Zakon logike lepljenja. Osnove algebre logike

Lekcija o informatiki je namenjena učencem 10. razreda splošne šole, katere učni načrt vključuje razdelek "Algebra logike". Ta tema je za učence zelo težka, zato sem jih kot učiteljica želela navdušiti za preučevanje zakonitosti logike, poenostavljanje logičnih izrazov in z zanimanjem pristopiti k reševanju logičnih problemov. V običajni obliki je poučevanje te teme dolgočasno in težavno, nekatere definicije pa otrokom niso vedno jasne. V zvezi z zagotavljanjem informacijskega prostora sem imel priložnost objaviti svoje lekcije v "učni" lupini. Študenti, ki so se prijavili vanj, se lahko udeležijo tega tečaja v prostem času in ponovno preberejo, kar v lekciji ni bilo jasno. Nekateri učenci, ki zaradi bolezni izostanejo pri pouku, doma ali v šoli nadoknadijo zamujeno temo in so vedno pripravljeni na naslednjo uro. Mnogim otrokom je takšna oblika poučevanja zelo ustrezala in tiste zakonitosti, ki so jim bile nerazumljive, se zdaj veliko lažje in hitreje naučijo v računalniški obliki. Ponujam eno od teh učnih ur informatike, ki poteka integrativno z IKT.

Učni načrt

1. Razlaga nove snovi z uporabo računalnika - 25 minut.
2. Osnovni pojmi in definicije, podani v "učenje" - 10 minut.
3. Gradivo za radovedne - 5 minut.
4. Domača naloga - 5 minut.

1. Razlaga nove snovi

Zakoni formalne logike

Najenostavnejše in najbolj potrebne prave povezave med mislimi so izražene v osnovnih zakonih formalne logike. To so zakoni identitete, neprotislovnosti, izključene sredine, zadostnega razuma.

Ti zakoni so temeljni, ker imajo v logiki posebno pomembno vlogo, so najbolj splošni. Omogočajo vam poenostavitev logičnih izrazov ter ustvarjanje sklepov in dokazov. Prve tri od zgornjih zakonov je identificiral in oblikoval Aristotel, zakon zadostnega razloga pa G. Leibniz.

Zakon identitete: v procesu določenega razmišljanja mora biti vsak pojem in sodba enaka sama sebi.

Zakon neprotislovja: nemogoče je, da bi bilo eno in isto oko hkrati in neločljivo povezano z isto stvarjo v istem pogledu. Se pravi, nemogoče je nekaj hkrati pritrditi in zanikati.

Zakon izključene sredine: od dveh protislovnih trditev je ena resnična, druga napačna, tretja pa ni dana.

Zakon zadostnega razloga: Vsaka prava misel mora biti dovolj utemeljena.

Zadnji zakon pravi, da dokaz nečesa predpostavlja utemeljitev natanko in samo resničnih misli. Lažnih misli ni mogoče dokazati. Obstaja dober latinski pregovor: "Motiti se je značilno za vsakega človeka, toda samo neumen vztraja pri napaki." Za ta zakon ni formule, saj ima le vsebinski značaj. Resnične sodbe, stvarno gradivo, statistični podatki, znanstveni zakoni, aksiomi, dokazani izreki se lahko uporabljajo kot argumenti za potrditev prave misli.

Zakoni propozicionalne algebre

Algebra propozicij (algebra logike) je del matematične logike, ki preučuje logične operacije na propozicijah in pravila za pretvorbo kompleksnih propozicij.

Pri reševanju številnih logičnih problemov je pogosto treba poenostaviti formule, dobljene s formalizacijo njihovih pogojev. Poenostavitev formul v algebri predlogov se izvaja na podlagi ekvivalentnih transformacij, ki temeljijo na osnovnih logičnih zakonih.

Zakoni algebre trditev (algebre logike) so tavtologije.

Včasih se ti zakoni imenujejo izreki.

V propozicionalni algebri so logični zakoni izraženi kot enakost enakovrednih formul. Med zakoni se posebej razlikujejo tisti, ki vsebujejo eno spremenljivko.

Prvi štirje od naslednjih zakonov so osnovni zakoni propozicionalne algebre.

Zakon o identiteti:

Vsak koncept in sodba sta enaka samemu sebi.

Zakon identitete pomeni, da v procesu razmišljanja ni mogoče zamenjati ene misli z drugo, enega koncepta z drugim. Če je ta zakon kršen, so možne logične napake.

Na primer razprava Pravilno pravijo, da te bo jezik pripeljal v Kijev, vendar sem včeraj kupil dimljen jezik, kar pomeni, da zdaj lahko varno odidem v Kijev napačno, saj prva in druga beseda "jezik" označujeta različna pojma.

V razpravi: Gibanje je večno. Hoditi v šolo je gibanje. Zato je šolanje za vedno beseda "gibanje" se uporablja v dveh različnih pomenih (prvi - v filozofskem smislu - kot atribut materije, drugi - v običajnem pomenu - kot dejanje za premikanje v prostoru), kar vodi do napačnega sklepa.

Zakon neprotislovnosti:

Trditev in njena negacija ne moreta biti resnična hkrati. Se pravi, če izjava AMPAK je res, potem njegova negacija ne A mora biti napačen (in obratno). Potem bo njihov izdelek vedno napačen.

Prav ta enakost se pogosto uporablja pri poenostavljanju kompleksnih logičnih izrazov.

Včasih je ta zakon formuliran na naslednji način: dve izjavi, ki si nasprotujeta, ne moreta biti resnični hkrati. Primeri neupoštevanja zakona o neprotislovnosti:

1. Na Marsu je življenje in na Marsu ga ni.

2. Olya je končala srednjo šolo in je v 10. razredu.

Zakon izključene sredine:

V istem trenutku je izjava lahko resnična ali napačna, tretjega ni. Tudi res AMPAK, oz ne A. Primeri izvajanja zakona izključene sredine:

1. Število 12345 je sodo ali liho, tretjega ni.

2. Podjetje posluje z izgubo ali brez dobička.

3. Ta tekočina je lahko kislina ali pa tudi ne.

Zakon izključene sredine ni zakon, ki ga vsi logiki priznavajo kot univerzalni zakon logike. Ta zakon se uporablja tam, kjer se znanje ukvarja s togo situacijo: "ali - ali", "true-false". Kjer obstaja negotovost (na primer pri razmišljanju o prihodnosti), zakona izključene sredine pogosto ni mogoče uporabiti.

Razmislite o naslednji izjavi: Ta predlog je napačen. Ne more biti res, ker trdi, da je laž. Vendar tudi ne more biti lažna, ker bi bila resnična. Ta trditev ni niti resnična niti napačna, zato je kršen zakon izključene sredine.

Paradoks(grško paradoxos - nepričakovano, čudno) v tem primeru izhaja iz dejstva, da se stavek nanaša sam nase. Drug znan paradoks je problem frizerja: V enem mestu frizer striže vse prebivalce, razen tistih, ki se strižejo sami. Kdo striže brivca? V logiki zaradi njene formalnosti ni mogoče dobiti oblike takšne samoreferenčne izjave. To še enkrat potrjuje idejo, da je s pomočjo algebre logike nemogoče izraziti vse možne misli in argumente. Pokažimo, kako je mogoče na podlagi definicije propozicijske ekvivalence pridobiti ostale zakone propozicijske algebre.

Na primer, definirajmo, kaj je enakovredno (enakovredno) AMPAK(dvakrat ne AMPAK, tj. negacija negacije AMPAK). Da bi to naredili, bomo zgradili tabelo resnic:

Po definiciji enakovrednosti moramo najti stolpec, katerega vrednosti se ujemajo z vrednostmi stolpca AMPAK. To bo stolpec AMPAK.

Tako lahko oblikujemo dvojno pravonegacije:

Če neko izjavo dvakrat zanikamo, potem je rezultat prvotna izjava. Na primer izjava AMPAK= Matroskin- mačka je enakovredno reči A = Ni res, da Matroskin ni mačka.

Podobno je mogoče izpeljati in preveriti naslednje zakone:

Lastnosti konstante:

Zakoni idempotence:

Ne glede na to, kolikokrat ponavljamo: TV vklopljen ali TV vklopljen ali TV vklopljen ... pomen stavka se ne bo spremenil. Prav tako od ponavljanja Zunaj je toplo, zunaj je toplo ... niti za stopinjo topleje.

Zakoni komutativnosti:

A v B = B v A

A & B = B & A

operandov AMPAK in AT v operacijah disjunkcije in konjunkcije se lahko zamenjata.

Zakoni asociativnosti:

A v(B v C) = (A v B) v C;

A & (B & C) = (A & B) & C.

Če izraz uporablja samo operacijo disjunkcije ali samo operacijo konjunkcije, lahko oklepaje zanemarite ali jih razporedite poljubno.

Distributivni zakoni:

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

(distributivna disjunkcija
glede konjunkcije)

A & (B proti C) = (A & B) proti (A & C)

(distributivnost veznika
glede disjunkcije)

Distributivni zakon konjunkcije glede na disjunkcijo je podoben distribucijskemu zakonu v algebri, vendar zakon distribucijske disjunkcije glede na konjunkcijo nima analogije, velja le v logiki. Zato ga je treba dokazati. Dokaz je najbolje narediti s tabelo resnic:

Zakoni absorpcije:

A v (A & B) = A

A & (A v B) = A

Dokaz absorpcijskih zakonov izvedite sami.

De Morganovi zakoni:

Verbalne formulacije de Morganovih zakonov:

Mnemotehnično pravilo: na levi strani identitete stoji operacija negacije nad celotno izjavo. Na desni strani se zdi, da je prekinjena in negacija stoji nad vsako od enostavnih izjav, hkrati pa se spreminja operacija: disjunkcija v konjunkcijo in obratno.

Primeri izvajanja de Morganovega zakona:

1) Izjava Ni res, da znam arabsko ali kitajsko je identična izjavi Ne znam arabsko in ne znam kitajsko.

2) Izjava Ni res, da sem se naučil lekcije in dobil D je identična izjavi Ali se nisem naučil lekcije ali pa nisem dobil petice.

Zamenjava implikacijskih in ekvivalenčnih operacij

Operacije implikacije in enakovrednosti včasih niso med logičnimi operacijami določenega računalnika ali prevajalnika iz programskega jezika. Vendar so te operacije potrebne za reševanje številnih težav. Obstajajo pravila za zamenjavo teh operacij z zaporedji operacij negacije, disjunkcije in konjunkcije.

Torej zamenjajte operacijo posledice mogoče po naslednjem pravilu:

Za zamenjavo operacije enakovrednost obstajata dve pravili:

Veljavnost teh formul je enostavno preveriti z izdelavo tabel resnic za desno in levo stran obeh identitet.

Poznavanje pravil za zamenjavo operacij implikacije in ekvivalence pomaga na primer pri pravilni konstrukciji negacije implikacije.

Razmislite o naslednjem primeru.

Naj bo podana izjava:

E = Ni res, da bom dobil nagrado, če bom zmagal na tekmovanju.

Pustiti AMPAK= Zmagal bom na tekmovanju

B = Prejel bom nagrado.

Zato E = zmagal bom na tekmovanju, vendar ne bom prejel nagrade.

Zanimiva so tudi naslednja pravila:

Njihovo veljavnost lahko dokažete tudi z uporabo tabel resnic.

Zanimivo je njihovo izražanje v naravnem jeziku.

Na primer besedna zveza

Če je Winnie the Pooh jedel med, potem je sit

je enak frazi

Če Winnie the Pooh ni sit, potem ni jedel medu.

Vaja: pomislite na fraze-zglede teh pravil.

2. Osnovni pojmi in definicije v prilogi 1

3. Gradivo za radovedneže v prilogi 2

4. Domača naloga

1) Naučite se zakonov logike s tečajem Algebra of Logic, ki se nahaja v informacijskem prostoru (www.learning.9151394.ru).

2) Preverite dokaz De Morganovih zakonov na osebnem računalniku tako, da sestavite tabelo resnic.

Aplikacije

1. Osnovni pojmi in definicije (

Za preoblikovanje funkcij, za poenostavitev formul, dobljenih s formalizacijo pogojev logičnih problemov, se v algebri logike izvajajo enakovredne transformacije, ki temeljijo na osnovnih logičnih zakonih. Nekateri od teh zakonov so oblikovani in zapisani na enak način kot podobni zakoni v aritmetiki in algebri, drugi so videti nenavadni.

Zakoni algebre logike se včasih imenujejo izreki.

V propozicionalni algebri so logični zakoni izraženi kot enakost enakovrednih formul.

Veljavnost vseh zakonov je mogoče preveriti z izdelavo tabel resnic za levi in ​​desni del pisanega zakona. Po poenostavitvi izraza z uporabo zakonov algebre logike so tabele resnic enake.

Veljavnost nekaterih zakonov je mogoče dokazati z orodji resnicnih tabel.

Slika 1.

Primeri

Slika 3

Poenostavimo izvirni izraz z uporabo osnovnih zakonov algebre logike:

Slika 4

(De Morganov zakon, distribucijski zakon za IN, zakon idempotence, delovanje spremenljivke z njeno inverzijo).

Iz tabele je razvidno, da za vse nize vrednosti spremenljivk $x$ in $y$ formula na sliki 2 zavzame vrednost $1$, kar pomeni, da je enako resnična.

Slika 6

Iz tabele je razvidno, da ima izvorni izraz enake vrednosti kot poenostavljeni izraz na ustreznih vrednostih spremenljivk $x$ in $y$.

Poenostavimo izraz na sliki 5 z uporabo osnovnih zakonov algebre logike.

Slika 7

(De Morganov zakon, absorpcijski zakon, distribucijski zakon za I).

Slika 9

Iz tabele je razvidno, da za vse nize vrednosti spremenljivk $x$ in $y$ formula na sliki 8 zavzame vrednost $0$, kar pomeni, da je enako napačna.

Poenostavimo izraz z uporabo zakonov algebre logike:

Slika 10.

Slika 12.

(De Mogrganov zakon, distributivni).

Naredimo tabelo resnic za izraz na sliki 11:

Slika 13.

Iz tabele je razvidno, da ima izraz na sliki 11 v nekaterih primerih vrednost $1$, v nekaterih pa $0$, kar pomeni, da je izvedljivo.

(de Morganovo pravilo, izvzamemo skupni faktor, pravilo operacij spremenljivke z njeno inverzijo).

(drugi faktor ponovimo, kar je mogoče z uporabo zakona idempotenta; nato prva dva in zadnja dva faktorja združimo in uporabimo zakon lepljenja).

(uvedemo pomožni logični dejavnik

Obstaja pet zakonov algebre logike:

1. Zakon posameznih elementov

1*X=X
0*X=0
1+X=1
0 + X = X

Ta zakon algebre logike neposredno sledi iz zgornjih izrazov aksiomov algebre logike.

Zgornja dva izraza sta lahko uporabna pri gradnji stikal, saj lahko z uporabo logične ničle ali ena na enega od vhodov elementa "2I" prenesete signal na izhod ali na izhodu oblikujete ničelni potencial.

Druga možnost uporabe teh izrazov je možnost selektivne ničelnosti določenih števk večmestnega števila. Z bitno uporabo operacije "IN" lahko pustite prejšnjo vrednost števke ali jo ponastavite z uporabo enote ali ničelnega potenciala za ustrezne števke. Na primer, potrebno je ponastaviti številke 6, 3 in 1. Nato:

V zgornjem primeru uporabe zakonov algebre logike je jasno razvidno, da se za ničlo potrebnih števk v maski (spodnje število) na mestu ustreznih števk zapišejo ničle, na preostalih pa enice. števke. V originalni številki (zgornja številka) so enote namesto 6 in 1 števk. Po izvedbi operacije "IN" se na teh mestih pojavijo ničle. Namesto tretje števke v prvotni številki je nič. V dobljeni številki je na tem mestu tudi ničla. Preostale števke, kot zahteva pogoj problema, se ne spremenijo.

Na enak način lahko s pomočjo zakona posameznih elementov, enega od osnovnih zakonov algebre logike, zapišemo enote v števke, ki jih potrebujemo. V tem primeru je treba uporabiti spodnja dva izraza zakona posameznih elementov. Z bitno uporabo operacije "ALI" lahko pustite prejšnjo vrednost števke ali jo ponastavite tako, da na ustrezne števke uporabite potencial ničle ali enote. Naj bo potrebno zapisati enote v 7 in 6 bitov števila. Nato:

Tukaj v maski (spodnja številka) imamo zapisane enice v sedmem in šestem bitu. Preostali biti vsebujejo ničle in zato ne morejo spremeniti začetnega stanja prvotnega števila, ki ga vidimo v dobljenem številu pod črto.

Prvi in ​​zadnji izraz zakona posameznih elementov omogočata uporabo z več vhodi kot logičnih elementov z manj vhodi. Če želite to narediti, je treba neuporabljene vhode v vezju "IN" priključiti na vir napajanja, kot je prikazano na sliki 1:

Slika 1. Shema "2I-NOT", implementirana na logičnem elementu "3I-NOT"

Istočasno morajo biti neuporabljeni vhodi v vezju "ALI" v skladu z zakonom posameznih elementov povezani s skupno žico vezja, kot je prikazano na sliki 2.

Slika 2. Vezje "NE" implementirano na elementu "2I-NE".

Naslednji zakoni algebre logike, ki izhajajo iz aksiomov algebre logike, so zakoni negacije.

2. Zakoni negacije

a. Zakon komplementarnih elementov

Izrazi tega zakona algebre logike se pogosto uporabljajo za minimiziranje logičnih vezij. Če je mogoče takšne podizraze izolirati iz splošnega izraza logične funkcije, potem je mogoče zmanjšati potrebno število vhodov elementov digitalnega vezja in včasih celo celoten izraz zmanjšati na logično konstanto.

Drug široko uporabljen zakon algebre logike je zakon dvojne negacije.

b. Dvakrat št

Zakon dvojnega zanikanja se uporablja tako za poenostavitev logičnih izrazov (in kot rezultat poenostavitve in znižanja stroškov digitalnih kombinatoričnih vezij) kot za odpravo inverzije signalov po takih logičnih elementih, kot sta "2I-NOT" in "2OR- NE". V tem primeru zakoni algebre logike omogočajo implementacijo danih digitalnih vezij z uporabo omejenega nabora logičnih elementov.

c. Zakon negativne logike

Zakon negativne logike velja za poljubno število spremenljivk. Ta zakon algebre logike omogoča izvajanje z uporabo logičnih elementov "ALI" in obratno: izvajanje logične funkcije "ALI" z uporabo logičnih elementov "IN". To je še posebej uporabno v vezju TTL, saj je enostavno implementirati vrata IN, precej težko pa je implementirati vrata ALI. Zahvaljujoč zakonu negativne logike je možno implementirati elemente "ALI" na logične elemente "IN". Slika 3 prikazuje izvedbo logičnega elementa "2ALI" na elementu " " in dveh inverterjih.

Slika 3. Logični element "2ALI" implementiran na elementu "2I-NE" in dveh pretvornikih

Enako lahko rečemo o montažni shemi "ALI". Po potrebi ga lahko spremenimo v montažni "IN" z uporabo pretvornikov na vhodu in izhodu tega vezja.

3. Kombinacijski zakoni

Kombinacijski zakoni algebre logike v veliki meri ustrezajo kombinacijskim zakonom navadne algebre, vendar obstajajo tudi razlike.

a. tavtološki zakon (večkratna ponovitev)

X + X + X + X = X
X * X * X * X = X

Ta zakon algebre logike omogoča uporabo logičnih vrat z več vhodi kot vrat z manj vhodi. Na primer, lahko implementirate dvovhodno vezje "2I" na logičnem elementu "3I", kot je prikazano na sliki 4:

Slika 4. Shema "2I-NOT", implementirana na logičnem elementu "3I-NOT"

ali uporabite vezje "2NAND-NOT" kot običajen pretvornik, kot je prikazano na sliki 5:

Slika 5. Vezje "NE" implementirano na logičnem elementu "2I-NE"

Vendar je treba opozoriti, da združevanje več vhodov poveča vhodne tokove logičnega elementa in njegovo zmogljivost, kar poveča porabo toka predhodnih elementov in negativno vpliva na hitrost digitalnega vezja kot celote.

Za zmanjšanje števila vhodov v logičnem elementu je bolje uporabiti drug zakon algebre logike - zakon posameznih elementov, kot je prikazano zgoraj.

Nadaljujemo z obravnavo zakonov algebre logike:

b. zakon gibljivosti

A + B + C + D = A + C + B + D

c. kombinacijski zakon

A + B + C + D = A + (B + C) + D = A + B + (C + D)

d. distribucijski zakon

X1(X2 + X3) = X1X2 + X1X3 X1 + X2X3 = (X1 + X2)(X1 + X3) = /dokažimo z razširitvijo oklepajev/ =
= X1X1 + X1X3 + X1X2 + X2X3 = X1(1 + X3 + X2) + X2X3 = X1 + X2X3

4. Pravilo absorpcije (ena spremenljivka absorbira druge)

X1 + X1X2X3 =X1(1 + X2X3) = X1

5. Pravilo lepljenja (izvaja samo ena spremenljivka)

Tako kot v navadni matematiki, tudi v algebri logike obstaja prednost operacij. To se naredi najprej:

1. Dejanje v oklepaju
2. Operacija z enim operandom (ena operacija) - "NE"
3. Veznik - "in"
4. Disjunkcija - "ALI"
5. Seštevek modulo dva.

Operacije istega ranga se izvajajo od leve proti desni v vrstnem redu, v katerem je zapisan logični izraz. Algebra logike je linearna in zanjo velja načelo superpozicije.

Literatura:

Skupaj s člankom "Zakoni algebre logike" se glasi:

Vsako logično vezje brez pomnilnika je v celoti opisano s tabelo resnic ... Za izvedbo tabele resnic je dovolj, da upoštevamo samo tiste vrstice ...
http://website/digital/SintSxem.php

Dekoderji (dekoderji) vam omogočajo pretvorbo ene vrste binarne kode v drugo. Na primer ...
http://website/digital/DC.php

Pogosto se razvijalci digitalne opreme soočajo z nasprotno težavo. Želite pretvoriti osmiško ali decimalno vrstično kodo v ...
http://website/digital/coder.php

Multiplekserji so naprave, ki vam omogočajo povezavo več vhodov na en izhod ...
http://website/digital/MS.php

Naprave se imenujejo demultiplekserji ... Bistvena razlika od multiplekserja je ...
http://website/digital/DMS.php

Če upoštevamo uporabo propozicijskega računa za analizo in optimizacijo kontaktno-relejnih vezij, avtomatizacijskih vezij in drugih aplikacij ter poznavanje. da zmanjšanje števila elementov in/ali povezav povzroči povečanje zanesljivosti naprav, ki uporabljajo ta vezja, postane očitno, da je pomembno preučevati takšne formule v diskretni matematiki, ki omogočajo optimizacijo same formule.

Zakoni, ki omogočajo redukcijo elementov in operacij logičnih propozicij, vključujejo zakone absorpcije in lepljenja.

Absorpcijski zakon:

za logično seštevanje: A  (A in B) = A ;

za logično množenje: A & (A  B) = A .

Poznavanje zakonov logike vam omogoča, da preverite pravilnost sklepanja in dokazov. Na podlagi zakonov lahko poenostavite zapletene logične izraze. Ta postopek zamenjave kompleksne logične funkcije s preprostejšo, vendar enakovredno funkcijo se imenuje minimizacija funkcije.

Nekatere transformacije logičnih formul so podobne transformacijam formul v navadni algebri (oklepaji skupnega faktorja, uporaba komutativnih in asociativnih zakonov itd.), druge temeljijo na lastnostih, ki jih običajne algebrske operacije nimajo (uporaba distribucijskega zakona za konjunkcijo, zakoni absorpcije, vezave, de Morgan itd.).

Kršitve zakonov logike vodijo do logičnih napak in posledičnih protislovij.

8. Pravilo lepljenja

; (2.11)
. (2.12) Dokaz za (2.11): . Dokaz (2.12):

9. Zakon posplošenega lepljenje . (2.13) . (2.14) Dokazi (2.13): Dokaz (2.14). Oklepaje odpremo najprej na levi strani enakosti (2.14) in nato na njeni desni strani. ; .

9. De Morganovo pravilo

De Morganovi zakoni (de morgan pravila) - logična pravila, ki povezujejo pare dvojnih logičnih operatorjev z uporabo logične negacije.

Zgodovina in definicija

Augustus de Morgan je prvotno opazil, da v klasični propozicionalni logiki veljajo naslednja razmerja:

ne (P in Q) = (ni P) ali (ne Q)

ne (P ali Q) = (ne P) in (ne Q)

Običajni zapis teh zakonov v formalni logiki je:

v teoriji množic:

De Morganove formule so uporabne za poljubno število argumentov. Ilustrirajo globoko medsebojno simetrijo operacij IN in ALI: če operacija IN selektivno reagira na sovpadanje neposrednih signalov, potem operacija ALI selektivno reagira tudi na sovpadanje njihovih inverzij. Element ALI je pregleden za vsak signal, element IN - za vsako inverzijo. Z uporabo de Morganovih formul je mogoče enostavno prevesti logična vezja iz osnove NE, IN, ALI, v kateri je človek najbolj vajen razmišljati in sestavljati začetne logične izraze, v invertne baze, ki jih najučinkoviteje izvaja integrirana tehnologija.

10. Arrow Pierce

Pierce puščica (logično "ALI-NE") izjave a in b je nova propozicija, ki bo resnična, če in samo če sta obe propoziciji napačni.

Pierceov znak puščice je ↓

Funkcijske vrednosti prebodite puščice predstavljeno v tabeli:

Logični element operacije prebodite puščice je:

Arrow Pierce- binarna logična operacija, logična funkcija nad dvema spremenljivkama. Predstavil Charles Peirce v letih 1880-1881.

Pierceova puščica, običajno označena z ↓, je enakovredna operaciji NOR in je podana z naslednjo tabelo resnic:

Tako izjava "X ↓ Y" pomeni "niti X niti Y". Spreminjanje mest operandov ne spremeni rezultata operacije.

		X ↓ Y

11. Schaefferjeva možganska kap- binarna logična operacija, logična funkcija nad dvema spremenljivkama. Uvedel ga je Henry Schaeffer leta 1913 (v nekaterih virih imenovan Chulkov's Dotted Line). Schaefferjeva poteza, običajno označena z |, je enakovredna operaciji NAND in je podana z naslednjo tabelo resnic:

Tako je izjava X | Y pomeni, da sta X in Y nekompatibilna, tj. niso resnične hkrati. Spreminjanje mest operandov ne spremeni rezultata operacije. Schaefferjevo praštevilo, tako kot Pierceova puščica, tvori osnovo za prostor Boolovih funkcij dveh spremenljivk. To pomeni, da lahko z uporabo samo Schaefferjeve poteze zgradite preostale operacije. na primer

-negacija

Disjunkcija

Konjunkcija

Konstanta 1

V elektroniki to pomeni, da je za izvedbo celotne raznolikosti shem pretvorbe signalov, ki predstavljajo logične vrednosti, dovolj en tipičen element. Po drugi strani pa ta pristop povečuje kompleksnost vezij, ki izvajajo logične izraze, in s tem zmanjšuje njihovo zanesljivost. Primer je industrijska serija 155.

Element 2I-NOT (2-in NAND), ki izvaja Schaefferjevo potezo, je označen kot sledi (v skladu s standardi ANSI):

V evropskih standardih je sprejeta drugačna oznaka:

12. Diodni ključi. Splošne informacije. Elektronski ključ je naprava, ki je lahko v enem od dveh stabilnih stanj: zaprto ali odprto. Osnova elektronskega ključa je nelinearni aktivni element (polprevodniška dioda, tranzistor, tiristor itd.), ki deluje v načinu ključa. Glede na vrsto uporabljenega nelinearnega elementa delimo elektronska stikala na diodna, tranzistorska, tiristorska itd.

diodni ključi. Najenostavnejši tip elektronskih stikal so diodna stikala. Kot aktivni elementi v njih se uporabljajo polprevodniške ali elektrovakuumske diode.

Pri pozitivni vhodni napetosti je dioda odprta in tok skozi njo

, kjer je sprednji upor diode.

Izhodna napetost

.

Ponavadi takrat. Pri negativni vhodni napetosti teče tok skozi diodo

,

kjer je povratni upor diode.

Hkrati je izhodna napetost

. Praviloma in . Ko se polarnost diode spremeni, se graf funkcije obrne za kot okoli izhodišča.

Diodni ključi ne omogočajo električne ločitve krmilnega in krmiljenega tokokroga, kar je v praksi pogosto potrebno. Za preklapljanje (preklapljanje) napetosti in tokov, t.i. diodni ključi. Ta vezja omogočajo, da se ob uporabi določene krmilne napetosti zapre / odpre električni tokokrog, skozi katerega se prenaša koristen signal (tok, napetost). V najpreprostejših ključnih vezjih se lahko sam vhodni signal uporablja kot krmiljenje.

Ko govorimo o diodnih stikalih, ne moremo omeniti posebnega razreda polprevodniških diod - p-i-n-diod. Uporabljajo se samo za preklapljanje RF in mikrovalovnih signalov. To je mogoče zaradi njihove edinstvene lastnosti - nastavljive prevodnosti na frekvenci signala. Takšna regulacija se običajno izvaja, ko se na diodo nanese zunanja konstantna prednapetost ali neposredno z nivojem signala (za omejevanje p-i-n-diod).