब तक हमें भाज्य 7 के बराबर या उससे अधिक संख्या नहीं मिलती। हमें 3 0=0 प्राप्त होता है<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (यदि आवश्यक हो, तो लेख में प्राकृतिक संख्याओं की तुलना देखें)। लाभांश के तहत हम संख्या 6 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और अधूरे भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (इसे अंतिम चरण में गुणा किया गया था)।

यह घटाव को अंजाम देने के लिए बना हुआ है, और एकल अंकों की प्राकृतिक संख्या 7 और 3 के एक कॉलम द्वारा विभाजन पूरा हो जाएगा।

अतः आंशिक भागफल 2 है, और शेषफल 1 है।

उत्तर:

7:3=2 (शेष 1)।

अब हम एक कॉलम द्वारा बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं को एकल-अंक वाली प्राकृतिक संख्याओं से विभाजित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

अब हम विश्लेषण करेंगे स्तंभ विभाजन एल्गोरिथ्म. प्रत्येक चरण में, हम बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 140 288 को एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित करके प्राप्त परिणामों को प्रस्तुत करेंगे। यह उदाहरण संयोग से नहीं चुना गया था, क्योंकि इसे हल करते समय, हम सभी संभावित बारीकियों का सामना करेंगे, हम उनका विस्तार से विश्लेषण कर पाएंगे।

सबसे पहले, हम भाज्य प्रविष्टि में बाएँ से पहले अंक को देखते हैं। यदि इस आकृति द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या विभाजक से कम है, तो हमें लाभांश रिकॉर्ड में बाईं ओर अगला अंक जोड़ना होगा, और प्रश्न में दो अंकों द्वारा निर्धारित संख्या के साथ आगे काम करना होगा। सुविधा के लिए, हम अपने रिकॉर्ड में वह संख्या चुनते हैं जिसके साथ हम काम करेंगे।

भाज्य 140,288 में बाएँ से पहला अंक 1 है। संख्या 1 भाजक 4 से छोटी है, इसलिए हम लाभांश रिकॉर्ड में बाईं ओर अगले अंक को भी देखते हैं। वहीं, हम 14 नंबर देखते हैं, जिसके साथ हमें आगे काम करना है। हम इस संख्या को लाभांश के अंकन में चुनते हैं।

एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन पूरा होने तक दूसरे से चौथे तक निम्नलिखित बिंदुओं को चक्रीय रूप से दोहराया जाता है।

अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि हम जिस संख्या के साथ काम कर रहे हैं उसमें विभाजक कितनी बार समाहित है (सुविधा के लिए, आइए इस संख्या को x के रूप में निरूपित करें)। ऐसा करने के लिए, हम भाजक को क्रमिक रूप से 0, 1, 2, 3, ... से गुणा करते हैं जब तक कि हमें संख्या x या x से बड़ी संख्या नहीं मिल जाती। जब एक संख्या x प्राप्त होती है, तो हम इसे चयनित संख्या के तहत प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा घटाते समय उपयोग किए जाने वाले संकेतन नियमों के अनुसार लिखते हैं। वह संख्या जिसके द्वारा गुणा किया गया था, एल्गोरिथ्म के पहले पास के दौरान भागफल के स्थान पर लिखा गया है (एल्गोरिथ्म के 2-4 बिंदुओं के बाद के पास के दौरान, यह संख्या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर लिखी गई है)। जब एक संख्या प्राप्त होती है जो संख्या x से अधिक होती है, तो चयनित संख्या के तहत हम अंतिम चरण में प्राप्त संख्या लिखते हैं, और भागफल के स्थान पर (या पहले से मौजूद संख्याओं के दाईं ओर) हम संख्या लिखते हैं जिसका गुणन अंतिम चरण में किया गया था। (हमने ऊपर चर्चा किए गए दो उदाहरणों में समान कार्य किए हैं)।

हम 4 के भाजक को संख्याओं 0 , 1 , 2 , ... से तब तक गुणा करते हैं जब तक कि हमें 14 के बराबर या 14 से बड़ी संख्या नहीं मिल जाती। हमारे पास 4 0=0 है<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14। चूँकि अंतिम चरण में हमें संख्या 16 मिली, जो 14 से अधिक है, फिर चयनित संख्या के तहत हम संख्या 12 लिखते हैं, जो कि अंतिम चरण में निकली है, और भागफल के स्थान पर हम संख्या 3 लिखते हैं, क्योंकि अंत से पहले के पैराग्राफ पर गुणा ठीक उसी पर किया गया था।

इस स्तर पर, चयनित संख्या से, उसके नीचे की संख्या को एक कॉलम में घटाएं। क्षैतिज रेखा के नीचे घटाव का परिणाम है। हालाँकि, यदि घटाव का परिणाम शून्य है, तो इसे नीचे लिखे जाने की आवश्यकता नहीं है (जब तक कि इस बिंदु पर घटाव अंतिम क्रिया नहीं है जो एक स्तंभ द्वारा विभाजन को पूरी तरह से पूरा करता है)। यहां, आपके नियंत्रण के लिए, भाजक के साथ घटाव के परिणाम की तुलना करना और यह सुनिश्चित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि यह भाजक से कम है। नहीं तो कहीं चूक हो गई है।

हमें एक कॉलम में संख्या 14 से संख्या 12 घटाना है (सही अंकन के लिए, आपको घटाई गई संख्याओं के बाईं ओर ऋण चिह्न लगाना नहीं भूलना चाहिए)। इस क्रिया के पूर्ण होने पर आड़ी रेखा के नीचे अंक 2 दिखाई दिया। अब हम परिणामी संख्या की भाजक से तुलना करके अपनी गणना की जाँच करते हैं। चूँकि संख्या 2 भाजक 4 से छोटी है, आप सुरक्षित रूप से अगले आइटम पर जा सकते हैं।

अब, क्षैतिज रेखा के नीचे स्थित संख्याओं के दाईं ओर (या उस स्थान के दाईं ओर जहां हमने शून्य नहीं लिखा है), हम लाभांश के रिकॉर्ड में उसी कॉलम में स्थित संख्या लिखते हैं। यदि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है, तो एक कॉलम द्वारा विभाजन यहाँ समाप्त होता है। उसके बाद, हम क्षैतिज रेखा के नीचे गठित संख्या का चयन करते हैं, इसे एक कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथ्म के 2 से 4 बिंदुओं को दोहराते हैं।

संख्या 2 के दाईं ओर पहले से ही क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 0 लिखते हैं, क्योंकि यह संख्या 0 है जो इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार, संख्या 20 क्षैतिज रेखा के नीचे बनती है।

हम इस संख्या 20 का चयन करते हैं, इसे एक कार्य संख्या के रूप में लेते हैं, और इसके साथ एल्गोरिथ्म के दूसरे, तीसरे और चौथे बिंदु की क्रियाओं को दोहराते हैं।

हम 4 के भाजक को 0 , 1 , 2 , ... से तब तक गुणा करते हैं जब तक हमें संख्या 20 या 20 से बड़ी संख्या नहीं मिल जाती। हमारे पास 4 0=0 है<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).

हम एक कॉलम द्वारा घटाव करते हैं। चूँकि हम समान प्राकृत संख्याओं को घटाते हैं, तो समान प्राकृत संख्याओं को घटाने के गुण के कारण परिणामतः शून्य प्राप्त होता है। हम शून्य नहीं लिखते हैं (चूंकि यह अभी तक एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने का अंतिम चरण नहीं है), लेकिन हमें वह स्थान याद है जहां हम इसे लिख सकते हैं (सुविधा के लिए, हम इस स्थान को एक काले आयत के साथ चिह्नित करेंगे)।

याद किए गए स्थान के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह वह है जो इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे हमारे पास संख्या 2 है।

हम नंबर 2 को एक कार्य संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चिह्नित करते हैं, और एक बार फिर हमें एल्गोरिथम के 2-4 बिंदुओं से चरणों का पालन करना होगा।

हम भाजक को 0 , 1 , 2 और इसी तरह से गुणा करते हैं, और परिणामी संख्याओं की चिह्नित संख्या 2 से तुलना करते हैं। हमारे पास 4 0=0 है<2 , 4·1=4>2. इसलिए, चिह्नित संख्या के तहत, हम संख्या 0 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और पहले से मौजूद संख्या के दाईं ओर भागफल के स्थान पर, हम संख्या 0 लिखते हैं (हम 0 से गुणा करते हैं) कदम)।

हम एक कॉलम द्वारा घटाव करते हैं, हमें क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 2 मिलती है। हम भाजक 4 के साथ परिणामी संख्या की तुलना करके स्वयं की जाँच करते हैं। चूंकि 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.

संख्या 2 के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 8 जोड़ते हैं (क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 140 288 के रिकॉर्ड में है)। इस प्रकार, क्षैतिज रेखा के नीचे संख्या 28 है।

हम इस संख्या को एक कार्यकर्ता के रूप में स्वीकार करते हैं, इसे चिह्नित करते हैं और अनुच्छेदों के चरण 2-4 को दोहराते हैं।

यदि आप अभी तक सावधान रहे हैं तो यहां कोई समस्या नहीं होनी चाहिए। सभी आवश्यक क्रियाएं करने के बाद, निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है।

यह आखिरी बार अंक 2, 3, 4 (हम आपको प्रदान करते हैं) से कार्रवाई करने के लिए बनी हुई है, जिसके बाद आपको कॉलम में प्राकृतिक संख्या 140 288 और 4 को विभाजित करने की पूरी तस्वीर मिल जाएगी:

कृपया ध्यान दें कि संख्या 0 रेखा के बिल्कुल नीचे लिखी गई है। यदि यह एक स्तंभ द्वारा विभाजित करने का अंतिम चरण नहीं होता (अर्थात, यदि लाभांश के रिकॉर्ड में दाईं ओर के कॉलम में संख्याएँ होतीं), तो हम इस शून्य को नहीं लिखते।

इस प्रकार, बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 140 288 को एकल-मूल्यवान प्राकृतिक संख्या 4 से विभाजित करने के पूर्ण रिकॉर्ड को देखते हुए, हम देखते हैं कि संख्या 35 072 निजी है (और विभाजन का शेष शून्य है, यह बहुत पर है जमीनी स्तर)।

बेशक, प्राकृतिक संख्याओं को एक कॉलम से विभाजित करते समय, आप अपने सभी कार्यों का इतने विस्तार से वर्णन नहीं करेंगे। आपके समाधान निम्न उदाहरणों की तरह कुछ दिखाई देंगे।

उदाहरण।

यदि भाज्य 7136 है और भाजक एक प्राकृतिक संख्या 9 है तो दीर्घ विभाजन करें।

समाधान।

एक स्तंभ द्वारा प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करने के लिए एल्गोरिथम के पहले चरण में, हमें प्रपत्र का एक रिकॉर्ड मिलता है

एल्गोरिथम के दूसरे, तीसरे और चौथे बिंदु से क्रियाओं को करने के बाद, एक कॉलम द्वारा विभाजन का रिकॉर्ड फॉर्म ले लेगा

चक्र को दोहराते हुए, हमारे पास होगा

एक और पास हमें प्राकृतिक संख्या 7 136 और 9 के कॉलम द्वारा विभाजन की पूरी तस्वीर देगा

इस प्रकार, आंशिक भागफल 792 है, और शेष भाग 8 है।

उत्तर:

7 136:9=792 (बाकी 8) .

और यह उदाहरण दर्शाता है कि विभाजन कितना लंबा दिखना चाहिए।

उदाहरण।

प्राकृतिक संख्या 7 042 035 को एकल अंक प्राकृतिक संख्या 7 से विभाजित करें।

समाधान।

कॉलम द्वारा विभाजन करना सबसे सुविधाजनक है।

उत्तर:

7 042 035:7=1 006 005 .

बहुमूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन

हम आपको खुश करने की जल्दबाजी करते हैं: यदि आपने इस लेख के पिछले पैराग्राफ से एक कॉलम द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिथ्म में अच्छी तरह से महारत हासिल की है, तो आप पहले से ही जानते हैं कि कैसे प्रदर्शन करना है बहुमूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा विभाजन. यह सच है, क्योंकि एल्गोरिथम के चरण 2 से 4 अपरिवर्तित रहते हैं, और पहले चरण में केवल मामूली परिवर्तन दिखाई देते हैं।

बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के एक कॉलम में विभाजित करने के पहले चरण में, आपको लाभांश प्रविष्टि में बाईं ओर पहले अंक को देखने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन उनमें से जितने में भाजक प्रविष्टि में अंक हैं। यदि इन संख्याओं द्वारा परिभाषित संख्या भाजक से अधिक है, तो अगले पैराग्राफ में हमें इस संख्या के साथ काम करना होगा। यदि यह संख्या विभाजक से कम है, तो हमें लाभांश के रिकॉर्ड में बाईं ओर अगले अंक को विचार में जोड़ना होगा। उसके बाद, अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक एल्गोरिथम के पैराग्राफ 2, 3 और 4 में निर्दिष्ट क्रियाएं की जाती हैं।

उदाहरणों को हल करते समय अभ्यास में बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं के कॉलम द्वारा विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम के आवेदन को देखने के लिए ही बनी हुई है।

उदाहरण।

बहुमूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं 5562 और 206 के एक स्तंभ द्वारा विभाजन करते हैं।

समाधान।

चूंकि भाजक 206 के रिकॉर्ड में 3 वर्ण शामिल हैं, हम भाज्य 5 562 के रिकॉर्ड में बाईं ओर पहले 3 अंक देखते हैं। ये संख्याएँ संख्या 556 के अनुरूप हैं। चूँकि 556 भाजक 206 से अधिक है, हम संख्या 556 को कार्यशील संख्या के रूप में लेते हैं, इसे चुनते हैं, और एल्गोरिथम के अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।

अब हम भाजक 206 को संख्याओं 0 , 1 , 2 , 3 , ... से तब तक गुणा करते हैं जब तक हमें वह संख्या नहीं मिल जाती जो 556 के बराबर या 556 से बड़ी हो। हमारे पास है (यदि गुणन कठिन है, तो किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं का गुणन करना बेहतर है): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556। चूँकि हमें एक संख्या मिली है जो संख्या 556 से अधिक है, फिर चयनित संख्या के तहत हम संख्या 412 लिखते हैं (यह अंतिम चरण में प्राप्त किया गया था), और भागफल के स्थान पर हम संख्या 2 लिखते हैं (चूंकि इसे गुणा किया गया था) अंतिम चरण)। स्तंभ विभाजन प्रविष्टि निम्न रूप लेती है:

स्तंभ घटाव करें। हमें 144 का अंतर मिलता है, यह संख्या विभाजक से कम है, इसलिए आप सुरक्षित रूप से आवश्यक क्रियाएं करना जारी रख सकते हैं।

उपलब्ध संख्या के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम संख्या 2 लिखते हैं, क्योंकि यह इस कॉलम में लाभांश 5 562 के रिकॉर्ड में है:

अब हम संख्या 1442 के साथ काम करते हैं, इसे चुनें, और चरण दो से चार तक फिर से जाएं।

हम भाजक 206 को 0 , 1 , 2 , 3 , ... से तब तक गुणा करते हैं जब तक हमें संख्या 1442 या 1442 से बड़ी संख्या नहीं मिल जाती। चलिए: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

हम एक कॉलम से घटाते हैं, हमें शून्य मिलता है, लेकिन हम इसे तुरंत नहीं लिखते हैं, लेकिन केवल इसकी स्थिति याद रखते हैं, क्योंकि हम नहीं जानते कि क्या विभाजन यहाँ समाप्त होता है, या हमें एल्गोरिथम के चरणों को दोहराना होगा दोबारा:

अब हम देखते हैं कि याद की गई स्थिति के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के नीचे, हम कोई संख्या नहीं लिख सकते, क्योंकि इस कॉलम में लाभांश के रिकॉर्ड में कोई संख्या नहीं है। इसलिए, कॉलम द्वारा यह विभाजन समाप्त हो गया है, और हम प्रविष्टि को पूरा करते हैं: