Logikos klijavimo dėsnis. Logikos algebros pagrindai

Informatikos pamoka skirta bendrojo lavinimo mokyklos 10 klasės mokiniams, kurios mokymo programoje yra skyrius „Logikos algebra“. Ši tema yra labai sunki mokiniams, todėl aš, kaip mokytojas, norėjau juos sudominti logikos dėsnių studijomis, loginių posakių supaprastinimu ir loginių problemų sprendimo ėjimu su susidomėjimu. Įprasta forma vesti pamokas šia tema yra varginantis ir varginantis, o kai kurie apibrėžimai vaikams ne visada aiškūs. Dėl informacinės erdvės suteikimo turėjau galimybę savo pamokas paskelbti „mokymosi“ apvalkale. Mokiniai, užsiregistravę jame, gali laisvalaikiu lankyti šį kursą ir perskaityti tai, kas nebuvo aišku pamokoje. Kai kurie mokiniai, praleidę pamokas dėl ligos, kompensuoja praleistą temą namuose ar mokykloje ir visada pasiruošę kitai pamokai. Tokia mokymo forma daugeliui vaikų labai tiko, o tuos dėsnius, kurie jiems buvo nesuprantami, dabar kompiuterine forma išmokstama daug lengviau ir greičiau. Siūlau vieną iš šių informatikos pamokų, kurios vyksta integruotai su IKT.

Pamokos planas

1. Naujos medžiagos paaiškinimas, naudojant kompiuterį – 25 min.
2. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai, išdėstyti „mokymuose“ – 10 min.
3. Medžiaga smalsuoliams – 5 min.
4. Namų darbai – 5 min.

1. Naujos medžiagos paaiškinimas

Formaliosios logikos dėsniai

Paprasčiausi ir reikalingiausi tikrieji minčių ryšiai išreiškiami pagrindiniais formaliosios logikos dėsniais. Tai tapatumo, neprieštaravimo, pašalinto vidurio, pakankamo proto dėsniai.

Šie dėsniai yra esminiai, nes logikoje jie atlieka ypač svarbų vaidmenį, yra bendriausi. Jie leidžia supaprastinti logines išraiškas ir sudaryti išvadas bei įrodymus. Pirmuosius tris iš minėtų dėsnių nustatė ir suformulavo Aristotelis, o pakankamo proto dėsnį – G. Leibnicas.

Tapatybės dėsnis: tam tikro samprotavimo procese kiekviena sąvoka ir sprendimas turi būti tapatūs sau.

Neprieštaravimo dėsnis: neįmanoma, kad viena ir ta pati akis tuo pačiu metu būtų ir nebūtų būdinga tam pačiam dalykui tuo pačiu atžvilgiu. Tai yra, neįmanoma kažką tvirtinti ir neigti vienu metu.

Išskirtinio vidurio dėsnis: iš dviejų prieštaraujančių teiginių vienas yra teisingas, kitas klaidingas, o trečias nepateiktas.

Pakankamo proto dėsnis: kiekviena tikra mintis turi būti pakankamai pagrįsta.

Paskutinis dėsnis sako, kad kažko įrodymas suponuoja tiksliai ir tik tikrų minčių pateisinimą. Klaidingų minčių neįmanoma įrodyti. Yra gera lotyniška patarlė: „Klysti yra įprasta kiekvienam žmogui, bet tik kvailys yra reikalauti klysti“. Šio įstatymo formulės nėra, nes jis turi tik esminį pobūdį. Tikri sprendimai, faktinė medžiaga, statistiniai duomenys, mokslo dėsniai, aksiomos, įrodytos teoremos gali būti naudojami kaip argumentai, patvirtinantys tikrą mintį.

Teiginių algebros dėsniai

Teiginių algebra (logikos algebra) yra matematinės logikos skyrius, nagrinėjantis teiginių logines operacijas ir sudėtingų teiginių transformavimo taisykles.

Sprendžiant daugelį loginių uždavinių, dažnai tenka supaprastinti gautas formules įforminant jų sąlygas. Formulių supaprastinimas teiginių algebroje atliekamas remiantis ekvivalentinėmis transformacijomis, pagrįstomis pagrindiniais loginiais dėsniais.

Teiginių algebros dėsniai (logikos algebra) yra tautologijos.

Kartais šie dėsniai vadinami teoremomis.

Teiginių algebroje loginiai dėsniai išreiškiami kaip ekvivalentinių formulių lygybė. Tarp įstatymų ypač išsiskiria tie, kuriuose yra vienas kintamasis.

Pirmieji keturi iš šių dėsnių yra pagrindiniai teiginių algebros dėsniai.

Tapatybės įstatymas:

Kiekviena sąvoka ir sprendimas yra identiški sau.

Tapatybės dėsnis reiškia, kad samprotavimo procese negalima pakeisti vienos minties kita, vienos sąvokos kita. Jei šis įstatymas pažeidžiamas, galimos loginės klaidos.

Pavyzdžiui, diskusija Teisingai sako, kad liežuvis atves tave į Kijevą, bet vakar nusipirkau rūkyto liežuvio, vadinasi, dabar galiu saugiai vykti į Kijevą neteisinga, nes pirmasis ir antrasis žodžiai „kalba“ reiškia skirtingas sąvokas.

Diskusijoje: Judėjimas yra amžinas. Eiti į mokyklą yra judėjimas. Todėl ėjimas į mokyklą yra amžinasžodis „judėjimas“ vartojamas dviem skirtingomis prasmėmis (pirmoji – filosofine – kaip materijos atributas, antroji – įprasta prasme – kaip veiksmas judėti erdvėje), dėl ko daroma klaidinga išvada.

Neprieštaravimo dėsnis:

Teiginys ir jo neigimas negali būti teisingi vienu metu. Tai yra, jei pareiškimas BET yra tiesa, tada jos neigimas ne A turi būti klaidinga (ir atvirkščiai). Tada jų produktas visada bus netikras.

Būtent ši lygybė dažnai naudojama supaprastinant sudėtingas logines išraiškas.

Kartais šis dėsnis formuluojamas taip: du vienas kitam prieštaraujantys teiginiai negali vienu metu būti teisingi. Neprieštaravimo įstatymo nesilaikymo pavyzdžiai:

1. Marse gyvybė yra, o Marse gyvybės nėra.

2. Olya baigė vidurinę mokyklą ir mokosi 10 klasėje.

Išskirtinio vidurio dėsnis:

Tuo pačiu laiko momentu teiginys gali būti teisingas arba klaidingas, trečiojo nėra. Tiesa irgi BET, arba ne A. Išskirtinio vidurio įstatymo įgyvendinimo pavyzdžiai:

1. Skaičius 12345 yra lyginis arba nelyginis, trečiojo nėra.

2. Įmonė dirba nuostolingai arba nuostolingai.

3. Šis skystis gali būti rūgštis arba ne.

Išskirtojo vidurio dėsnis nėra dėsnis, kurį visi logikai pripažįsta universaliu logikos dėsniu. Šis dėsnis taikomas ten, kur žinios yra susijusios su griežta situacija: „arba – arba“, „tiesa-klaidinga“. Ten, kur yra neapibrėžtumas (pavyzdžiui, samprotaujant apie ateitį), išskiriamo vidurio dėsnis dažnai negali būti taikomas.

Apsvarstykite šį teiginį: Šis pasiūlymas yra klaidingas. Tai negali būti tiesa, nes teigia esanti klaidinga. Bet tai taip pat negali būti klaidinga, nes tada ji būtų tiesa. Šis teiginys nėra nei teisingas, nei klaidingas, todėl pažeidžiamas išskiriamo vidurio dėsnis.

Paradoksas(gr. paradoxos – netikėtas, keistas) šiame pavyzdyje kyla iš to, kad sakinys nurodo į save patį. Kitas garsus paradoksas yra kirpėjo problema: Viename mieste kirpėja kerpa plaukus visiems gyventojams, išskyrus tuos, kurie nusikerpa patys. Kas kerpa kirpėjo plaukus? Pagal logiką dėl jos formalumo neįmanoma gauti tokio savireferencinio teiginio formos. Tai dar kartą patvirtina mintį, kad logikos algebros pagalba neįmanoma išreikšti visų įmanomų minčių ir argumentų. Parodykime, kaip, remiantis teiginio ekvivalentiškumo apibrėžimu, galima gauti likusius teiginio algebros dėsnius.

Pavyzdžiui, apibrėžkime, kas yra lygiavertė (atitinka) BET(du kartus ne BET, y. neigimo neigimas BET). Norėdami tai padaryti, sudarysime tiesos lentelę:

Pagal lygiavertiškumo apibrėžimą turime rasti stulpelį, kurio reikšmės sutampa su stulpelio reikšmėmis BET. Tai bus stulpelis BET.

Taigi galime suformuluoti dvigubas įstatymasneigimai:

Jei kurį nors teiginį paneigiame du kartus, rezultatas yra pradinis teiginys. Pavyzdžiui, pareiškimas BET= Matroskinas- katė yra tolygus sakymui A = Netiesa, kad Matroskinas nėra katė.

Panašiai galima išvesti ir patikrinti šiuos dėsnius:

Nuolatinės savybės:

Idempotencijos dėsniai:

Nesvarbu, kiek kartų kartosime: Televizorius įjungtas arba televizorius įjungtas, arba televizorius įjungtas... sakinio prasmė nepasikeis. Taip pat nuo pasikartojimo Lauke šilta, lauke šilta... ne vienu laipsniu šilčiau.

Komutatyvumo dėsniai:

A v B = B prieš A

A ir B = B ir A

operandų BET ir AT disjunkcijos ir konjunkcijos operacijose gali būti sukeisti.

Asociatyvumo dėsniai:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A ir (B ir C) = (A ir B) ir C.

Jei išraiškoje naudojama tik atskyrimo operacija arba tik sujungimo operacija, galite nepaisyti skliaustų arba juos išdėstyti savavališkai.

Paskirstymo dėsniai:

A v (B ir C) = (A v B) & (A prieš C)

(paskirstymo disjunkcija
dėl jungties)

A & (B prieš C) = (A ir B) v (A ir C)

(jungtuko pasiskirstymas
dėl disjunkcijos)

Distributyvinis konjunkcijos dėsnis disjunkcijos atžvilgiu yra panašus į paskirstymo dėsnį algebroje, tačiau skirstomojo disjunkcijos dėsnis konjunkcijos atžvilgiu neturi analogo, jis galioja tik logikoje. Todėl tai reikia įrodyti. Įrodymą geriausia atlikti naudojant tiesos lentelę:

Absorbcijos dėsniai:

A v (A ir B) = A

A & (A v B) = A

Įsisavinimo dėsnius patikrinkite patys.

De Morgano dėsniai:

Žodinės de Morgano dėsnių formuluotės:

Mnemoninė taisyklė: kairėje tapatybės pusėje neigimo operacija stovi aukščiau viso teiginio. Dešinėje pusėje jis tarsi sulaužytas ir neigimas stovi virš kiekvieno paprasto teiginio, tačiau tuo pat metu keičiasi operacija: disjunkcija į konjunkciją ir atvirkščiai.

De Morgano dėsnio įgyvendinimo pavyzdžiai:

1) pareiškimas Netiesa, kad moku arabų ar kinų kalbas yra identiškas teiginiui Aš nemoku arabų ir nemoku kinų kalbos.

2) pareiškimas Netiesa, kad išmokau pamoką ir gavau D yra identiškas teiginiui Arba aš neišmokau pamokos, arba negavau A.

Implikacijos ir lygiavertiškumo operacijų pakeitimas

Implikacijos ir lygiavertiškumo operacijos kartais nėra tarp loginių konkretaus kompiuterio ar kompiliatoriaus operacijų iš programavimo kalbos. Tačiau šios operacijos būtinos daugeliui problemų išspręsti. Yra taisyklės, kaip šias operacijas pakeisti neigimo, disjunkcijos ir konjunkcijos operacijų sekomis.

Taigi, pakeiskite operaciją pasekmės galima pagal šią taisyklę:

Norėdami pakeisti operaciją lygiavertiškumas yra dvi taisyklės:

Šių formulių pagrįstumą lengva patikrinti sudarant tiesos lenteles abiejų tapatybių dešinėje ir kairėje pusėje.

Implikacijos ir ekvivalentiškumo operacijų pakeitimo taisyklių žinojimas padeda, pavyzdžiui, teisingai sukonstruoti implikacijos neigimą.

Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį.

Tegu teiginys:

E = Netiesa, kad jei laimėsiu konkursą, gausiu prizą.

Leisti BET= laimėsiu konkursą

B = Aš gausiu prizą.

Vadinasi, E = konkursą laimėsiu, bet prizo negausiu.

Taip pat domina šios taisyklės:

Taip pat galite įrodyti jų pagrįstumą naudodami tiesos lenteles.

Įdomi jų raiška natūralia kalba.

Pavyzdžiui, frazė

Jei Mikė Pūkuotukas valgė medų, vadinasi, jis sotus

yra identiškas frazei

Jei Mikė Pūkuotukas nėra sotus, jis nevalgė medaus.

Pratimas: Pagalvokite apie šių taisyklių pavyzdžius.

2. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai 1 priede

3. Medžiaga smalsiems 2 priede

4. Namų darbai

1) Išmokite logikos dėsnius naudodamiesi informacinėje erdvėje esančiu kursu „Algebra of Logic“ (www.learning.9151394.ru).

2) Patikrinkite De Morgano dėsnių įrodymą kompiuteryje, sudarydami tiesos lentelę.

Programos

1. Pagrindinės sąvokos ir apibrėžimai (

Funkcijoms transformuoti, supaprastinti formules, gautas formalizuojant loginių uždavinių sąlygas, logikos algebroje atliekamos ekvivalentinės transformacijos, remiantis pagrindiniais loginiais dėsniais. Kai kurie iš šių dėsnių suformuluoti ir parašyti taip pat, kaip panašūs aritmetikos ir algebros dėsniai, kiti atrodo neįprastai.

Kartais vadinami logikos algebros dėsniais teoremos.

Teiginių algebroje loginiai dėsniai išreiškiami kaip ekvivalentinių formulių lygybė.

Visų dėsnių galiojimą galima patikrinti sudarant tiesos lenteles kairiajai ir dešiniajai rašytinio įstatymo dalims. Supaprastinus išraišką naudojant logikos algebros dėsnius, tiesos lentelės yra vienodos.

Kai kurių dėsnių pagrįstumą galima įrodyti naudojant tiesos lentelių įrankius.

1 paveikslas.

Pavyzdžiai

3 pav

Supaprastinkime pradinę išraišką naudodami pagrindinius logikos algebros dėsnius:

4 pav

(De Morgano dėsnis, AND paskirstymo dėsnis, idempotencijos dėsnis, kintamojo veikimas su jo inversija).

Lentelėje parodyta, kad visoms kintamųjų $x$ ir $y$ reikšmių rinkiniams 2 pav. pateikta formulė įgauna reikšmę $1$, tai yra, ji yra identiška.

6 pav

Iš lentelės matyti, kad šaltinio išraiška įgauna tas pačias reikšmes kaip ir supaprastinta išraiška atitinkamose kintamųjų $x$ ir $y$ reikšmėse.

Supaprastinkime 5 pav. pateiktą išraišką taikydami pagrindinius logikos algebros dėsnius.

7 pav

(De Morgano dėsnis, absorbcijos dėsnis, I paskirstymo dėsnis).

9 pav

Lentelėje parodyta, kad visoms kintamųjų $x$ ir $y$ reikšmių rinkiniams 8 pav. pateikta formulė įgauna reikšmę $0$, tai yra, ji yra identiškai klaidinga.

Supaprastinkime išraišką taikydami logikos algebros dėsnius:

10 pav.

12 pav.

(De Mogrgano dėsnis, paskirstymas).

Padarykime tiesos lentelę išraiškai 11 pav.:

13 pav.

Iš lentelės matyti, kad išraiška 11 pav. kai kuriais atvejais įgauna reikšmę $1$, o kai kuriais - $0$, tai yra, tai yra įmanoma.

(de Morgano taisyklė, išimame bendrą koeficientą, kintamojo operacijų taisyklę su jo inversija).

(kartojamas antrasis veiksnys, o tai įmanoma naudojant idempotento dėsnį; tada sujungiami pirmieji du ir paskutiniai du faktoriai ir naudojamas klijavimo dėsnis).

(įvedame pagalbinį loginį veiksnį

Yra penki logikos algebros dėsniai:

1. Pavienių elementų dėsnis

1*X=X
0*X=0
1+X=1
0 + X = X

Šis logikos algebros dėsnis tiesiogiai išplaukia iš aukščiau pateiktų logikos algebros aksiomų išraiškų.

Viršutinės dvi išraiškos gali būti naudingos kuriant jungiklius, nes pritaikius loginį nulį arba vienetą vienai iš „2I“ elemento įėjimų galite arba perduoti signalą į išėjimą, arba suformuoti išėjime nulinį potencialą.

Antrasis šių posakių vartojimo variantas yra galimybė pasirinktinai nulinėti tam tikrus daugiaženklio skaičiaus skaitmenis. Taikydami operaciją „IR“ bitais, galite arba palikti ankstesnę skaitmens reikšmę, arba ją nustatyti iš naujo, atitinkamiems skaitmenims pritaikydami vienetą arba nulinį potencialą. Pavyzdžiui, reikia iš naujo nustatyti 6, 3 ir 1 skaičius. Tada:

Aukščiau pateiktame logikos algebros dėsnių panaudojimo pavyzdyje aiškiai matyti, kad norint nulinti reikiamus skaitmenis kaukėje (mažesnis skaičius), atitinkamų skaitmenų vietoje rašomi nuliai, o likusiuose – vienetai. skaitmenys. Pradiniame skaičiuje (viršutiniame skaičiuje) vietoj 6 ir 1 skaitmenų yra vienetai. Atlikus operaciją „IR“, šiose vietose atsiranda nuliai. Vietoje trečiojo skaitmens pradiniame skaičiuje yra nulis. Gautame skaičiuje šioje vietoje taip pat yra nulis. Likę skaitmenys, kaip reikalauja problemos būklė, nekeičiami.

Lygiai taip pat pavienių elementų dėsnio, vieno iš pagrindinių logikos algebros dėsnių, pagalba galime užrašyti vienetus mums reikalingais skaitmenimis. Šiuo atveju būtina naudoti dvi apatines atskirų elementų dėsnio išraiškas. Taikydami operaciją „ARBA“ bitais, galite palikti ankstesnę skaitmens reikšmę arba nustatyti ją iš naujo, atitinkamiems skaitmenims pritaikydami nulį arba vieneto potencialą. Tegu reikalaujama vienetus įrašyti 7 ir 6 skaičiaus bitais. Tada:

Čia kaukėje (mažesnis skaičius) įrašėme vienus septintajame ir šeštajame bituose. Likusiuose bituose yra nuliai, todėl jie negali pakeisti pradinio skaičiaus pradinės būsenos, kurią matome gautame skaičiuje po eilute.

Pirmoji ir paskutinė pavienių elementų dėsnio išraiška leidžia naudoti su daugiau įėjimų kaip loginius elementus su mažiau įėjimų. Norėdami tai padaryti, nepanaudoti „IR“ grandinės įėjimai turi būti prijungti prie maitinimo šaltinio, kaip parodyta 1 paveiksle:

1 pav. Schema "2I-NOT" įdiegta loginiame elemente "3I-NOT"

Tuo pačiu metu nepanaudoti įėjimai „ARBA“ grandinėje, pagal atskirų elementų dėsnį, turi būti prijungti prie bendro grandinės laido, kaip parodyta 2 paveiksle.

2 pav. "NE" grandinė, įdiegta "2I-NOT" elemente

Šie logikos algebros dėsniai, išplaukiantys iš logikos algebros aksiomų, yra neigimo dėsniai.

2. Neigimo dėsniai

a. Papildomų elementų dėsnis

Šio logikos algebros dėsnio išraiškos plačiai naudojamos loginėms grandinėms sumažinti. Jeigu galima išskirti tokias poraiškius nuo bendrosios loginės funkcijos išraiškos, tai galima sumažinti reikiamą skaitmeninės grandinės elementų įėjimų skaičių, o kartais net sumažinti visą išraišką iki loginės konstantos.

Kitas plačiai naudojamas logikos algebros dėsnis yra dvigubo neigimo dėsnis.

b. Du kartus ne

Dvigubo neigimo dėsnis naudojamas tiek loginėms išraiškoms supaprastinti (ir dėl skaitmeninių kombinatorinių grandinių supaprastinimo ir sumažinimo), tiek norint pašalinti signalų inversiją po tokių loginių elementų kaip "2I-NOT" ir "2OR- NE". Šiuo atveju logikos algebros dėsniai leidžia įgyvendinti tam tikras skaitmenines grandines naudojant ribotą loginių elementų rinkinį.

c. Neigiamos logikos dėsnis

Neigiamos logikos dėsnis galioja bet kokiam kintamųjų skaičiui. Šis logikos algebros dėsnis leidžia įgyvendinti naudojant loginius elementus „ARBA“ ir atvirkščiai: įgyvendinti loginę funkciją „ARBA“ naudojant loginius elementus „IR“. Tai ypač naudinga TTL grandinėje, nes ją lengva įdiegti AND vartuose, tačiau gana sunku įdiegti OR vartus. Neigiamos logikos dėsnio dėka galima įdiegti elementus „ARBA“ ant loginių elementų „IR“. 3 paveiksle parodytas loginio elemento "2OR" įgyvendinimas elemente " " ir dviejuose keitikliuose.

3 pav. Loginis elementas "2OR" įdiegtas ant elemento "2I-NOT" ir dviejų keitiklių

Tą patį galima pasakyti ir apie montavimo „ARBA“ schemą. Jei reikia, šios grandinės įėjime ir išėjime jį galima paversti tvirtinimo elementu „AND“.

3. Derinių dėsniai

Kombinaciniai logikos algebros dėsniai iš esmės atitinka įprastos algebros kombinacinius dėsnius, tačiau yra ir skirtumų.

a. tautologijos dėsnis (daugkartinis pasikartojimas)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Šis logikos algebros dėsnis leidžia loginius vartus su daugiau įėjimų naudoti kaip vartus su mažiau įėjimų. Pavyzdžiui, loginiame elemente „3I“ galite įdiegti dviejų įėjimų „2I“ grandinę, kaip parodyta 4 paveiksle:

4 pav. Schema "2I-NOT" įdiegta loginiame elemente "3I-NOT"

arba naudokite "2NAND-NOT" grandinę kaip įprastą keitiklį, kaip parodyta 5 paveiksle:

5 pav. "NE" grandinė, įdiegta loginiame elemente "2I-NOT"

Tačiau reikia įspėti, kad kelių įėjimų sujungimas padidina loginio elemento įvesties sroves ir jo talpą, o tai padidina ankstesnių elementų srovės suvartojimą ir neigiamai veikia visos skaitmeninės grandinės greitį.

Norint sumažinti loginio elemento įvesties skaičių, geriau naudoti kitą logikos algebros dėsnį - atskirų elementų dėsnį, kaip parodyta aukščiau.

Tęsiame svarstymą apie logikos algebros dėsnius:

b. judumo dėsnis

A + B + C + D = A + C + B + D

c. derinio įstatymas

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

d. paskirstymo įstatymas

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /įrodykime tai išplėsdami skliaustus/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1 (1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Sugerties taisyklė (vienas kintamasis sugeria kitus)

X1 + X1X2X3 = X1 (1 + X2X3) = X1

5. Klijavimo taisyklė (atlieka tik vienas kintamasis)

Kaip ir įprastoje matematikoje, taip ir logikos algebroje pirmenybė teikiama operacijoms. Pirmiausia tai daroma:

1. Veiksmas skliausteliuose
2. Operacija su vienu operandu (viena operacija) - "NE"
3. Jungtukas - "ir"
4. Disjunkcija - "ARBA"
5. Suma modulio du.

To paties rango operacijos atliekamos iš kairės į dešinę loginės išraiškos rašymo tvarka. Logikos algebra yra tiesinė ir jai galioja superpozicijos principas.

Literatūra:

Kartu su straipsniu „Logikos algebros dėsniai“ jie rašo:

Bet kuri loginė grandinė be atminties yra visiškai aprašyta tiesos lentele... Norint realizuoti tiesos lentelę, pakanka atsižvelgti tik į tas eilutes...
http://website/digital/SintSxem.php

Dekoderiai (dekoderiai) leidžia konvertuoti vieno tipo dvejetainį kodą į kitą. Pavyzdžiui...
http://website/digital/DC.php

Gana dažnai skaitmeninės įrangos kūrėjai susiduria su priešinga problema. Norite konvertuoti aštuntainės arba dešimtainės eilutės kodą į...
http://website/digital/coder.php

Multiplekseriai yra įrenginiai, leidžiantys prijungti kelis įėjimus prie vieno išėjimo ...
http://website/digital/MS.php

Įrenginiai vadinami demultiplekseriais... Reikšmingas skirtumas nuo multiplekserio yra...
http://website/digital/DMS.php

Jei svarstysime teiginio skaičiavimo taikymą kontaktinių-relinių grandinių, automatikos grandinių ir kitų taikomųjų programų analizei ir optimizavimui bei žinojimą. kad sumažėjus elementų ir/ar jungčių skaičiui, didėja įrenginių, naudojančių šias grandines, patikimumas, tuomet tampa akivaizdu, kad diskrečiojoje matematikoje svarbu tirti tokias formules, kurios leidžia optimizuoti pačią formulę.

Į dėsnius, leidžiančius sumažinti loginių teiginių elementus ir operacijas, priskiriami absorbcijos ir klijavimo dėsniai.

Absorbcijos dėsnis:

logiškam papildymui: A  (A ir B) = A ;

loginiam dauginimui: A & (A  B) = A .

Logikos dėsnių išmanymas leidžia patikrinti samprotavimų ir įrodymų teisingumą. Remdamiesi dėsniais, galite supaprastinti sudėtingas logines išraiškas. Šis sudėtingos loginės funkcijos pakeitimo paprastesne, bet lygiaverte funkcija procesas vadinamas funkcijos sumažinimu.

Kai kurios loginių formulių transformacijos yra panašios į formulių transformacijas įprastoje algebroje (bendrasis veiksnys skliausteliuose, naudojant komutacinius ir asociatyvinius dėsnius ir pan.), kitos yra pagrįstos savybėmis, kurių įprastos algebros operacijos neturi (konjunkcijai naudojant skirstymo dėsnį, absorbcijos, surišimo, de Morgano ir kt. dėsniai).

Logikos dėsnių pažeidimai veda prie loginių klaidų ir iš to kylančių prieštaravimų.

8. Klijavimo taisyklė

; (2.11)
. (2.12) (2.11) įrodymas: . Įrodymas (2.12):

9. Apibendrintas dėsnis klijavimas . (2.13) . (2.14) Įrodymai (2.13): Įrodymai (2.14). Pirmiausia atidarome skliaustus kairėje lygybės (2.14) pusėje, o tada dešinėje. ; .

9. De Morgano taisyklė

De Morgano dėsniai (de morgan taisykles) - loginės taisyklės, jungiančios dvigubų loginių operatorių poras naudojant loginį neigimą.

Istorija ir apibrėžimas

Augustas de Morganas iš pradžių pastebėjo, kad klasikinėje teiginių logikoje galioja šie santykiai:

ne (P ir Q) = (ne P) arba (ne Q)

ne (P arba Q) = (ne P) ir (ne Q)

Įprasta šių dėsnių žymėjimas formalioje logikoje yra toks:

aibės teorijoje:

De Morgano formulės yra taikomos bet kokiam argumentų skaičiui. Jie iliustruoja gilią IR ir ARBA operacijų tarpusavio simetriją: jei IR operacija selektyviai reaguoja į tiesioginių signalų sutapimą, tai operacija OR taip pat selektyviai reaguoja į jų inversijų sutapimą. Elementas OR yra skaidrus bet kokiam signalui, AND elementas - bet kokiai inversijai. Naudojant de Morgan formules, galima nesunkiai išversti logines grandines iš NE, AND, ARBA pagrindo, kuriame žmogus labiausiai įpratęs mąstyti ir kurti pradines logines išraiškas, į invertuojančias bazes, kurias efektyviausiai įgyvendina integruota technologija.

10. Arrow Pierce

Pradurti rodyklė (logiška "ARBA-NE") pareiškimus a ir b yra naujas teiginys, kuris bus teisingas tada ir tik tada, kai abu teiginiai yra klaidingi.

Pierce'o rodyklės ženklas yra ↓

Funkcijų reikšmės pradurti strėles pateikta lentelėje:

Loginis operacijos elementas pradurti strėles yra:

Rodyklė Pierce- dvejetainė loginė operacija, loginė funkcija per du kintamuosius. 1880–1881 m. pristatė Charlesas Peirce'as.

Pierce rodyklė, paprastai žymima ↓, yra lygiavertė NOR operacijai ir pateikiama pagal šią tiesos lentelę:

Taigi teiginys „X ↓ Y“ reiškia „nei X, nei Y“. Pakeitus operandų vietas, operacijos rezultatas nekeičiamas.

		X ↓ Y

11. Schaefferio insultas- dvejetainė loginė operacija, Būlio funkcija per du kintamuosius. 1913 m. pristatytas Henry Schaefferis (kai kuriuose šaltiniuose vadinamas Chulkovo punktyrine linija) Schaefferio potėpis, paprastai žymimas |, yra lygiavertis NAND operacijai ir pateikiamas pagal šią tiesos lentelę:

Taigi teiginys X | Y reiškia, kad X ir Y yra nesuderinami, t.y. tuo pačiu metu nėra tiesa. Pakeitus operandų vietas, operacijos rezultatas nekeičiamas. Schaeffer pirminis dydis, kaip ir Pierce rodyklė, sudaro dviejų kintamųjų Būlio funkcijų erdvės pagrindą. Tai yra, naudodami tik „Schaeffer“ eigą, galite sukurti likusias operacijas. Pavyzdžiui,

-neigimas

Disjunkcija

Jungtis

Konstanta 1

Elektronikoje tai reiškia, kad pakanka vieno tipinio elemento, kad būtų galima įgyvendinti visą logines reikšmes reprezentuojančių signalų konvertavimo schemų įvairovę. Kita vertus, šis metodas padidina grandinių, įgyvendinančių logines išraiškas, sudėtingumą ir taip sumažina jų patikimumą. Pavyzdys yra pramoninė 155 serija.

2I-NOT (2-in NAND) elementas, įgyvendinantis Schaeffer eigą, žymimas taip (pagal ANSI standartus):

Europos standartuose naudojamas kitoks pavadinimas:

12. Diodų klavišai. Bendra informacija. Elektroninis raktas yra įrenginys, kuris gali būti vienoje iš dviejų stabilių būsenų: uždarytas arba atidarytas. Elektroninio rakto pagrindas yra netiesinis aktyvusis elementas (puslaidininkinis diodas, tranzistorius, tiristorius ir kt.), veikiantis rakto režimu. Pagal naudojamo nelinijinio elemento tipą elektroniniai raktai skirstomi į diodinius, tranzistorius, tiristorius ir kt.

diodų klavišai. Paprasčiausias elektroninių jungiklių tipas yra diodiniai jungikliai. Juose kaip aktyvieji elementai naudojami puslaidininkiniai arba elektrovakuuminiai diodai.

Esant teigiamai įėjimo įtampai, diodas yra atidarytas ir srovė per jį

, kur yra diodo pasipriešinimas į priekį.

Išėjimo įtampa

.

Paprastai tada. Esant neigiamai įėjimo įtampai, srovė teka per diodą

,

kur yra atvirkštinė diodo varža.

Tuo pačiu metu išėjimo įtampa

. Kaip taisyklė, ir . Pakeitus diodo poliškumą, funkcijos grafikas pasisuks kampu aplink pradžią.

Diodų klavišai neleidžia elektriškai atskirti valdymo ir valdomų grandinių, o tai dažnai reikalinga praktikoje. Įtampos ir srovės perjungimui (perjungimui) vadinamos. diodų klavišai. Šios grandinės leidžia, kai taikoma tam tikra valdymo įtampa, uždaryti / atidaryti elektros grandinę, per kurią perduodamas naudingas signalas (srovė, įtampa). Paprasčiausiose raktų grandinėse patį įvesties signalą galima naudoti kaip valdiklį.

Kalbant apie diodų jungiklius, negalima nepaminėti specialios puslaidininkinių diodų klasės - p-i-n-diodų. Jie naudojami tik RF ir mikrobangų signalams perjungti. Tai įmanoma dėl jų unikalios savybės – reguliuojamo laidumo signalo dažniu. Toks reguliavimas paprastai atliekamas arba tada, kai į diodą įvedama išorinė pastovi poslinkio įtampa, arba tiesiogiai pagal signalo lygį (p-i-n-diodų ribojimui).