บ้าน › ความสุข › ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเชิงประจักษ์แสดงให้เห็น อัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์คำนวณโดยใช้สูตร

ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเชิงประจักษ์แสดงให้เห็น อัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์คำนวณโดยใช้สูตร

สารละลาย. ในการคำนวณความแปรปรวนของกลุ่ม เราจะคำนวณค่าเฉลี่ยสำหรับแต่ละกลุ่ม:

พีซี.; พีซี

การคำนวณค่าความแปรปรวนระดับกลางตามกลุ่มแสดงไว้ในตาราง 1 3.2. แทนที่ค่าที่ได้รับเป็นสูตร (3.4) เราได้รับ:

ค่าเฉลี่ยของผลต่างกลุ่ม

จากนั้นเราคำนวณความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม ในการดำเนินการนี้ ขั้นแรกเรากำหนดค่าเฉลี่ยโดยรวมเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าเฉลี่ยกลุ่ม:

ทีนี้ ลองหาความแปรปรวนระหว่างกลุ่มกัน

ดังนั้น ความแปรปรวนรวมตามกฎการเพิ่มความแปรปรวน:

ลองตรวจสอบผลลัพธ์ที่ได้รับโดยการคำนวณความแปรปรวนทั้งหมด ตามปกติ:

ตามกฎสำหรับการเพิ่มความแปรปรวน คุณสามารถกำหนดตัวบ่งชี้ความใกล้ชิดของความสัมพันธ์ระหว่างการจัดกลุ่ม (ปัจจัย) และลักษณะผลลัพธ์ได้ เรียกว่าอัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์ ซึ่งแสดง (“eta”) และคำนวณโดยสูตร

สำหรับตัวอย่างของเรา ความสัมพันธ์สหสัมพันธ์เชิงประจักษ์

ค่า 0.86 แสดงถึงความสัมพันธ์ที่สำคัญระหว่างการจัดกลุ่มและคุณลักษณะด้านประสิทธิภาพ

ค่านี้เรียกว่าสัมประสิทธิ์การกำหนด และแสดงส่วนแบ่งของความแปรปรวนระหว่างกลุ่มในความแปรปรวนทั้งหมด

นอกจากความแปรผันในลักษณะเชิงปริมาณแล้ว ยังสามารถสังเกตความแปรผันในลักษณะเชิงคุณภาพได้อีกด้วย การศึกษาความแปรผันนี้สามารถทำได้สำหรับสัดส่วนของคุณลักษณะเชิงปริมาณ โดยการคำนวณและวิเคราะห์ความแปรปรวนประเภทต่างๆ ต่อไปนี้

การกระจายส่วนแบ่งภายในกลุ่มถูกกำหนดโดยสูตร

. (3.17)

ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่มคำนวณได้ดังนี้

. (3.18)

สูตรสำหรับความแปรปรวนระหว่างกลุ่มมีดังนี้:

, (3.19)

ที่ไหน ฉัน– จำนวนหน่วยแยกกลุ่ม

– สัดส่วนของลักษณะที่ศึกษาในประชากรทั้งหมดซึ่งกำหนดโดยสูตร

ความแปรปรวนรวมมีรูปแบบ

. (3.21)

ความแปรปรวนทั้งสามประเภทมีความสัมพันธ์กันดังนี้:

. (3.22)

ตัวอย่างที่ 3.4

ให้เราพิจารณาความแปรปรวนกลุ่ม ค่าเฉลี่ยของกลุ่ม ระหว่างกลุ่ม และความแปรปรวนรวมตามข้อมูลในตาราง 3.3.

ตารางที่ 3.3

หมายเลขและ แรงดึงดูดเฉพาะหนึ่งในหมวดหมู่
ฟาร์มปศุสัตว์ของภูมิภาค

สารละลาย

ให้เราพิจารณาส่วนแบ่งของโคนมโดยรวมสำหรับฟาร์มสามแห่ง:

ความแปรปรวนรวมในส่วนแบ่งโคนม:

ความแปรปรวนภายในกลุ่ม:

; ; .

ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่ม:

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม:

เมื่อใช้กฎสำหรับการบวกผลต่าง เราจะได้: 0.1025+0.0031=0.1056 ตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 3.5

ตามข้อมูลการสำรวจตัวอย่าง ค่าจ้างสำหรับบุคลากรภาครัฐ จะได้ตัวบ่งชี้ดังนี้ (ตาราง 3.4)

ตารางที่ 3.4

กำหนด:

1) ค่าจ้างเฉลี่ยในสองอุตสาหกรรม

2) การกระจายค่าจ้าง:

ก) ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนกลุ่ม (อุตสาหกรรม)

b) กลุ่มระหว่างกัน (ระหว่างภาค)

3) ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ;

4) ความสัมพันธ์เชิงประจักษ์

สารละลาย

1. ค่าจ้างเฉลี่ยของคนงานในสองอุตสาหกรรมคำนวณโดยใช้สูตร (2.10):

ถู.

2. การกระจายค่าจ้าง:

ก) ค่าเฉลี่ยความแปรปรวนกลุ่มตาม (3.14)

b) ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มตาม (3.12)

c) ความแปรปรวนรวมที่ได้รับตามกฎสำหรับการบวกความแปรปรวน (3.15):

3. ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเท่ากับค่า

เหล่านั้น. หรือ 44.24%

โดยแสดงให้เห็นว่าค่าจ้างขึ้นอยู่กับความร่วมมือในอุตสาหกรรมของคนงาน 44.24% และ 55.76% ด้วยเหตุผลภายในอุตสาหกรรม

ตามสูตร (3.16) ความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ ,

ซึ่งบ่งชี้ถึงอิทธิพลที่สำคัญของลักษณะอุตสาหกรรมที่มีต่อความแตกต่างของค่าจ้าง

3.2. ภารกิจสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ

ปัญหา 3.1

ข้อมูลต่อไปนี้มีอยู่ในการกระจายของคนงาน 60 คนตามประเภทภาษี (ตารางที่ 3.5)

ตารางที่ 3.5

กำหนด:

1) ประเภทค่าจ้างเฉลี่ยของคนงาน

2) ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย

3) การกระจายตัว;

4) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน;

5) ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

ปัญหา 3.2

จากผลการสอบภาคเรียนหลักสูตรที่ 1 และ 2 ของมหาวิทยาลัยแห่งใดแห่งหนึ่ง มีข้อมูลดังต่อไปนี้: ในปีที่ 1 นักเรียน 85% ผ่านภาคเรียนโดยไม่สอบตก ในปีที่ 2 - 90%

ในแต่ละหลักสูตร ให้กำหนดสัดส่วนของนักเรียนที่ผ่านภาคเรียนได้สำเร็จ

ปัญหา 3.3

บริษัทร่วมหุ้นในภูมิภาคตามจำนวนพนักงานโดยเฉลี่ย ณ วันที่ 1 มกราคม 2547 มีการกระจายดังนี้ (ตารางที่ 3.6)

ตารางที่ 3.6

คำนวณ:

1) ค่าเบี่ยงเบนเชิงเส้นเฉลี่ย

2) การกระจายตัว;

3) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน;

4) ค่าสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

ปัญหา 3.4

มีข้อมูลเกี่ยวกับการกระจายครอบครัวของพนักงานองค์กรตามจำนวนบุตร (ตารางที่ 3.7)

ตารางที่ 3.7

คำนวณ:

1) ความแปรปรวนภายในกลุ่ม

2) ค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนภายในกลุ่ม

3) ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม;

4) ความแปรปรวนรวม

ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณของคุณโดยใช้กฎสำหรับการบวกผลต่าง

ปัญหา 3.5

การกระจายต้นทุนของผลิตภัณฑ์ที่มีไว้สำหรับการส่งออกทั่วทั้งเวิร์กช็อปขององค์กรแสดงโดยข้อมูลต่อไปนี้ (ตารางที่ 3.8)

ตารางที่ 3.8

คำนวณ:

1) ค่าเฉลี่ยของกลุ่มภายในกลุ่มระหว่างกลุ่มและจำนวนหุ้นทั้งหมดของผลิตภัณฑ์ส่งออก

2) ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดและอัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์

ปัญหา 3.6

จากการสำรวจของธนาคารพาณิชย์ในเมือง 70% ของจำนวนลูกค้าทั้งหมดเป็นนิติบุคคลโดยมีขนาดสินเชื่อเฉลี่ย 120,000 รูเบิล และค่าสัมประสิทธิ์การเปลี่ยนแปลง 25% และ 20% – บุคคลด้วยขนาดเงินกู้เฉลี่ย 20,000 รูเบิล โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 6,000 รูเบิล

ใช้กฎสำหรับการเพิ่มความแปรปรวน กำหนดความใกล้ชิดของความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของสินเชื่อและประเภทของลูกค้าโดยการคำนวณอัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์

หมวดที่ 4 การสังเกตตัวอย่าง

4.1. คำแนะนำด้านระเบียบวิธี
และแนวทางแก้ไขปัญหาทั่วไป

วัตถุประสงค์ของการสังเกตตัวอย่างคือเพื่อกำหนดลักษณะของประชากรทั่วไป - ค่าเฉลี่ยทั่วไป (o) และส่วนแบ่งทั่วไป ( ร- ลักษณะของประชากรตัวอย่าง - ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง () และสัดส่วนตัวอย่าง () แตกต่างจากลักษณะทั่วไปตามจำนวนข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่าง () ดังนั้นในการกำหนดลักษณะของประชากรทั่วไปจึงจำเป็นต้องคำนวณค่าคลาดเคลื่อนของการสุ่มตัวอย่างหรือค่าคลาดเคลื่อนของการเป็นตัวแทนซึ่งกำหนดโดยใช้สูตรที่พัฒนาขึ้นในทฤษฎีความน่าจะเป็นสำหรับตัวอย่างแต่ละประเภทและวิธีการคัดเลือก

ที่จริงแล้วการสุ่มตัวอย่างและการสุ่มตัวอย่างเชิงกลด้วยการสุ่มตัวอย่างซ้ำๆ ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดสำหรับค่าเฉลี่ย () และสำหรับส่วนแบ่ง () จะถูกคำนวณโดยใช้สูตร

; (4.1)

(4.2)

ความแปรปรวนของประชากรตัวอย่างอยู่ที่ไหน

n- ขนาดตัวอย่าง;

ที– ค่าสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่นซึ่งกำหนดจากตารางค่าของฟังก์ชันอินทิกรัลลาปลาซตามความน่าจะเป็นที่กำหนด ( พี โดฟ.) (ตาราง P1)

ด้วยการเลือกแบบสุ่มและเชิงกลแบบไม่ซ้ำกัน ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดจะถูกคำนวณโดยใช้สูตร

; (4.3)

, (4.4)

ที่ไหน เอ็น– ขนาดของประชากรทั่วไป

ตัวอย่างที่ 4.1

เพื่อตรวจสอบปริมาณเถ้าของถ่านหินในแหล่งสะสม มีการตรวจสอบตัวอย่างถ่านหิน 100 ตัวอย่างโดยการสุ่มตัวอย่าง จากผลการสำรวจพบว่าปริมาณเถ้าเฉลี่ยของถ่านหินในกลุ่มตัวอย่างคือ 16% ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 5% ในสิบตัวอย่าง ปริมาณเถ้าของถ่านหินมีมากกว่า 20% ด้วยความน่าจะเป็น 0.954 ให้กำหนดขีดจำกัดภายในที่ปริมาณเถ้าเฉลี่ยของถ่านหินในแหล่งสะสมและสัดส่วนของถ่านหินที่มีปริมาณเถ้ามากกว่า 20% จะเป็น

สารละลาย

ปริมาณเถ้าเฉลี่ยของถ่านหินจะอยู่ภายใน

เพื่อกำหนดขอบเขตของค่าเฉลี่ยทั่วไป เราคำนวณข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดสำหรับค่าเฉลี่ยโดยใช้สูตร (4.1):

. (4.5)

ด้วยความน่าจะเป็น 0.954 สามารถระบุได้ว่าปริมาณเถ้าเฉลี่ยของถ่านหินในแหล่งสะสมจะอยู่ในช่วง 16% 1% หรือ 15% 17%

ส่วนแบ่งของถ่านหินที่มีปริมาณเถ้ามากกว่า 20% จะอยู่ภายใน

ส่วนแบ่งตัวอย่างถูกกำหนดโดยสูตร

ที่ไหน ม– สัดส่วนของหน่วยที่มีลักษณะ

เราคำนวณข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสำหรับส่วนแบ่ง () โดยใช้สูตร (4.2):

หรือ ±6%

ด้วยความน่าจะเป็น 0.954 สามารถระบุได้ว่าส่วนแบ่งของถ่านหินที่มีปริมาณเถ้ามากกว่า 20% ในเงินฝากจะอยู่ภายใน , หรือ .

ตัวอย่างที่ 4.2

เพื่อกำหนดระยะเวลาเฉลี่ยของการใช้เงินกู้ระยะสั้นที่ธนาคาร ได้มีการสร้างตัวอย่างเชิงกล 5% ซึ่งรวมถึงบัญชี 100 บัญชี จากการสำรวจพบว่าระยะเวลาเฉลี่ยในการใช้เงินกู้ระยะสั้นอยู่ที่ 30 วัน โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอยู่ที่ 9 วัน ในห้าบัญชี ระยะเวลาเงินกู้เกิน 60 วัน ด้วยความน่าจะเป็น 0.954 ให้กำหนดขีดจำกัดภายในระยะเวลาการใช้เงินกู้ระยะสั้นในประชากรทั่วไปและส่วนแบ่งของบัญชีที่มีระยะเวลาการใช้เงินกู้ระยะสั้นมากกว่า 60 วัน

สารละลาย

ระยะเฉลี่ยการใช้เงินกู้ธนาคารอยู่ในขอบเขตที่กำหนด

เนื่องจากการสุ่มตัวอย่างเป็นแบบกลไก ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างจึงถูกกำหนดโดยสูตร (2.3):

วัน.

โดยมีความน่าจะเป็น 0.954 ระบุได้ว่าระยะเวลาการใช้เงินกู้ระยะสั้นจากธนาคารอยู่ในช่วง = 30 วัน 2 วัน หรือ

28 วันของวัน

ส่วนแบ่งของสินเชื่อที่มีระยะเวลาการใช้งานมากกว่า 60 วันอยู่ภายใน

ส่วนแบ่งตัวอย่างจะเป็น

เราพิจารณาข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสำหรับการแบ่งปันโดยใช้สูตร (4.4):

หรือ 4.2%

โดยมีความน่าจะเป็น 0.954 ระบุได้ว่าส่วนแบ่งสินเชื่อในธนาคารที่มีระยะเวลาการใช้มากกว่า 60 วันจะอยู่ในช่วง หรือ

ตัวอย่างทั่วไปด้วยการเลือกแบบทั่วไป (แบ่งโซน) ประชากรทั่วไปจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มและภูมิภาคทั่วไปที่เป็นเนื้อเดียวกัน ดำเนินการเลือกหน่วยสังเกตการณ์ในกลุ่มประชากรตัวอย่าง วิธีการต่างๆ- ลองพิจารณาตัวอย่างทั่วไปที่มีการเลือกตามสัดส่วนภายในกลุ่มทั่วไป

ขนาดตัวอย่างจากกลุ่มทั่วไปในการเลือกตามสัดส่วนกับจำนวนกลุ่มทั่วไปจะถูกกำหนดโดยสูตร

ที่ไหน ฉัน– ขนาดตัวอย่างจากกลุ่มทั่วไป

ยังไม่มี– ปริมาณของกลุ่มทั่วไป

ค่าคลาดเคลื่อนสูงสุดของค่าเฉลี่ยตัวอย่างและสัดส่วนโดยไม่สุ่มซ้ำและ ในทางกลการเลือกภายในกลุ่มทั่วไปจะคำนวณโดยใช้สูตร

; (4.8)

, (4.9)

ความแปรปรวนของประชากรตัวอย่างอยู่ที่ไหน

ตัวอย่างที่ 4.3

เพื่อระบุอายุเฉลี่ยของผู้ชายที่แต่งงานในภูมิภาคนั้น จะมีการสุ่มตัวอย่างทั่วไป 5% โดยเลือกหน่วยตามสัดส่วนของจำนวนกลุ่มทั่วไป มีการใช้การคัดเลือกทางกลภายในกลุ่ม ข้อมูลสรุปไว้ในตาราง 4.1.

ตารางที่ 4.1

ด้วยความน่าจะเป็น 0.954 ให้กำหนดขีดจำกัดภายในนั้น อายุเฉลี่ยผู้ชายที่กำลังจะแต่งงานและสัดส่วนของผู้ชายที่แต่งงานครั้งที่สอง

สารละลาย

อายุเฉลี่ยที่ผู้ชายแต่งงานด้วยนั้นอยู่ภายใน

อายุเฉลี่ยที่ผู้ชายแต่งงานด้วยในกลุ่มตัวอย่างจะกำหนดโดยใช้สูตรถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

= ของปี.

ความแปรปรวนตัวอย่างเฉลี่ยถูกกำหนดโดยสูตร
เฉลี่ย

เราคำนวณข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดโดยใช้สูตร (4.8):

ของปี.

โดยมีความน่าจะเป็น 0.954 กล่าวได้ว่าอายุเฉลี่ยของผู้ชายที่แต่งงานจะอยู่ภายในปีของปีนั้น หรือ

อายุ 24 ปี.

สัดส่วนของผู้ชายที่แต่งงานครั้งที่สองจะอยู่ภายใน

เรากำหนดส่วนแบ่งตัวอย่างโดยใช้สูตรเฉลี่ย

หรือ 14%

ความแปรปรวนตัวอย่างเฉลี่ย เครื่องหมายทางเลือกคำนวณโดยใช้สูตร

(4.12)

เราพิจารณาข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสำหรับการแบ่งปันโดยใช้สูตร (4.9):

หรือ 6%

โดยมีความน่าจะเป็น 0.954 ระบุได้ว่าสัดส่วนของผู้ชายที่แต่งงานครั้งที่สองจะอยู่ในช่วง , หรือ .

การสุ่มตัวอย่างแบบอนุกรมด้วยวิธีการเลือกแบบอนุกรม ประชากรทั่วไปจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มที่มีขนาดเท่ากัน - อนุกรม ชุดข้อมูลจะถูกเลือกในกลุ่มประชากรตัวอย่าง ภายในซีรีส์นี้ จะมีการสังเกตหน่วยที่รวมอยู่ในซีรีส์อย่างต่อเนื่อง

ด้วยการเลือกอนุกรมซ้ำๆ ข้อผิดพลาดสูงสุดของค่าเฉลี่ยและสัดส่วนตัวอย่างจะถูกกำหนดโดยสูตร

, (4.13)

การกระจายตัวของอนุกรมอยู่ที่ไหน

ร– จำนวนอนุกรมในประชากรทั่วไป

ร– จำนวนซีรี่ส์ที่เลือก

ตัวอย่างที่ 4.4

มีทีมงาน 10 ทีมในโรงงานของโรงงาน เพื่อศึกษาผลิตภาพแรงงาน ได้มีการดำเนินการตัวอย่างต่อเนื่อง 20% ซึ่งประกอบด้วย 2 ทีม จากผลการสำรวจพบว่าผลผลิตเฉลี่ยของคนงานในทีมคือ 4.6 และ 3 ตัน ด้วยความน่าจะเป็นที่ 0.997 ให้กำหนดขีดจำกัดที่ผลผลิตเฉลี่ยของคนงานในโรงงานจะเป็น เสื้อหรือ ต.

ตัวอย่างที่ 4.5

มีสินค้า ผลิตภัณฑ์สำเร็จรูปเวิร์กช็อปประกอบด้วยชิ้นส่วน 200 กล่อง กล่องละ 40 ชิ้น เพื่อตรวจสอบคุณภาพของผลิตภัณฑ์สำเร็จรูป จะมีการสุ่มตัวอย่างเป็นชุด 10% จากตัวอย่างพบว่าสัดส่วนชิ้นส่วนที่ชำรุดอยู่ที่ 15% ความแปรปรวนของตัวอย่างอนุกรมคือ 0.0049

ด้วยความน่าจะเป็นที่ 0.997 ให้กำหนดขีดจำกัดภายในสัดส่วนของผลิตภัณฑ์ที่ชำรุดในชุดกล่อง

สารละลาย

สัดส่วนของชิ้นส่วนที่ชำรุดจะอยู่ภายใน

ให้เราพิจารณาข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุดสำหรับการแชร์โดยใช้สูตร (4.13):

หรือ 4.4%

ด้วยความน่าจะเป็นที่ 0.997 จึงสามารถระบุได้ว่าสัดส่วนชิ้นส่วนที่ชำรุดในชุดงานอยู่ระหว่าง 10.6% ถึง 19.6%

ตัวอย่างที่ 4.6

ในภูมิภาคที่ประกอบด้วย 20 อำเภอ มีการสำรวจผลผลิตตัวอย่างโดยพิจารณาจากการเลือกชุดข้อมูล (เขต) ค่าเฉลี่ยตัวอย่างสำหรับภูมิภาคต่างๆ อยู่ที่ 14.5 c/ha ตามลำดับ 16; 15.5; 15 และ 14 c/เฮกตาร์ ด้วยความน่าจะเป็น 0.954 จงหาขีดจำกัดผลตอบแทนสำหรับทั้งภูมิภาค

สารละลาย

มาคำนวณค่าเฉลี่ยโดยรวมกัน:

ค/ฮ่า

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม (ระหว่างซีรีส์)

ตอนนี้ให้เราพิจารณาข้อผิดพลาดสูงสุดของการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ซ้ำซ้อนแบบอนุกรม (t = 2, Р dov = 0.954) โดยใช้สูตร (4.13):

ดังนั้นผลผลิตในภูมิภาค (ที่มีความน่าจะเป็น 0.954) จะอยู่ภายใน

15-1,7≤ ≤15+1,7,

13.3 ซีซี/เฮกตาร์≤ 16.7 ซีซี/เฮกตาร์

ในการออกแบบการสังเกตตัวอย่างจำเป็นต้องค้นหาขนาดตัวอย่างซึ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่ามีความแม่นยำในการคำนวณลักษณะทั่วไป - ค่าเฉลี่ยและสัดส่วน ในกรณีนี้ เราจะทราบข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสูงสุด ความน่าจะเป็นของการเกิดขึ้น และความแปรผันของคุณลักษณะล่วงหน้า

ด้วยการสุ่มตัวอย่างซ้ำ ขนาดตัวอย่างจะถูกกำหนดจากนิพจน์

ในกรณีที่สุ่มตัวอย่างแบบไม่ทำซ้ำหรือสุ่มตัวอย่าง ขนาดตัวอย่างจะคำนวณโดยใช้สูตร

. (4.16)

สำหรับตัวอย่างทั่วไป

. (4.17)

สำหรับการสุ่มตัวอย่างแบบอนุกรม

. (4.18)

ตัวอย่างที่ 4.7

มี 2,000 ครอบครัวอาศัยอยู่ในพื้นที่นี้ มีการวางแผนที่จะดำเนินการสำรวจตัวอย่างโดยใช้วิธีการสุ่มและไม่ซ้ำกันเพื่อค้นหาขนาดครอบครัวโดยเฉลี่ย กำหนดขนาดตัวอย่างที่ต้องการ โดยความน่าจะเป็น 0.954 ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างต้องไม่เกิน 1 คน โดยมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 คน ( =3)

สารละลาย

ด้วยการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ทำซ้ำ ขนาดตัวอย่างตามสูตร (4.16) จะเป็นดังนี้ ครอบครัว

ขนาดตัวอย่าง: อย่างน้อย 36 ครอบครัว

ตัวอย่างที่ 4.8

เมือง A มี 10,000 ครอบครัว คาดว่าจะใช้การสุ่มตัวอย่างเชิงกลเพื่อกำหนดสัดส่วนของครอบครัวที่มีลูกตั้งแต่สามคนขึ้นไป ขนาดตัวอย่างควรเป็นเท่าใด โดยความน่าจะเป็น 0.954 ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างจะต้องไม่เกิน 0.02 หากจากการสำรวจครั้งก่อน ทราบว่าความแปรปรวนคือ 0.2

สารละลาย

ให้เรากำหนดขนาดตัวอย่างที่ต้องการโดยใช้สูตร (4.16):

ขนาดตัวอย่าง: ไม่น้อยกว่า 1667

ในเชิงสถิติ มักจำเป็นต้องเปรียบเทียบผลลัพธ์ของกลุ่มตัวอย่างสองตัวอย่าง (หรือมากกว่า) จากการเปรียบเทียบค่าเฉลี่ย (หรือสัดส่วน) ของตัวอย่างสองรายการ จะมีการสรุปเกี่ยวกับการสุ่มหรือความสำคัญของความคลาดเคลื่อน

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เปรียบเทียบความแตกต่างสัมบูรณ์ระหว่างค่าเฉลี่ยตัวอย่างกับความคลาดเคลื่อนโดยเฉลี่ยของความแตกต่าง:

. (4.19)

พบ ทีคำนวณ เมื่อเทียบกับ ทีโต๊ะ โดย ที– การกระจายตัวของนักศึกษา (ตาราง A2) สำหรับจำนวนองศาอิสระ โวลต์=n 1 +n 2 -2 และระดับนัยสำคัญที่กำหนด a (ที่นี่ n 1 และ n 2 – ปริมาตรของตัวอย่างที่เปรียบเทียบ)

ความแปรปรวนภายในกลุ่มสำหรับประชากรหมายถึงอะไร สูตรคำนวณมันคืออะไร? ยกตัวอย่าง. ความแปรปรวนของประชากรระหว่างกลุ่มหมายถึงอะไร สูตรคำนวณมันคืออะไร? ยกตัวอย่าง.

ความแปรปรวนภายในกลุ่ม () บ่งบอกถึงความแปรผันแบบสุ่มที่ไม่ขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะที่เป็นพื้นฐานของการจัดกลุ่ม

, ที่ไหน

ค่าเฉลี่ยกลุ่ม

ความแปรปรวนภายในกลุ่มโดยเฉลี่ยได้รับการคำนวณดังนี้ ขั้นแรก ความแปรปรวนสำหรับแต่ละกลุ่มจะถูกคำนวณ () จากนั้นจึงคำนวณค่าเฉลี่ยความแปรปรวนภายในกลุ่ม:

ระบุลักษณะการเปลี่ยนแปลงที่เป็นระบบเช่น ความแตกต่างในคุณค่าของคุณลักษณะที่ศึกษาซึ่งเป็นพื้นฐานของการจัดกลุ่ม ความแปรปรวนนี้คำนวณโดยใช้สูตร

, ที่ไหน

ค่าเฉลี่ยสำหรับกลุ่มแยกต่างหาก

ฉัน- จำนวนยูนิตในกลุ่ม

- ค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยรวมของประชากรทั้งหมดที่อยู่ระหว่างการศึกษา

ความแปรปรวนทั้งสามประเภทมีความสัมพันธ์กัน: ความแปรปรวนรวมเท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยความแปรปรวนภายในกลุ่มและความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม:

อัตราส่วนนี้สะท้อนถึงกฎหมายที่เรียกว่า กฎสำหรับการบวกผลต่าง.

20.

ความแปรปรวนของประชากรทั้งหมดหมายถึงอะไร? สูตรคำนวณมันคืออะไร? วิธีการแบ่งกลุ่มส่งผลต่อค่าความแปรปรวนทั้งหมดหรือไม่? ยกตัวอย่าง.

ความแปรปรวนรวม () แสดงถึงความแปรผันของคุณลักษณะของประชากรทั้งหมดภายใต้อิทธิพลของปัจจัยทั้งหมดที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ ค่านี้ถูกกำหนดโดยสูตร

, ที่ไหน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยรวมของประชากรทั้งหมดที่ศึกษา

ในทางกลับกัน ความแปรปรวนรวมจะเท่ากับผลรวมของค่าเฉลี่ยความแปรปรวนภายในกลุ่มและความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม:

อัตราส่วนนี้สะท้อนถึงกฎหมายที่เรียกว่า กฎสำหรับการบวกผลต่าง.. ตามกฎการเพิ่มความแปรปรวน จึงเป็นไปได้ที่จะระบุได้ว่าส่วนใดของความแปรปรวนทั้งหมดที่ได้รับอิทธิพลจากคุณลักษณะตัวประกอบที่เป็นพื้นฐานของการจัดกลุ่ม

ยิ่งส่วนแบ่งของความแปรปรวนระหว่างกลุ่มในความแปรปรวนรวมสูงเท่าใด อิทธิพลของคุณลักษณะตัวประกอบ (หมวดหมู่) ที่มีต่อผลลัพธ์ (เอาต์พุต) ก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น

การแบ่งส่วนนี้มีลักษณะเฉพาะด้วยสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเชิงประจักษ์:

ในการประเมินความใกล้ชิดของความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะในเชิงคุณภาพ จะใช้ความสัมพันธ์ของ Chaddock

0-0,2

0,2-0,3

0,3-0,5

0,5-0,7

0,7-0,9

0,9-0,99

พลังแห่งการเชื่อมต่อ

ไม่มา

อ่อนแอมาก

อ่อนแอ

ปานกลาง

เห็นได้ชัดเจน

แน่น

แน่นมาก

การทำงาน-

เงินสด

21.

ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจแสดงอะไร? สูตรคำนวณมันคืออะไร? ตัวบ่งชี้นี้วัดในหน่วยใด? ค่าที่เป็นไปได้ของตัวบ่งชี้นี้คืออะไร? ความสัมพันธ์เชิงประจักษ์แสดงให้เห็นอะไร? สูตรคำนวณมันคืออะไร? ตัวบ่งชี้นี้วัดในหน่วยใด? ค่าที่เป็นไปได้ของตัวบ่งชี้นี้คืออะไร?

สัมประสิทธิ์เชิงประจักษ์ของความมุ่งมั่น () แสดงลักษณะส่วนแบ่งของความแปรปรวนระหว่างกลุ่มในความแปรปรวนทั้งหมด:

รับค่า -1 ถึง 1 และแสดงให้เห็นว่าลักษณะเฉพาะในการรวมมีความแปรผันมากน้อยเพียงใดเนื่องจากปัจจัยการจัดกลุ่ม

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม

ผลต่างรวม

กำหนดโดยสูตร:

ยอมรับค่า -1 ถึง 1

ตัวอย่าง

กลุ่ม	จำนวนต้นในกลุ่ม ชิ้น	ผลผลิตรวมเฉลี่ยในราคาที่เทียบเคียงได้ล้านรูเบิล

ตอนนี้ให้เราหาค่าเฉลี่ย การกระจายตัวทั้งหมด และการกระจายตัวระหว่างกลุ่มของผลผลิตรวมในราคาพืชที่เทียบเคียงได้:

ล้านรูเบิล;

ล้าน ถู 2;

ล้าน ถู.2.

ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจจะเท่ากับ:

เป็นผลให้อัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์จะเท่ากับ:

ค่าที่คำนวณได้ของเชิงประจักษ์ ความสัมพันธ์สหสัมพันธ์บ่งชี้ถึงความเชื่อมโยงทางสถิติที่ค่อนข้างสูงระหว่างผลผลิตรวมในราคาที่เทียบเคียงได้กับต้นทุนเฉลี่ยต่อปีของสินทรัพย์การผลิตคงที่ของโรงงาน

22.

สถิติการทดสอบคำนวณอย่างไรในการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียว กฎการกระจายตัวของมันคืออะไรหากสมมติฐานหลักเป็นจริง? อะไรเป็นตัวกำหนดพารามิเตอร์ของกฎหมายฉบับนี้? การตัดสินใจในการวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียวโดยพิจารณาจากค่าที่คำนวณได้ของสถิติเกณฑ์เป็นอย่างไร

วัตถุประสงค์ของการวิเคราะห์ความแปรปรวนคือเพื่อศึกษาอิทธิพลของปัจจัยตั้งแต่หนึ่งปัจจัยขึ้นไปต่อคุณลักษณะที่กำลังพิจารณา

การวิเคราะห์ความแปรปรวนทางเดียวจะใช้ในกรณีที่มีตัวอย่างอิสระตั้งแต่สามตัวอย่างขึ้นไป ซึ่งได้มาจากประชากรกลุ่มเดียวกันโดยการเปลี่ยนปัจจัยอิสระบางตัว ซึ่งไม่มีการวัดเชิงปริมาณด้วยเหตุผลบางประการ

ตามเกณฑ์ คุณต้องใช้เกณฑ์ของฟิชเชอร์:

., ที่ไหน

ถาม 1 – ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าเฉลี่ยตัวอย่างจากค่าเฉลี่ยโดยรวม

ถาม 2 – ผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าที่สังเกตได้จากค่าเฉลี่ยตัวอย่าง

หากค่าที่คำนวณได้ของเกณฑ์ฟิชเชอร์น้อยกว่าค่าตารางก็ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อได้ว่าปัจจัยอิสระมีอิทธิพลต่อการแพร่กระจายของค่าเฉลี่ย ( เหล่านั้น. สมมติฐานไม่ได้รับการยืนยัน- มิฉะนั้น ปัจจัยอิสระจะมีผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญต่อการแพร่กระจายของค่าเฉลี่ย ( สมมติฐานเป็นจริง).

23-25.

1. สำหรับช่วงเวลาที่เท่ากัน ให้ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:

โดยที่ y คือระดับสัมบูรณ์ของซีรีส์
n- จำนวนระดับของซีรีส์
2. สำหรับช่วงเวลาที่ไม่เท่ากัน ให้ใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนัก:

คุณอยู่ที่ไหน 1,...,уn - ระดับของซีรีย์ไดนามิก;
ที1,... tn - น้ำหนัก, ระยะเวลาของช่วงเวลา

ระดับโมเมนต์เฉลี่ย พลศาสตร์คำนวณโดยสูตร:
1. ด้วยระดับที่เท่ากัน คำนวณโดยใช้สูตรของอนุกรมโมเมนต์ตามลำดับเวลาเฉลี่ย:

คุณอยู่ที่ไหน 1,...,уn - ระดับของช่วงเวลาที่ทำการคำนวณ
n- จำนวนระดับ;
n-1 - ระยะเวลาของช่วงเวลา
2. ซี ไม่เท่ากันระดับคำนวณโดยใช้สูตรถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักตามลำดับเวลา:

คุณอยู่ที่ไหน 1,...,уn - ระดับของซีรีย์ไดนามิก;
ที- ช่วงเวลาระหว่างระดับที่อยู่ติดกัน

ในปัญหาทางสถิติ

การเพิ่มขึ้นสัมบูรณ์โดยเฉลี่ย หมายถึงค่าเฉลี่ยของการเพิ่มขึ้นสัมบูรณ์ในช่วงเวลาที่เท่ากันในช่วงเวลาหนึ่ง คำนวณโดยใช้สูตร: 1. การใช้ข้อมูลลูกโซ่เกี่ยวกับการเติบโตแบบสัมบูรณ์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา การเติบโตแบบสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยจะคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:

ที่ไหน n คือจำนวนการเพิ่มสัมบูรณ์ของกฎกำลังในช่วงเวลาที่ศึกษา
2. มีการคำนวณการเพิ่มขึ้นสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยผ่านการเพิ่มขึ้นสัมบูรณ์ขั้นพื้นฐานในกรณีที่มีช่วงเวลาเท่ากัน

ที่ไหน m คือจำนวนระดับของอนุกรมไดนามิกในช่วงระยะเวลาการศึกษา รวมถึงระดับฐานด้วย

อัตราการเติบโตเฉลี่ย เป็นลักษณะทั่วไปที่เป็นอิสระของความรุนแรงของการเปลี่ยนแปลงในระดับชุดของไดนามิก และแสดงจำนวนครั้งที่ระดับของอนุกรมไดนามิกเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา
เป็นพื้นฐานและเกณฑ์สำหรับความถูกต้องในการคำนวณอัตราการเติบโตเฉลี่ย (ลดลง) มีการใช้ตัวบ่งชี้ทั่วไปซึ่งคำนวณเป็นผลคูณของอัตราการเติบโตของลูกโซ่เท่ากับอัตราการเติบโตตลอดระยะเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา หากค่าแอตทริบิวต์ถูกสร้างขึ้นเป็นผลิตภัณฑ์ ตัวเลือกส่วนบุคคลแล้วใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต
เนื่องจากอัตราการเติบโตเฉลี่ยคือค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตเฉลี่ยซึ่งแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ดังนั้นสำหรับอนุกรมไดนามิกที่เท่ากัน การคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจึงลงมาเพื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตเฉลี่ยจากลูกโซ่โดยใช้ "วิธีลูกโซ่":

ที่ไหน n คือจำนวนสัมประสิทธิ์การเติบโตของลูกโซ่
เคทีเอส- ค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตของลูกโซ่
Kb คืออัตราการเติบโตพื้นฐานตลอดระยะเวลา
การกำหนดอัตราการเติบโตเฉลี่ยสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้หากระดับอนุกรมเวลาชัดเจน เนื่องจากผลคูณของค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตของลูกโซ่เท่ากับค่าฐาน ปัจจัยการเจริญเติบโตฐานจึงถูกแทนที่เป็นนิพจน์ราก
สูตรกำหนดอัตราการเติบโตเฉลี่ยสำหรับชุดไดนามิกที่เท่ากันตาม "วิธีการพื้นฐาน" จะเป็นดังนี้:

36.

คุณรู้ตัวบ่งชี้ที่ชัดเจนของการเปลี่ยนแปลงในระดับของซีรีส์อะไรบ้าง?

ตัวชี้วัดทั้งหมดนี้สามารถกำหนดได้ด้วยวิธีพื้นฐานเมื่อถึงระดับ ของช่วงเวลานี้ถูกเปรียบเทียบกับคาบแรก (พื้นฐาน) หรือในลักษณะลูกโซ่ - เมื่อมีการเปรียบเทียบคาบที่อยู่ติดกันสองระดับ

เขียนสูตรการคำนวณ

การเปลี่ยนแปลงแบบสัมบูรณ์ขั้นพื้นฐานคือความแตกต่างระหว่างระดับเฉพาะและระดับแรกของชุดข้อมูล ซึ่งกำหนดโดยสูตร

มันแสดงให้เห็นว่า (ในหน่วยของตัวบ่งชี้แบบอนุกรม) ระดับของช่วงหนึ่ง (i-th) มากกว่าหรือน้อยกว่าระดับแรก (พื้นฐาน) มากเพียงใด และดังนั้นจึงสามารถมีเครื่องหมาย "+" ได้ (โดยมีระดับเพิ่มขึ้น ) หรือ “–” (โดยมีระดับลดลง)

การเปลี่ยนแปลงแบบสัมบูรณ์ของลูกโซ่คือความแตกต่างระหว่างระดับเฉพาะและระดับก่อนหน้าของอนุกรม ซึ่งกำหนดโดยสูตร

โดยจะแสดงจำนวน (ในหน่วยของตัวบ่งชี้แบบอนุกรม) ระดับของช่วงหนึ่ง (i-th) มากกว่าหรือน้อยกว่าระดับก่อนหน้า และอาจมีเครื่องหมาย “+” หรือ “–” ได้

อธิบายว่าวิธีคำนวณขึ้นอยู่กับการเลือกฐานการเปรียบเทียบอย่างไร

คุณรู้ตัวบ่งชี้ที่เกี่ยวข้องของการเปลี่ยนแปลงในระดับของซีรีส์อะไรบ้าง เขียนสูตรการคำนวณ

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์พื้นฐาน (อัตราการเติบโตพื้นฐานหรือดัชนีไดนามิกพื้นฐาน) คืออัตราส่วนของระดับเฉพาะและระดับแรกของอนุกรมที่กำหนดโดยสูตร

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ของโซ่ (อัตราการเติบโตของโซ่หรือดัชนีไดนามิกของโซ่) คืออัตราส่วนของระดับเฉพาะและระดับก่อนหน้าของอนุกรม ซึ่งกำหนดโดยสูตร

อธิบายว่าวิธีคำนวณขึ้นอยู่กับการเลือกฐานการเปรียบเทียบอย่างไร

การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์แสดงจำนวนครั้งที่ระดับของช่วงเวลาที่กำหนดมากกว่าระดับของช่วงเวลาก่อนหน้าใดๆ (สำหรับ i >1) หรือส่วนใดของช่วงเวลานั้น (สำหรับ i<1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов, то есть простого кратного отношения(если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100%.

37.

คุณรู้ตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงในระดับของซีรีส์โดยเฉลี่ยเท่าใด เขียนสูตรคำนวณการเติบโตสัมบูรณ์เฉลี่ย อัตราการเติบโต และอัตราการเติบโตของระดับอนุกรม

การเติบโตสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยหมายถึงค่าเฉลี่ยของการเติบโตสัมบูรณ์ในช่วงเวลาเท่ากันในช่วงเวลาหนึ่ง คำนวณโดยใช้สูตร: 1. การใช้ข้อมูลลูกโซ่เกี่ยวกับการเติบโตแบบสัมบูรณ์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา การเติบโตแบบสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยจะคำนวณเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตอย่างง่าย:

ที่ไหน n คือจำนวนการเพิ่มสัมบูรณ์ของกฎกำลังในช่วงเวลาที่ศึกษา

2. การเพิ่มขึ้นสัมบูรณ์โดยเฉลี่ยจะคำนวณผ่านการเพิ่มขึ้นสัมบูรณ์ฐานในกรณีที่มีช่วงเวลาเท่ากัน

อัตราการเติบโตเฉลี่ยเป็นลักษณะทั่วไปที่เป็นอิสระของความรุนแรงของการเปลี่ยนแปลงในระดับของอนุกรมไดนามิก และแสดงจำนวนครั้งที่ระดับของอนุกรมไดนามิกเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยต่อหน่วยเวลา

เป็นพื้นฐานและเกณฑ์สำหรับความถูกต้องในการคำนวณอัตราการเติบโตเฉลี่ย (ลดลง) มีการใช้ตัวบ่งชี้ทั่วไปซึ่งคำนวณเป็นผลคูณของอัตราการเติบโตของลูกโซ่เท่ากับอัตราการเติบโตตลอดระยะเวลาที่อยู่ระหว่างการพิจารณา หากค่าของลักษณะเฉพาะเกิดขึ้นเป็นผลคูณของตัวเลือกแต่ละตัว ระบบจะใช้ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต

เนื่องจากอัตราการเติบโตเฉลี่ยคือค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตเฉลี่ยซึ่งแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ ดังนั้นสำหรับอนุกรมไดนามิกที่เท่ากัน การคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตจึงลงมาเพื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์การเติบโตเฉลี่ยจากลูกโซ่โดยใช้ "วิธีลูกโซ่":

ที่ไหน n คือจำนวนสัมประสิทธิ์การเติบโตของลูกโซ่

Kc - สัมประสิทธิ์การเติบโตของโซ่

Kb คืออัตราการเติบโตพื้นฐานตลอดระยะเวลา

อัตราการเปลี่ยนแปลง (อัตราการเติบโต) ของระดับเป็นตัวบ่งชี้สัมพัทธ์ที่แสดงว่าระดับที่กำหนดนั้นมากกว่า (หรือน้อยกว่า) กว่าระดับอื่นกี่เปอร์เซ็นต์ โดยถือเป็นพื้นฐานของการเปรียบเทียบ คำนวณโดยการลบ 100% จากการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ นั่นคือโดยใช้สูตร:

หรือเป็นเปอร์เซ็นต์ของการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ของระดับเมื่อเปรียบเทียบกับการคำนวณการเปลี่ยนแปลงสัมบูรณ์ (ระดับพื้นฐาน) นั่นคือตามสูตร:

ตัวชี้วัดเหล่านี้มีข้อเสียอะไรบ้าง? แนะนำให้ใช้ในกรณีใดบ้าง? ข้อบกพร่องเหล่านี้จะถูกกำจัดได้อย่างไร? เขียนสูตรคำนวณตัวบ่งชี้ค่าเฉลี่ยเพื่อรักษามูลค่ารวมของอนุกรม

38.

จะกำหนดประเภทของแนวโน้มหลักตามค่าของตัวบ่งชี้การเปลี่ยนแปลงในระดับซีรีส์ได้อย่างไร? ยกตัวอย่าง.

การระบุแนวโน้มทั่วไปของอนุกรมเวลาสามารถทำได้โดยการปรับอนุกรมเวลาให้เรียบโดยใช้วิธีค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ สาระสำคัญของเทคนิคนี้คือระดับที่คำนวณได้ (ทางทฤษฎี) จะถูกกำหนดจากระดับเริ่มต้นของอนุกรม (ข้อมูลเชิงประจักษ์)

เงื่อนไขหลักในการใช้วิธีนี้คือการคำนวณการเชื่อมโยงของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (เคลื่อนที่) จากระดับต่างๆ ของอนุกรมที่สอดคล้องกับระยะเวลาของรอบที่สังเกตได้ในอนุกรมไดนามิก

3. อัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์คำนวณโดยใช้สูตร

การกระจายตัวระหว่างกลุ่มที่แสดงลักษณะของค่าความเบี่ยงเบนกำลังสองของกลุ่มหมายถึงจากค่าเฉลี่ยโดยรวมของลักษณะการทำงาน

ความแปรปรวนรวม ซึ่งแสดงค่าเฉลี่ยของการเบี่ยงเบนกำลังสองของค่าของคุณลักษณะผลลัพธ์จากระดับเฉลี่ย

มาสร้างตารางเพื่อคำนวณผลต่างรวมกัน (ดูตารางที่ 8)

ตารางที่ 8

ตารางข้อมูลสำหรับการพิจารณาความแปรปรวนรวม

เอ็นพี/พี	ค่าอาหาร
เอ็นพี/พี	ค่าอาหาร

1	21	441
2	16	256
3	26,1	681,21
4	28	784
5	26	676
6	22,5	506,25
7	27,6	761,76
8	35	1225
9	23,9	571,21
10	22,5	506,25
11	15	225
12	25,2	635,04
13	29	841
14	21,4	457,96
15	24,9	620,01
16	24,8	615,04
17	16	256
18	23,6	556,96
19	27,2	739,84
20	35	1225
21	17	289
22	23,8	566,44
23	22,6	510,76
24	25	625
25	27	729
26	30	900
27	35	1225
28	25,4	645,16
29	27,2	739,84
30	26,3	691,69
ทั้งหมด	750	19502,42

ความแปรปรวนรวมของคุณลักษณะผลลัพธ์คำนวณโดยใช้สูตร:

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มคำนวณโดยใช้สูตร:

มาสร้างตารางเสริมสำหรับการคำนวณข้อมูลกัน (ดูตารางที่ 9)

ตารางที่ 9

ตารางข้อมูลสำหรับการคำนวณความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม

หมายเลขกลุ่ม		จำนวนครัวเรือน ชิ้น	ค่าอาหารพันรูเบิล
			ทั้งหมด	โดยเฉลี่ยต่อครัวเรือน
			ทั้งหมด	โดยเฉลี่ยต่อครัวเรือน
		ฉ
1	28-40	3	48	16	-9	81	243
2	40-52	5	105	21	-4	16	80
3	52-64	12	300	25	0	0	0
4	64-76	6	165	27,5	2,5	6,25	37,5
5	76-88	4	132	33	8	64	256
ทั้งหมด		30	750				616,5

สรุป: ความเชื่อมโยงระหว่างปัจจัยต่างๆ มีความใกล้ชิดกันมากเพราะว่า รับค่าตั้งแต่ 0.9 ถึง 0.99

ค่าสัมประสิทธิ์การกำหนดคือกำลังสองของอัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์ เพราะฉะนั้น,

(81,9%)

สรุป: ผลผลิตในองค์กรเหล่านี้ขึ้นอยู่กับผลผลิตทุน 81.9% และปัจจัยอื่น ๆ 18.1%

ภารกิจที่ 3

จากผลลัพธ์ของภารกิจที่ 1 พิจารณาด้วยความน่าจะเป็น 0.9543:

1. ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างรายได้รวมเฉลี่ยต่อสมาชิกในครัวเรือนต่อปี และขอบเขตที่จะอยู่ในประชากรทั่วไป

2. ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างส่วนแบ่งของครัวเรือนที่มีระดับรายได้รวมน้อยกว่า 52,000 รูเบิล และมากกว่าล้านรูเบิล และขอบเขตที่หุ้นทั่วไปจะตั้งอยู่

1. ข้อผิดพลาดในการสุ่มตัวอย่างสำหรับค่าเฉลี่ยถูกกำหนดโดยสูตร:

, ที่ไหน

ความแปรปรวนของประชากรตัวอย่าง

n - ขนาดตัวอย่าง;

t คือสัมประสิทธิ์ความเชื่อมั่นซึ่งกำหนดจากตารางค่าของฟังก์ชันอินทิกรัลลาปลาสตามความน่าจะเป็นที่กำหนด ในกรณีนี้ ที่ P = 0.954 ค่าจะเป็น t = 2

N คือจำนวนหน่วยในประชากร N=6,000 หน่วย

ลองคำนวณความแปรปรวนกัน เรานำเสนอข้อมูลในรูปแบบตาราง (ดูตารางที่ 11)

ตารางที่ 11

ข้อมูลสำหรับการคำนวณการกระจายตัวของระดับการผลิตเงินทุน

หมายเลขกลุ่ม	การจัดกลุ่มครัวเรือนตามรายได้รวม	จำนวนครัวเรือน ชิ้น


		ฉ
1	28-40	3	34	-25,1	630,01	1890,03
2	40-52	5	46	-13,1	171,61	858,05
3	52-64	12	58	-1,1	1,21	14,52
4	64-76	6	70	10,9	118,81	712,86
5	76-88	4	82	22,9	524,41	2097,64
ทั้งหมด		30				5573,1

คำตอบ

การประเมินเชิงปริมาณของความหนาแน่นของการเชื่อมต่อตามข้อมูลเชิงประจักษ์ประกอบด้วยการคำนวณตัวบ่งชี้ความใกล้ชิดของการเชื่อมต่อ:

· ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเชิงประจักษ์ (อัตราส่วนการกระจายเชิงประจักษ์) - r 2 .

ตัวบ่งชี้นี้คำนวณตามข้อมูลการจัดกลุ่มเชิงวิเคราะห์ (ตาราง) เนื่องจากอัตราส่วนของความแปรปรวนระหว่างกลุ่มของลักษณะผลลัพธ์ Y (dy 2) ต่อความแปรปรวนรวม Y (s y 2):

ตามทฤษฎีบทการสลายตัวของความแปรปรวน ความแปรปรวนระหว่างกลุ่มมีความสัมพันธ์กับความแปรปรวนรวม: s y 2 =d y 2 +e y 2 จากนั้นค่าสัมประสิทธิ์การหาค่าเชิงประจักษ์สามารถคำนวณได้จากความแปรปรวนที่เหลือโดยใช้สูตร:

โดยที่ s j 2 คือความแปรปรวนของลักษณะผลลัพธ์ Y ภายในกลุ่ม j

ค่าสัมประสิทธิ์เชิงประจักษ์ของการกำหนดลักษณะความแข็งแกร่งของอิทธิพลของลักษณะการจัดกลุ่ม (X) ต่อการก่อตัวของความแปรผันทั่วไปของลักษณะผลลัพธ์ Y และแสดงเปอร์เซ็นต์ (ส่วนแบ่ง) ของการเปลี่ยนแปลงในลักษณะผลลัพธ์ที่เกิดจากคุณลักษณะปัจจัยที่ก่อตัว พื้นฐานของการจัดกลุ่ม

สะดวกในการคำนวณ r2 ในตาราง:

ปัจจัยเครื่องหมาย X j	เอ็นเจ	ค่าเฉลี่ยของลักษณะผลลัพธ์	เอส เจ 2 เอ็น เจ
เอ็กซ์ 1	ยังไม่มีข้อความ 1		ส 1 2 N 1
เอ็กซ์ 2	ยังไม่มีข้อความ 2		ส 2 2 N 2
....			...
Xm	นิวตันเมตร		ส ม 2 นิวตัน ม
ทั้งหมด	เอ็น	เอ็กซ์	เป็น j 2

แล้ว .

ลองดูตัวอย่าง กำหนดให้ชุดคนงาน 20 คนมีลักษณะเฉพาะดังต่อไปนี้: Y - ผลลัพธ์ของผู้ปฏิบัติงาน (ชิ้น/กะ) และ X - คุณสมบัติ (เกรด) ข้อมูลเริ่มต้นแสดงอยู่ในตาราง:

เอ็กซ์

ย

จำเป็นต้องประเมินความใกล้ชิดของความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะโดยใช้สัมประสิทธิ์การพิจารณาเชิงประจักษ์ (r 2)

ในการคำนวณ r 2 เราจะทำการจัดกลุ่มเชิงวิเคราะห์ของประชากร สมมติว่า X (เกรดของผู้ปฏิบัติงาน) เป็นแอตทริบิวต์ปัจจัย และ Y เป็นผลลัพธ์ของผู้ปฏิบัติงานเป็นแอตทริบิวต์ผลลัพธ์) การจัดกลุ่มการวิเคราะห์ดำเนินการตามคุณลักษณะ X ในกรณีนี้จะไม่ต่อเนื่องกัน (เนื่องจากค่าของลักษณะ X ซ้ำกันค่อนข้างบ่อย) จำนวนกลุ่มเท่ากับจำนวนค่าของแอตทริบิวต์ X โดยรวมนั่นคือ 6. เราสรุปผลลัพธ์ของการจัดกลุ่มและการคำนวณ r 2 ในตาราง:

ปัจจัยเครื่องหมาย X	คุณลักษณะผลลัพธ์ Y	จำนวนหน่วยในกลุ่ม N j	ค่าเฉลี่ยของลักษณะผลลัพธ์ในกลุ่ม	( - ) 2 ·นิว เจ	ความแปรปรวนของแอตทริบิวต์ผลลัพธ์ในกลุ่ม s 2 j	ส 2 เจ เอ็น เจ
			(10+12+13)/3=11,7	(11,7-17,1) 2 3=88,56	ส 2 1 =((10-11.7) 2 +(12-11.7) 2 +(13-11.7) 2)/3=1.56	4,7


			(11+14)/2=12,5	(12,5-17,1) 2 2=42,3	ส 2 2 =((11-12.5) 2 +(14-12.5) 2)/2=2.25	4,5

			(12+13+15+16)/4= 14	(14-17,1) 2 4=38,4	ส 2 3 =((12-14) 2 +(13-14) 2 +(15-14) 2 +(16-14) 2)/4=2.5



			(15+17+17+18)/4= 16,75	(16,75-17,1) 2 4=0,49	ส 2 4 =((15-16.75) 2 +(17-16.75) 2 ++(17-16.75) 2 +(18-16.75) 2)/4=1.9	4,75



			(18+20+22)/3=20	(20-17,1) 2 3=25,23	ส 2 5 =((18-20) 2 +(20-20) 2 +(22-20) 2)/3=2.7


			(23+24+27+25)/4= 24,75	(24,75-17,1) 2 4=234,1	ส 2 6 =((23-24.75) 2 +(24-24.75) 2 +(27-24.75) 2 +(25-24.75) 2)/4=2.19	8,75



	=17,1			429,1		40,7

ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจเชิงประจักษ์เท่ากับอัตราส่วนของความแปรปรวนระหว่างกลุ่มของลักษณะผลลัพธ์ (dy 2) ต่อความแปรปรวนรวมของลักษณะผลลัพธ์ (s y 2): r 2 = d y 2 /s y 2 = d y 2 /(d y 2 +e และ 2)

ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม Y จะเท่ากับ: dy 2 = å( - ) 2 ·N j / N = 429.1/20=21.45

ความแปรปรวนคงเหลือ Y จะเท่ากับ: e y 2 = ås 2 j ·N j / N= 40.7/20= 2.035

จากนั้น: r 2 =21.45/(21.45+2.035)= 429.1/(429.1+40.7)=0.913

สรุป: 91.3% ของความแปรผันในผลผลิตของผู้ปฏิบัติงานเกิดจากอิทธิพลของปัจจัยการปลดปล่อย

· ความสัมพันธ์เชิงประจักษ์ - ร.

ตัวบ่งชี้นี้เป็นรากฐานของสัมประสิทธิ์เชิงประจักษ์ของความมุ่งมั่น มันแสดงให้เห็นถึงการเชื่อมต่อที่ใกล้ชิด (ไม่ใช่แค่เชิงเส้นเท่านั้น!) ระหว่างการจัดกลุ่มและลักษณะที่มีประสิทธิผล ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ของอัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์คือตั้งแต่ 0 ถึง +1

การเชื่อมต่อที่ใกล้เคียงที่สุดที่เป็นไปได้คือการเชื่อมต่อเชิงฟังก์ชัน เมื่อแต่ละค่าของลักษณะผลลัพธ์ Y ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยค่าของลักษณะตัวประกอบ X (นั่นคือ ผลลัพธ์ของการจัดกลุ่ม) ในกรณีนี้ ความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยกลุ่ม (วัน y 2) เท่ากับผลต่างทั้งหมด (s y 2) เช่น จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงภายในกลุ่ม ในกรณีนี้ ความแปรปรวนที่เหลือ (e y 2) เท่ากับ 0 และสัมประสิทธิ์การหาค่าเชิงประจักษ์เท่ากับ 1

หากไม่มีการเชื่อมโยงระหว่างคุณลักษณะต่างๆ ค่าเฉลี่ยกลุ่มทั้งหมดจะเท่ากัน โดยจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงระหว่างกลุ่ม (dy 2 = 0) และสัมประสิทธิ์เชิงประจักษ์ของการกำหนดคือ 0

ลองคำนวณอัตราส่วนสหสัมพันธ์เชิงประจักษ์สำหรับตัวอย่างของเรา: r= 0.9555 สรุป: สัญญาณของ "ผลงานของพนักงาน" และ "การปลดประจำการ" มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด

ตัวบ่งชี้ r และ r 2 ไม่เพียงถูกกำหนดโดยความเชื่อมโยงระหว่างคุณลักษณะ X และ Y เท่านั้น แต่ยังรวมถึงข้อเท็จจริงของการจัดกลุ่มข้อมูลหลักด้วย เมื่อจำนวนของกลุ่ม m เพิ่มขึ้น ความแปรปรวนระหว่างกลุ่ม d 2 จะเพิ่มขึ้นและเข้าใกล้ความแปรปรวนทั้งหมด หากจำนวนกลุ่มน้อยกว่าจำนวนหน่วยประชากร N ค่าของ r และ r 2 จะไม่เท่ากับ 1 แม้ว่าจะมีความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันที่เข้มงวดก็ตาม

โปรดทราบว่าค่าของตัวบ่งชี้ความใกล้ชิดของการเชื่อมต่อนั้นไม่ใช่หลักฐานของการมีความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลระหว่างคุณลักษณะที่ศึกษา แต่เป็นการประเมินระดับความสอดคล้องร่วมกันในการเปลี่ยนแปลงลักษณะ การสร้างความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลจะต้องนำหน้าด้วยการวิเคราะห์ลักษณะเชิงคุณภาพของปรากฏการณ์

การวิเคราะห์สหสัมพันธ์เกี่ยวข้องกับการวัดความแข็งแกร่งของการเชื่อมต่อโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์และอัตราส่วนสหสัมพันธ์ ด้วยรูปแบบการพึ่งพาเชิงเส้น ความแรงของการเชื่อมต่อจะถูกประเมินโดย สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สัน :

ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แตกต่างกันไปตั้งแต่ (– 1) ถึง (+ 1) (– 1  ร  1).

เครื่องหมายลบของตัวบ่งชี้บ่งบอกถึงการตอบรับ เครื่องหมายบวกบ่งชี้ถึงการเชื่อมต่อโดยตรง ยิ่งค่าของตัวบ่งชี้อยู่ใกล้ 1 ในมูลค่าสัมบูรณ์ ความสัมพันธ์ก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น ความสัมพันธ์ก็จะยิ่งอ่อนแอลง

ในการวัดความแรงของการเชื่อมต่อสำหรับการพึ่งพารูปแบบใด ๆ ทั้งเชิงเส้นและไม่เชิงเส้น รวมถึงการประเมินการเชื่อมต่อหลาย ๆ ให้ใช้ ความสัมพันธ์สหสัมพันธ์ทางทฤษฎี (ดัชนีสหสัมพันธ์) การคำนวณจะขึ้นอยู่กับกฎสำหรับการบวกค่าความแปรปรวน:

ที่ไหน –ความแปรปรวนทั้งหมด – สะท้อนถึงความแปรผันของคุณลักษณะผลลัพธ์เนื่องจากปัจจัยทั้งหมดที่กระทำต่อคุณลักษณะนั้น

หรือ

–ความแปรปรวนของปัจจัย สะท้อนถึงความแปรผันของลักษณะผลลัพธ์เนื่องจากปัจจัย (เอ็กซ์).

–ความแปรปรวนที่เหลือ สะท้อนถึงความแปรผันของคุณลักษณะผลลัพธ์ เนื่องจากปัจจัยทั้งหมดยกเว้นปัจจัย (เอ็กซ์);

ความสัมพันธ์สหสัมพันธ์เชิงทฤษฎี คือรากที่สองของอัตราส่วนของความแปรปรวนของปัจจัยต่อความแปรปรวนทั้งหมด:

การแสดงออกที่รุนแรง - ค่าสัมประสิทธิ์การตัดสินใจ :

แสดงสัดส่วนของการแปรผันในลักษณะผลลัพธ์เนื่องจากอิทธิพลของลักษณะตัวประกอบในการแปรผันทั้งหมด ยิ่งสัดส่วนนี้สูงเท่าใด ความเชื่อมโยงระหว่างคุณลักษณะต่างๆ ก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้นเท่านั้น

ความสัมพันธ์สหสัมพันธ์เชิงทฤษฎี แตกต่างกันไปตั้งแต่ 0 ถึง 1 (0  ร 1) ยิ่งค่าตัวบ่งชี้อยู่ใกล้ 1 ความสัมพันธ์ก็จะยิ่งแข็งแกร่งขึ้น

คุณสามารถใช้เพื่อประเมินความแน่นของการเชื่อมต่อ มาตราส่วนชม คนกิน:

แนวโน้มการพัฒนาหลักและวิธีการระบุ

ไดนามิกแต่ละชุดมีแนวโน้มการพัฒนาของตัวเองเช่น ทิศทางทั่วไปไปสู่การเพิ่ม ลด หรือรักษาระดับของปรากฏการณ์เมื่อเวลาผ่านไป ระดับของการแสดงออกของแนวโน้มนี้ขึ้นอยู่กับอิทธิพลของปัจจัยคงที่ เป็นระยะ (ตามฤดูกาล) และสุ่มต่อระดับของไดนามิกจำนวนหนึ่ง ดังนั้นเราไม่ควรพูดถึงเฉพาะแนวโน้มการพัฒนาเท่านั้น แต่ควรพูดถึงแนวโน้มหลักด้วย

แนวโน้มการพัฒนาหลัก (แนวโน้ม) เรียกว่าการเปลี่ยนแปลงในระดับปรากฏการณ์เมื่อเวลาผ่านไปอย่างราบรื่นและมั่นคง ปราศจากความผันผวนเป็นระยะและแบบสุ่ม.

เพื่อระบุแนวโน้ม ลำดับไดนามิกจะถูกประมวลผลโดยใช้วิธีการขยายช่วงเวลา ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ และการจัดตำแหน่งเชิงวิเคราะห์

วิธีการขยายช่วง ขึ้นอยู่กับการขยายช่วงเวลา ซึ่งรวมถึงระดับของชุดของไดนามิก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ แหล่งข้อมูลจะถูกรวมเข้าด้วยกัน เช่น นำมาสรุปหรือเฉลี่ยในช่วงเวลาที่ยาวนานขึ้นจนกว่าแนวโน้มการพัฒนาโดยรวมจะชัดเจนเพียงพอ ตัวอย่างเช่น ข้อมูลการผลิตรายวันจะรวมกันเป็นข้อมูลสิบวัน ข้อมูลรายเดือนเป็นข้อมูลรายไตรมาส และข้อมูลรายปีเป็นข้อมูลหลายปี ข้อดีของวิธีนี้คือความเรียบง่าย ข้อเสียคือซีรีย์ที่เรียบนั้นสั้นกว่าซีรีย์ดั้งเดิมอย่างมาก

วิธีค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ประกอบด้วยความจริงที่ว่า ตามข้อมูลเริ่มต้น ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่จะคำนวณจากจำนวนหนึ่งของระดับแรกของชุดข้อมูล จากนั้นจากจำนวนระดับเดียวกัน เริ่มจากระดับที่สอง จากระดับที่สาม เป็นต้น ดูเหมือนว่าค่าเฉลี่ยจะเลื่อนไปตามอนุกรมไดนามิก โดยเลื่อนไปหนึ่งช่วง ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ช่วยลดความผันผวนแบบสุ่ม

โครงการคำนวณค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ 3 ระดับ

ช่วงเวลา (หมายเลขตามลำดับ)	ระดับที่แท้จริงของซีรีย์ไดนามิก ที่ ฉัน	ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ ที่ สค
	ที่ 1
	ที่ 2
	ที่ 3
	ที่ 4	ที่ sk3
	ที่ 5	ที่ sk4
	ที่ 6

อนุกรมเวลาที่ปรับให้เรียบจะสั้นกว่าอนุกรมเวลาเดิมด้วยจำนวน (ฏ – 1)หากดำเนินการรวมบัญชีในระดับเลขคี่ โดยที่ ล – ระยะเวลาของการขยายระยะเวลา ตัวอย่างเช่น ถ้า ล = 3 จากนั้นแถวที่จัดเรียงจะสั้นลง 2 ระดับ ดังนั้นซีรีย์ที่เรียบแล้วจึงไม่สั้นกว่าซีรีย์ดั้งเดิมมากนัก

วิธีการจัดตำแหน่งเชิงวิเคราะห์ ประกอบด้วยการแทนที่ระดับจริงของชุดของไดนามิกด้วยค่าทางทฤษฎีที่คำนวณบนพื้นฐานของสมการแนวโน้ม:

คำนวณพารามิเตอร์สมการ วิธีกำลังสองน้อยที่สุด:

ที่ไหน ที่– ระดับจริง; ที่ Ti– ระดับระดับที่สอดคล้องกัน (คำนวณ) ในเวลา

หากการพัฒนาดำเนินการด้วยความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (ด้วยการเพิ่มขึ้นแบบสัมบูรณ์ของลูกโซ่เท่ากัน) จากนั้นจะใช้สำหรับการปรับระดับ ฟังก์ชันเชิงเส้น:

หากสังเกตไดนามิกในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (ด้วยอัตราการเติบโตของลูกโซ่เท่ากัน) ก็จำเป็นต้องใช้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง:

ที่ ที = ก 0 ก 1 ที .

หากการพัฒนาเกิดขึ้นในอัตราการเติบโตที่เท่ากันก็จะถูกใช้กับ ฟังก์ชั่นอุณหภูมิตัวอย่างเช่น ลำดับที่สอง (พาราโบลา):

ที่ ที = ก 0 + ก 1 ที+ ก 2 ที 2 .

เกณฑ์ในการเลือกสมการแนวโน้มที่ถูกต้องคือ ข้อผิดพลาดในการประมาณ - มันแสดงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของระดับที่แท้จริงของซีรีย์ไดนามิกจากระดับทางทฤษฎี:

สมการที่มีข้อผิดพลาดในการประมาณน้อยที่สุดถือว่าเหมาะสมที่สุด

ให้เราพิจารณา "เทคนิค" ในการจัดชุดของไดนามิกตาม ฟังก์ชันเชิงเส้น:



ที่ไหน ก 0 , ก 1 – พารามิเตอร์ของสมการเส้นตรง ที– ตัวบ่งชี้เวลา (โดยปกติจะเป็นเลขลำดับของช่วงเวลาหรือช่วงเวลา)

พารามิเตอร์โดยตรง ก 0 และ ก 1 การหาค่ากำลังสองน้อยที่สุดนั้นพบได้โดยการแก้ระบบสมการปกติต่อไปนี้:

ที่ไหน n– จำนวนระดับของชุดไดนามิก พารามิเตอร์ ก 1 สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นสัมบูรณ์โดยเฉลี่ย

เพื่อให้การคำนวณตัวบ่งชี้เวลาง่ายขึ้น
สามารถให้คุณค่าเช่นนั้นได้
, แล้ว

เมื่อต้องการทำเช่นนี้ โดยอนุกรมที่มีจำนวนระดับเป็นคี่ ช่วงเวลาตรงกลางจะถือเป็นจุดเริ่มต้นของการนับเวลา โดยที่ ที เท่ากับศูนย์ ทั้งสองด้านของศูนย์จะมีแถวของจำนวนธรรมชาติที่เป็นลบและบวก ตามลำดับ ตัวอย่างเช่น